1.- NUMEROS COMPLEJOS

1.- NUMEROS COMPLEJOS
Los números reales deben de dar solución a las ecuaciones.
Los números enteros positivos (0, 1, 2, 3,…) contienen soluciones para ecuaciones de la forma x – 5 = 0, pero no
contienen solución para x + 3 = 0, razón por la que deben de existir los números enteros negativos (– 1, – 2, – 3,…).
Si tratamos de resolver la ecuación: 4x – 7 = 0, no nos basta con tener números enteros positivos y negativos, ya que
como la solución es x = 7/4, requerimos ahora de los números racionales (surgidos de la división de un entero por otro
entero).
Sí tenemos la ecuación x2 = 6, los números enteros positivos, los enteros negativos y los racionales no tienen solución
para la misma, por lo que necesitamos ahora de los números irracionales, que son los que dan solución a ese tipo de
ecuaciones.
Existen ecuaciones de la forma x2 = – 9, la cual no tiene una solución entera positiva, entera negativa, racional ni
irracional, y requiere de su expresión por medio de un número imaginario. Sí tratamos de resolverla, es obvio que
x   9  9(1)  3  1
, lo que se expresa como 3i.
Un número complejo es una expresión de la forma: a + bi, donde “a” y “b” son números reales e
todo número complejo contiene una parte real (a) y otra imaginaria (bi).
i  1
, por lo tanto,
2
De ésta definición, se deduce que sí i   1 , entonces i  1 , lo que es muy útil para el manejo de números
complejos. De lo anterior, podemos deducir la siguiente tabla para el manejo de cantidades imaginarias:
i  1
i 2  1
i 3  i 2 i  1i
i 4  i 2 i 2 ( 1) ( 1)  1
i 5  i 4 i  1i
e tc...
OPERACIONES BASICAS. Sean los números complejos: a = b + ci y d = e + fi
Suma: a + d
Diferencia: a – d
Producto: axd
Cociente:
(b + d) + (c + f)i
(b – d) + (c – f)i
be + bfi + cei + cfi2 = be + bfi + cei + cf( – 1) = (be – cf) + (bf + ce)i
b  ci b  ci e  fi be  bfi  cei  cfi2 (be  cf )  (ce  bf)i




e  fi e  fi e  fi
e 2  f 2i2
e2  f 2
a
d
REPRESENTACIÓN GRÁFICA


Rectangular: Se usa el eje horizontal para graduar la parte real, y el eje vertical para la parte imaginaria,
ubicándose un punto en el plano, que representa al número complejo.
Polar: Sí llamamos r a la línea que une el origen con el punto de la representación rectangular, y al ángulo que
forma dicha línea con el semieje horizontal positivo lo llamamos  , entonces r tiene la proyección horizontal:
x  r cos 
y la proyección vertical
podemos obtener por
r x y
2
2
y  rsen . La longitud de r
llamada Modulo ó Valor Absoluto la
. Entonces el numero complejo se puede expresar en la forma polar como:
x  yi  r cos   irsen  r(cos  isen)
TEOREMA DE De MOIVRE
Si n es cualquier número entero y positivo, y si
cualquier número complejo, entonces:
r
y

son, respectivamente, el modulo y el argumento o amplitud de
rcos   isenn  r n cosn  isenn
Las raíces de un número complejo, pueden obtenerse de la siguiente forma:
r(c os
1 
1
  k 360
  k 360 
  is en ) n  r n c os
 is en

