Movimiento del centro de masa

El centro de masa.
El centro de masa se refiere a cuerpos o a varios cuerpos que se mueven en relación de
otros y se define como el punto (x,y) que se mueve en la misma trayectoria que seguiría
una partícula sometida a una fuerza neta.
Imaginemos una rueda de bicicleta que tiene un movimiento de rotación (la bicicleta
está en movimiento), pues, aunque la rueda gira, el centro de masa de la misma genera
una trayectoria rectilínea debido a una fuerza neta. Esa fuerza es el total de todas las
fuerzas involucradas en mover la rueda de la bicicleta.
Movimiento de la rueda
Movimiento del centro de masa
En este ejemplo el centro de masa coincide con el centro de gravedad, pero cuando
hablamos de sistemas de cuerpos, el centro de masa no siempre coincide con el centro
del sistema. El centro de masa se calcula:
YCM = m1y1 + m2y2 +……mnyn
m1 +m2 +…. mn
Siendo XCM la coordenada en X
YCM la coordenada en Y
Ejercicio: Hallar el centro de masa de tres partículas de masa m1= 1 Kg, m2= 2Kg
M3= 3Kg. Situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado 1 m.
Movimiento del Centro de Masas
En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la
posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa
mayor.
Donde Xcm es la posición en el eje x del centro de masa de ese sistema y X1 y X2 la
posición de cada masa.
Para un sistema de dos partículas, la velocidad del centro de masa viene dado por
Las velocidades v1, v2,.., son las velocidades respectivas de cada partícula. El centro de
masa de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa del sistema estuviese
concentrada en el centro de masas y como si todas las fuerzas externas estuvieran
aplicadas a ese punto.
Ahora si consideramos variaciones de velocidad, se genera aceleración, podemos
escribir en forma análoga:
Siendo a1, a2, a3…..las aceleraciones respectivas de cada partícula. La ecuación
anterior la podemos relacionar con la segunda ley de Newton F=m.a, sustituyendo
tenemos:
Siendo F1, F2 las fuerzas asociadas a cada partícula….no olvidemos que son vectores!!!
Ejercicio: Encontrar la aceleración del centro de nasa de dos partículas sujetas
cada una a las fuerzas indicadas. M1= 8Kg y m2= 4Kg. La masa 1 está ubicada en
la posición (4,1) y sometida a una fuerza de 14 N en dirección Este , la masa 2 está
ubicada en la posición ((1,-3), sometida a una fuerza de 16N en dirección Norte.
Procedimiento: Trazar sistemas de coordenadas, ubicar masas, determinar el centro de
masa, determinar sumatoria de fuerzas en X y Y, determinar la resultante de la fuerza y
luego aplicar fórmula
Cantidad de Movimiento lineal
Siempre hacemos referencia a cantidad de cosas, objetos, etc. Cuando vemos una
avenida a las 12 del mediodía existirá más cantidad de movimiento que si la
observamos un domingo a la misma hora.
La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es
un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con
la misma dirección y sentido que la velocidad.
La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan
la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá
mayor cantidad de movimiento.
Fórmula para una partícula donde:
m = Masa
v = Velocidad (en forma vectorial)
p = Vector cantidad de movimiento
Ahora supongamos que se tiene un sistema de partículas en vez de una sola de masas
m1, m2, m3,....La cantidad de movimiento del sistema de partículas es la suma de todas
las cantidades de movimiento.
P= p1 + p2 + p3 +…. Y como la cantidad de movimiento es masa por velocidad,
entonces en un sistema de partículas la cantidad de movimiento total será la
multiplicación de todas las masas por la velocidad del centro de masa.
P=vCM. (m1+m2+m3+...)
Conservación de la cantidad de movimiento.
Cuando la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de partículas
es cero se dice que la cantidad de movimiento es constante cumpliéndose que la
cantidad de movimiento inicial es igual a la cantidad de movimiento final. En un
sistema de dos partículas podremos plantear la siguiente ecuación:
Siendo V1i y V2i las velocidades iníciales de las masas respectivamente y V1f y V2f las
velocidades finales de las masas 1 y 2.
Impulso
Cuando se recibe un impulso pensamos en una fuerza que actúa solo instantes de tiempo
que permite que variemos nuestra velocidad. Según la segunda ley de Newton
La aceleración es variación de velocidad:
Utilizando herramientas matemáticas también podemos escribir:
Donde masa por variación de velocidad es variación de cantidad de
movimiento, pudiendo escribir:
Significa que la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de un
cuerpo es igual a la fuerza que actúa sobre él. Ahora bien si esa fuerza es aplicada solo
en un instante o diferencial de tiempo estaremos hablando de impulso:
Lo que quiere decir que el impulso es igual a la variación de cantidad de
movimiento.
Δp = pf-pi
siendo pf cantidad de movimiento final y pi cantidad de movimiento
inicial.
El impulso lo genera una fuerza externa que actúa por escasos segundos. Ejemplo:
cuando en un plano inclinado se impulsa a un cuerpo brevemente, permitiendo que el
mismo cuerpo suba.
Cuando existe impulso, la cantidad de movimiento no se conserva, o sea, cantidad de
movimiento inicial es diferente a la cantidad de movimiento final y eso ocurre porque
las velocidades iníciales y finales son diferentes.
