Campos Gravitatorio y Electrico

FUERZAS
CENTRALES
Se llaman fuerzas centrales o radiales aquellas interacciones que dependen proporcionalmente a la distancia a un centro como
1/r2 y en dirección radial a dicho centro.
Entre estas fuerzas están, por su similitud, las Gravitatorias y las Eléctricas cuyas interacciones dependen de una magnitud física
que en el primer caso es la "Masa" y en el segundo la "Carga eléctrica".
En general todas las fuerzas centrales tienen las propiedades:
a) El momento cinético o angular es constante.
  
En efecto, pues al ser el momento de la fuerzas exteriores nulo M  r  F  0 pues la fuerza F tiene la misma dirección que
el vector posición respecto al punto
Así, la variación del momento angular respecto al tiempo es también nulo, lo que implica que se conserva el momento angular o


cinético





 
 mdV
dL d r
L  r  p  r  mV

=
 mV  r 
=0

L = Cte
dt
dt
dt
b) Cumplen el Teorema de las Areas : Las áreas "barridas" por radios vectores en tiempos iguales son iguales.
En efecto: Un área elemental es
dA = 1/2 r.dq.r = 1/2 r2.dq
Así el momento angular o cinético ( que es constante L = Cte ) es:
  
ds
r d
d
L= r x p= r m v= r m
=r m
= m r2
dt
dt
dt
pero al ser L = Cte resulta:
L= m r2
es decir :
2 d
dA
=2m
= Cte
2
dt
r dt
dA
 Cte
dt
c) Estas fuerzas son conservativas, es decir que el trabajo realizado para pasar de una posición a otra no dependen
del camino elegido sino sólo de sus posiciones inicial y final.
En efecto:
Supongamos una partícula bajo la acción de fuerza central, que se
mueve desde la posición A a D, pero por dos caminos distintos ABD y
ACD ; veremos como el trabajo por ambos es el mismo :
T1=TAB + TBD
T2=TAC + TCD
 
T AB = T CD =  F ds =  F ds cos 90”= 0
 
T AC = T BD =  F dr =  F dr
Al ser iguales (rD - rB )= (rC - rA ) y las fuerzas iguales entonces los trabajos T1 = T2 Y como un camino AD puede ser
descompuesto en caminos elementales como el anterior, tal como se indica en la figura, determina que la Fuerza Central es
conservativo
CAMPO ELECTRICO
LEY DE COULOMB.
Dos cargas eléctricas puntuales "q" y "Q" están sometidas a fuerzas o interacciones atractivas o repulsivas (según las cargas
sean de distinto o igual signo), cuyo valor es proporcional al producto de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado
de su distancia :

qQ 
F=K 3 r
r
en modulo es
F=K
qQ
r
2
El valor de la constante de proporcionalidad "K" se ha calculado experimentalmente y demostrado que depende del medio
dieléctrico (no conductor) que exista entre las cargas. En el vacío y en el sistema internacional su valor es : K = 9.10 9
Nw.m2/Cul2.
Sin embargo generalmente en lugar de la constante "K" se utiliza en su lugar la expresión:
En donde "" expresa la constante dieléctrica del
1
1 qQ
K=
siendo  =  r  0 quedando F =
medio, "0" es la constante dieléctrica del vacío y "r"
2
4 
4 r
representa la relativa del medio entre las cargas respecto
a la del vacío.
La Ley de Coulomb es válida también para cargas no puntuales siempre que la distancia de separación entre ellas sea muy
grande en comparación con sus dimensiones.
CAMPO. INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO
Toda región de espacio que rodea a una carga eléctrica, dentro de la cual se sientan las interacciones o fuerzas eléctricas
creadas por ella se denomina Campo Eléctrico ; teóricamente dicho Campo alcanza hasta el infinito.
El valor de esa interacción en cada punto dentro del Campo, se denomina
Intensidad de Campo que expresa la fuerza ejercida por unidad de carga en
dicho punto, es decir :

 F
E=
q
(
Nw
)
Cul
Intensidad de Campo E, que para cargas puntuales "Q", a una distancia "r" de
dicha carga viene expresado según se indica en la gráfica :
En modulo
E =K
Q
r
2
Esta expresión es también válida para cargas esféricas siempre que sea para distancias igual o mayor que el radio (r => R) de la
esfera cargada.
La dirección y sentido del Campo en cada punto del mismo se expresa por las Líneas de Campo. Cada línea de fuerza tiene
su origen en una carga positiva (las cargas positivas se consideran como manantiales del que surgen las líneas) y termina
dirigiéndose hacia una carga negativa (las cargas negativas se consideran como sumideros de campo).
Las interacciones de campo eléctrico entre cargas puntuales eléctricas del mismo y distinto signo se indican en la figura adjunta.
Un Campo E se dice que es Uniforme, cuando el vector campo E es
constante en todo él.
Toda carga eléctrica en reposo o movimiento dentro de un campo
uniforme está sometido a una fuerza constante (y por supuesto
adquiere una aceleración constante) cuya dirección es la del campo
y de sentido el mismo del campo si la carga es positiva, y opuesto si
la carga es negativa:
 