n
n

Donde k = 0, 1, 2, 3,…………, n – 1.
Gráficamente estas raíces son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro
en el origen y de radio
r
1
n.
EJERCICIOS PARA RESOLVER
Dados los siguientes números complejos en la forma rectangular, efectuar cada una de las siguientes operaciones:
a = 3 + 2i
b=4–i
c = – 2 – 4i
d = – 5 +3i
e=1–i
f=–3–i
g=5+i
h = – 4 + 2i
1)
2a – 3b =
2)
4(3c + 2h – g) =
3)
3e – (2f – 4d) =
4)
bxe=
5)
(2c – 3h) x (a + 4f) =
6)
Eleve cada uno al cuadrado.
7)
Eleve cada uno al cubo.
8)
Eleve a, c, e y g a la cuarta potencia.
9)
Eleve b, d, f y h a la quinta potencia.
10) Eleve a, b, c y d a la sexta potencia.
11) Eleve e y f a la séptima potencia.
12) Eleve g y h a la octava potencia.
13) a/b =
14) c/d =
15) e/f =
16) g/h =
17) (3d – 2g)/(2b – a – 2e) =
18) Expréselos todos en la forma polar.
Cambie los siguientes números complejos de la forma polar a la forma rectangular::
19) 5(cos45º + i sen45º) =
21)
3
co s 2 3 0º i se n2 3 0º )  
4
20) -6(cos120º - isen120º) =
22)
6 c os300º is en300º )  
Sean:
Resolver empleando el Teorema de De Moivre:
a = 2 – 3i
b = – 1 – 2i
c=5+i
y
d = – 2 + 4i
1)
a2 =
2)
b5 =
3)
c7 =
4)
d9 =
5)
Hallar las dos raíces cuadradas de a. Trace la
grafica correspondiente.
6)
Hallar las tres raíces cúbicas de b. Trazar la gráfica
correspondiente.
7)
Hallar las cuatro raíces cuartas de c. Trace la
gráfica correspondiente.
8)
Hallar las cinco raíces quintas de d. Trazar la gráfica
correspondiente.
2.- ECUACIONES RACIONALES ENTERAS
Una expresión de la forma:
a0xn  a1xn1  a2xn 2  ..........
.  an1x  an  0
En la que n es un número entero y a0, a1, a2, ……………… son constantes, recibe el nombre de Ecuación Racional Entera
o Ecuación de Grado Superior a 2. El miembro del lado izquierdo es llamado Función Racional Entera o Polinomio
Racional Entero.
El grado de éste tipo de ecuaciones, es el mayor exponente que tenga la variable en la ecuación.
El Teorema del Residuo es útil para encontrar las raíces de dichas ecuaciones, cuando el miembro de la izquierda no sea
factorizable con facilidad.
Halle las raíces y trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones:
1)
x 3  7x  6  0
2)
x 3  2x 2  8x  0
3)
x3  x2  x  2  0
4)
x 3  2x 2  5x  6  0
5)
x 3  6x 2  11x  6  0
6)
x 4  5x 2  4  0
7)
x 4  13x 2  12x  0
8)
2x 4  x 3  8 x 2  x  6  0
9)
x 4  5x 3  5x 2  5x  6  0
10)
x 4  2x 3  13x 2  14x  24  0
11)
x 4  3x 3  11x 2  25x  12  0
12)
x 4  2x 3  12x 2  2x  11  0
13)
x 4  3x 3  17x 2  21x  34  0
14)
x 5  13x 3  36x  0
15)
x 5  x 4  5x 3  x 2  8x  4  0
16)
x 5  2x 4  3x 3  6 x 2  2x  4  0
17)
x 5  x 4  8x 3  8x 2  16x  16  0
18)
x7  x  1  0
19)
3x 4  5x 3  3x 2  5x  0
20)
2x 4  5x 3  8x 2  20x  0
21)
6x 3  x 2  2x  0
22)
x 4  2x 3  x 2  2x  0
23)
x 5  20x 3  64x  0
24)
x 4  5x 2  4  0
3.- VECTORES
Las magnitudes vectoriales poseen modulo (magnitud o longitud), dirección y sentido, y se representan por medio de
flechas llamadas vectores; a diferencia de las magnitudes escalares que solo poseen modulo.
Las magnitudes escalares se manipulan por medio de la Aritmética, pero las magnitudes vectoriales requieren de una
serie de reglas e interpretaciones que están contenidas dentro del Álgebra Lineal o Álgebra Vectorial.
OPERACIONES BASICAS CON VECTORES
3)
a  (a1, a2 , a3 ,...) , b  (b1, b2 , b3 ,...) , y el escalar k .
