Relaciones_y_funciones3 - Fundación Universitaria Luis Amigó

3. RELACIONES Y FUNCIONES
OBJETIVOS
OBJETIVOS
1. A través del concepto de relación, definir el concepto de
función, sus diferentes tipos y sus gráficos.
2. Definir en todas sus formas el concepto de función
lineal su ecuación y forma de graficar y su aplicación.
3. Aprender los diferentes métodos de solución de
ecuaciones lineales y aplicarlos a la solución de
ejercicios.
4. Trabajar
los
conceptos
de
función
cuadrática,
exponencial y logarítmica y su aplicación a otras áreas
de la administración y la economía.
3.1. Concepto de relación y de función
3.1.1. Definición de relación y de función
Fundamentos matemáticos
2
Relación
Se llama relación a todo subconjunto de un producto cartesiano formado por
parejas ordenadas así:
Sea A = {1,2} el producto cartesiano AxA = {(1,1); 1,2), (2,1), (2,2)}
Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {3,5} y B = {0, 1, 9} construir una relación R: B  (se
lee relación de B en A) definida por la función proporcional “x es menor o
igual que y”.
BxA = {(0,3), (0,5) (1,5), (0,9), (9,5)}
Luego, se seleccionan las parejas que hacen verdadera la función
proposicional x menor o igual que y.
R = {(0,3),(0,5),(1,3), (1,5)}
Gráficamente se tiene:
Fundamentos matemáticos
3
R
B
0
A
3
1
9
5
De las parejas que se obtienen en la relación, a las primeras componentes
de la relación se les llama Dominio de la relación (valores de “x” que pueden
ser relacionadas) y a los valores de la segunda componente se les llama
rango o imágenes de la relación.
Ejemplo:
Hallar el dominio y el rango de la relación
R ={(x,y) / 2xy – 3y + 5 =0} definida en los números reales.
Solución:
Dominio: se debe despejar “y” de la relación y analizar “x”.
2xy – 3y + 5 = 0
2xy – 3y = - 5
y (2x – 3 = - 5
Fundamentos matemáticos
4
y
=
5
2X  3
2x – 3  0 entonces x  3/2
Rango:
Se despeja x, y se analiza y
2xy = -5 + 3y el rango es para
x =
 5  3y
2x
2x = 0  x = 0 o sea reales.
Función
Muchos modelos matemáticos se describen mediante el concepto de
Función.
Un fabricante desea conocer la relación entre las ganancias de su compañía
y su nivel de producción; un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de
cierto cultivo de bacterias durante un tiempo; un psicólogo quisiera conocer la
relación entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una
lista de palabras; y a un químico le interesa la relación entre la velocidad de
una reacción y la sustancia utilizada. En cada caso la pregunta es la misma:
¿cómo depende una cantidad de otra? Esta dependencia entre dos
cantidades se describe en Matemáticas como una Función.
Fundamentos matemáticos
5
Definición de función
Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y
sólo un elemento de un conjunto B.
Ejemplo:
f
B
A
x1
a
x2
b
x3
c
d
Al conjunto A se le denomina dominio de la función y se denota, como f. Si x
es un elemento de f, entonces el elemento en B se denota por y = f(x) (se lee
“f de x”) y al conjunto de valores de B se le llama conjunto imagen.
Se puede pensar una función f como una máquina donde el dominio es el
conjunto de entradas (la materia prima) para la máquina; la regla describe la
forma de procesar la entrada y los valores de la función son las salidas de la
máquina (ver figura 3).
Fundamentos matemáticos
6
Entrada
X
f
f (x)
Salida
Figura 3
Es importante entender que la salida f(x) asociada con una entrada x es
única.
Un ejemplo de función surge a partir de la relación entre el área de un círculo
y su radio. Si x es el radio y y el área de un círculo se tiene que y =  x2.
Para calcular el área de un círculo cuyo radio es 5 cm. Se reemplaza x = 5
en la ecuación y se tiene:
y =  (5cm)2 = 25  cm2
En general para evaluar una Función se reemplazan los valores de x.
Sea f la función definida por la regla f(x) = 2x2 – x + 1.
Fundamentos matemáticos
7
Calcular:
a.
f(1)
b. f (-2)
c. f(h)
f (1) = 2(1)2 – 1 + 1 = 2
f (-2) = 2 (-2)2 – (-2) + 1 = 11
f(h)
= 2(h)2 – h + 1
= 2h2 – h + 1
3.1.2. Tipos de funciones
