DINAMICA

DINAMICA
Es el estudio de las fuerzas, aplicadas a los cuerpos teniendo cuenta la clase de movimiento que provocan.
Se la conocen tres leyes o principios
a) PRINCIPIO DE INERCIA.
Todo sistema material sobre el que no actúan fuerzas exteriores permanece con la misma clase de movimiento; es decir, si
estaba en reposo continuará en reposo y si en movimiento recto con velocidad constante continuará con la misma clase de
movimiento.
Si de alguna manera sobre dicho sistema actúa alguna Fuerza exterior sobre él, éste responderá en sentido opuesto contra
toda alteración ( Fuerza de Inercia ); una de las Fuerzas de Inercia más conocida es la Fuerza centrífuga.
b) PRINCIPIO DE ACCION Y REACCION.
No existe una fuerza aplicada aislada, sino que a toda fuerza llamada acción le corresponde su respuesta denominada
Reacción, es decir, otra fuerza igual a la aplicada pero de sentido opuesto.
Ambas fuerzas ( Acción y Reacción ) son fuerzas cuyos puntos de aplicación corresponden a cuerpos o partículas distintas
(por ejemplo al empujar un cuerpo con la mano (acción), su reacción es la fuerza sentida y aplicada en la propia mano).
c) LEY DE NEWTON.
Existe una Proporcionalidad entre las fuerzas F aplicadas a un cuerpo y las aceleraciones provocadas por dichas fuerzas

sobre el mismo, es decir
Fi
 M
ai
Esta expresión también puede interpretarse como

 F  M a
i
que indica, que la suma de todas las fuerzas aplicadas a un
cuerpo provocan una aceleración a éste y respondiendo con una fuerza inercial. En realidad la Masa puede considerarse
como la oposición a bruscos cambios en la aceleración de un cuerpo.
0 bien colocando este expresión de la forma

 F  ( Ma )  0
i
que puede interpretarse como que la suma de todas las
fuerzas exteriores F aplicadas a un cuerpo y la Fuerza de Inercia (-Ma) dan una resultante nula.
Sin embargo la expresión mas actual de esta ecuación fundamental consiste en no considerar la masa inercial cono una
constante al referirse a determinadas velocidades, es decir




dV d
F  M .a  M .
 ( mV )
dt dt
Unidades:
C.G.S.
DINA= gr.cm/sg2
S.I.
NEWTON= Kg. M/sg2
1 Nw = 105 Dinas


 dP
F
dt
TECNICO
KP= U.T.M. m/sg2
1 Kp = 9,81 Nw
FUERZA DE ROZAMIENTO AL DESLIZAMIENTO
El rozamiento es la fuerza que se opone al avance o movimiento del mismo. Es una fuerza pasiva, es decir, no actúa
mientras no exista alguna fuerza de avance o exista movimiento.
El rozamiento nace como consecuencia de las rugosidades existentes entre las superficies en contacto en el deslizamiento; si
dichas superficies estuvieran perfectamente pulidas no existiría tal oposición al movimiento. Sin embargo puede reducirse el
mismo de múltiples maneras, siendo las mas generales las dedicadas al relleno de dichas rugosidades con materias
lubricantes.
El rozamiento es una característica de la naturaleza del cuerpo y de las rugosidades entre cuerpo y suelo y que viene
determinado por una constante llamada “coeficiente de rozamiento”. Sin embargo este coeficiente, que representa una medida
de la calidad de rozamiento, se define como una relación entre la Fuerza de rozamiento que provoca y la Fuerza Normal que
le mantiene unido al suelo, es decir:
Sin embargo la experiencia demuestra que la fuerza necesaria para hacer avanzar un cuerpo en reposo es mayor que
cuando el cuerpo ya esta en movimiento. De esta manera existen dos fuerzas de rozamiento : estática (reposo) y dinámica
(movimiento); y como consecuencia también existirán dos coeficientes de rozamiento estático y dinámico

Froz
N
Experimentalmente se puede determinar el coeficiente de rozamiento estático de la siguiente manera : Se coloca el
cuerpo sobre la superficie horizontal y se lo va elevando como en un plano inclinado hasta un determinado ángulo “” en el
cual el cuerpo da la sensación de que tiende a deslizar por el plano inclinado. En ese momento la fuerza que tiende a hacerle
deslizar es igual a la de rozamiento Froz.. Y se observa que la tangente de dicho ángulo corresponde con el coeficiente de
rozamiento:
IMPULSO MECANICO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
De la Ley de Newton

F  ma
o bien


dV
F m
dt

 F dt  m dV
Y sí consideramos a la masa como una variable dependiente de la velocidad


F dt  d ( mV )
 
d I  F. dt
Se define Impulso elemental
 t2 
I   F. dt
El Impulso entre entre dos instantes es :
t1


