Gravedad y electrónica

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TEMA 1. INTERACCIONES GRAVITATORIA Y ELÉCTRICA.
0.−INTRODUCCIÓN. CONCEPCIONES DEL UNIVERSO: DESDE LA ANTIGUEDAD HASTA
KEPLER.
La posición de la Tierra en el Universo no se dilucidó hasta finales de del siglo XVIII. Hasta entonces el
modelo en boga era el geocéntrico del sistema solar, con una Tierra inmóvil. Todo ello apoyado por la
filosofía aristotélica, las Sagradas Escrituras, los escritos de los padres de la Iglesia y el modelo matemático
de Ptolomeo.
A mediados del s. XVI, Nicolás Copérnico propone un modelo heliocéntrico, que se impone tras que Kepler
publique su tres leyes del movimiento de los astros en el Sistema Solar(princios del XVII). Copérnico fue
perseguido por la iglesia católica, luteranos y calvinistas. Atacados también lo fueron Giordano Bruno y
Galileo.
Newton fue el primero en descubrir que la F que produce la caida de los cuerpos hacia la Tierra es la misma
que produce el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, y el movimiento de los planetas alrededor del
Sol: ley de Newton de la Gravitación Universal.
Hasta ahora hemos estudiado las fuerzas de interacción entre dos cuerpos. A estas fuerzas se les daba el
nombre de fuerzas de contacto. Para los cuerpos que no están en contacto, como son los astros, o un imán y un
clavo, tenemos las llamadas fuerzas a distancia. Estas interacciones se explican mediante el concepto de
campo. Muy importantes son los campos de fuerzas, y en especial los campos eléctrico y gravitatorio.
RESUMEN CRONOLÓGICO DE AUTORES:
−Geocéntrico: Aristóteles, Ptolomeo.
−Heliocéntrico: Copérnico, Kepler, Bruno, Galileo. Newton.
1.−CONCEPTO GENERAL DE CAMPO.
La presencia de una carga eléctrica o de una masa altera el espacio que las rodea.
La región del espacio en donde se manifiesta la acción de una carga o de una masa, produciendo una fuerza,
se llama Campo. Pueden ser eléctrico o
gravitorio según actúe la carga o la masa.
−Campo eléctrico: si una carga colocada en un punto de esa región del espacio experimenta una fuerza
eléctrica: Fe.
−Campo gravitatorio: si una masa colocada en un punto de esa región del espacio experimenta una fuerza
gravitatoria: Fg.
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Ambos son campos vectoriales, centrales y conservativos. Vamos a estudiarlos comparativamente.
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Un campo, es pues, una región del espacio en la que a cada punto se le puede asignar una magnitud
física. Si la magnitud es un escalar el campo es escalar, y al contrario si la magnitud es un vector.
Una última definición: campo es la perturbación real o ficticia del espacio determinada por la
asignación a cada punto del valor de una magnitud.
2.−ANALOGÍAS ENTRE AMBOS CAMPOS. LEYES.
Son similares en los siguientes aspectos:
a.−Ambos actúan a distancia. Son vectoriales.
b.−Son centrales, pues están dirigidos hacia el punto donde se encuentran la masa o la carga que los crea. Sus
líneas de campo son abiertas y tienen simetría radial.
c.−Son conservativos, porque la F central solamente depende de la distancia. Tienen por tanto, una Ep y un
potencial asociados. El trabajo realizado contra el campo se almacena como Ep que puede recuperarse
integramente.
d.−La F central, en ambos casos, es inv prop al cuadrado de la distancia:
F = k´/ r2 ur
en donde k' depende del tipo de campo:
A.−Si k´= k Q q el campo se denomina eléctrico.
K= cte que depende del medio y del sist de unidades. En el SI vale 9x109 , para el vacío y el aire.
En función de la cte dieléctrica o permitividad del vacio y el aire o:
o= 8,854 exp −12
k= 1 / 4o = 9x 10 9 medida mediante una balanza de torsión.
Q es la carga que crea el campo.
En resumen: F = k Q q / r2 ur = 1/ 4 r2 x Q q/ r2 ur
que es la LEY DE COULOMB( 1785): Dos cargas cualesquiera se atraen o se repelen con una F
directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa.
Las cargas son magnitudes escalares, positivas o negativas. Se expresan en culombios o microculombios( 10 a
la −6C)
Esta ley tiene escasas aplicaciones, puesto que solamente es válida para objetos cargados sin dimensiones
(cargas puntuales).
B.−Si k´= −G M m el campo es gravitatorio.
G= 6,67 10 exp −11 es la cte de gravitación universal. Su valor no depende del
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medio y fue determinada por Cavendish en 1789, utilizando una balanza de torsión. Su valor es independiente
del medio y de las características de los objetos.