En el recorrido del módulo se tomarán las funciones de más frecuencia
utilizadas en Administración.
Estas funciones son: Función lineal, Función cuadrática, Función exponencial
y Función logarítmica, con sus respectivas gráficas. Las anteriores funciones
se tratarán más detalladamente en capítulos posteriores a esta unidad.
3.2. Función lineal y ecuaciones lineales
Función lineal
La función f definida por: y = f (x)= mx + b donde m y b son constantes, se
denomina función lineal.
Su nombre se debe al hecho de que su representación, en un sistema de
coordenadas de dos dimensiones, es una línea recta.
Fundamentos matemáticos
8
El dominio y el rango de esta función es el conjunto de todos los números
reales. A m se le denomina pendiente o inclinación de la recta, y a b el
intercepto o corte con el eje y del plano cartesiano.
La inclinación de la recta dependerá del signo de m y su gráfica:
y
m>0
(0,b)
x
y
(0,b)
m≤ 0
Fundamentos matemáticos
9
Para graficar una función lineal se elabora una tabla de valores, dando a x
valores arbitrarios, para obtener así los valores de y. Después de ubicar cada
pareja en el plano cartesiano y marcar un punto, se unen éstos para así
obtener su gráfica.
Ejemplo 1:
Graficar las funciones lineales cuyas ecuaciones son:
Y = 2x-1
^
Y = -2x+3
x
0
1
2
x
0
1
2
y
-1
1
3
y
3
1
-1
Fundamentos matemáticos
10
y
4
3
y = 2
x - 1
2
1
x
-3
-2
-1
1
-1
2
3
y = -2 x + 3
-2
-3
Fundamentos matemáticos
y = 2
x - 1
11
La función lineal presenta otra ecuación muy importante, denominada
ecuación punto-pendiente. Esta ecuación se obtiene luego de conocer las
coordenadas de dos puntos de una misma línea recta o de los datos de un
problema específico.
La ecuación tendrá la siguiente forma así:
y - y1= m (x-x1)
ó
y - y2= m (x-x2)
Donde P1 (x1,y1) ^ P2 (x2,y2) son las coordenadas de los dos puntos
pertenecientes a la misma línea recta; y la pendiente m se calcula así:
y1  y 2
y 2  y1
m= x  x
2
1
m=
x1  x 2
Ejemplo 2:
Encuentre la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos P1(-3, -2) y
P2 (2, 3) y realice su gráfico.
m - y2 – y1 - 3 – (-2) - 3 + 2 - 5 - 1
x2 – x1
y – y1 = m (x – x1)
2 – (-3)
ó
2+3
5
y – y2 = m (x – x2)
y – (-2)= 1 (x – (-3))
y - 3 = 1 (x – 2)
y+2 = x+3
y–3= x-2
y=x+3–2
y = x–2+3
y=x+1
y = x+1
Fundamentos matemáticos
12
y
(0,1)
(-1,0)
x
Ejemplo 3:
Se pide al estudiante calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos
P1(3, -1) y P2(4,5) y realizar su gráfico.
Las funciones lineales desempeñan un papel muy importante en el análisis
cuantitativo de los problemas comerciales y económicos. Muchos problemas
son lineales por naturaleza y pueden formularse en términos de funciones
lineales. Además, como es tan sencillo trabajar con funciones lineales, en
muchos casos es posible obtener modelos matemáticos aceptables que
aproximan las situaciones reales.
Aplicaciones de las funciones lineales
Las funciones lineales son de gran aplicación en todos los campos del saber;
para nuestro interés, sólo abordaremos lo que se refiere a ellas, en
problemas de Administración y Economía.
Fundamentos matemáticos
13
La dirección de una empresa (ya sea de un dueño único o una gran
corporación) debe mantener un registro constante de los costos de
operación, de los ingresos resultantes de la venta o servicios y, tal vez, lo
más importante, de las ganancias obtenidas. Tres funciones ofrecen a la
dirección una medida de estas cantidades: la función de costos totales, la
función de ingresos y la función de ganancias.
Para la producción de cualquier bien en una empresa intervienen dos tipos
de costos que se conocen como costos fijos y costos variables. Los costos
fijos no dependen del nivel o cantidad de artículos producidos. Ejemplo de
éstos son: las rentas, los intereses sobre préstamos y los salarios de
administración.
Los costos variables dependen del nivel de producción, es decir, de la
cantidad de artículos producidos. Ejemplo de estos son los materiales y la
mano de obra empleada en la producción.