Ejercicio
1. Considérese dos cuerpos A y B de masas m1 = 2 Kg. y m2 = 1 Kg. acoplados a un
resorte y mantenidos sobre una mesa horizontal sin fricción, como se observa en la
figura. Inicialmente están en reposo. Si se descarga repentinamente un impulso sobre
m2, y éste comienza a desplazarse hacia la derecha con una Vo de 2m/seg. Cual será la
velocidad de m1 cuando la velocidad de m2 sea:
a) igual a cero
b) igual a 0.5 m/seg. hacia la izquierda
M
1
Masa 1
Masa 2
Choques en una dimensión
En los choques se aplica el concepto de cantidad de movimiento. Los choques según la
conservación de la energía se pueden clasificar en:
a) Choque elástico, en el cual los cuerpos después del choque se separan y en
donde la energía cinética se conserva.
b) Choque plástico o inelástico, en el cual los cuerpos después de chocar se
adhieren. La velocidad final es común para ambos cuerpos y la energía cinetica
no se conserva.
En un choque elástico:
Se conserva la cantidad de movimiento
Se conserva la energía cinética, las energías cinéticas de los dos objetos o cuerpos que
chocan es la misma antes y después del choque
ΔEc1 + ΔEc2 =0
En un choque inelástico:
Se conserva la cantidad de movimiento, solo que las velocidades finales son iguales
para ambos cuerpos que chocan
M1 V1i + M2 V2i = Vf (M1 + M2)
Las energías cinéticas no se conservan y después de realizar algunas herramientas
matemáticas escribimos:
V1i + V2i = V1f + V2f
Resolver
Ejemplo: Un bloque de 0.450 Kg se desplaza con una rapidez de 3 m/s, sufre un
choque de frente contra otro bloque de 0.900 Kg que se encuentra en reposo.
Suponiendo colisión elástica. ¿Cuál será la rapidez y dirección de cada bloque
después del choque?
Choques en dos dimensiones:
En estos tipos de problemas debemos tomar en cuenta que las velocidades iníciales y
finales, como vectores poseen dirección y tendremos que trabajar con ángulos, senos y
cosenos.
Ejemplos: las velocidades iniciales en este problemas los identifican
con la letra u y las finales con la letra v
1.-Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra otra partícula de
masa 0.3 kg que está en reposo. Después del choque la primera partícula se mueve con
0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la dirección inicial.
Los datos son
u1=0.4·i
u2=0
v1=0.2cos40·i+0.2·sen40·j
1. Aplicamos el principio de conservación del momento lineal en el eje x
0.2·u1=0.2·v1x+0.3·v2x
Y despejemos la velocidad v2x de la segunda partícula después del choque
v2=0.166·i
2. Aplicamos el principio de conservación del momento lineal en el eje y
0 =0.2·v1y+0.3·v2y quedando V2y =0.026 j
V2 = 0.166·i + 0.026 j
El módulo de la velocidad es v2=0.31 m/s, el ángulo que forma con el eje X es θ=?
Calcúlenlo.
(Resolver)
2. Una partícula de 5 kg de masa, moviéndose a 2 m/s choca contra otra partícula de 8
kg inicialmente en reposo. Si el choque es elástico y la primera partícula se ha desviado
50º de la dirección original del movimiento, calcular la velocidad de cada partícula
después del choque.
3. Una bola de billar que se mueve a 5m/s golpea a otra estacionaria de la misma masa.
Después del choque, la primera bola se mueve a 4,33 m/s en un ángulo de 30º respecto
de la línea del movimiento. Suponiendo choque elástico, calcular: La velocidad de la
bola de billar golpeada y su dirección.
Problemas adicionales:
Una bala de 10 g se incrusta en un bloque de 990 g que descansa sobre una superficie
horizontal sin fricción, sujeto a un resorte, tal como se ve en la figura. El impacto
comprime el resorte 15 cm. Del resorte se sabemos que una fuerza de 2 N produce una
comprensión de 0.25 cm. Calcular



La constante elástica del muelle
La velocidad del conjunto bloque + bala justo después del choque
La velocidad de la bala antes del choque.
3. Tres partículas inician su movimiento con velocidades constantes desde la posición
mostrada. Sus velocidades son las siguientes:
V1= 5i + 3j m/seg.
m1= 10Kg.
V2 = 6i
m/seg.
m2= 20Kg
V3 = 4i – 2j m/seg.
m3 = 30Kg.
a) Hallar la velocidad del centro de masa
b) Cantidad de movimiento lineal del sistema
Eje Y
V1
V2
eje X
V3
4. Dos partículas de masa 30 kg y 50Kg. se mueven con velocidades V1 =2/3 V2 siendo
V2 = 3m/seg.. Determinar:
a) Posición del centro de masa
b) Velocidad del centro de masas
c) Cantidad de movimiento lineal del sistema.
Eje Y
V1
m1
distancia entre m1 y m2 es de 4 metros
Eje X
M2
V2
5. Un puck de hockey de 100 gr. Está en reposo en un lago helado, cuando recibe un
golpe que hace que se desplace sobre el hielo a una velocidad de 30 m/seg.
a) Qué impulso se le dio al puck?
b) si el tiempo en que el palo de hockey y el puck están en contacto es de 0.003 seg.
¿Cuál es la magnitud de la Fuerza?