En lógica porposicional, se está interesado en sentencias

En lógica porposicional, se está interesado en sentencias declarativas que puedan ser
verdaderas o falsas. La forma de representar las sentencias declarativas es a través de
proposiciones. Una proposición es una sentencia declarativa que puede ser simple o
compuesta; una sentencia compuesta se une a través de conectivas lógicas. Se dice que una
formula bien formada es aquella que cumple con ciertas características. Las formulas
pueden ser muy complejas pero para su estudio éstas se pueden reducir a su forma mas
simple (forma normal); existen la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva.
Este documento presenta el desarrollo de un programa que valida si una fórmula capturada
está bien formada y la reduce a su mínima forma normal conjuntiva. Se desarrolló un
procedimiento para validar que la fórmula esté bien formada; si el procedimiento tiene
éxito, construye un árbol de sintaxis, que es procesado (cambiando el contenido y/o
añadiendo nuevos nodos) para reducir la fórmula a su mínima forma normal conjuntiva.
Como parte del proceso de reducción, el programa determina si la fórmula capturada es
válida o es inconsistente.
Se presenta una descripción de los pasos realizados y una serie de ejemplos para soportar
este desarrollo.
2 Conceptos
2.1 Lógica Proposicional
2.1.1 Fórmula bien formada
Una fórmula bien formada (fbf) es una expresión que representa una proposición simple o
compuesta, la cual está bien escrita de acuerdo con determinada sintaxis. En cálculo
proposicional, una fórmula bien formada es una fórmula que está bien escrita de acuerdo
con la sintaxis del cálculo proposicional. Las reglas de la sintaxis del cálculo proposicional
definen entonces, la forma de escribir o reconocer fórmulas bien formadas del cálculo
proposicional.
En cálculo proposicional se dice que una fórmula es bien formada si:
1. Es un átomo.
2. Si P es una fórmula bien formada, entonces ¬Ptambién lo es
3. Si P y Q son fórmulas bien formadas, entonces también lo son: PQ, PQ, PQ y
PQ.
4. Todas las fórmulas bien formadas se obtienen aplicando las reglas 1, 2 y 3.
Cabe mencionar en la regla 3, que es posible utilizar otras conectivas, pero, sin embargo
son reducibles a las aquí presentadas.
Ejemplos de fórmulas bien formadas son:
PQ, P¬ Q, P Q, P Q
Ejemplos de fórmulas que no están bien formadas son:
P Q, P¬  Q, P y  Q
2.1.2 Fórmulas equivalentes
Dos fórmulas son equivalentes si y solo si sus tablas de verdad son iguales para cualquier
interpretación. Por ejemplo, las fórmulas P Q y ¬ PQ son fórmulas equivalentes, como
se muestra en la tabla 1.
P Q P Q ¬ PQ
VVV
V
VF F
F
F VV
V
F F V
V
Tabla 1. P Q y ¬ PQ son fórmulas equivalentes.
2.1.3 Leyes de equivalencia
El símbolo "cuadro relleno" indica una fórmula que es siempre verdad (validez o
tautología) y el símbolo "cuadro" indica una fórmula que simpre es falsa (inconsistencia o
contradicción). La tabla 2 muestra las leyes de equivalencias usadas en lógica proposicional
(F, G y H son fórmulas)].
Doble Implicación F G = (F G)(G H)
Implicación
F G = ¬ FG
Distribución
F(GH) = (FG)(FH)
F(GH) = (FG)(FH)
Asociación
(FG)H = F(GH)
(FG)H = F(GH)
Complementación F¬ F = "cuadro"
F¬ F = "cuadro relleno"
¬¬F=F
Conmutación
FG = GF
FG = GF
Cero
F"cuadro relleno" = "cuadro relleno"
F"cuadro" = "cuadro"
Identidad
F"cuadro" = F
F"cuadro relleno" = F
Idempotencia
FF = F
FF = F
Absorción
FFQ = F
F(FQ) = F
F¬ FQ = FQ
Leyes de Morgan ¬ (FQH) = ¬ F¬ Q¬ H
¬ (FQH) = ¬ F¬ Q¬ H
Tabla 2: Leyes de equivalencias para fórmulas lógicas.
2.1.4 Forma normal conjuntiva (FNC)
Una fórmula está en su forma normal conjuntiva si y sólo si tiene la forma:
F1F2F3...Fn
Donde n  2 y cada Fi es una disyunción de variables.
Ejemplo:
(PQR)(PQ)
La formal normal conjuntiva (FNC), junto con la forma normal disyuntiva (FND) se
utilizan en la demostración automática de teoremas. Convertir todas las fórmulas que
intervienen en el proceso en una de las formas normales, ahorra tiempo y simplifica los
cálculos.