Suma de vectores: a  b  (a1  b1, a2  b2 , a3  b3 ,...)
Escalar por vector: ka  (ka1, ka2 , ka3 ,...)
Resta de vectores: a  b  a  (1)b
4)
Modulo, magnitud o longitud de un vector:
5)
Dirección de un vector en el plano: Con respecto al eje “x” es
6)
Dirección de un vector en el espacio: Los cosenos directores con respecto a los ejes “x”, “y” y “z” son
respectivamente:
Sean los vectores:
1)
2)
 x  angcos
a1
a
,
a  2 (a 1 ) 2  (a 2 ) 2  (a 3 ) 2  ...
 y  angcos
Dados los vectores:
a2
a
y
  angtg
a2
a1
 z  angcos
a3
a
respectivamente.
Dados los vectores:
a  (6,2), b  (3,5), c  (4,4) y d  (3,8) , a  (3,4,1), b  (5,2,3), c  (1,4,6) y
efectúe las siguientes operaciones y trace las graficas. En d  (2,8,3) , efectúe las siguientes operaciones y trace
cada caso calcule el modulo y la dirección del vector
las graficas. En cada caso calcule el modulo y la dirección del
resultante.
vector resultante.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
abcd
2a  5b  3c  4d 
2
4
5a  b  c  6d 
3
9
2
5
3
1
a b c d
3
9
4
8
2(a  b)  3(c  d) 
1
3
(a  c)  (b  d) 
5
2
2
(a  d  c)  2b 
9
4( 3b  5d )  3( 2c  a ) 
45
3  36
2 
 a  d   b  c  
3 9
2  57
5 
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
bd ac 
3a  2b  4c  5d 
5
4
a  9b  c  8d 
2
7
1
3
5
a b cd
5
8
2
3(a  c)  2(b  d) 
4( 2a  3c )  7( 5d  6b ) 
1
2
(a  d)  (b  c) 
4
3
1
(b  c  d)  3a 
3
51
7  32
7 
 c  d   b  a  
34
2  85
3 
PRODUCTO ESCALAR
El
producto
escalar
(también
conocido
como
producto
punto)
entre
dos
vectores
dados,
siendo
estos:
a  (a1 , a 2 , a 3 ,....) y b  (b1 , b 2 , b 3 ,...) , teniendo ambos vectores el mismo numero de elementos o componentes,
se representa: a·b , y genera como resultado una magnitud escalar, la cual se obtiene de la siguiente forma:
a1b1  a 2b 2  a 3b 3  ...
Si el producto escalar de dos vectores es igual a cero, entonces los vectores se llaman octogonales, perpendiculares o
normales.
El producto escalar o punto entre vectores es una operación conmutativa.
Dados dos vectores a y b , el ángulo  que forman entre ellos esta dado por:
ab
  angc os
ab
1.
Dados los siguientes vectores:
a = ( 2, 8, – 1 ), b = ( – 4, 0, 5 ),
c = ( 6, 6, – 4 ) y d = ( 12, – 3, – 7 ).
Efectúe los siguientes productos escalares:
a) a·b =
b) a·c =
c) a·d =
d) b·c =
e) b·d =
f) c·d =
g) (a + b)·(c + d) =
h) (2a – 5c)·(3b – 2d) =
2.
Dados los siguientes vectores:
e = (1, – 1 ,4,0, – 6 ), f = (5,14, – 3 ,0, – 3),
g = (– 4 ,11,– 1 ,20, – 15) y h = (13, – 5 ,8,0, – 9),
Efectúe los siguientes productos escalares:
a) e·f =
b) e·g =
c) e·h =
d) f·g =
e) f·h =
f) g·h =
g) (e + f)·(g + h) =
h) (4e – 6g)·(8f – h) =
3. Dados los siguientes vectores:
j = (X, 8, – 4 , 1), k = (– 6 , 3X, 0, 3),
m = (2X, 5, 4, – 3) y n = (4X – 3,0, – 10 ,2),
Escriba los vectores:
a) j y k si su producto escalar es 32.
b) j y m si su producto escalar es 39.
c) j y n si su producto escalar es 15.
d) k y m si su producto escalar es -20.
e) k y n si su producto escalar es 0.
f) m y n si su producto escalar es -8.
g) j y k son perpendiculares.
h) k y n son perpendiculares..
4.
Dados los siguientes vectores:
p = (2, – 3), q = (5, 1), r = (– 3 , 2) y s = (1, – 1)
Efectúe las siguientes operaciones:
a) p·( q – r ) =
b) ( p + q )·q =
c) ( p·q )·s =
d) s·( p – r + q ) =
e) (p + q) ·(r – s) =