El modelo lineal para el costo es:
COSTO TOTAL = COSTOS VARIABLES + COSTOS FIJOS
Se denota x como el número de unidades producidas o vendidas, m el costo
variable por unidad y b como los costos fijos, entonces, la función de costos
totales es:
Yc=C(x)=mx+b
Fundamentos matemáticos
14
Ejemplo 4:
El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 ¢ y los
costos fijos por día son de $300.
a. Halle la ecuación de corte lineal y dibuje su gráfica.
b. Determine el costo de procesar 1000 kg de café en un día.
C(x) el costo de procesar x kilos de granos de café por día, donde b= $300 y
m= $0.5, de acuerdo con el modelo lineal queda:
C(x)=0.5x+300
Ahora, si x = 0, entonces, C(0)=0.5(0)+300
C(0)=300
Si x = 200, entonces, C(200)=0.5(200)+300
C(200)=100+300
C(200)=$400
Fundamentos matemáticos
15
Con las dos parejas (0, 300) y (200, 400) se realiza la gráfica.
600
500
D ó lares
400
300
200
100
0
0
100
200
300
400
500
K ilo s
Si x = 1.000 kg, entonces, C(1.000)=0.5 (1.000)+300
C(1.000)=500+300
C(1.000)=800
Por lo tanto, el costo de procesar 1.000 kg de café al día es de $800.
Ejemplo 5:
Si cuesta $4.500 producir 75 unidades semanales de un producto y $5.200
producir 100 a la semana. ¿Cuáles son los costos fijos semanales y cuál el
costo variable por unidad?
Resolverlo considerando:
Fundamentos matemáticos
16
x = número de unidades
y = el precio
y la ecuación y - y1= m(x-x1)
La función de ingresos es:
R(x)= Precio por unidad x cantidad de unidades vendidas del producto
Si x = número de vendidas y P el precio de venta de cada unidad, entonces,
la función de ingreso es:
R(x)=P.x
La función de ganancia es:
G(x)= Ganancia Total obtenida por la fabricación y venta de x unidades del
producto.
La función de ganancia se define como:
Ganancia = Ingresos – costos
G(x)= R(x) - C(x)
Ejemplo 6:
Una empresa, fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por $20.000;
costos de producción de $20 por unidad, y un precio de venta unitario de
Fundamentos matemáticos
17
$30. Determine las funciones de costos, ingresos y ganancia para dicha
empresa. También la ganancia por la venta de 2.500 unidades.
Sea x el número de unidades producidas y vendidas. Entonces:
C(x)= 20x+20.000
R(x)= 30x
G(x)= R(x) – C (x)
= 30x – (20x+20.000)
= 30x – 20x – 20.000
= 10x – 20.000
Si x = 25.000, entonces, G(2.500) = 10(2.500) – 20.000
=25.000-20.000
=$5.000
Otra aplicación importante de las funciones lineales es la que se denomina
depreciación lineal.
Cuando una empresa compra parte de un equipo o maquinaria, reporta el
valor de ese equipo como uno de los activos en su hoja de balance. En años
subsecuentes este valor debe disminuirse debido al lento desgaste del
equipo, o bien, a que se vuelve obsoleto. Esta reducción gradual del valor de
un activo se denomina depreciación.
Un método común de calcular el monto de la depreciación es reducir el valor,
cada año, en una cantidad constante, de forma tal que dicho valor se reduzca
a un valor de desecho al final del tiempo de vida útil estimado del equipo.
Esto se denomina depreciación lineal.
Fundamentos matemáticos
18
Se tiene:
Tasa de depreciación (anual) = (Valor inicial – valor de desecho)
(tiempo de vida en años)
Ejemplo 7:
Una empresa compra maquinaria por $150.000. Se espera que el tiempo de
vida útil de la maquinaria sea de 12 años, con un valor de desecho de cero.
Determine el monto de depreciación anual y una fórmula para el valor
depreciado después de x años.
Solución:
Depreciación por año
=(Precio de adquisición inicial – Valor de desecho)
(vida útil en años)
= 150.000 – 0
12
= 12.500 dólares
Valor después de x años = (Valor inicial) – (Depreciación por año) (número
de años)
= (150.000) – (12.500) (x años)
= 150.000 – 12.500 x dólares
Fundamentos matemáticos
19
Resuelve el estudiante.
Ejemplo 8:
Una compañía está utilizando una depreciación lineal para calcular el valor
de su planta, recientemente construida. Después de dos años está valorada
en $8.8 millones, y después de 6 años, en $7.2 millones. ¿Cuál es el costo