En resumen: F = −G M m / r2 ur
que es la LEY DE NEWTON DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL:Dos partículas cualesquiera del
Universo se atraen con una F que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversam.
prop. al cuadrado de la distancia que las separa:
Nota: El vector ur es un vector unitario, en la recta que une el centro de fuerzas con la partícula sometida al
campo. Su sentido está dirigido hacia el exterior del campo. Es aplicable tanto para la Fg como para la Fq.
−DEDUCCIÓN DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.(AMPLIACIÓN).
Deducida a partir de las leyes de Kepler, suponiendo que las órbitas son
circulares( poca excentricidad de las órbitas) y que el movimiento de tipo MCU.
En la figura se puede deducir que para una órbita circular el mov. es uniforme.
A1= A2 e1=e2 v1t1 = v2t2
Si A1= A2 ti=t2 ; v1=v2 : el mov es uniforme.
como además para un MCU: T = 2 R/ v ; v= R
se llega, operando a: F= G M m / r2
F = −G M m / r2 ur , en su forma vectorial.
−PESO DE LOS CUERPOS.−
El peso de un cuerpo es un caso partícular de la ley de gravitación.
Se determina tanto aplicando la 2ª ley de Newton como la ley de Gravitación, es decir: F = G MT m/ RT P= m
go go= G MT/RT= 9,8 m/2.
Despejando de la última la MT se obtiene un valor de 5,96 x 10 elevado a 24 Kg.
La masa inerte de la ecuación F= m a y la masa gravitatoria de Newton tienen las mismas propiedades y son
equivalentes a la cantidad de materia.
PROBLEMAS:
1.−. Dos partículas alfa están separadas 10 elevado a −13 metros. Calcula las F
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eléctrica y gravitatoria. Compara ambas entre sí. Dibújalas.
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datos: masa partícula alfa= 6,68 por 10 elevado a −27 kg
carga = +2e− = 2 x 1,6 x 10 elevado a −19 C.
2.−Un cuerpo de masa 100 g. está cargado con 10 elevado a −6 C. ¿A qué distancia por encima debe situarse
otro de −10 microC para que el primero está en equilibrio). Tomar g = 10 m/s2. Dibuja primero el sistema.
3.−DIFERENCIAS ENTRE AMBOS CAMPOS.
Las diferencias son las siguentes:
a−El c gravitatorio es universal. Existe para todos los cuerpos. El c eléctrico no: solo existe si los cuerpos
están cargados y depende del medio en el que actúa.
b−El primero es siempre de atracción, el segundo puede ser de las dos maneras.
c− El primero es mucho menor que el segundo. La k es 10 elevado a 20 veces mayor que G, lo que indica que
el gravitatorio es muy débil en comparación. Por tanto, en lo fenómenos eléctricos, la gravedad es
despreciable.
d−Una m siempre crea un campo. Una carga en mov además del campo eléctrico, crea un campo magnético.
4.−CONCEPTO GENERAL DE INTENSIDAD DE CAMPO.
Sabemos que habrá campo si la partícula está sometida a una fuerza.
Se llama intensidad de campo a la F referida a la carga o la masa:
E= F/ carga o masa
A−Intensidad de campo eléctrico:
Eq = F / q = k Q q/ q r2 ur = k Q / r2 ur
Se mide en N/C.
Se toma el signo positivo cuando la carga Q que crea el campo es positiva y viceversa. Representación con
dibujo de líneas de fuerza radiales:
B−Intensidad de campo gravitatorio:
Eg = F/ m= −G M m/ m r2 ur=
= −G M/ r2 ur = g (magnitud vectorial). Se mide en N/ kg.
NOTA: no confundir el campo gravitatorio con la aceleración de la gravedad g= 9,81m/s2, que es un campo
gravitorio especial en la superficie de la Tierra.
Representación con dibujo.Faraday fuel el primero en representar el campo gráficamente mediante
líneas de camp. Él lo hizo para el campo magético, pero es válido para el resto: gravitatorio y eléctrico.
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3.−Si la masa de la Luna es 7,34 x 10 elevado a 22 kg y el RL = 1,74 X 10 elevado a 6 m, calcula:
a.−¿Qué distancia recorre un cuerpo en 5 s en caída libre, si cae próximo a la superficie?.
b.−¿Cuanto pesaría un hombre en la Luna, si en la Tierra tiene 80 kg?
4.−Halla la masa y la densidad de la Tierra, suponiéndola esférica. RT= 6370 Km. g = 9,8m/s2.
5.−Se tiene un E= 10 elevado a 4 N/C, dirigido vertical y de abajo arriba. halla:
a.−La F ejercida sobre un electrón, con esquema de los vectores.
b.−la v adquirida por el e− al recorrer 1 cm, si parte del reposo. Despreciar el efecto gravitatorio.
c.−la Ec.
d.−EL tiempo en recorrer 1 cm.