f) (p – r) ·(q·s) =
g) (2p·5s) ·(3q·4r) =
h) (4p + 5s)·(6q – 2r) =
i) (3p·4q) – (5s·9r) =
5. Dados los siguientes vectores:
t = (– 2, 3, 1), u = (1, – 2, 1) y v = (1, – 1, 1)
Halle el vector x tal que:
a) 3t – 2x = u – v
b) t – 2u = v – 3x
c) 4t – 3u = v – x
d) (t·u)x = (u·t)v
e) 5t – 6x = 8u – 3v
f)
9t – 4u = 2v + 5x
g) 2t + 5u = 4v + 2x
h) (3t·5u)x = 7v(9u·4t)
i)
6u – 4x = 6t – 5v
j)
8t – 9u + 7v – 4x = 0
6.
Dados los siguientes vectores:
a = (3,4,), b = (1,– 4), c = (– 2,5), d = (2,8,3),
e = (– 6,1,4) y f = (4,– 5,1).
Calcule el ángulo formado por:
a) a y b
b) a y c
c) b y c
d) d y e
e) d y f
f) e y f
g) a y d
h) b y e
i) c y f
j) (a + b) y (c + d)
k) (2a – 3c) y (4b + d)
k)
2
3
1
5
t x v u
3
5
4
6
PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial (también conocido como producto cruz o producto interno) entre dos vectores dados, siendo
expresados
estos por las formas:
b  (bi , b j , bk ) ),
a  ai  a j  ak
(es decir:
a  (ai , a j , ak ) )
y
b  bi  b j  bk (es
decir:
estando ambos vectores en el mismo espacio vectorial R3, se representa aXb, y genera como
resultado una magnitud vectorial.
Los subíndices i, j y k indican las componentes del vector con respecto a los ejes X, Y y Z respectivamente.
El producto vectorial es una operación no conmutativa, y se efectúa multiplicando cada elemento del primer vector por
cada elemento del segundo vector, teniendo en cuenta el siguiente criterio:
ixi  0
kxk  0
jxj  0
ixj  k
jxk  i
kxi  j
Cualquier producto efectuado en otro orden tiene signo contrario.
El resultado del producto vectorial entre dos vectores, es un vector perpendicular al plano que forman los dos vectores
factores.
Dados los vectores:
a  3i  2 j ,
1
b  1 j  4k
y
c  5i  6k
Efectúe las siguientes operaciones entre ellos. En cada caso trace la grafica correspondiente:
a) a X b =
b) a X c =
c) b X c =
d) b X a =
e) c X a =
f) c X b =
g) (a – b) X c =
h) (3a – 2c) X 4b =
Dados los siguientes vectores:
d  2i  5 j  9 k ,
2
3
e  3i  4 j  8k
y
f  1i  7 j  6k
Efectúe las siguientes operaciones entre ellos. En cada caso trace la grafica correspondiente.
a) d X e =
b) d X f =
c) e X f =
d) e X d =
e) f X d =
f) f X e =
g) (d – f) X e =
h) (4e – 8d) X 3f =
Sean a  (5,2,4) , b  (2,11,1)
a) a X b =
b) b X a =
c) a X c =
d) a X (b + c) =
e) (2a) X (3b) =
f) a·(b X c) =
g) (a X b)·(a X c) =
h) a·(a X b) =
i) a X (a X b) =
j) a X (b X c) =
k) (a + b) X (a – c) =
l) (2a + 5b) X 9c =
m) (4a – 3c) X (a·2b) =
y
c  (7,6,9) . Calcúlense:
4.- MATRICES y DETERMINANTES
Una matriz es una disposición o arreglo de números en forma de renglones (filas) y columnas encerrados entre corchetes.
Normalmente se representan con una letra mayúscula; y cada uno de sus elementos con la misma letra pero en
minúscula, con los subíndices i y j, mismos que representan el numero de renglón y de columna respectivamente a que
pertenece dicho elemento. Se le llama diagonal principal de la matriz, a la línea diagonal integrada por todos los elementos
en los que el subíndice i sea igual al subíndice j. El orden de una matriz se representa “mxn”, siendo “m” el número de
renglones o filas que posee, y “n” su número de columnas. En base a un sistema de ecuaciones como el siguiente:
3x  5 y  24
Las matrices pueden ser:
2x  8 y  36
de coeficientes:
3  5
2 8 