F=Eq
Principio de Superposición.
Si se consideran varias cargas situadas en distintos lugares del espacio, cada una origina su
propio campo interaccionando entre ellos y creando en cada punto un único Campo que es la suma

vectorial de cada campo particular, es decir:

E =  Ei
POTENCIAL. ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA
Una carga eléctrica "q" dentro de un Campo creado por otra carga "Q", sufre una fuerza y el traslado de un punto a otro implica
trabajo, que al ser la fuerza conservativa no depende del camino sino de sus posiciones inicial y final. Como consecuencia de
ello, en cada punto del espacio del campo eléctrico creado por la carga Q se origina un Potencial eléctrico
Se define Potencial Eléctrico en un punto A dentro de un Campo al trabajo por unidad de carga positiva "q" para trasladar dicha
carga desde un punto desde el punto A hasta el exterior del Campo (energía o potencial nulo); es decir :
T A 
VA =
q
( Jul / Cul = voltios )
y por lo tan to
VA  

rA
 
F.d r
q
Pero para cargas puntuales o a distancias muy lejanas de la misma o cargas esféricas ( siempre que sea en el exterior de la
misma, r >= R ) el potencial será ( si la carga Q es positiva las lineas de Campo son generadores que salen de la carga y el dr
es un vector en la misma dirección y sentido que dicha línea)

VA   K.
rA

Q
1 
Q
 1
.dr  K.Q    K.Q. 0  ( )  K.
2
rA 
r
r
 r

Por lo tanto el Potencial creado por una carga "Q" puntual a distancia "r" de la misma es : . Si la carga Q es positiva el Potencial
es positivo y si es negativa el Potencial es negativo
Q
VA  K
r
Y la Energía Potencial Eléctrica que posee toda carga "q" en un punto dentro del Campo creado por la carga principal es
Epot  V.q  K.
Q.q
r
En cuanto a la Diferencia de Potencial entre dos puntos A y B dentro de un campo será:
La relación entre el Potencial y el Campo es;

B
B

F
Pero como VA  VB    A E.d r resulta
q
A

B
A
 1 1
VA  VB  K.Q.  
 rA rB 
dV  VB  VA
 
dV  E.d r
Si un Campo E es uniforme (ejemplo el creado entre las dos placas paralelas de un condensador) entonces la Diferencia de
Potencial entre dos puntos separados una distancia "r" es :
V1 – V2 = E. r
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Es el lugar geométrico de puntos del Campo que tienen el mismo Potencial eléctrico. En dicha superficie equipotencial, el trabajo
realizado en sus desplazamientos es nulo VA - VB = 0.
Al ser
dV   E dr
Y como
dV  0

 
E . dr  0
Las líneas de Campo son perpendiculares a las superficies
equipotenciales y en sentido del mayor a menor Potencial.
Las superficies equipotenciales para cargas puntuales (o cargas esféricas) son esferas concéntricas con la carga (centro de la
esfera).
APENDICE
FLUJO ELÉCTRICO
Se llama Flujo elemental eléctrico “ d “ de un campo a través de una superficie elemental dS , al producto escalar de la
Intensidad de Campo E (uniforme y constante en toda la superficie elemental) por dicha superficie dS (vector normal a la
 
superficie), es decir :
d  E . dS


   E . dS
Y el flujo total que atraviesa la superficie es :
s
El flujo total representa el número de líneas de Campo que atraviesa la superficie.
Si el Campo que atraviesa la superficie es uniforme E=cte entonces es
flujo ocurre cuando el Campo es perpendicular a la superficie (  =90 )
=E.S.Cos()
Y el máximo
Teorema de gauss
El Flujo de Campo Eléctrico que atraviesa una superficie cerrada cualquiera, que contiene un
conjunto de cargas es igual a la suma de todas las cargas contenidas dividido por la constante de
permitividad dieléctrica del medio :
r
Q

E
Q
i

dS
Para demostrarlo supongamos una esfera de radio “r” que encierra toda larga contenida en la
superficie S. El Flujo que atraviesa a la esfera es el mismo de la superficie S pero el campo es
uniforme y constante en toda la esfera, por lo que:
 
   E.dS   E.dS  E. dS  E.S  E.4. .r 2
s
s
s
Que para cargas puntuales se puede considerar:
  E.4. .r 2  4. .r 2 .
Q
. i
4. . r 2
1

 
   E.dS 
Q

Aplicaciones al Teorema de Gauss
A) ESFERA MACIZA DE CARGA DISTRIBUIDA UNIFORMEMENTE EN VOLUMEN
R
Q
r
Vamos a determinar el Campo electrico de la esfera de radio “R”, tanto
dentro de la esfera como en el exterior de la misma. Para ello escogemos
esferas de radio “r” de modo que el campo sobre las superficies de éstas
será uniforme y constante.
E
r
E
R
E
S
R
r<R
r
r>R

Q
V
Y suponemos densidad “” uniforme en todo el volumen de esfera :
4
 Q   . . .R 3
3
y para esfera int erior es
Para r < R tenemos:

 
  E.dS  E. dS  E.S  E.4. .r 2
q´

s
 4
. . .r 3
 3
1
Q
E
. 3 .r
4. . R
E.4. .r 2 

s
Resultando que el Campo en el interior de la esfera cargada es :
El Campo en el interior de la esfera cargada disminuye linealmente con la distancia
Para r => R tenemos :