P  ( m. V)
Y Cantidad de Movimiento o Momento Lineal elemental :
Así se observa que el Impulso total entre dos instantes t1 y t2,



cuerpo entre dichos instantes
provoca la variación de la cantidad de movimiento en el
I  ( mV)1  (mV) 2
Si la fuerza que actúa sobre el cuerpo es constante en dicho intervalo el impulso es :
I = F. t
La variación con el tiempo del momento lineal es debido a las fuerzas exteriores aplicadas al cuerpo; en efecto:




dP
F dt  dP
 F 
dt
PRINCIPIO CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL
Si sobre un cuerpo o sistema no actúa ninguna fuerza exterior, es decir ningún impulso, entonces no hay variación de la
cantidad de movimiento, o lo que lo mismo, el momento lineal del sistema se conserva constante en toda evolución del mismo.
En efecto
Fext 

dP
dt
Si Fext  0


dP
0
dt
es decir

P  Cte
Ejemplo:
Un coche de “choque” de 70 Kg lleva la velocidad de 3 m/s y choca frontalmente con otro de 50 Kg y velocidad 1,6
m/s en sentido opuesto. Sabiendo que el segundo coche sale despedido hacia atrás con velocidad de 1,2 m/s, determinar la
velocidad del primero después del choque
Según el principio de conservación del momento lineal antes después del choque será: P antes = Pdespués



m1.V1  m2 .V2  m1.V 3  m2 .V4

V3  (1,0)
 V3  1 m / s

 70 (3,0)  50(1´6,0)  70.V3  50(1´2,0)
MOMENTO ANGULAR 0 CINETICO.
Sea “m” una partícula que describe una trayectoria cualquiera con una velocidad V. Se llama momento angular ó cinético
respecto a un punto O, al Momento de la Cantidad de Movimiento respecto a dicho punto :
  
L  r P
Si se trata de un sólido compuesto de partículas, el momento cinético respecto de un punto
será :




 
L   Li  ri  Pi
siendo
Pi  m1 .Vi
Veamos la variación del momento angular con el tiempo (dL/dt):



dL d  
dr   dP
 (r P) 
P  r 
dt dt
dt
dt
   
V P  r F
 
 0  r  Fest

 M est
Es decir, que el Momento Angular de un sistema o cuerpo sólo varía si hay fuerzas exteriores aplicadas al mismo que
provoquen un Momento.
PRINCIPIO CONSERVACION del MOMENTO ANGULAR
Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza exterior F=0 o bien el Momento es nulo M=0, entonces la variación con el tiempo
del Momento Angular o Cinético es también nulo y como consecuencia el mismo permanece Constante.
En efecto:

Si M ext  0
entonces
dL
0
dt


L  Const.
Ejemplo:
La fuerza de gravitación es una fuerza conservativa y que al ser radial, es decir que tiene la misma dirección del vector
  
posición provoca que el momento de dicha fuerza sea cero
M  r xF  0
Por lo tanto el Momento Angular “ L “ es constante a los largo de toda su trayectoria:
Tanto en el Periastro (P) como en el apoastro (A) como en otro punto de su
trayectoria, el momento angular se conserva:
Da .m. Va = Dp .m. Va …. = r.m.V. Sen()
Vp 
Da
.Va
Dp

V p  Va
La velocidad en el Periastro
apoastro
es mayor que el
CENTRO DE MASAS C.D.M.
Toda fuerza exterior aplicada a un cuerpo, partícula o sistema de partículas, produce en éste una traslación
(resultante) y un giro (momento)
Si la resultante de las fuerzas aplicadas al sólido pasan por un punto determinado del mismo llamado c.d.m. entonces no se
produce el giro sino solamente una traslación, es decir
Toda fuerza aplicada en el c.d.m. de un sistema produce en él una traslación pura.
El centro de gravedad c. d. g. de un cuerpo es el punto de aplicación de las fuerzas gravitatorias sobre las partículas del
sólido. El c.d.m. y el c.d.g. prácticamente son coincidentes siempre que la magnitud y dirección de la aceleración de la
gravedad sean las mismas para todos los puntos del cuerpo (lo que en la practica sucede).
Sin embargo los conceptos de c.d.m. y c.d.g. son esencialmente distintos. Además el c.d.m. existirá conceptualmente siempre
mientras que si la gravitación desaparece deja de tener sentido el c.d.g.
La Posición del c.d.m. respecto de un observador 0 viene dada por la expresión

R
 m r
m
i
i
i
Si el sistema de partículas M es un sistema uniforme es decir, consta de un número infinito de partículas, entonces dicha
expresión se convierte por conceptos matemáticas en integral

 v r dm
R
 dm
v
Aplicando esta expresión a cuerpos uniformes y geométricos se determina que su c.d.m. coincide con su centro geométrico.
Gracias a ello, ciertos cuerpos pueden ser sustituidos por sus masas en sus centros geométricos o c.d.m. Ejemplo:
MOVIMIENTO DEL C.D.M.
Veamos ahora la variación temporal de este vector posición R:

dri




m

i
dR d  mi ri
dt   mi Vi   Pi
 (
)
dt dt  mi
M
M
 mi



dR
dR 
 M.
  Pi
pero
Vc.d .m.

dt
dt

Pc.d .m. 