6.−Sabiendo que la masa de la Luna es 1/ 81 la de la Tierra y su radio 1/ 4 del terrestre, halla la g en la
superficie de la Luna. Calcula también, el periodo de un péndulo que en la Tierra tiene un valor de T= 2 s.
7.−Dos esferas de 0,2 g cada una cuelgan de igual punto mediante sendos hilos de 50 cm. Si se electrizan con
igual cantidad de carga, los hilos se separan formando 60º. Halla la carga de cada esfera. Representa las
fuerzas.
5.− FUERZAS CENTRALES: REPASO Y AMPLIACIÓN.
−Momento de una fuerza: M
−Momento angular o momento cinético:L
Una fuerza es central cuando está sometida hacia un mismo punto, llamado centro de fuerzas O. La
dirección es la recta que une el centro de fuerzas con la posición de la partícula sobre la que actúa.
Dependen además de la distancia y son conservativos, como demostraremos más adelante
Ejemplos de fuerzas centralesy conservativas:
EJ1.−Fuerza entre el Sol y la Tierra durante la translación. El campo gravitatorio es un campo central, en el
que la F siempre está dirigida hacia el Sol y su valor depende solamente de la distancia r. Se trata de una
fuerza conservativa.
Ej2.−Fuerza eléctrica entre dos cargas.
Ej3.−La F recuperadora del MAS, dirigida hacia el centro O: por ej la que tiene un muelle.
Ej4.−La F entre el núcleo de H sobre el electrón( sería de tipo eléctrico
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también).
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Propiedad de una fuerza central: Toda partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central tiene un
momento cinético constante. L=cte.
Veamos el concepto de momento cinético o momento angular L. También repasaremos, en primer lugar, el
concepto de momento de una Fuerza, designado con la letra M. Todo ello es necesario para comprender las
leyes de Kepler, que luego veremos.
−MOMENTO DE UNA FUERZA: El momento para una F que actúa sobre una partícula, marcada por su
vector de posición r, será:
M= r x F = r F sen
El sentido viene dado por la regla del tornillo.
Si sobre el sólido actúan varias fuerzas: M = M1 + M2 + M3 +...
−MOMENTO CINÉTICO O MOMENTO ANGULAR: L.
Su expresión es L = r X p = L p sen
siendo el ángulo el formado entre el vector de posición r y la velocidad. Su dirección es perpendicular al plano
de los vectores y su sentido viene dado por la regla del tornillo. Es pues otro vector. Ver dibujo:
p es la cantidad de movimiento o momento lineal: p = m v
Es de interés cuando se analiza la rotación de una partícula, o bien la rotación de un sistema de partículas o de
un sólido rígido. Los planetas por ejemplo.
Además, tomando derivadas: d L / dt = r x F = M que es la ec fundamental de la dinámica de rotación.
Otra forma de expresar la ec fundamental es: M = I , en donde I es el momento de inercia( I= m r2 )
Recordemos que para la traslación: d p / dt = F y además: F = m a.
−MOMENTO CINÉTICO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS:
tomaremos el sumatorio de todas las partículas del sistema:
M= dL/dt en donde L es el momento cinético de cada partícula:
L= ri x mivi.
La conservación del momento cinético: en un sist aislado, donde M de las fuerzas exterioes es =0:
el sumatorio de M= 0 ; L= L1+L2+...Ln=cte.
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O Bien: como L también es igual a Iw, en donde I es el momento de inercia:
Si el momento de las fzas ext es cero(M=0) d( Iw ) / dt = 0 ; Iw=cte, el momento cinético del sistema permace
cte:
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I1 w1 = I2 w2= cte
sería el caso de:
• UN SISTEMA SOBRE EL QUE SOLO ACTÚAN FUERZAS INTERNAS, como explosiones, rotura
de cuerdas al girar cuerpos, choques...
• en las fuerzas centrales.
FUERZAS CENTRALES: Cuando las fuerzas aplicadas están dirigidas siempre hacia un punto fijo O, y
además son función de la distancia r:
Se representa así: F= F(r) ur en donde ur es el vector unitario en dirección radial.
6.−LEYES DE KEPLER.(1609).
Gracias a sus observaciones y el estudio de los datos recibidos de T. Brahe, Kepler enuncia sus tres famosas
leyes empíricas.Luego, en 1687 fue Newton el que basándose en dichas leyes y en sus observaciones dedujo
su ley de Gravitación, como ya se ha dicho:
Enunciados:
1.−Ley de las órbitas: todos los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas planas, en uno
de cuyos focos se encuentra el Sol.
(Nota.− la circunferencia no es, pues, la trayectoria perfecta (de Aristóteles) para los cuerpos celestes).
