guia-de-ejercicios

VECTORES



1. Dados los siguientes vectores: a   2 iˆ  3 ˆj  kˆ ; b  4 iˆ  3 ˆj  3 kˆ y c   ˆj  4 kˆ .
Determinar:
 
a) a  b



b) a  3 b  2 c



c) ( a  2 b )  3c
 

d)  ( 4 b  3c ) 2 b

e) El ángulo que forma el vector a con cada uno de los ejes coordenados.


f) El ángulo entre los vectores: 3b y  2c
Solución:
 
a) a  b  (2  4) iˆ  3  (3) ˆj  (1 3) kˆ   6 iˆ  6 ˆj  2 kˆ
 
ab 
(6) 2  6 2  ( 2) 2 
76  8,7



b) a  3b  2 c  (2 iˆ  3 ˆj  kˆ )  3(4 iˆ  3 ˆj  3kˆ  2( ˆj  4 kˆ)  (2  12) iˆ  (3  9  2) ˆj  (1  9  8) kˆ



a  3 b  2 c   14iˆ 10 ˆj
 

c) ( a  2 b )  3c  (2 iˆ  3 ˆj  kˆ  8 iˆ  6 ˆj  6 kˆ )  (  3 ˆj 12kˆ )  (10iˆ  9 ˆj  5 kˆ ) (  3iˆ 12 ˆj )
 (10)(0)  (9)(3)  (5)(12)   87




d) ( 4 b  3 c ) = 4(4 iˆ  3 ˆj  3 kˆ )  3( ˆj  4 kˆ )  16iˆ  9 ˆj   (4 b  3c )   16iˆ  9 ˆj

2b  8 iˆ  6 ˆj  6 kˆ
ˆj kˆ
iˆ



 ( 4 b  3 c )  2 b   16 9 0  54 iˆ  96 ˆj  24 kˆ
8
6 6

e) Ángulos que forma a con los ejes coordenados
a
2
Con el eje X : cos   x 
   122,3º
a
14
ay
3
Con el eje Y : cos  

   36,7º
a
14
a
1
Con el eje Z : cos   z 
   74,5º
a
14


f) Angulo entre los vectores 3 b y  2 c




3 b  ( 2 c )  3 b .  2 c cos 
 90  306 68 cos

  128,6º
2. Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la dirección 30ª respecto al
semieje positivo de las x.
Solución:
Ligamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo proyectamos en cada
uno de los semieje
cos300 
sen 300 
ax
a
ay
a
de donde
ax  a cos300  5 cos300  ax  4.33
de donde ay  asen 30  5.sen 30  ay  2,5
3. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura
Solución:
Se aplica el teorema de Pitágoras
S  32  42  25  5  S  25
4. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F 1
= 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur-Este y F3 = 7N 45º al Nor-Este. Calcular por medio de
componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.
Solución:
Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de
coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares
F1y  F1 .sen900  (5)(1)  5N
F2 x  F2 . cos 600  10(0.5)  5N
F2 y  F2 .sen600  10(0.8)  8N
F3 x  F3 . cos 450  7(0.7 )  4.9N
F3 y  F3 .sen450  7(0.7 )  4.9N
Ahora se calculan las Fx y Fy , entonces
Fx  F1x  F2 x  F3 x  0N  5N  4,9N  9,9N  Fx  9.9N
Fy  F1y  F2 y  F3y  5N   8N   4,9N  13N  4,9N  8,1N  Fy  8;1N
Luego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de Pitágoras
FR  Fx  Fy 
2
2
9,9N 2   8,1N 2
 98,01N 2  65,61N 2  163,62N 2  12,7N
Calcular la dirección
F 
  8,1 
0
'
''
  tan g 1  y     tg 1 
    39 17 21.86
F
9
,
9