Q

 
  E.dS  E. dS  E.4. .r 2
s
s

E
1
Q
4. . r 2
.
El Campo en el exterior de la esfera se comporta igual que una carga puntual en el centro
4
q´  . . .r 3
3
B) ESEFERA HUECA CON CARGA DISTRUIBIDA UNIFORMEMENTE SOBRE SU SUPERFICIE
Al igual que en el caso anterior elegimos una esfera concéntrica, de modo que el campo en la superficie de la misma sea uniforme
y de valor constante.
Para r >= R se tiene igual que si la carga estuviera concentrada en su
centro, es decir :

Q

 
  E.dS  E. dS  E.4. .r 2
s

E
s
1 Q
.
4. . r 2
Para r < R , es decir el campo en el interior de la esfera hueca es nulo, pues
al aplicar Gauss, la carga total almacena en su interior es cero
C) PLANO INFINITO CON CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE SU SUPERFICIE
Elegimos como superficie gaussiana un cilindro perpendicular al plano con bases a ± r . El flujo por las
caras laterales es nulo, al ser el campo y la superficie perpendiculares.
Considerando la densidad de carga por unidad de superficie σ = Q/S :
 
 
 
   E.dS   E.dS   E.dS  2.E.S 
s
s2
s1
Q
0

E
Q
2. 0 .S


2. 0
El Campo no depende de la distancia al plano, por lo que su valor es constante y en consecuencia es
un campo UNIFORME y perpendicular al plano
D) HILO INFINITO CON CARGA DISTRIBUIDA UNIFORMEMENTE EN SU LONGITUD
Elegimos como superficie gaussiana un cilindro de eje el hilo y radio “r” . En las bases circulares el flujo es nulo al ser el campo y
la superficie ortogonales y en la superficie lateral los vectores campo y superficie son perpendiculares.
La carga que tiene el hilo por unidad de longitud es : λ = Q/L
 
   E.dS 
s
Q
0

E.S 
Q
0
 E.2. .r.L 
Q
0

E

2. . 0 .r
CAMPO GRAVITATORIO
LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACION
Dos masa puntuales "M" y "m" separadas una distancia "r" están sometidas a una interacción o fuerza atractiva "F" que
depende directamente del producto de sus masas e inversamente del cuadrado de su distancia, es decir :

Mm 
F=-G 3 r
r
en modulo es
F=G
Mm
r
2
(el signo negativo no indica más que la fuerza es atractiva)
Expresión que también es válida para masas no puntuales pero en donde sus dimensiones son pequeñas en comparación con la
distancia de separación, tal como ocurre para el sistema planetario.
La constante "G" de proporcionalidad es una constante universal, es decir que no depende del lugar ni de las condiciones y por lo
tanto su valor siempre es el mismo :
G = 6,67.10-11 Nw.m2/Kg2
CAMPO. - INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO : Gravedad
Toda masa crea a su alrededor una región de espacio en el que se sienten las interacciones gravitatorias: el Campo Gravitatorio;
el valor de esa interacción o fuerza por unidad de magnitud masa, en cada punto del Campo tiene una intensidad llamada
Gravedad "g" cuya dirección y sentido es el determinado por la fuerza; es decir:

 F
Nw
g
(unidades
)
m
Kg
Si se trata de la gravedad en la superficie de un planeta o distancias mayores que su radio R, o a distancias muy lejanas en
comparación con sus dimensiones , el valor de la “gravedad” será:
g=G
M
r
“M” es la masa del planeta y “r” la distancia desde el centro ( r >= R) o bien r = R +h
2
Así, la gravedad en la superficie del planeta Tierra con su masa Mt =5,98.1024 Kg y radio R medio ( 6370 Km) tenemos:
g0  6,67.10 11.
5,98.10 24
 9,8 N / Kg
6370.10 3
De esta manera, la fuerza a que estará sometida una masa “m” dentro del campo creada por la principal “M” vendrá dada por:


F ( peso)  m.g
POTENCIAL. - ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA
Se define potencial gravitatorio en un punto A dentro de un Campo al trabajo por unidad de masa para trasladar dicha masa
unitaria desde un punto donde el potencial sea nulo (fuera de los límites del campo) hasta el punto A; es decir:
VA 
 
 F.d r
 F.dr .Cos(180)
TA 
F.dr


 
A m
A
m
m
m
(unidades medidas en Julios/Kg )
Así resulta que el valor del potencial para una masa puntual "M" o masa no puntual pero a distancia muy lejana en comparación
con sus dimensiones o para masas esféricas a distancia


M
1
M igual o superior a su radio es :
 1
 G.M. 0 
  G.
V A =  G. dr  G.M. 