o ampliadas:
 3  5 24
 2 8 36


Algunos tipos de matrices especiales y mas usuales, representadas en matrices de orden 3, son las siguientes:
Matriz nula:
0 0 0
0 0 0


 0 0 0 
Matriz diagonal:
Simétrica:
 3 0 0
 0  5 0


0 0 1
 1 3 7 
 3 9
4 


 7
4  2
Si
Suma
Matriz unidad o identidad:
Triangular superior:
Renglón o fila:
a b c 
A

d e f 
y
8
1 0 0
0 1 0


 0 0 1 
 4 7  2
0 1 3 


0 0  2
 5 3
g h i
B

 j k l
Matriz escalar:
Triangular inferior:
6
 
Columna:  1
 
 5 
 3 0 0
0 3 0


 0 0 3
0 0
5
  1 6 0


 3  2 2
etc.…
entonces la suma de ambas matrices se hace
sumando algebraicamente los elementos correspondientes de cada matriz:
a  g b  h c  i
AB  

 d  j e  k f  l
La principal condición es que ambas matrices deben de ser del mismo orden.
Sea la matriz
Producto por
un escalar
a b 
A  c d
e f 
y el escalar
k cualquier número real. El producto entre ellos se determina
ka kb


multiplicando el escalar por cada elemento de la matriz, de la siguiente forma: kA  kc kd


ke kf 
Transposición
Dada la matriz
a b 
A  c d
e f 
su transpuesta es
a c e 
AT  
 . Nótese que las filas o renglones
b d f 
se convierten en columnas y viceversa.
a b
e f 
y B 
A

,
c d
g h
(axe)  (bxg) (axf )  (bxh)
AxB  
.
(
cxe
)

(
dxg
)
(
cxf
)

(
dxh
)


Dadas las matrices
Producto
entre
matrices
el producto entre ambas esta dado por la matriz:
Las principales características del producto entre matrices son:
1. El número de columnas de la 1ª matriz debe ser igual al número de renglones de la 2ª.
2. El orden de la matriz resultante es el número de renglones de la 1ª y el número de columnas de
la 2ª.
3. Se multiplica cada renglón de la 1ª matriz por cada columna de la 2ª, como un producto escalar.
4. No es una operación conmutativa, ya que A xB  B xA .
1
Matriz Inversa
Para toda matriz cuadrada A existe una matriz inversa representada por A , del mismo orden, tal que
el producto de ambas (en cualquier orden de factores) sea igual a la unidad (representada por una matriz
unidad, identidad o unitaria).
Dada una matriz cuadrada
Inversión de
una matriz
a b
a b 1 0
, su forma ampliada es: A  
A

 , (nótese que la
c d
c d 0 1
forma ampliada es la misma matriz A y a su derecha se escribe una matriz unidad o identidad del mismo
orden).
El proceso de inversión consiste en trasladar la matriz unidad o identidad al sitio que ocupa la matriz A,
y la matriz que ocupe el espacio que antes ocupaba la matriz unidad o identidad es la matriz inversa de
A.
Para hacer dicho cambio, deben aplicarse las siguientes operaciones:

Donde se requiera que exista un 1, debe dividirse todo el renglón o fila entre el numero que se
encuentre en la posición donde se requiere el 1.

Donde se requiere que exista un cero, debe multiplicarse el renglón o fila donde exista un 1 en
la posición en que se requiera el cero, por el mismo numero pero con signo contrario que este
ubicado en la posición en que se requiera el cero; posteriormente se suman algebraicamente
los dos renglones o filas, y el resultado se escribe en la fila o renglón donde se requiere el cero.