inicial y después de cuántos años el valor se deprecia a cero?
Oferta y demanda
Las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales
en cualquier análisis económico. La cantidad x de cualquier artículo, que será
adquirida por los consumidores, depende del precio en que el artículo esté
disponible. A esta relación se le denomina ley de la demanda.
La ley más simple es una relación del tipo: P = mx + b. Donde P es el precio
por unidad del artículo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de
demanda se llama curva de demanda.
Es un hecho que si el precio por unidad de un artículo aumenta, la demanda
por el artículo disminuye, porque menos consumidores podrán adquirirlo;
mientras que si el precio por unidad disminuye, la demanda se incrementará.
La pendiente de esta función es negativa y su gráfica se inclina hacia abajo y
hacia la derecha.
Fundamentos matemáticos
20
La cantidad de un artículo determinado, que sus proveedores están
dispuestos a ofrecer, depende del precio al cual pueden venderlo.
Una
relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes
(o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios, se denomina
ley de la oferta y su gráfica se le llama curva de oferta.
En general, los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de
artículos, si pueden colocarle un precio alto.
Ejemplo 9:
Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor,
las ventas ascienden a 2.000 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por
televisor, las ventas son de 2.400 unidades. Determine la ecuación de
demanda, suponiendo que es lineal, y realice su gráfica.
Solución:
Formando las parejas cantidad (x) y precio (p), se tiene:
(2.000, 500) y (2.400, 450)
m=
450 – 500__ = -50__ = -0.125
2.400 – 2.000
400
Utilizando la ecuación punto – pendiente:
P – P1 = m (X-X1) queda
P – 500 = 0.125 (X – 2.000)
P = -0.125X + 250 + 500
P = -0.125X + 750
Fundamentos matemáticos
21
Si x = 0, entonces, P = 750
Si x = 6,000, entonces, P = 0
Ejemplo 10:
A un precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1.200 unidades de
su producto, y a $15 por unidad, 4.200 unidades.
Determine la relación de la oferta, suponiendo que sea lineal.
Solución:
(1.200, 10) y (4.200, 15)
m-
15 – 10
-
4.200 – 1.200
5
3.000
-
1
600
P – P1 = m (x –x1)
P – 10 -
1
(x – 1.200)
600
P-
1 x – 2 + 10
600
P-
1 x+8
600
Fundamentos matemáticos
22
Si x = 0, entonces, P = 8
Si x = 6.000, entonces, P = 18
Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos
expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el
símbolo de igualdad, =.
Una ecuación polinomial de grado 1, se denomina ecuación lineal.
La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es:
ax + b = 0
(a ‡ 0)
Donde a y b son constantes.
Ejemplo 1:
a.
x – 4 = 0 es una ecuación lineal. Se pasa 4 al lado derecho,
cambiando de signo, se obtiene x = 4 esto equivale a sumar 4 a
ambos lados. Única solución de la ecuación.
b. 2x + 3 = 0 ecuación lineal. Se pasa 3 al lado derecho, se obtiene:
2x = – 3 dividiendo entre 2 a ambos lados, resulta que:
x - -3_, así es la única solución de la ecuación.
2
Fundamentos matemáticos
23
c. En el caso general,
ax + b = 0
Se pasa b al lado derecho, lo que da:
ax = -b
Dividiendo entre a, a los dos lados de la igualdad se tiene:
x = -b
a
Al resolver ecuaciones, se dejan los términos que incluyen a la variable al
lado izquierdo de la ecuación, y se pasan las constantes al segundo
miembro.
Resolver las ecuaciones siguientes:
1. 5t – 3 = 18 + 3 (1 – t)
5t – 3 = 18 + 3 – 3t
5t + 3t= 18 + 3 + 3
8t = 24
t = 24
8
t= 3
2. 2x – 5 (1 – 3x) = 1 – 3 ( 1 – 2x)
2x – 5 +15x
= 1 – 3 + 6x
2x + 15x – 6x = 1 – 3 + 5
11x = 3
Fundamentos matemáticos
24
x = 3_
11
3. La solución a la ecuación lineal
3z – 2 + 4 (1 – z) = 5 (1 –2z) – 12 es:
a. 1
b. 2
c. –1
d. No tiene solución
Resolver las ecuaciones:
179 – 18 (x-10) = 158 – 3 (x-17)
a.
179 – 18x + 180 = 158 – 3x + 51
- 18x + 3x = 158 – 179 – 180 + 51
- 15x = - 150
x=
 150
 15
x = 10
b.
x2
2