rA
r2
 r





rA 
r
De la misma manera, resulta la diferencia de Potencial Gravitatoria como el trabajo por unidad de masa para trasladarla desde un
punto A a otro B dentro del Campo Gravitatorio
 1  1 
VA  VB  G.M 
    
 rA  rB  
Por lo tanto son líneas o superficies equipotenciales, aquellas en el que el potencial es el mismo
en todos sus puntos; y el trabajo necesario para ir de un punto a otro de una superficie
equipotencial es nulo.
Así , las superficies equipotenciales de la Tierra son esferas
concéntricas con la misma a distintas alturas.
Y las líneas de Campo son siempre
perpendiculares a las superficies o líneas equipotenciales y sentido del mayor a menor
potencial
Y por lo tanto, la Energía Potencial Gravitatoria que posee una masa “m” en un punto dentro del
campo creado por la masa principal M será también negativa:
E pot  V.m  G.
M.m
r
Estudio especial:
En el caso del trabajo para trasladar una masa "m" desde un punto a otro de altura "h" (variación de energía potencial) dentro del
campo gravitatorio terrestre es :
 Epot =  G
Mm
Mm
(G
)
r h
r

 Epot = GMm
h
o bien
r(r + h)
mgr
h
(r + h)
Expresión en función de la distancia al centro terrestre "r" (r > R) y de su gravedad "g" en ese punto. Pero para alturas
pequeñas, se puede considerar la gravedad "g" constante y despreciar "h" frente a la distancia r, quedando la fórmula :
 Epot = mg h
Se observa que la energía potencial gravitatoria es negativa y que cuánto mayor sea la altura sobre la superficie del planeta
menos negativa es (mayor energía potencial tiene); por lo tanto si hipotéticamente se considera un punto como energía potencial
nula, todo punto a altura superior tendrá energía potencial positiva y a todo punto de altura menor deberá asignársele energía
potencial negativa.
MOVIMIENTOS EN CAMPO GRAVITATORIO
Leyes de Kepler:
1ª Ley. Las trayectorias de los planetas son elipses con el Sol en uno de sus focos.
2ª Ley. Los planetas al girar al rededor del Sol "barren" áreas iguales en tiempos iguales.
3ª Ley. Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los
semiejes mayores, es decir T 2 = k a3
.
(Si el semieje mayor “a” viene expresado en unidades astronómicas U.A. entonces k=1 y el periodo estará expresado en años), es
decir :
3
2
T
a
Así para dos astros , satélites del mismo astro principal, la relación entre sus períodos y sus distancias al astro principal será:
T12 T22

a13 a 32
Las leyes de Kepler son demostrables por la dinámica de Newton, junto con la gravitación universal.
TRAYECTORIAS
En cuanto a las trayectorias de un astro sujeto a otro principal (planetas respecto del sol , satélites naturales y artificiales ….)
pueden ser circulares o elípticas. En el caso de trayectorias elípticas, la velocidad en su trayectoria varía constantemente de un
valor máximo ( en su apoastro) a un valor mínimo (en su periastro)
La distancia máxima “Da” al Astro se llama Apoastro ( si el astro principal es el Sol
: Afelio ; si es la Tierra : Apogeo) y la distancia mínima “Dp” al Astro se denomina
Periastro ( Perihelio para el Sol y Perigeo para la Tierra)
Que la velocidad en el Periastro es mayor que en Afoastro se demuestra por el
principio de conservación del Momento Angular:
Vp 
Da
.Va
Dp
Dp . m .Vp = Da . m. Va

Vp > Va
ENERGIA
La energía potencial gravitatoria de un cuerpo sujeto a otro Principal es negativa, pero su energía cinética es siempre positiva lo
que implica que la energía total respecto al cuerpo Principal puede ser positiva, negativa o nula.
E Tot = E Cin + E Pot =
1
Mm
. mv 2  G
2
r
Si la energía es NEGATIVA, el cuerpo es un satélite (está ligado) del Principal y tendrá una órbita cerrada elíptica o circular
respecto a él. En efecto al ser el sistema ligado, la fuerza gravitatoria queda equilibrada por la de inercia o centrífuga :
2
M.m
V
= F grav = G. 2
r
r
1
G.M
m
G.M.m
m
 G.M.
= 
E tot =
2
r
r
2.r
F cent = m.
2
V = G.
al ser
M
r
es
es decir, la energía del cuerpo es negativa, por supuesto, y depende inversamente proporcional de su distancia al cuerpo ligado ,
y que para órbitas circulares de radio “r” toma la expresión:
E total  
G.M.m
2. r
VELOCIDAD DE ESCAPE
Y para que el cuerpo ligado abandone el Principal se requiere una energía cinética adicional que corresponde a una velocidad
llamada de ESCAPE:
1
Mm
GM
m V esc 2  G

Vesc =
2
Etot  0 es decir
2
r
r
Si la Energía es CERO, el cuerpo escapa a la atracción del astro principal con trayectoria parabólica.
Si la Energía es POSITIVA, también escapa a la atracción del astro con trayectoria hiperbólica o parabólica.
Así, la velocidad de escape sobre la superficie terrestre es:
Vesc  2.
GM
R
 2.g0 .R 
11,18 Km / s
SATELITES ARTIFICIALES
Para poner un SAT en órbita, se requiere una energía de lanzamiento para llevar el cuerpo hasta la altura deseada y
posteriormente comunicarle otra energía para el mantenimiento en la órbita.
La energía para situarle a cierta altura "h" sobre la superficie terrestre, corresponde a una velocidad inicial de lanzamiento
(velocidad que en un sólo impulso es actualmente imposible por diversas causas, por lo que la energía necesaria se realiza en
varias etapas); ésta velocidad inicial, excluyendo rozamientos sobre la atmósfera, es :
1
m
m
m V lanz 2  GM
=  GM
2
R
(R + h)
o
siendo