Determinante

Es la suma algebraica de todos los productos que se obtienen a partir de los elementos de una
matriz cuadrada, combinando en cada producto un número de cada renglón o fila y un número
de cada columna.
Es el número resultante que se obtiene de dicha suma para una matriz dada.
Dadas las siguientes matrices:
 2 6  3
A   1 1 6  , B 
  2 4 0 
 4  3
 5
1  , C 

  2 0 
 1 4 7 
F    5 6  3 , G 
 2 2 1 
2 
5
 8 1  , H 


 6  6
9
8
L
2

4
1 0  2
1  1 3 
, M
2 1  7

0 1  1
1
3
 2 1

 1 2

1
0
Efectúe las siguientes operaciones:
1) A  F 
2) 3 A  5F 
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
5B  2G 
5H  9C 
4D  5K 
7K  8E 
4B  3CT 
2H  9GT 
AxB 
CxA 
DxA 
BxE 
ExC 
AxF 
FxA 
ExK 
KxE 
DxJT 
JxDT 
K2 
A2 
M2 
F2 xA 2 
 8 0 3
 3 4 1 ,


 1
5
D
3

6
4  7 1
 6 3 0 ,


9  2
 3
 2 6 1 
, K 
J 
 5
5
0 


  4 3  3
0 2
1 5 
4 4

3  1
y
4 0 
1  2
, E
3 2 

0 1
0
3
2  1 8
4 1  2 1
0


N  6 6
1 2 9 


2  1
3  2 0
 4 2  4 6
2 
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
E1 
F 1 
L1 
M1 
A 1xF2 
K  
F  
L  
M  
1 2
2 1
1 2
2 1
Det .E 
Det .K 
Det .A 
Det .F 
Det .L 
Det .M 
N 1 
Det .N 
Det.E 1 
Der.A 1 
42)
43) Intente otras operaciones.
5  9
1 4  ,


 3 7
  6 2 ,


5.- ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales puede ser:

Consistente.- Cuando tiene solución numérica. En este caso puede ser:
Independiente si tiene solución única.
Dependiente si tiene más de una solución.

Inconsistente.- Cuando no hay solución numérica posible.
Se presentan los siguientes casos de sistemas de m ecuaciones lineales con n variables cada una:
m<n
Cuando es mayor el numero de variables que de ecuaciones, el sistema puede ser consistente
dependiente o inconsistente; es decir, puede tener mas de una solución o no tener solución.
m=n
Cuando el numero de ecuaciones y de variables son iguales, puede ser consistente o inconsistente; es
decir, puede tener una solución, mas de una solución o ninguna solución.
m>n
Cuando el numero de ecuaciones es mayor que el de variables, puede ser consistente o inconsistente;
es decir, puede tener una solución, mas de una solución o ninguna solución.
Soluciones
básicas
Ecuaciones
lineales
homogéneas
Cuando en un sistema de ecuaciones lineales m < n, si hacemos n – m variables iguales a cero, la
solución del sistema de ecuaciones se llama solución básica. El numero de soluciones básicas de un
sistema de ecuaciones esta dado por:
C
n!
m! (n  m)!
Si en un sistema de ecuaciones lineales, en cada ecuación el termino libre (que no contiene a ninguna
variable) es igual a cero, el sistema se llama homogéneo.
Una solución evidente para este caso es que todas las variables valgan cero; si esta es la única solución
posible, dicha solución recibe el nombre de solución trivial.
Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas siempre es consistente.

Si es consistente independiente, la única solución posible es la trivial.