x  10

5
9
9 ( x  2 )  2 ( x  10 )

18
90
18
9 x  18  2 x  20  90
11 X  90  20  18
Fundamentos matemáticos
25
x 
88
11
x 8
Sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2
Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el valor de las variables
desconocidas. Aunque se resuelve por varios métodos, en este tema sólo se
verán tres de ellos, así:
Método de igualación
De ambas ecuaciones se despeja la misma variable y, luego, se igualan las
ecuaciones resultantes. Hallada una de las variables, se sustituye ese valor
en alguna de las ecuaciones para hallar la otra variable.
Método de reducción o eliminación
Se elige la variable que va a eliminarse, y se debe buscar que ésta quede
con el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero con signo contrario.
Luego, se suman o restan verticalmente las dos ecuaciones, se despeja la
variable que queda y se halla su valor. Posteriormente, se reemplaza este
valor en una de las ecuaciones anteriores para hallar la otra variable.
Fundamentos matemáticos
26
Método por determinantes
Se resuelve con el siguiente arreglo:
Sean las ecuaciones:
a 1 x  b1 y  c 1
a 2 x  b2 y  c 2
c1 b1
X 
c2 b2
a1 b1
a2 b2
a1 c 1
y 
a2 c2
a1 b1
a2 b2
Ejemplos:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
3x + 4y = 10
(1)
4x + y = 9
(2)
Fundamentos matemáticos
27
Método de igualación
De (1) 3x = 10 – 4y
x 
10  4 y
3
De (2) 4x = 9 – y
(3)
x 
9 y
4
(4)
(3) = (4)
10  4 y
3

9 y
4
4(10 – 4y) = 3(9 –y)
40 – 16 y = 27 – 3y
- 16y + 3y = 27 – 40
- 13y = -13
y=
 13
 13
y=1
x=
x=
9 1
4
8
4
x=2
Fundamentos matemáticos
28
Método de reducción
3x + 4y = 10 (1) por 1
4x + y = 9 (2) por – 4
Queda:
3x + 4y = 10
- 16x - 4y  - 36
 13 x   26
x 
 26
 13
x=2
Método por determinantes
10 4
x 
9 1