V lanz =
 V lan =
g o R 2 = GM
2GM
2 go R
h
R(R + h)
h
(R + h)
Una vez alcanzada la altura deseada "h", se necesita comunicarle una velocidad orbital para mantenerle en ella; como la
fuerza gravitatoria es las causante de la curvatura de la trayectoria, deberá ser equilibrada con la fuerza de inercia centrífuga para
su mantenimiento orbital :
2
m
m
V orb
= GM
2
R+h
(R + h)
El PerÍodo
 V orb = G
del SAT es
T=
M
(R + h)
2

= 2
2
o bien
(R + h)
V orb
V orb =
= 2
R
R+h
go
3
(R + h)
g o R2
La velocidad Vorb a la altura de puesta en órbita corresponde la velocidad
para una órbita circular; una velocidad mayor a ella sin llegar a la de escape
produce una trayectoria elíptica con perigeo en dicha altura, y una velocidad
menor dará una órbita elíptica con apogeo en dicha altura, siempre que su
perigeo no esté excesivamente penetrado en la atmósfera cuyo rozamiento
provocaría la caída del Sat.
EJERCICIOS CAMPOS ELECTRICOS
1. Sean tres cargas puntuales fijas colocadas sucesivamente en los vértices de un cuadrado de lado L=40 cm y de valores q 1=+4
q2=-8 y q3=-2 microCul. Calcular:
a) Intensidad de campo y potencial eléctrico en el otro vértice libre.
b) Si en dicho vértice colocamos una carga de +2 microCul cual será la fuerza a que está sometida ?¿Cuál será se energía
potencial eléctrica ?.
2. Una pequeña esferita de carga Q=+8 microCul y masa M=0,2 gr está suspendida de un hilo no
conductor formando un ángulo de 30º con la vertical al ser sometida a un campo eléctrico constante E.
Si dicha esferita se mantiene en equilibrio en dicha posición determinar el valor del campo E.
3. Sean dos cargas colocadas en dos vértices de un triángulo equilátero de lado 1 m de valores Q 1=-10
microCul Q2=+20 microCul. Calcular el Campo y el Potencial eléctrico en el vértice libre.
4. Sean dos cargas puntuales de -8 microCul y de +4 microCul separadas una distancia de 1 m. Calcular en qué punto de la recta
que une ambas cargas es:
a) El Campo nulo. b) El potencial nulo
5. Una carga q1= 10-9 Cul. está situada en el origen de coordenadas y otra q2=-3q1 está en el punto x=1 metro. Hacer un
esquema y:
a) Dar una expresión para el potencial eléctrico V en un punto x, comprendido entre las dos cargas y dibujar una gráfica de V
como función de x.
b) Dentro de ese mismo intervalo de valores 1>x>0, hallar el punto en que el potencial es nulo.
6. Dos esferas de igual radio R= 1 cm. y masa m= 4.10 -5 Kg. están suspendidas mediante hilos de longitud L= 10 cm , de manera
que están en contacto. Se cargan las esferas y los hilos se separan un cierto ángulo siendo la tensión de los hilos de 5.10 -4 Nw.
Hallar :
a) El ángulo de separación
b) La carga de las esferas
c) Potencial eléctrico de cada esfera.
7. Entre las placas metálicas paralelas de 10 cm. de longitud y separadas 2 cm., se establece una diferencia de potencial de 300
volt. Un electrón (carga/masa= 1,76.104 Cul/Kg) penetra por el centro del espacio entre las placas, paralelamente a ellas. Hallar :
a) Campo eléctrico entre las placas
b) Aceleración del electrón
c) Velocidad inicial de entrada del electrón si sale por el borde de una de las placas. Realizar un esquema o dibujo.
8. En una región del espacio existe un Campo eléctrico uniforme E, que tiene unas líneas
equipotenciales, tal como se indica en la figura (cada línea está separada una distancia de d=
10 cm.).
a) Expresar en el dibujo el vector Campo E
b) Hallar el valor de este Campo
c) Si en el punto P (del dibujo) colocamos una carga de q=-2 Cul en reposo, determinar la
fuerza a la que queda sometida y trayectoria que sigue.
9. En una región del espacio XY (0<=x<=1
0<=y<=1 metros) existe un campo eléctrico.
Sabemos que el Potencial eléctrico solamente varía con la coordenada Y tal como se indica en la figura. Una partícula eléctrica
de módulo q=1,6.10-19 Cul se deja inicialmente en reposo en el punto de coordenadas (0.5,0) y bajo
la acción del Campo comienza a desplazarse hasta la posición (0.5,1).
a) Calcula el Campo eléctrico en esa región.
b) La partícula es un protón o un electrón ?
c) Que velocidad y aceleración tendrá la partícula en el punto final (0.5, 1) ?.
10. Dos cargas q1=4 Cul y q2 están situadas en los puntos A(4,0) , B(6,0) respectivamente (unidades del S.I). Sabiendo que el
Campo en el origen de coordenadas en nulo, calcular el Valor y signo de la carga q2.
EJERCICIOS CAMPO GRAVITATORIO
1. En un rectángulo de lado a=20 cm y alto b=10cm hay colocadas tres masas puntuales de valores