 x
Grafica de la solución
5. Un vector M de magnitud 15 unidades, y otro vector N de magnitud 10 unidades se
encuentran formando un ángulo de 60º. Encontrar el producto escalar y el producto
vectorial. Sol: PE = 75 unidades y PV = 129,9 unidades.
6. Cuatro vectores fuerzas coplanarios están aplicadas a un cuerpo en un punto 0, como
lo indica la figura. Hallar gráficamente su resultante.
7. Dados los vectores A (2,4,-2); B (-1,3,2), determina:
a. Expresa dichos vectores en función de sus componentes rectangulares.
b. Determina el vector suma y su módulo.
c. Calcula el vector V= 2A-B y su módulo.
8. Dados los vectores: A (2,-1,2) B (4,0,-2) C (0,0,1)
a) Expresa dichos vectores en sus componentes cartesianas.
b) Determina el vector D= A +1/2 B –C.
c) Efectúa el producto escalar de A y B.
9. Dados los vectores A(3,0,-1) y B(0,-2,0) determina:
d. El producto escalar
e. El producto vectorial.
10. Exprese los vectores A, B, C , D , E y F en términos de los vectores unitarios. En la
figura cada cuadrado es una unidad.
A
11. Dados A(5,3,4) y B=6i-j+2k, calcular:
a) su producto escalar
b) el ángulo que forman
c) los cosenos directores del vector B.
CINEMATICA
1. Un cuerpo que se mueve con velocidad constante de 3 m/s, se encuentra situado a 15
m a la derecha del origen cuando comienza a contarse el tiempo. Escribe las
ecuaciones que describen su movimiento.
Solución:
Ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo y uniforme:
v  cons tan te d  d o  v.t
Valores de d o y v para este caso: d o  15m v  3 m s
Ecuaciones particulares para este movimiento: v  3 d  15  3t
2. El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuación siguiente: S  12  5t Indica el
tipo de movimiento del cuerpo y realiza un esquema de su trayectoria.
a) ¿Qué aspecto tendrán las gráficas s/t y v/t?
b) ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el origen?
Solución:
El cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U), ya que la ecuación s/t
es del tipo S  SO  v.t , siendo los valores de las constantes, para este caso: SO  12m
el signo menos se debe a que inicialmente se encuentra situado a la izquierda del origen.
v = 5 m/s el signo positivo nos indica que se mueve hacia la derecha.
a) Graficas
c) Cuando pase por el origen se cumplirá S  0  0  12  5t  t 
12
 2,4s
5
3. Dado el siguiente esquema
a) Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de los puntos
considerados.
b) ¿A qué distancia del origen se encuentran?
Solución:
a) Para el punto A: So  10m v  3 m s
Luego: S A  10  3t
Para el punto B: So  30m v  7 m s
Luego: SB  30 7t
b) Cuando se encuentren, ambos estarán situados a la
misma
distancia
del
origen.
Es
decir:
SA  SB   10  3t  30  7t  4t  40  t  10s
Se encuentran al cabo de 10s.
Para saber a que distancia del origen se encuentran, sustituimos el valor obtenido para el
tiempo
en
cualquiera
de
las
ecuaciones,
entonces
SA  10  3t  10  3(10)  10  30  40m , luego se encuentran a 40 m a la izquierda
del origen.
4. Un golfista logra un hoyo en uno en tres segundos después de que la pelota fue
golpeada. Si la pelota viajó con una rapidez promedio de 0.8 m/s, ¿Cuan lejos se
encontraba el hoyo?
Solución:
Datos
t  3s
v
m
s
Incognita
v  0 .8
s
t
s  v  t  0. 8
m
2.4ms
 3s 
 2.4m
s
s
s?
5. Dos corredores A y B parten del mismo lugar. A partió 30 segundos antes que B con
una velocidad constante de 5 m/s. B sigue la misma trayectoria con una velocidad
constante de 6 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida el corredor B alcanzará a A?
Solución:
Datos
m
s
m
vB  6
s
t A  t B  30s
vA  5
t A  Tiempo de A
t B  Tiempo de B
Distancia recorrida por A = Distancia recorrida por B.
s A  sB
m
m
 t B  30s   6  t b
s
s
m
m
5  t B  150m  6  t B
s
s
m
m
5  t B  6  t B  150m
s
s
m
 1  t B  150m
s
150m
tB 
 150s
m
1
s
m
m
5  150s  30s   6  150s
s
s
900m  900m
5
El corredor B alcanzará al corredor A a los 900 m del punto de partida.
6. Un vehículo partió del reposo con una aceleración constante y al cabo de 4s alcanzó
una rapidez de 20m/s. Suponiendo que el vehículo adquirió un MRUA, calcular su
aceleración y la distancia que recorrió durante esos 4s.
Solución:
v f  v o 20 m s  0 m s