P
i
Esto demuestra que la cantidad de movimiento del C.D.M. es la suma de las cantidades de movimiento de las partículas del
sistema y que la velocidad del C.D.M. es la velocidad de traslación del sistema.
Veamos también la variación temporal del momento lineal:




d 
d
d
d
( Pc.d .m. )  (  Pi )

( M .Vc.d .m. )  (  Pi )   Fext
dt
dt
dt
dt


dV


M . c . d . m .  M . ac . d . m .

( M . ac.d .m. )  Fext
dt
Las fuerzas exteriores aplicadas al sistema provocan un movimiento de traslación que coincide con el movimiento del c.d.m.
como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en ese punto. Sin embargo, este movimiento del c.d.m. es parcial,
pues nada se dice del movimiento relativo de las partículas del sistema respecto a ese punto, como pueden ser las rotaciones
y vibraciones
EJERCICIOS
CENTRO DE MASAS
1. Determinar el C.D.M. del sistema de masas M1=2Kg M2=1Kg M3=4Kg situadas en los puntos A(4,0) , B(0,8) , C(0,0)
respectivamente de un sistema cartesiano con unidades en el S.I.
2 Deteminar el C.D.M. de las figuras planas expuestas.
3. Sean dos masas puntuales M1=4Kg situada en A(0,2) y M2=2Kg situada en B(4,0) de un sistema coordenado cartesiano (en
unidades del S.I) y que tienen en ese momento las velocidades V 1=4i V2=2j Hallar:
a) Posición del C.D.M. en ese momento.
b) Momento lineal del sistema y velocidad del C.D.M.
c) Velocidad relativa de cada masa respecto del C.D.M.
d) Posición del C.D.M. 1 segundo después.
4. Una masa de 4Kg situada en el punto A(4,0) se mueve con velocidad de 2m/sg. en dirección del origen de coordenadas.
Otra masa de 2Kg situada en el punto B(8,0) se mueve también en dirección del origen (0,0) con la misma velocidad. Calcula:
a) Cantidad de movimiento del sistema y velocidad del centro de masas.
b) Velocidad relativa de una masa respecto de la otra.
c) Velocidad relativa de cada masa respecto del C.D.M.
c) Posición del c.d.m. en función del tiempo.
d) Momentos angulares de las masas respecto al origen y el momento angular del C.D.M. respecto al origen.
5. Sean dos masas M1 = 4 Kg y M = 6 Kg en reposo en las posiciones A(4,0) y B(0,2) sometidas a fuerzas constantes




F1 = 2 i
F2 = 4 j respectivamente. Calcular :
y
a) Posición inicial del c.d.m. y fuerza a la que está sometida el c.d.m.
b) Velocidad del c.d.m. en función del tiempo y su posición en función del tiempo. Particularizar para t=2 sg.
6. Se dispara verticalmente hacia arriba un proyectil de 10Kg con velocidad de 300m/sg. A los 10 sg explota en dos trozos: el
primero de 6Kg sale con velocidad de 200m/sg en la misma dirección y sentido con que se movía el proyectil justo antes de la
explosión. Calcular:
a) Altura a la que se produce la explosión
b) Velocidad del otro trozo justo después de la explosión
c) Posición del C.D.M. del sistema 4 sg. después de la explosión
7. Se lanza horizontalmente una masa con velocidad de 10 m/sg desde una altura de 20 m. Un segundo después explosiona
en dos trozos iguales saliendo uno de ellos con velocidad horizontal de 6 m/sg. Calcula la altura a la que se produce la
explosión y la velocidad del otro trozo.
EJERCICIOS
DINAMICA
1. Una persona de 70 Kg. de masa está encima de una báscula dentro de un ascensor. Calcular el peso de esa persona (lo
que marcará la balanza) en los casos siguientes:
a) El ascensor sube/baja con velocidad uniforme
b) El ascensor asciende con una aceleración de 1 m/sg 2
c) El ascensor baja acelerando con una a= 1 m/sg2
d) El ascensor sube decelerando con una a= 1 m/sg2
e) El cable del ascensor se rompe, cayendo el mismo libremente.
2. Sobre dos vagones de 500 Kg cada uno unidos por un cable inextensible en una vía, actúan tres personas
simultaneamente; dos tiran del vagón delantero con fuerzas de 200 Nw cada una y formando ángulos de 30º en la dirección de
la vía y a ambos lados de ella, la tercera persona tira hacia atrás del segundo vagón con una fuerza de 100 Nw. Calcular la
aceleración que adquieren los vagones y la tensión del cable que los une.
3. Una cuerda de 1 metro tiene sujeto en un extremo una masa de 2 Kg y el otro extremo está sujeto al techo de una pared. Se
hace girar la masa en un plano horizontal describiendo órbitas circulares con un desplazamiento de 30º sobre el eje vertical.
Representa todas las fuerzas que actúan sobre la masa y calcula la velocidad de giro y la tensión que soporta la cuerda.
4. Una masa de 2 Kg. pende de un cordón de masa despreciable de 1 m. de longitud. El extremo libre está sujeto al techo de
un autobús; de repente el autobús acelera uniformemente de modo que la masa se desplaza hacia atrás por la inercia
formando un ángulo de 30º con la vertical.
Calcular la aceleración del autobús.
5. Sobre un cuerpo de 2 Kg en reposo se le aplica una fuerza variable F= t+1 (unidades del S.I.) durante 4 sg. Calcular:
a) Impulso sobre el cuerpo
b) Velocidad del cuerpo a los 4 sg.
6. Un fusil de 4 Kg. dispara proyectiles de 10 grs. que salen por la boca del cañón con una velocidad de 200 m/sg. La longitud
del cañón es de 80 cm.
a) Qué impulso comunican los gases de la pólvora en expansión sobre el proyectil ?
b) Qué fuerza (supuesta constante) ejercen esos gases y durante cuánto tiempo actuarán sobre el proyectil ?
c) Cuál es la velocidad de retroceso del fusil ?