M1=100gr M2=200gr M3=50gr, tal como se indica en la figura. Calcular en el cuarto vértice libre del
rectángulo el Campo gravitatorio o gravedad y el potencial gravitatorio.
Si en dicho vértice colocamos una masa de 100 gr. cuál sería su energía potencial gravitatoria?
2. Calcular el valor de la gravedad a una altura de 300 Km. sobre la superficie terrestre siendo el radio de la Tierra R=6370 Km. y
la gravedad en su superficie es g0=9,81 Nw/Kg. ¿Cuál deberá ser a esa altura la velocidad con que giraría un satélite artificial ?.
3. La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna. Calcular a que distancia de la Tierra se debe colocar una masa para q ue
sea igualmente atraída por ambas ?. La distancia entre los centros de ambos astros es 60 radios terrestres, y el radio de la Tierra
es R=6370 Km.
4. Un satélite está a 400 Km de altura sobre la superficie terrestre cuyo radio es R=6370 Km. Calcular su velocidad lineal de giro y
su período. Calcular la Energía total del satélite si éste tiene una masa de 500 Kg.
5. Calcula la velocidad con que se debe lanzar un cuerpo sobre la superficie terrestre para convertirlo en satélite a una altura de
400 Km. siendo el radio terrestre R=6370 Km. y la gravedad en su superficie de g 0=9,81 Nw/Kg.
6. Calcula la velocidad de escape de un cuerpo lanzado desde:
a) la superficie de la Tierra
b) una altura de 300 Km de la superficie terrestre
DATOS: RT=6370 Km g0=9,81 Nw/Kg
7. La Tierra tiene un masa 81 veces mayor que la de la Luna y su radio es 4 veces mayor que el de su satélite. Sabiendo que l a
gravedad en la superficie terrestre es 9,81 Nw/Kg ¿ Cuál es la gravedad en la superficie de la Luna ?. ¿ Cuánto pesará en la Luna
una persona que en la Tierra pesa 70 Kgs. ?.
8. Calcular a que altura sobre el Ecuador terrestre debería colocarse un satélite artificial de la Tierra para que pudiera convertirse
en un satélite geoestacionario en órbita circular.
9. Demostrar que la aceleración relativa (resta de aceleraciones) que provoca la Luna respecto al centro de la Tierra y su
superficie ecuatorial (marea) es aproximadamente a= 2GMlR/(D3). Calcular su valor siendo G=6,67.10 -11 (unidades del S.I.), la
masa de la Luna Ml=6,7.1022 Kgs., el radio terrestre R=6370 Km. y la distancia Tierra-Luna D=384.400 Km.
10. La gravedad en la Luna es aproximadamente la sexta parte de la terrestre; sabiendo que el radio lunar es R=1740 Km.
calcular la velocidad de escape en la superficie lunar.
11. Un astronauta encima de una balanza que se encuentra en el ecuador de un determinado planeta perfectamente esférico, ve
que la lectura de la misma es nula. Determinar la densidad del planeta, si un día completo en el mismo es de 15 horas. Datos:
G=6,67.10-11 Nw.m2/Kg2.
12 Un satélite artificial está en órbita circular a la Tierra a una altura de 600 Km. Se desea colocarlo en otra órbita con período de
2 horas. Hallar: a) Altura de la nueva órbita b) Energía necesaria para realizar la transferencia de una órbita a otra.
13. La densidad media de Júpiter es d= 1,33 .10 3 Kg/cm3 y su radio R= 71500 Km.
a) ¿ Cuál es la aceleración debida a la gravedad en su superficie ¿
b) Cual será la velocidad de escape en ese planeta.
14. Cuanto vale la masa de la Tierra si su radio es 6370 Km. Y un dinamómetro colocado en su superficie indica que el peso de
una masa de 80 Kg es de 800 Nw.
Selectividad
CASTILLA y LEON
CAMPO GRAVITATORIO
Junio 2008
Se desea poner en órbita circular un satélite meteorológico de 1000 kg de masa a una altura de 300 km sobre la superficie
terrestre. Deduzca y calcule:
a) La velocidad, el periodo y aceleración que debe tener en la órbita
b) El trabajo necesario para poner en órbita el satélite
Septiembre 2008
1. Un cierto satélite en órbita circular alrededor de la Tierra es atraído por ésta con una fuerza de 1000 N y la energía potenc ial
gravitatoria Tierra-satélite es - 3.1010 J, siendo nula en el infinito. Calcule:
a) La altura del satélite sobre la superficie terrestre
b) La masa del satélite
2. a) Escriba la expresión de la energía potencial gravitatoria terrestre de un objeto situado cerca de la superficie de la Tierra.
¿En qué lugar es nula?
b) Considere ahora el caso de un satélite en órbita alrededor de la Tierra. Escriba la expresión de su energía potencial
gravitatoria terrestre e indique el lugar donde se anula
Junio-07
1. Un planeta sigue una órbita elíptica alrededor de una estrella. Cuando pasa por el periastro P, punto de su trayectoria más
