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Tercera Guía Teoría de Decisiones
Tercera Guía Teoría de
Decisiones
Optimización (Maximización y Minimización)
Renato Montenegro
En esta guía se presenta ejercicios sobre teoría de optimización en el área de la producción u
operación utilizando análisis gráfico. (maximización y minimización)
Tercera Guía Teoría de Decisiones
Ejercicios de Optimización (Maximización y Minimización) de producción
construyendo las restricciones para llegar al análisis gráfico.
1.- Una empresa armadora de automóviles que entrega 50 vehículos del tipo “A” y
45 tipos “C” al mes, decide fabricar utilizando sus instalaciones una pieza de
carrocería tipo “E” de los autos que arma tipo “A” y un tipo de mecanismo tipo “M”
que utiliza los vehículos tipo “C”. Ambas piezas son fabricadas mediante un
proceso en dos etapas:
Primera Etapa: El tiempo unitario de producción de la pieza de carrocería “E” es 1
hora y de del mecanismo “M” es 2 horas, el tiempo total que puede destinar esta
primera etapa es de 100 horas al mes.
Segunda Etapa: El tiempo unitario de producción de la pieza de carrocería “E” es
de 2 horas y del mecanismo “M” es de 1,5 horas, el tiempo total que puede
destinar esta segunda etapa es de 121 horas al mes.
Estudios realizados en la empresa ha permitido concluir que la contribución
unitaria para la pieza “E” es de $200.- y para la pieza “M” es de $100.¿Cúal debe ser el programa de producción de “E” y “M” para maximizar la
contribución unitaria? (Función Objetivo: 10 puntos, restricciones: 10 puntos,
Modelo Lineal: 10 puntos y Maximización: 10 puntos).
Respuesta:
Lo primero que se debe hacer en este caso es construir una tabla para visualizar
mejor las restricciones:
Horas primera
etap.
Horas segunda
etap.
Contribución $
Pieza “E”
1
Mecanismo “M”
2
Disponibilidad
100
2
1.5
121
200
100
Luego se comienza con las etapas siguientes:
a) Variables: E = Cantidad de piezas “E”
M= Cantidad Mecanismos “M”.
b) Función Objetivo:
Zmax = 200 E + 100 M
c) Restricciones:
I) E + 2M
II) 2E + 1,5M
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<= 100
<= 121
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III) E
IV)
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M
E, M >= 0
<= 50
<= 45
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c) Análisis Gráfico:
I)
II)
III)
IV)
(0,50), (100,0)
(0,80.7),(60.5,0)
E=50
M=45
III
100
80
II
60
IV
40
I
20
20
40
60
80
100
120
punto optimo:
II) y III)
Al Optimizar:
II) 2E + 1,5M
III) E
<= 121
<= 50
Queda: E =50, M = 14, y la función objetivo es : Zmax = 200 * 50 + 100* 14
Zmax = $11.400.-
2.- Para conservar su salud una persona debe cubrir ciertos requerimientos diarios
mínimos relativos a diferentes tipos de elementos nutritivos. Supongamos que solo
necesita considerarse 3 clases de elementos nutritivos:
Calcio, Proteínas y Calorías. Supongamos también que la dieta del individuo costa
de solo dos alimentos cuyos precios y contenidos nutritivos en gramos se
muestran en la siguiente tabla donde también se han considerado los
requerimientos diarios mínimos de cada elemento:
Precio $
Calcio (unidades)
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Alimento 1
Alimento 2
0.6
10
1
4
Requerimiento
Mínimo
20
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Proteínas (unid.)
Calorías
5
2
5
6
20
12
¿Qué combinación de dos alimentos satisface los requerimientos diarios con el
menos costo?
Respuesta:
a) Variables: X = gramos alimentos 1
Y= gramos alimento 2
b) Función Objetivo:
Zmin = 0.6 X + Y
d) Restricciones:
I) 10X + 4Y >= 20
II) 5X + 5Y >= 20
III) 2X + 6Y >= 12
X, Y >= 0
e) Análisis Gráfico:
5
V)
VI)
VII)
(0,5), (2,0)
(0,4),(4,0)
(0,2),(6,0)
punto optimo:
4
3
II
2
III
I
1
II) y III)
Área
Solució
n
1
2
3
4
5
6
Al Optimizar:
II) 5X + 5Y >= 20
III) 2X + 6Y >= 12
Queda: X = 3, Y = 1, y la función objetivo es : Zmin = 0.6 * 3 + 1
Zmin = 2.8
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3.- Un agente vendedor maneja dos productos según la siguiente tabla:
Producto 1
Producto 2
Maximo
Horas gastadas
1
1,5
80
Probabilidad
0.5
0.5
1
Ganancia
1.5
0.5
El no espera vender más de 10 unidades al mes del producto 1 y tiene como meta
de venta 24 unidades del producto 2 para no recibir una amonestación.
¿Cúal es la ganancia óptima según las visitas mensuales que el agente debe
hacer a los clientes de cada producto?
Respuesta:
a) Variables: X = cantidad producto1
Y= cantidad producto 2
b) Función Objetivo:
Zmax = 1.5 X + 0.5Y
c) Restricciones:
I) X + 1.5Y
<= 80
II) 0. 5X + 0.5Y
=1
III) X
<= 10
IV)
Y
>=24
X, Y >= 0
d)Análisis Gráfico:
60
III
50
I)(0,53.3), (80,0)
II)(0,2),(2,0)
III)(10,0)
IV)(0,24)
40
I
30
IV
20
punto optimo:
10
I) y III)
II
10
20
30
40
50
60
80
Al Optimizar:
I) X + 1.5Y <= 80
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III) X
<= 10
Queda: X = 10, Y = 46.7, y la función objetivo es :
Zmax = 1.5*10+0.5 *46.7
Zmax = 38.35
III Ejercicios de Optimización (Maximización y Minimización) de producción
partiendo del análisis gráfico para llegar a las restricciones.
1.- De acuerdo al siguiente gráfico:
y
180
140
45
x
120
200
400 425
a) Determine cual sería la combinación más óptima para una empresa que desea minimizar sus
costos , con $45 para x y $50 para y.
b) Determine el área de soluciones factibles
c) Determine los costos de acuerdo a la combinación óptima
Respuestas:
a)Lo primero es determinar las ecuaciones necesarias de acuerdo al punto óptimo que se
encuentra ubicado según las líneas segmentadas.
En este caso se utilizan las formulas para determinar la ecuación dado dos puntos:
Y – Y1 = M * (X – X1)
Siendo:
M=
Y2 – Y1
X2 – X1
Utilizando los puntos:
(0,140) y (400,0) siendo: X1 = 0; Y1 = 140; X2 = 400; Y2 = 0
Se obtiene: M = - 7/20
Luego : la ecuación es : Y – 140 = -7/20 (X – 0) lo que da: Y – 140 = -7/20 X resolviendo:
Y+ 7/20 X = 140 como primera ecuación.
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Resolviendo la segunda ecuación:
(0,180) y (200,0) siendo X1 = 0; Y1 = 180; X2 =200; Y2=0
Se obtiene: M= -9/10
Luego: la segunda ecuación es: Y – 180 = -9/10 (X – 0) lo que da: Y – 180 = -9/10 X resolviendo:
Y + 9/10 X = 180 como segunda ecuación.
b) Optimizando:
Y+ 7/20 X = 140
Y + 9/10 X = 180
Queda: X = 72.7
Y = 114.55
Obteniendo:
Zmin = 45 * 72.7 + 50 * 114.55
Zmin = 8999.-
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