2.−Ley de las áreas: el radio vector que une el Sol con cualquier planeta barre áreas iguales en intervalos de
tiempo iguales.
O también: las áreas barridas por el radio vector que une el Sol con los planetas son direct proporc a los
tiempos empleados en barrerlas.
(Esta ley es consecuencia del hecho de que los planetas están sometidos a una fuerza central. Además elimina
la creencia de que los astros se movían a velocidad cte en módulo).
3.−Ley de los cuadrados de los períodos: los cuadrados de los períodos del movimiento de los planetas
alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol( o a los cubos
de los semiejes mayores). Ecuación: T1 / T2 = R1 / R2
El apoyo matemático a estas leyes se sustenta en las ecuaciones del momento cinético:
Consecuencias de las ecuaciones:
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1.−Por ser L cte en dirección, y perperdicular, el movimiento de los
planetas se realiza en un plano( determinado por r y v). Primera ley de Kepler: la trayectoria es plana.
2.− " " " " " sentido, el planeta tampoco varía de sentido.
3.− " " " " " módulo, se cumple la ley de las áreas: Es decir, la velocidad areolar va es cte y vale:
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va = dA / dt = L / 2m= CTE, en donde A es el área barrida, y m es la masa sometida a la fuerza central.
Esto explica la 2ª ley de Kepler.
Ver dibujo.
7.−CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE. VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD CON:
A.− LA ALTITUD.
B.−LA PROFUNDIDAD.
C.−LA LATITUD.
Un campo gravitatorio queda definido por dos magnitudes: la F y el Trabajo.
La intensidad de campo gravitatorio era la fuerza gravitatoria que experimentaba una masa de prueba(la
unidad) colocada en dicho punto.
g= F/ m
INTENS. DE CAMPO GRAVIT. TERRESTRE:
g= F/m = − GM m/ m r2 ur=
= −G M / r2 ur ,siendo r la distancia de la masa M al punto considerado: r = R +h
La intensidad de campo de la Tierra, es pues, la perturbación que la Tierra produce en el espacio que la
rodea por el hecho de tener masa.
Las líneas de campo gravitatorio son líneas imaginarias trazadas de modo que el vector campo
gravitatorio es tangente a ellas en cada punto, y dirigidas hacia el centro del planeta.
Al campo gravitatorio se le suele denominar gravedad.
8.−Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en Mercurio sabiendo que los radios de éste y de la Tierra
estan en proporción 1/3 y sus densidades medias en la relación 3/5.
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A.−VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTITUD:
Por tanto, la aceleración de la gravedad no es constante, depende de la altitud:
−Para h= 0 (nivel del mar): r= R go= G MT / R2
−Para h = 0 r= R +h gh = G M / (R +h)2
Nos quedará, si dividimos ambas: gh = go R2 / ( R + h )2
TAMBIÉN SE EMPLEA: g = go ( 1 − 2h /R)
Consecuencias: el campo gravitatorio gh, o la gravedad, es independiente de la masa del objeto, y
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disminuye con la altitud.
9.−Determina a que altura sobre la superficie terrestre el peso de un cuerpo se reduce en un 25%. RT= 6400
km.
10.−La masa de una persona en la Tierra es de 70 kg. Calcula:
a.−su masa en la sup de la Luna.
b.−su peso en la sup de la Luna.
c.−la distancia que debe ascender sobre la sup de la Luna para que su peso se reduzca a la mitad. Datos: RL y
la relación entre las masas de ambas.
B.−VARIACIÓN DE g CON LA PROFUNDIDAD.
La ecuación es: gp = go (R − h) / R = go x / R R= x+h
también se emplea: gp = go ( 1 − h / R)
siendo x la distancia del punto considerado al centro de la Tierra.
h es la profundidad desde la superficie.
Por tanto la g disminuye a medida que h aumenta.
C.−VARIACIÓN DE g CON LA LATITUD.
Una persona en un punto de latitud determinada está sometida a dos fuerzas, el peso y la fuerza de inercia o
centrífuga debida a la rotación de la Tierra. Por tanto, será máxima en los polos y mínima en el Ecuador.
Se tiene, para el Ecuador: gE = go − w2 R w= velocidad de giro de la Tierra.
En los Polos: g = 9,83 m/s2.
En el Ecuador: g= 9,78.
En París: g= 9,81( latitud de 45º)
En Madrid: g= 9,80. En general: g = go −wR cos , es la latitud.
8−FUERZAS CONSERVATIVAS: CAMPOS CONSERVATIVOS:
Una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado entre dos puntos depende solamente de la posición de
esos puntos( estados inicial y final) y es independiente de la trayectoria o camino seguido. Tendremos así un
campo de fuerzas conservativo.
Las fuerzas gravitatoria y eléctrica lo son. También lo es la F recuperadora de un muelle, y en general,
cualquier F cte.