próximo a la estrella, y por el apoastro A, punto más alejado, explique y justifique las siguientes afirmaciones:
a) Su momento angular es igual en ambos puntos (0,5 puntos) y su celeridad es diferente (0,5 puntos).
b) Su energía mecánica es igual en ambos puntos (1 punto).
2. Dos satélites de igual masa orbitan en torno a un planeta de masa mucho mayor siguiendo órbitas circulares coplanarias de
radios R y 3R y recorriendo ambos las órbitas en sentidos contrarios. Deduzca y calcule:
a) la relación entre sus periodos (1,5 puntos).
b) la relación entre sus momentos angulares (módulo, dirección y sentido) (1,5 puntos).
Jun-05
La sonda espacial europea Mars Express orbita en la actualidad en torno a Marte recorriendo una órbita completa cada 7,5
horas, siendo su masa aproximadamente de 120 Kg.
a) Suponiendo una órbita circular, calcule su radio, la velocidad con que recorre la sonda y su energía en la órbita
b) En realidad, esta sonda describe una órbita elíptica de forma que puede aproximarse lo suficiente como para fotografiar su
superficie. La distancia a la superficie marciana en el punto más próximo es de 258 Km y de 11560 Km en el punto más
alejado. Obtenga la relación entre las velocidades de la sonda en estos puntos.
Datos: RadioMarte = 3390 Km ; MasaMarte = 6,421.10 23 Kg
Jun-04
La estación espacial internacional (ISS) describe alrededor de la Tierra una órbita prácticamente circular a una altura de h=390
Km sobre la superficie terrestre, siendo su masa m=415 Toneladas.
a) Calcule su período de rotación en minutos así como la velocidad con que se desplaza
b) ¿ Qué energía se necesitaría para llevarla desde su órbita actual a otra a una altura doble ?. ¿ Cuál sería el período de
rotación en esta nueva órbita ?.
Datos: G= 6,67.10-11 N.m2/Kg2 ; Mt=5,98.1024 Kg ; Rt=6,37.106 m ; g(en la superfcie terrestre = 9,8 m/s2
Sep-04
Se eleva un objeto de masa m=20 Kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura h= 100 Km
a) ¿ Cuánto pesa el objeto a esa altura ?
b) ¿ Cuánto ha incrementado su energía potencial ?
Datos: G= 6,67.10-11 N.m2/Kg2 ; Mt=5,98.1024 Kg ; Rt=6,37.106 m ; g(en la superfcie terrestre = 9,8 m/s2
Sep-03
1. ¿ Qué se entiende por satélite geoestacionario ? . ¿ Sería posible colocar un satélite de este tipo en una órbita fuera del
plano del ecuador terrestre ?. Razonar las respuestas
2. Se lanza un satélite de comunicaciones de masa 500 Kg que describe una órbita circular en torno a la Tierra de radio r=2Rt ,
siendo Rt el radio terrestre
a) Calcule la velocidad de traslación y el período de revolución del satélite
b) Si el lanzamiento se realiza desde un punto del ecuador terrestre y hacia el este, calcule la energía total que se tiene que
suministrar al satélite para que alcance dicha órbita
Datos: G= 6,67.10-11 N.m2/Kg2 ; Mt=5,98.1024 Kg ; Rt=6,37.106 m ; g(en la superfcie terrestre = 9,8 m/s2
Jun-03
Si la Tierra redujese su radio a la mitad conservando su masa
a) ¿ Cuál sería la intensidad de la gravedad en su superficie ?
b) ¿ Cuánto valdría la velocidad de escape de su superficie ?
Sep-02
a) Si la luz solar tarda un promedio de 8,33 minutos en llegar a la Tierra, 12,7 minutos a Marte y 6,1 minutos en alcanzar
Venus, calcular el período de rotación, en torno al Sol, de Marte y de Venus
b) Si la masa de Marte es aproximadamente la décima parte de la de la Tierra y su período de rotación en torno a su eje es
aproximadamente igual al de la Tierra, calcular el radio de la órbita de un satélite geoestacionario orbitando sobre el ecuador de
Marte
Jun-02
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una órbita circular
de radio Rº =1.108 Km con un período de rotación T1=2 años, mientras que el planeta 2 describe una órbita elíptica con distancias
más proxima de R1 =1.108 Km y más alejada de R2 =1,8.108 Km.
a) Obtener el período de rotación del planeta 2 y la masa de la estrella principal
b) Calcular el cociente entre la velocidad lineal del planeta 2 en los puntos más próximo y más alejado
Sep-01
Si la masa de un cierto planeta es 1/30 de la masa terrestre y su radio es ½ del radio terrestre, se pide:
a) Valor de la gravedad en dicho planeta
b) Velocidad mínima con que se tiene que lanzar verticalmente un cuerpo desde la superficie del planeta para que dicho
cuerpo escape de la fuerza de atracción ejercida sobre aquél
CAMPOS ELECTRICOS
Junio 2008
Un cubo de lado 0,3 m está colocado con un vértice en el origen de coordenadas, como se muestra la
figura. Se encuentra en el seno de un campo eléctrico no uniforme, que viene dado por
.