 5m s2
t
4s
a.t 2 a.t 2
5 m s 2 .( 4s )2
d  v o .t 


 40m
2
2
2
a


7. Un pasajero que va a tomar el autobús observa que justo cuando le faltan 30 m para
llegar a la parada, el vehículo emprende la marcha con una aceleración de 0,3 m/s 2.
Justo en ese momento, el peatón va corriendo hacia el autobús con velocidad
constante de 6 m/s.
a) Haz un dibujo de la situación indicando donde tomas el punto de referencia.
b) Escribe las ecuaciones del movimiento del pasajero (ecuación de la posición) y
del autobús (ecuación de la posición y de la velocidad).
c) ¿Conseguirá alcanzar el pasajero al autobús?. En caso afirmativo, indica
cuando y donde. Interpreta el resultado
Solución:
a)
b) Pasajero: Se mueve con velocidad constante de 6 m/s y pasa por el origen cuando
arranca el autobús. La ecuación de su movimiento es: s  so  v.t  s  0  6.t  s  6.t
Autobús: Se mueve con un movimiento uniformemente acelerado partiendo del reposo (vo
= 0). Al iniciar el movimiento se encuentra a 30 m a la derecha del origen, es decir s o
=+30m.
(0,3).t 2
 30  0,15.t 2  s  30  0,15 t 2
La ecuación del movimiento es: s  30  0.t 
2
La ecuación de la velocidad es: v  vo  a.t  0  0,3.t  0,3.t  v  0,3 t
c) Conseguirá alcanzar al autobús si se encuentran en la misma posición al mismo
tiempo. Vamos a hallar el tiempo que tiene que transcurrir para que el pasajero y el
autobús se encuentren en la misma posición, es decir, para que SPASAJERO = SAUTOBÚS.
6.t  30  0,15.t 2 Es una ecuación completa de segundo grado: 0,15.t 2  6.t  30  0
 b  b 2  4ac 6  36  4.(0,15).(30)

 5,9s y 34,1s
2.a
2.(0,15)
Interpretamos el resultado:
Los dos tiempos son positivos luego los dos son posibles.
¿Cómo puede ser esto?. El pasajero alcanza al autobús a los 5,9 s y se sube (si el
conductor se da cuenta y para). Si no lo hiciera, adelantaría al autobús pero como éste va
aumentando su velocidad con el tiempo, alcanzaría al pasajero a los 34,1 s.
Vamos a suponer que se sube en la primera oportunidad.
¿Qué espacio habrá recorrido? Sustituimos en la ecuación del movimiento del pasajero o
del autobús el tiempo por 5,9s: s  6.t  6.(5,9)  35,4m (A 35, 4 metros de la posición
inicial del pasajero, es decir, del origen).
La resolvemos: t 
8. En el instante que un automóvil parte del reposo con aceleración constante de 2 m/s2 ,
otro automóvil pasa a su lado con velocidad constante de 10 m/s. Calcular:
a) al cabo de cuanto tiempo, el primero vuelve a alcanzar al segundo
b) ¿Qué velocidad tendrá en ese momento el primer auto?
Solución:
a) En el instante que el automóvil alcanza al tractor, los dos vehículos han realizado el
mismo desplazamiento x. Si representamos con la letra “A” al tractor y con la letra
“B” al automóvil, nos queda:
x A  v A.t 
a.t 2
a.t
2.v A 2.(10 m s )