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Nosotros, para elevar un cuerpo a cierta altura debemos realizar un trabajo contra las fuerzas gravitatorias.
Este W es independiente del camino seguido, y se almacena en forma de Ep, de modo que puede recuperarse
integramente. Decimos que las F gravitatorias son conservativas.
PROPIEDADES DE UN CAMPO CONSERVATIVO:
1º.−El W total realizado en una trayectoria cerrada es cero, o: la circulación a lo largo de una trayectoria
cerrada es cero:
" F dr = [ " F dr ] I + [ " F dr ] ll = =0 ya que el W toma igual valor si se calcula por los caminos I o II.
2º.−El W que realiza el campo puede expresarse como la variación de cierta magnitud(con signo menos) entre
los puntos inicial y final:
Teorema de la Ep: W = " F dr = EpB − EpA = −( EpA− EpB) = − Ep
La magnitud Ep recibe el nombre de ENERGÍA POTENCIAL y su disminución mide el W realizado. En
ella se almacena el W de la fuerzas conservativas. Según la fuerza, puede ser energía potencial elástica,
eléctrica, gravitatoria...además, su origen es arbitrario, solo tienen sentido físico sus variaciones.
Para una F gravitatoria:T="Fdr="mgdh = mghB − mghA = −(mghA−mghB)=− Ep
El nombre de fuerzas conservativas se debe a que , si sobre un cuerpo solo actúan estas fuerzas, su Emecánica
se conserva constante.
W = EcB − EcA EmA = EmB
W = EpA − Ep B EcA + Ep A = EcB + EpB
En el caso de que haya rozamiento, la Em no se conserva, y se enuncia así:
El trabajo no conservativo de la Fr es igual a la disminución de Em:
T(no conservativo) = − ( Ec+Ep) o bien: Em i = Em f + W roz.
esta pérdida de E se transforma en calor. El trabajo para vencer el rozamiento es igual a la disminución de Em.
9.−CONCEPTO DE ENERGÍA POTENCIAL.
Los cuerpos tienen capacidad para realizar un trabajo: tienen Ep que se transforma en Ec cuando los cuerpos
se ponen en movimiento.
Lo mismo ocurre cuando un cuerpo se abandona en las proximidades de la Tierra. La Ep es una magnitud
característica de los campos conservativos, como son estos dos que estudiamos.
Ep para un punto A del campo central:
Una m o una q colocadas a una distancia r del centro del campo tiene una Ep que es igual al trabajo necesario
para trasladar la m o la q desde un punto al infinito: es una magnitud escalar y se mide en Julios(J).
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entre A y el infinito, la Ep es:
Ep= " F dr = " k´/ r2 ur dr = k´ " dr/ r2 = −k´ [ 1/ r ] = k´/ r
A−Ep eléctrica: Ep = k Q q / r
B−Ep gravitatoria: Ep = −G M m / r el signo menos es debido a que la Ep aumenta a medida que nos
alejamos del centro del campo, tomando el valor máximo en el infinito que es cero. A medida que nos
acercamos al centro la Ep disminuye y el trabajo se realiza a costa de la Ep.
Variación de la Ep entre dos puntos A y B:
Es el trabajo realizado por la F central para trasladar su punto de aplicación de un punto a otro.
A partir de (1), integrando entre A y B:
Ep = " F dr = " k´/ r2 ur dr = k´ " dr/ r2 = −k´ [ 1/ r ] = k´( 1 / rA − 1 / rB )
A.−Para el campo gravitorio:
Ep = −G M m ( 1 / rA − 1 / rB ) es decir para separar dos masas hay que aplicar una F externa que realiza un
W < 0 que se emplea en aumentar la Ep. En general: Ep = T = −G M m / r
Para el caso particular de la Tierra:
Ep = −GM m ( 1/ R − 1 / R+h ) = ...operando...= − mg(hB−hA)= mg ( hA− hB )
teniendo en cuenta que g= G M / R2 , y la h mucho más pequeña que la R.
Se aplica para pequeñas alturas.
B.−Para el campo eléctrico:
Ep= k Q q ( 1 / r A − 1 / rB)
Casos: −Cargas signo opto/Masas W > 0 −−−−− Lo realiza la F externa.(para separarlas)
−Cargas de igual signo W < 0 −−−−− Lo realiza el campo.
En general: Ep = T = k Q q / r
11.−Se lanza desde la Tierra un cuerpo con v= 8000 m/s. ¿Qué altura alcanzará si se toma como RT= 6400
km.
12.−Halla la E necesaria para colocar un satélite a 500 m de la sup terrestre.
Ms= 200 kg. g= 10 RT= 6400 km. Suponer conocida la MT. Halla la Ep
de las dos maneras para ver que coinciden, recordando Ep= mgh.
10.−CONCEPTO GENERAL DE POTENCIAL.