Si es consistente dependiente, el sistema tiene un numero infinito de soluciones.
1)
4)
7)
10)
13)
16)
19)
22)
24)
26)
2x  y  2z  4
4x  3y  3z  19
2)
6 x  2 y  3z  4
3x  3y  4z  28
9x  4y  z  25
x  2 y  3 z  4
2x  4y  3z  19
5x  6y  5z  24
3x  4y  5z  22
2x  y  5z  13
 3x  6y  10z  7
x  y  z  1
xyz  5
8x  6 y  3z  35
14x  3y  5z  23
5)
14x  8y  z  27
7x  2y  4z  15
7x  7 y  2z  31
8)
3x  7 y  5z  35
x  14y  6z  20
x  y  z  11
11)
xyz 1
 x  y  z  17
 x  y  z  9
2x  y  z  7
3x  y  2z  1
14)
x  2y  z  2
2 x  y  3 z  6
3x  2 y  z  2
x  y  2z  3
3 x  2 y  z  1
3 x  5 y  2 z  7
17)
2x  3y  2z  17
2 x  4 y  3 z  2
4 x  4 y  z  1
5x  7 y  5z  3
2x  y  3z  5
2x  3 y  4 z  6
20)
3 x  5 y  7 z  7
3 x  6 y  2 z  1
5x  3y  5z  17
4x  9 y  8z  2
a  2b  3c  2d  13
2a  5b  8c  6d  37
23)
3a  4b  5c  2d  17
 a  3b  4c  2d  17
2a  3b  4c  d  2e  4
3a  5b  c  2d  6e  3
25)
a  2b  3c  4d  5e  7
2a  2b  2c  5d  3e  0
3a  c  d  2e  2
2a  3b  c  4d  e  2f  6
3a  3b  2c  d  6e  2f  33
a  b  3c  d  2e  4f  15
27)
a  2b  2c  3d  e  f  4
 a  b  2c  2d  3e  f  5
 2a  b  c  4d  3e  2f  12
3)
6)
9)
12)
15)
18)
10x  2y  3z  5
5x  y  4z  15
10x  3y  4z  16
2x  5 y  6 z  9
3x  2y  3z  11
5x  y  9z  28
xyz  7
xyz 1
x  y  z  1
x  y  z  11
 x  y  z  7
 x  y  z  1
x  y  2z  3
x  2y  4z  3
x  3y  5z  5
2x  3y  2z  13
3x  5 y  3z  31
5x  2y  5z  20
6 x  5 y  3z  3
21)
2 x  5 y  3z  5
2x  15y  9z  3
a  5b  4c  3d  7
3a  b  2c  5d  9
2a  3b  2c  d  2
3a  2b  2c  2d  3
a  b  c  2d  e  6
3a  2b  4c  5d  2d  14
2a  2b  3c  4d  e  4
3a  3b  2c  5d  7e  13
a  2b  2c  4d  2e  8
ad 3
b  e  3
cf  3
ab 1
cd1
ef 1
28)
30)
33)
36)
39)
42)
ab  3
b  c  1
cd6
de  7
ae 5
3x  5 y  2z  1
2x  4 y  3z  0
x  2 y  7z  4
5x  9y  z  1
3x  2 y  5 z  1
4x  3y  4z  7
x  2 y  3z  0
2x  4 y  6z  6
 3x  4 y  2z  3
2x  3 y  5 z  0
x  2 y  3z  0
3x  y  2z  0
5x  3y  4z  0
2x  7 y  6z  0
3x  4 y  2z  0
8x  y  2z  0
29)
31)
34)
37)
40)
2x  3 y  7z  6
3x  7 y  4 z  6
a  c  2
b  d  6
c  e  15
ad 5
ce  2
x  2 y  3z  0
3x  y  4 z  2
4 x  3 y  2z  3
2x  3 y  3z  8
3x  2 y  z  0
2x  3 y  2z  0
4x  4 y  z  0
x  2 y  3z  0
 2x  5 y  8z  0
2 x  4 y  2 z  2
32)
35)
38)
41)
x  3y  4z  0
43)
2a  3b  c  d  0
a  2b  c  0
2a  b  2c  d  0
3a  2b  4c  d  0
44)
3x  5 y  z  5
 2x  3 y  4 z  6
x  2y  5z  11
a  2b  3c  2d  2
2a  5b  8c  d  0
 a  b  2c  d  1
3x  y  2z  0
2x  y  3z  0
2x  y  2z  0
x  2 y  3z  0
x  3 y  2z  0
2x  5 y  5 z  0
3a  3b  2c  3d  0
2a  3b  c  2d  0
2a  3b  2c  4d  0
 2a  b  c  d  0
a  2b  c  2d  0
2b  c  3d  0
Halle las soluciones básicas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
1)
4)
6)
a  2b  3c  d  1
2a  3b  7c  3d  3
a  2b  3c  2d  3e  1
2a  2b  3c  3d  2d  2
a  2b  3c  2d  2
2a  5b  8c  6d  5
3a  4b  5c  2d  0
2)
2a  3b  4c  2d  3
4a  2b  3c  5d  2
3)
3a  2b  3c  d  3
3a  4b  2c  3d  4
a  3b  4d  d  4e  f  0
5)
a  3b  3c  4d  5e  6f  4