2

v
.
t

 vA 
t 

10s  t  10s
a.t  A
2
2
a
2 m s2
xB 

2 
Al cabo de 10s el primer móvil vuelve a alcanzar el segundo.
b) vB  a.t  (2 m s 2 ).(10s)  20 m s  vB  20 m s
El primer móvil tiene una velocidad de 20m/s al momento de ser nuevamente alcanzado.
9. Desde una altura de 50m se deja caer una piedra. Calcular el tiempo que utiliza para
llegar al suelo.
Solución:
Datos
y
g.t 2
t 
2
2y
2.(50m )
100 2


s  3,19s
2
g
9,8
9,8 m s
y  h  50m
g  9,8 m s 2
Incógnita
t
10. Desde una altura de 25m se deja caer una piedra. Otra es lanzada verticalmente hacia
abajo un segundo después que se soltó la primera. Las dos llegan al suelo al mismo
tiempo. Calcular la velocidad inicial de la segunda piedra.
Solución:
g .t 2
1ª piedra: y 
2
g.(tf  to )2
2
Con la primera piedra se va a calcular el tiempo que utilizan ambas para llegar al suelo, el
g.t 2
2y
2.(25m)
50 2
cual es el tiempo final y 
t 


s  2,25s  t f  2,25s
2
2
g
9,8
9,8 m s
Velocidad inicial de la segunda piedra
2ª piedra: y  v o .(tf  to ) 
g.(t f  t o ) 2
9,8( 2,25  1) 2
 25  v o ( 2,25  1) 
 25  1,25v o  7,65
2
2
25  7,65 17,35
vo 

 13,88m s  v o  13,88m s
1,25
1,25
y  v o .(t f  t o ) 
11. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial v o  196m s ;
despreciando la resistencia del aire, determine:
a) La velocidad del cuerpo al cabo de 10s
b) La velocidad del cuerpo al cabo de 30s
c) La posición del cuerpo a los 15s del lanzamiento
d) La altura máxima que puede alcanzar
e) El tiempo de subida
Solución:
a) v f  v o  g.t
 v  196m s  (9,8 m s 2 ).(10s )  98m s
b) v f  v o  g.t  v  196m s  (9,8 m s 2 ).(30s )  98m s el signo menos significa
que el cuerpo viene en dirección contraria a la inicial, o sea que ya viene
descendiendo
g.t 2
( 9,8).(15)2
 (196).(15) 
 2940 1102,5  1837,5m
c) y  v o .t 
2
2
2
2
vf  vo
2
2
d) v f  v o  2g.y  y 
La máxima altura se alcanza cuando la v f  0 ,
2g
 vo
 (196)2
y

 1960m
entonces:
2g
2( 9,8)
2
v f  v o  g.t despejando de está fórmula ( t ), t 
cuando la v f  0 , luego t 
vf  vo
el tiempo de subida se obtiene,
g
 v o  196

 20s
g
 9,8
DINAMICA
1. 2 fuerzas contrarias actúan sobre un cuerpo como indica la figura. Plantear la 2da ley de
Newton.
Si tengo 2 fuerzas que actúan sobre el objeto, tengo que plantear que la suma de las
fuerzas es “m.a”. Ahora. Ojo. La fuerza de 10 es positiva porque va como la aceleración, y
la fuerza de 5 es negativa porque va en sentido contrario.
10 N  5 N  m  a
 5 N  m a

5 Newton haci a
la derecha es la
fuerza resultante .
2. Calcular la aceleración del cuerpo. Masa del cuerpo 10 Kg.
El cuerpo va a acelerar para la derecha porque la fuerza 20 N es mayor que la suma de
las otras dos ( 15 N ). Planteo la 2da ley:
F
 m a

 5 N  10 Kg  a
20 N  5 N  10 N  m  a

 a  0 ,5
5
m
s2
Kg  m
 10 K g  a
s2
 Aceleración del
cuerpo (va así ).
3. Construir los diagramas de cuerpo libre en los siguientes casos
3.1. Cuerpo apoyado sobre el piso:
Fuerza que el piso ejerce sobre
el cuerpo. ( se llama normal )
Fuerza que ejerce La Tierra
sobre el cuerpo. ( se llama peso ).
3.2. Cuerpo que cuelga de una soga.
Diagrama de
cuerpo libre.
T P 0
a 0
 T  P 