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Los dos campos se pueden estudiar mediante el cálculo de la intensidad de
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campo ( vector E), como ya hemos visto.
Pero también se puede hacer mediante una magnitud escalar característica de los c conservativos, a los que se
les puede asociar. Se dice que derivan de un potencial V.
Potencial: en un punto de un campo, es el W realizado por una F central para trasladar la unidad de carga
positiva ( o unidad de masa) desde un punto hasta el infinito( donde el potencial es cero). T= W/ q o masa.
A.−PARA EL CAMPO GRAVITATORIO:
La diferencia de potencial gravitatorio entre dos puntos, es por definición, el trabajo realizado para trasladar la
unidad de masa de A a B. Para un punto, será.
V = T / m = −G M /r en J/Kg.
Es siempre negativo; es un escalar; depende de la distancia y todos los puntos que equidistan del centro del
campo tienen el mismo potencial: forman una
superficie equipotencial. Dibujo:
RELACIÓN ENTRE LA INTENSIDAD DE CAMPO(g) Y EL POTENCIAL GRAVITATORIO(V):
V = T / m = " F dr / m = " F/ m dr = "g dr ; derivando:
dV= g dr
Además, la relación entre el potencial y la Ep gravitatorio o trabajo es:
T = m V =Ep
B.−PARA EL CAMPO ELÉCTRICO:
V = T / q = k Q q / r : q = k Q / r en voltios.
RELACIÓN ENTRE EL POTENCIAL(V) Y LA INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO(E) :
V = − " E dr
además, derivando: d V / dr = −E , el gradiente de potencial es igual al vector intensidad de campo con signo
cambiado.
O bien: d V = −E dr
Si dr y E son de igual sentido: dV es negativo: el T= q dV será NEGATIVO, nos movemos en el sentido de
los potenciales decrecientes. El T lo realiza el campo.
Nota: si hay más de una carga, entonces el V y el E se determinan mediante el principio de superposición:
sumando de todos los factores. La suma de
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potenciales es algebráica y la suma de intensidades es vectorial.
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13.−Una carga de 6 microc se encuentra en el origen de coordenadas. Halla:
a.−El potencial a 4 m.
b.−El trabajo que hemos de hacer para atraer otra carga de 2 microc desde el infinito a esa distancia.
c.−la Ep de esa carga en dicha posición.
14−Calcula el potencial gravitatorio creado por una masa de 100 kg y 2 m de diámetro, en un pto a 9 m de la
superficie. ¿Cuál es la Ep de una masa de 2 kg situada en ese punto?
15−Calcula la intensidad de campo y el potencial en un pto a 3 m de una carga puntual de 5 microc.
16−Un dipolo eléctrico está formado por cargas de 2 microc y −2 microc distantes 2 m. se pide:
a.−El campo resultante y el potencial en un pto de la mediatriz del segmento que las une, distante 5 m de cada
carga. Esquema vectorial.
b.−Lo mismo, pero en el caso de que las cargas sean positivas.
17.−Se lanza desde la Tierra un cuerpo con velocidad inicial 8000 m/s.¿Qué altura alcanzará si se toma RT=
6400 km?Aplica ahora el tma de las fzas vivas.
Consecuencias de ambos potenciales:
−el V en un pto dep de r ( distancia del punto al centro del campo). Si los puntos equidistan del centro,
tendrán igual potencial y forman una superficie equipotencial.
−el V eléctrico puede ser positivo o negativo, depende del signo Q de la carga que crea el campo. V= k Q / r
−el V gravitatorio es siempre negativo. V= −G M / r
11.−MOVIMIENTO DE LOS SATÉLITES Y COHETES.
Se pueden determinar la velocidad orbital, el T de revolución, energía de un satélite o masa de un planeta,
gracias a la ley de Newton.
A.−VELOCIDAD ORBITAL:
para que un satélite gire en una órbita circular r=R+h alrededor de la Tierra, debe estar sometido a la F
centrípeta, y se cumple:
Fg = Fc ; G M m / r2 = m v2 / r
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−14−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
y la velocida de giro: v = " G M / r o bien: v= " g R2/r , se le llama 1ª velocidad cósmica. Recordando que r=
R+h. Si nos dan la altura la
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sumamos al RT, y si nos dan la órbita directamente usamos de dato r.
y el tiempo en describir su órbita o periodo de revolución:
w= 2 / T v= w r al final queda: T = 2 r / v
18−¿Cuál es el T de revolución de un satélite que circunda la Tierra siguiendo una órbita circular de 8000 km?
MT= 5,98 x10 EXP 24 kg). Y se conoce también RT.
19.−Un satélite artificial gira en torno a la Tierra a una h= 400 km. Halla:
a.−Su velocidad de desplazamiento.
b.−La a centrípeta.
c.−El T de revolución.