E  (5x. i  3z.k) N/ C
a) Halle el flujo eléctrico a través de las seis caras del cubo.
b) Determine la carga eléctrica total en el interior del cubo
Nota: εO = 8,85 .10-12 C2/N .m2
Septiembre 2008
1. Se tienen tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas, expresadas en cm. son:
A(0, 2) ; B( 3, 1) ; C( 3, 1) Se sabe que las cargas situadas en los puntos B y C son iguales y de valor 2 μC
y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es nulo.
a) Dibuje el diagrama correspondiente y determine el valor de la carga situada sobre el vértice A
b) Calcule el potencial en el origen de coordenadas
2. Dibuje el vector campo eléctrico en los puntos A y B de la figura y determine el valor de su módulo en
función de q y d, sabiendo que los dos puntos y las cargas están contenidos en el mismo plano
Junio-07
1. Dos cargas, q1 = 2 . 10-6 Cul y q2= - 4 . 10-6 Cul están fijas en los puntos P1 (O, 2) y P2 (1, O) respectivamente.
a) Dibuje el campo electrostático producido por cada una de las cargas en el punto P (1, 2) y calcule el campo total en ese
punto
b) Calcule el trabajo necesario para desplazar una carga q = - 3. 10-6 C desde el punto O (0, 0) hasta el punto P y explique el
significado del signo de dicho trabajo
Nota: Las coordenadas están expresadas en metros
2. Defina la magnitud flujo del vector campo eléctrico. Enuncie el teorema de Gauss. Considere
las dos situaciones de la figura. ¿El flujo que atraviesa la esfera es el mismo en ambas
situaciones?. ¿El campo eléctrico en el mismo punto P es igual en ambas situaciones ?. Razone
en todo caso su respuesta
Jun-06
Tres pequeñas esferas conductoras A, B y C todas ellas de igual radio y con cargas Q A = 1 μC QB = 4 μC y QC = 7 μC se
disponen horizontalmente. Las bolitas A y B están fijas a una distancia de 60 cm entre sí, mientras que la C puede desplazarse
libremente a lo largo de la línea que une A y B.
a) Calcule la posición de equilibrio de la bolita C
b) Si con unas pinzas aislantes se coge la esfera C y se la pone en contacto con la A dejándola posteriormente libre ¿ Cuál
será ahora la posición de equilibrio de dicha esfera C?
Sep -05
Las componentes del campo eléctrico que existe en la zona del espacio de la figura son:
Ex = 0
Calcule :
a)
Ey = by
Ez = 0
en donde “y” viene esperado en metros.
El flujo del campo eléctrico que atraviesa el cilindro de longitud “a” y radio de la
base “r”
b) La carga en el interior del cilindro
Datos:
B = 1 N.C-1m-1
a= 1 m.
r = 0,5 m
Jun-05
Enuncie el Teorema de Gauss para el campo electrico. Aplicando dicho teorema obtenga el flujo de campo eléctrico sobre la
superficie de un cubo de lado “a” en los siguientes casos:
a) Una carga “q” se coloca en el centro del cubo
b) La misma carga “q” se coloca en un punto diferente del centro pero dentro del cubo
c) La misma carga “q” se coloca en un punto fuera del cubo
Sep-04
En los extremos de dos hilos de peso despreciable y longitud l = 1 m están sujetas dos pequeñas esferas de masa m = 10 gr
y carga q . Los hilos forman un ángulo de 30º con la vertical.
a) Dibuje el diagrama de fuerzas que actúan sobre las esferas y determine el valor de la carga q.
b) Si se duplica el valor de las cargas, pasando a valor 2.q ¿Qué valor deben tener las masas para que no se modifique
el ángulo de equilibrio de 30º ?
Sep-03
Tres pequeñas esferas metálicas provistas de un orificio central se engarzan en un hilo de fibra
aislante. Las dos esferas de los extremos se fijan a la fibra separadas una distancia d = 50 cm
mientras que la intermedia puede desplazarse libremente entre ambas a lo largo del hilo. La masa de
dichas esferas es m = 30 gr y se cargan con la misma carga q = 1 μC.
a) Calcule la posición de equilibrio de la esfera intermedia en el caso en que la fibra se
coloque horizontalmente.
b) Si colocamos ahora el hilo de manera que forme un cierto ángulo α > 0 con la horizontal se
observa que la esfera intermedia se coloca a una distancia d/3 de la inferior tal como indica la figura. Calcule el valor del ángulo
α.
Jun-03
Se tienen tres cargas situadas cada una de ellas en tres de los vértices de un cuadrado de 8 m de lado,
tal como indica la figura.
Calcule:
a) La fuerza resultante (módulo, dirección y sentido) que se ejerce sobre la carga situada en el
vértice A
b) El trabajo necesario para trasladar la carga situada en el vértice A hasta el punto B. Interprete el
signo del resultado obtenido.
Sep-01
Una carga puntual de valor nq se coloca en el origen de coordenadas, mientras que otra carga de valor -q se coloca sobre el
eje x a una distancia d del origen.
a) Calcular las coordenadas del punto donde el campo eléctrico es nulo si n=4. ¿ Cuánto valdrá el potencial electrostático
en ese punto?.
b) Calcular las coordenadas del punto donde el campo eléctrico es nulo si n=1/4 .¿ Cuánto valdrá el potencial eléctrico en
ese punto?