Ec. de Newton
3.3. Cuerpo que es elevado hacia arriba con aceleración a.
GRUA →
Tc  P  m  a
3.4. Dos cuerpos unidos por una soga que son arrastrados por una fuerza F.
1
1
Del cuerpo 1 se obtiene: Tc = m1. a
Del cuerpo 2 se obtiene: F-Tc = m2.a
3.5. Dos cuerpos que pasan por una polea.
T  P1  m1  a
P2 T  m2  a
3.6. Sistema de dos cuerpos que caen, uno está en un plano horizontal y el otro cuelga de
la soga.
Ecuaci ones :
T  m 1. a
P
2
T  m 2 . a
4. Un hombre arrastra una caja que pesa 20 Kgf. Calcular la fuerza de rozamiento entre el
piso y la caja. Dato: d piso-caja = 0,3.
5. Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda.
Para cada diagrama se plantea la ecuación de Newton. Ahora se resuelve el sistema de
ecuaciones:
T  fROZ d  mA  a
PB T  mB  a
;
 Ecuaciones
 T – froz d + PB – T = mA. a + mB. a
– froz d + PB = ( mA + mB ). a

T  fROZ d  PB T  mA  a  mB  a
 PB  fROZ d  mA  mB   a
m
m
 0 ,2  10 Kg  9 ,8 2  10 Kg  5 Kg   a
2
s
s
m
m
 49 Kg 2  19 ,6Kg 2  15 Kg  a
s
s
 5 Kg  9 ,8
49 N – 19,6 N = 15 kg . a
m
 ,4 Kg 2
 15 Kg  a  29
15 kg . as= 29,4 kg.m/s2

2
a = 1,96 m/s2 a  1 ,96 m s

Aceleración
del sistema.
Conocida la aceleración se calcula ahora la tensión:
PB T  mB  a


T  PB  mB  a

T  mB  g  mB  a

T  mB   g  a 

T  5Kg   9,8


m
s
2
 1,96
T  39,2 N
m 

s2 
 Tensi ón en la cuerda
6. Calcular con qué aceleración cae un cuerpo por un plano inclinado de ángulo alfa.( No
hay rozamiento ).
 F en el eje X = m . a

en el eje X
a = g . sen 
ACELERACION
DE CAIDA
7. Para el sistema de la figura calcular la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda.
( No hay rozamiento ).
Para resolver el problema se hace el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los
cuerpos que intervienen:
Para cada diagrama se plantea la ecuación de Newton:
Para A:
Para B :
T  mA  a
PxB T  mB  a
Del sistema de ecuaciones despeja las incógnitas
 T  mA  a

 Px B T  mB  a
T  Px B T  mA  a  mB  a

Px
B
  mA  mB  a
 mB g  sen 30   mA  mB  a
 5 Kg  10 m2  0 .5   10 Kg 5 Kg a
s

m
 2 5 Kg 2  15 Kg  a
s

m
s2
a  1 ,6
Conocida la aceleración se calcula la tensión en la cuerda:
T  mA Ta  mA  a
 m
 m
T 
 1 ,6 2
T  10
Kg
1 ,10
6 Kg
2
s
s



T
 16,6TN. 16,6 N . 
en
TensiónTensión
en

la
cuerda.
la cuerda.
8. Calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión en la soga para el sistema de la
figura. (No hay rozamiento).
Diagramas de
cuerpo libre.
Para A:
T  PxA  mA  a
Para B :
PxB T  mB  a
 Ecuaciones
Del sistema de ecuaciones se despejan las incógnitas
T – PA. sen 30 º = m A . a
P B. sen 45 – T = m B . a
T – P A . sen 30 º + P B. sen 45 – T = m A . a + m B . a
:
– P A . sen 30 º + P B. sen 45 = ( m A + m B ) . a
PA  0,5  PB  0,707

a 
mA  mB
 a 
 8Kg  10 m s 2  0,5  5Kg  10 m s 2  0,707
8Kg  5Kg
m
m
0,357
 a = -a
 0357
s2
s2
ACELERACION
DEL SISTEMA
La aceleración dio negativa por tal motivo el sistema se mueve en sentido contrario al
asumido
Conocida la aceleración se calcula la tensión
T – PA . Sen 30 º = m A . a
T  PA  sen 30  mA  a
m
T  80 N  0 ,5  8 Kg    0 ,357 2 
s 


T  37 ,14 N
 Tensión en la cuerda