20−Calcula la masa de un planeta suponiendo que tiene un satélite en órbita de 1000 km de radio, con un
período de 10 días.
B.−VELOCIDAD DE ESCAPE DE UN COHETE.
A efectos prácticos de energía, vivimos en un pozo de Ep. Es decir, para alcanzar otro planeta hemos de salir
de este pozo para llegar al espacio exterior, en donde los dos campos gravitatorios se anulen. Será necesario
una gran velocidad, y su Ep aumentará a costa de su Ec.
Así pues, para que el cuerpo abandone el campo terrestre, la Ec ha de ser igual a la Ep.
Velocidad de escape: es la v que ha de adquirir un cuerpo para que escape de la atracción de la Tierra.
Así:
Ec = Ep ya que se conserva la Em, por ser un campo conservativo.
O bien: EmI = EmII EcI + EpI = 0 + 0 para una distancia infinita y v=0.
1 / 2 m ve + (−G M m/R) = 0 + 0
ve = " 2 G M / R = " 2 g R2 / R = " 2g R , se le llama segunda velocidad cósmica. Suponemos : Ep2= −GMm/
R+h ,con R+h
muy grande, tendiendo a infinito por lo que Ep2=0.
que viene a valer: 11,2 km / s aproximadamente.
Que es independiente de la masa del objeto lanzado. Una nave espacial necesita igual velocidad que una
molécula.
La ecuación vale para cualquier planeta.
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C.−ENERGÍA GRAVITATORIA DE ENLACE DE UN SATÉLITE.
Es la E para que el satélite se mantenga en órbita.
O bien:
Es la energía que debe tener un satélite para mantenerse en órbita circular estacionaria a una altura h sobre la
sup. de la Tierra o alrededor de cualquier otro planeta.
La energía total del sistema es igual a la Ec del satélite más la Ep del sistema:
E orbita= Ec + Ep
El satélite está sometido a la fuerza central y a la F centrípeta: m v2 / R +h = G M m / ( R + h )2
y la Ec = 1 / 2 m v2 = 1 / 2 G M m / R +h, en donde hemos sustituido la v orbital
−(velocidad orbital v = " G M / R + h) ; a mayor R de órbita mayor v.
−período de revolución: T = 2 (R+h) / v R+h=radio de la órbita.
−Etotal del satélite: E= Ec+Ep= 1 / 2 G M m/ R+h + ( −G Mm/ R+h) =
= − 1 / 2 GM m / R + h
al ser la Etotal negativa habrá que comunicarle al satélite en su lanzamiento una energía igual pero positiva.
12.−TEOREMA DE GAUSS.
Los dos campos pueden estudiarse mediante las F centrales, pero también pueden definirse mediante el
teorema de Gauss.
FLUJO DE LÍNEAS DE CAMPO: Las líneas de campo son una representación gráfica de un campo de
fuerzas,pero no tienen existencia real.
Indican la dirección y sentido de la F central.
La intensidad en un pto es tg a la línea de campo que pasa por ese pto.
Pues bien, el número de líneas de F que atraviesa una sup recibe el nombre de flujo a través de dicha
superficie. Este flujo vale:
= E S cos = E S si el cos = 1.
Si el campo no es uniforme:
= " E ds
el flujo es positivo si las líneas salen de una sup cerrada.
A.−APLICACIÓN AL CAMPO ELÉCTRICO:
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FLUJO DE UNA SOLA CARGA PUNTUAL, SIMETRÍA ESFÉRICA:
= " E ds = k Q / r2 " ds = k Q / r2 ( 4 r2) = 4 k Q =Q/o . ES DECIR: = Q / o
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−16−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
que es un escalar e independiente del radio de la esfera.
TEOREMA DE GAUSS:
−PARA EL CAMPO ELÉCTRICO: el flujo total de un c eléctrico a través de una sup cerrada es igual al
cociente entre la suma de las cargas contenidas en el volumen limitado por ella y la permitividad o cte
dieléctrica del vacio.
= sumat Q / o = " E ds
y análogamente para el campo gravitatorio.
Y se deduce que:
−es un escalar.
−es indep del radio de la esfera.
−el flujo de una carga negativa coincide con el de una positiva, aunque cambiado de signo.
CASOS:
1º.−CAMPO CREADO POR UNA ESFERA UNIFORMEMENTE CARGADA.
= " E ds = Q / o E " ds = Q / o
E 4 r2 = Q / o
E = Q / 4 o r2 = k Q/r2.
E = k Q / r2
En los conductores la Q en equilibrio se situa en la superficie, dentro es nula.
21−Se tiene una esfera de 20 cm de radio con 4 microc. Calcula la intensidad de campo en:
a.− A los 30 cm del centro.
b.−A los 10 cm del centro.