7. Se aplica una fuerza a un cuerpo F = t i + (t - 1 ) j de 100 gr. en reposo que inicialmente se encuentra en la posición
  
Calcula la aceleración, la velocidad y posición que tendrá en t= 2 sg.
r =i + j .
8. Un coche de 800 Kg. dá una curva de radio 20 m. con velocidad constante.
Calcula la velocidad máxima que deberá llevar para que no derrape siendo el coeficiente de rozamiento dinámico de 0,2
a) la curva no tiene peralte
b) la curva tiene peralte con un ángulo de inclinación de 30º.
9. Se lanza una bola de 100 gr. horizontalmente contra una pared a la velocidad de 30 m/sg. La pelota sale rebotada con una
velocidad de 30 m/sg.Calcular el impulso que se ha comunicado a la bola. Si la bola ha estado en contacto con la pared una
décima de segundo, calcula la fuerza ejercida por la pared sobre la bola.
10. Calcular el valor de la aceleración del carrito para que la masa M adosada a él no se caiga.
La masa M= 2 Kgs. y el coeficiente de rozamiento entre dicha masa M y el cuerpo es de 0,2
11. Si se aplica una fuerza F= 2 Kp. a la masa M2= 4 Kg. formando un ángulo  = 30
, tal
como se indica en la figura adjunta, determinar la aceleración de cada una de las masas y la
tensión que soporta la cuerda que las une (suponer la cuerda y la polea de masas
despreciables).
La masa M2= 4 Kg
La masa M1= 6 Kg
El coeficiente rozamiento entre suelo y M2 es de 0,2
12. Calcular las aceleraciones de cada masa y tensiones de las cuerdas:
M= 6 Kg
m= 4 Kg
M1= 8 kG
M2= 4 Kg
M3= 6 Kg
coefic. rozam 1 = 0,2
ángulo inclin = 30º
coefic. rozam 2 = 0,1
13. Calcular el valor de la masa M para que el sistema de la figura adjunta no se mueva (no se vaya
para ninguno de los dos lados). m = 6 Kg  = 30  = 45 y coeficientes rozamiento 1 y 2
= 0,2
14. Se lanza hacia arriba y por un plano inclinado de 30º un cuerpo de 4 Kg de masa con velocidad de 72 Km/h. Si el
coeficiente de rozamiento dinámico entre cuerpo y suelo es de 0,2. Calcular la aceleración con que asciende y la altura que
sube. Si el cuerpo desciende posteriormente con que aceleración lo hará ?.
15. Una masa de 1 Kg. está encima de otra masa de 4 Kg en una mesa horizontal sin rozamiento con el suelo; la masa
superior tiene un coeficiente rozamiento con la inferior de ε =O,2. Calcular la fuerza máxima horizontal que se puede aplicar a
la masa inferior para que la superior no deslice sobre ella.
16. Se lanza una masilla de 20 grs. horizontalmente sobre un bloque de 2 Kg. en reposo en una mesa horizontal que tiene un
coeficiente rozamiento con el suelo de O,2; la masilla se pega al bloque y el conjunto desliza sobre la mesa 1 metro hasta
detenerse. Calcular la velocidad de lanzamiento de la masilla.