3 4
10  36
3  16

 26
 13
 2
4 1
3 10
y 
4 9
3 4

27  40
3  16

 13
 13
1
4 1
Fundamentos matemáticos
29
3.3. Funciones cuadráticas, exponenciales y logarítmicas
Concepto de función cuadrática, exponencial y logarítmica
Función cuadrática
La ecuación es y = f (x) = ax2 + bx +c su dominio es el conjunto de los
números reales y su gráfica es una parábola, con dos formas, así:
y
y
a (-)
a (+)
x
x
Para tener una gráfica aproximada, basta con hallar el vértice, punto mínimo
o máximo. Así:
b

v
, f ( x ); 
 2a

x 
b
2a
Ejemplo 1:
Fundamentos matemáticos
30
Graficar la función
y = 2x2 – 4x + 1
x=
b

 (4 )
2a

2( 2 )
4
1
4
y
y = 2(1)2 - 4(1) + 1
y=2–4+1
y=-1
x
(1,-1)
V(1, -1)
Ejemplo 2:
y = - 2x2 + 8x
x 
b

2a
8
2(2)

8
4
 2
y
8
y   2( 2 )  8( 2 )
2
  2 ( 4 )  16
  8  16
8
V (2,8)
x
1 2
Solución de una ecuación cuadrática
Fundamentos matemáticos
31
Una ecuación cuadrática tiene la forma ax2 + bx + c = 0 se resuelve por
factorización, o con la fórmula x 
b
b
2
 4 ac
2a
Ejemplo:
Resolver la ecuación cuadrática: 2x2 + 5x – 12 = 0, por ambos métodos.
a. Factorización:
2x2 + 5x – 12 = 0
2x
-3
8x – 3x = 5x
x
+
4
(2x – 3) (x + 4) = 0
2x – 3 = 0
x+4=0
2x = 3
x=-4
x = 3/2
b. Por la fórmula:
2x2 + 5x – 12 = 0
a=2,
x
-5
b = 5,
c = 12
2
5 - 4(2)(-12)
2x2
Fundamentos matemáticos

5
25  96
4
32
x
-5
121

 5  11
4
x1 
4
 5  11
x2 
4
x1 
6
x1 
3
x2 
4
 5  11
4
 16
4
x2  4
2
Función exponencial
Tiene dos formas así:
y = ax  base “a” = un número
y = ex  base “e”
E = 2.7182, su gráfica es una curva por encima del eje x, debe pasar por el
punto (0,1); su dominio son los números reales, y su imagen va de (0, ∞).
Ejemplo:
y = 2X
y
y = eX
X
-1
0
1
2
x
-1
0
1
Y
½
1
2
4
y
037
1
2.7
Fundamentos matemáticos
33
Las gráficas son:
y
ex
2x
(0,1)
x
Es una función creciente cuando la base es “e” o un entero; y decreciente
cuando la base es una fracción.
Esta función es muy utilizada para predecir el crecimiento de población, el
cálculo de interés compuesto y del valor futuro (en Matemáticas Financieras).
Función logarítmica
Considérese la forma más usada y = Lnx logaritmo natural de x, base e.
Aunque también se tiene el logaritmo decimal logx.
Ejemplo:
Calcular los siguientes logaritmos:
 Log2 16 = 4 porque 24 = 16
Fundamentos matemáticos
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 Log1000 = 3
 Ln1 = 0
El dominio de esta función es (0,) su imagen (-∞,∞) queda al lado derecho
del eje y, pasa por el punto (1,0). Su gráfica es:
y
y = lnx
(1,0)
x
Se utiliza siempre con la función exponencial y es muy útil en Finanzas e
Ingeniería.
Fundamentos matemáticos
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Bibliografía
Diez, L. (2005). Matemáticas operativas. 2ª ed. Medellín: Universidad de
Antioquia.
Montoya, M. (2008). Fundamentos Matemáticos: Guía Didáctica y Módulo.
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http://revistaerm.univalle.edu.co/
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de http://www.revistasuma.es/
Tan, S. (2002). Matemáticas para Administración y Economía. Segunda
edición. México: Thomson Learning, 992 p.
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