2º.−CAMPO CREADO POR UN PLANO UNIF CARGADO.(PLACA)
E " ds = Q / o E 2S = Q/ o E = Q / 2 s o = / 2 o
en donde = Q /s se denomina densidad superficial de carga(DATO).
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Tomando como superficie gausiana un paralelepipedo perpendicular al plano. Contribuyen al flujo las
dos caras paralelas al plano " E ds = 2 ES
3º.−CAMPO CREADO POR UN CILINDRO O UN HILO INFINITO UNIF CARGADO.(HILO)
S= 2 r L el campo es perp al hilo. En las bases es 0.
E=Q/2rLo= /2 ro
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−17−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
en donde = Q / L recibe el nombre de densidad lineal de carga.
B.−APLICACIÓN PARA EL CAMPO GRAVITATORIO: (AMPLIACIÓN).
FLUJO DE UNA MASA PUNTUAL:
Para el flujo de masa puntual: = " E ds = " −G m / r2 ds = −G m / r2 (4 r2)
= −4 G m
APLICACIONES:
1º−VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTURA:
El valor de la g con la altura vale: gh = go R2 / ( R + h )2
2º.−VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA APROXIMACIÓN AL CENTRO DE LA TIERRA:
gh = go (R − h) / R = go x/ R ; en donde x es la dist del pto al centro de la Tierra. R= h + x.
MÁS PROBLEMAS:
1.−En la recta que une los centros de la Tierra y la Luna determina un pto tal que en él la atracción de la T sea
el doble que la de la Luna. MT/ML= 81. Suponer distancia entre ambas conocida= 384000km.
2.−un satélite de 1000 kg gira en órbita circular a 1600 km sobre la Tierra. Se pide:
a.−Velocidad del satélite.
b.−T.
c.−Ec y Ep.
3.−Velocidad con que debe lanzarse un cuerpo verticalmente desde la Tierra para que alcance una altura igual
al radio de ésta. Despreciar el roz del aire.
4.−Encontrar a qué distancia del centro de la Tierra, y en el interior de ésta, la intensidad de campo
gravitatorio terrestre es igual a su valor en un pto que dista del centro de la Tierra una longitud igual a dos
radios. (S: x=R/4)
5.−Tres masas iguales de 10 kg se hallan en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Hallar el potencial
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gravitatorio en el cuarto vértice.
6.−El potencial eléctrico a una cierta distancia de una carga es 600 V, y el potencial 200 N/C.
a.−distancia a la carga puntual.
b.−valor de la carga.
7.−Marte tiene dos satélites, llamados Fobos y Deimos, cuyas órbitas tienen radios de 9400 y 23000 km
respectivamente. Fobos tarda 7,7 h en dar una vuelat alrededor del planeta. Aplicando las leyes de Kepler,
halla el período de
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−18−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Deimos. S= 29,4 h.
8.−Una carga de 2 microc está en el origen de coordenadas, y experimenta una F= 0,0008 N en la dirección
positiva de X.
a.−valor y sentido del campo eléctrico en dicho punto.
b.−fuerza que se ejercería sobre una carga de −6 microc.
9.−Calcula la velocidad orbital y al altura sobre el Ecuador a la que debe situarse un satélite geoestacionario.
Notas.− puedes tomar el dato de la MT y su T. ¿Se puede resolver sin el primer dato?
10.−Halla la velocidad que debe adquirir un objeto para escapar del campo gravitatorio terrestre, si se halla a
1000 km sobre la superficie.
MT= 5,98 EXP 24 RT= 6270 km.
E0= 8,854 exp −12
11.−Sean dos cargas de 1 y 3 microc, en el vacío y a 50 cm de separación. Calcula el campo eléctrico en un
punto P sito a 10 cm de la primera carga.
S= 7,3 x 10 exp 5N/C.
12.−Lo mismo para dos cargas de 5 y −3 microc a 20 cm. Halla el campo sobre una tercera carga de 2 microc
en el punto medio de las anteriores. E=14,4 N.
13.−Tenemos dos cargas de 5 microc separadas 5 cm en la base de un triángulo. En el vértice superior hay
otra carga de −2 microc. Halla:
a.−El potencial en el punto P situado en medio de las dos primeras.
b.−La energía potencial que adquiere una carga de 2,5 microc al situarse en P.
V= 15,75 x 10 exp 5 V ; Ep = 3,9 J.
14.−Halla por el tma de Gauss el campo creado por un hilo infinito cargado con densidad de carga= −1,5 x 10
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exp −4. La r = 25 cm. La cte dieléctrica es un dato.
15.−Halla el valor de la gravedad a 1000 m de altura sobre la Tierra. Datos: RT.
16.−Compara las variaciones de g con la altura y con la profundidad para un dato de 2000 metros. ¿Cual de
las dos variaciones de g es más intensa?
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