Commande optimale pour la minimisation des

Mejora de la restitución de orbita usando un filtro de
Kalman
Albert RODRIGUEZ FANJUL (SUPAERO 2009 – Telecom BCN 2009)
Paul SANMIGUEL (EADS Astrium – Flight Dynamics Team)
1.1.1 Introducción
La determinación de órbita desempeña un papel
crucial en las misiones espaciales puesto que es la
única manera de establecer en qué posición se
encuentra exactamente el satélite en el espacio en un
momento determinado.
Cuando el satélite es lanzado en órbita, determinar
su posición y velocidad de forma precisa permite el
cálculo y la ejecución de maniobras necesarias con
el objetivo de lograr su órbita final. Las primeras
maniobras realizadas, llamadas LAE, se realizan
para colocar el satélite en orbitas intermediarias
hasta alcanzar la última maniobra LAE, que
establece el satélite en su órbita final. En esta fase
deben determinarse los estados (posición y
velocidad) en tan sólo la mitad de la trayectoria,
permitiendo al equipo de operaciones planear la
siguiente maniobra a ejecutar dependiendo de la
órbita alcanzada con la anterior maniobra.
basado en mínimos cuadrados por un filtro de
Kalman para permitir el cálculo de la posición desde
la primera medida adquirida.
1.1.2 Modelo
Para resolver el problema de restitución de órbita,
las ecuaciones de movimiento que describen las
fuerzas actuando sobre el satélite necesitan ser
establecidas. Una vez identificadas las fuerzas
esenciales que actúan sobre el satélite, la posición y
la velocidad pueden ser determinadas integrando la
ley fundamental de la mecánica si las condiciones
iníciales son conocidas. Las principales fuerzas que
actúan sobre un satélite geoestacionario se muestran a
continuación
Cuando el satélite se encuentra en la órbita final,
diversas maniobras de restablecimiento llamadas de
Station Keeping se realizan para mantener el satélite
en la posición deseada. En este escenario, la
exigencia temporal se relaja, siendo dos días el
tiempo necesario para estimar la nueva orbita.
Transfer orbit 1
Geostationary orbit
Transfer orbit 2
FIG. 2 – Fuerzas actuando sobre un satélite GEO
V1
V2
Earth
V3
Sin embargo, dos marcos distintos tienen que ser
establecidos para proceder con la determinación de
órbita,

Un marco inercial dónde integrar las
diferentes fuerzas identificadas.

Un sistema de coordenadas conectado a la
tierra donde expresar las medidas
recolectadas por las distintas estaciones
terrestres ubicada en la superficie de tierra,
así como las fuerzas que son expresadas en
un marco giratorio, no inercial.
Injection orbit
Near synchronous orbit
FIG. 1 – Órbitas intermediarias para un satélite
geoestacionario
Con la finalidad de estimar la posición desde el
primer momento, el grupo EADS Astrium ha
propuesto un estudio de viabilidad para remplazar el
actual sistema de determinación de órbita existente
La aceleración puede calcularse fácilmente por
integración numérica en el marco inercial una vez se
ha multiplicado el vector aceleración por las
distintas matrices de cambio de pasaje, cuyo cálculo
permite obtener mediante integración numérica
tanto posición como velocidad.
1.1.3 Medidas
Las medidas disponibles en la restitución de órbita
permiten contrastar el modelo teórico con la
realidad física para poder mejorar la predicción del
vector de estado y proceder con la denominada
etapa de corrección.
Tanto las medidas de distancia como las angulares
se han utilizan en este estudio de viabilidad, siendo
las primeras más precisas y menos ruidosas. Sin
embargo, antes de poder utilizar las medidas,
algunas correcciones han tenido que llevarse a cabo
para poder proceder. Como los impulsos
electromagnéticos que luego determinaran las
medidas viajan a través de la atmósfera, la ionosfera
modifica la trayectoria del rayo debido a las
diferencias en el índice de refracción en distintas
alturas que existen a lo largo de la atmósfera.
Debido a este cambio en el índice de refracción,
tanto las medidas de distancia (RG) como las de
elevación (EL) han de ser modificados para tener en
cuenta la curvatura producida en el haz.
elemento en su forma Kepleriana facilitada por
nuestro modelo (GEM10B) con las del modelo
superior (GEM96). El error calculado es
considerado como un ruido gaussiano blanco
centrado, y se considera la mayor diferencia como
una dispersión de 3σ. Varios ensayos han
demostrado que son necesarias dos matrices
distintas, puesto que el error es mucho mayor
cuando el satélite está cerca de la tierra (cerca del
perigeo). A causa de este hecho, la matriz de ruido
de modelo es calculada según la posición del satélite
respecto a la tierra.
Para la matriz de covarianza de error de medida,
como el ruido depende directamente de los
instrumentos utilizados en la estación de control, a
cada una de ellas se le asignará una matriz. El
conjunto de matrices se han ajustado a partir de
varios ensayes con medidas en vuelo para encontrar
un reglaje adecuado.
1.1.5 Maniobras
El rendimiento de una maniobra introducirá un
error y una incertidumbre asociada al filtro. Si este
error no es modelado, el filtro puede divergir
rápidamente. Para resolver este problema, después
de la realización de una maniobra, la matriz de
covarianza de error es amplificada según los valores
de amplitud y de dirección de la maniobra ejecutada.
Por lo tanto, el error cometido tratando de estimar
el elemento Kepleriano después de la maniobra es
tomado en consideración por la covarianza,
estabilizando el filtro y llevándolo a la convergencia
como se muestra a continuación
FIG. 3 – Definición de las medidas usadas
1.1.4 Kalman
En la restitución de órbita, la ley de evolución
depende del estado, pudiéndose escribir de forma
abreviada como
X (t )  f ( X (t ), t ) 
0

d r  
   G  M Earth
dt v   

r3
3 x 3    
0

 r   

0  v    i (r , v, t ) 

 i

Esta formulación generalizada de la dinámica
implica relaciones fuertemente no lineales. Para
poder abordar el problema, la versión extendida del
filtro de Kalman (EFK) es utilizada, linearizando así
las matrices de estado y de medidas en cada
iteración.
Para obtener el reglaje final del filtro, los resultados
se han contrastado con los de un modelo de alta
precisión. La matriz de error de covarianza del
modelo ha sido calculado comparando cada
LAE
Manoeuvre
performed
FIG. 4 – Efecto de incrementar la covarianza del error
después de una maniobra
1.1.6 Conclusiones
El filtro extendido de Kalman ha demostrado ser
una excelente alternativa al método de mínimos
cuadrados. La posibilidad de conocer el estado a
cada instante de tiempo ha demostrado ser un
factor clave en la restitución de orbita,
especialmente durante la fase LEOP.
Otro factor a tener en cuenta ha sido el tiempo de
cálculo, el cual ha disminuido drásticamente.
Además, el filtro de Kalman ha demostrado a través
de distintos ensayos en vuelo ser más robusto
cuando las medidas contenían un alto nivel de ruido
o en el caso de contener errores aberrantes.
Sin embargo, incluso si el filtro de Kalman ha
demostrado ser una buena alternativa a los mínimos
cuadrados, algunos inconvenientes han aparecido en
su implementación. El proceso ha demostrado
divergir rápidamente si las condiciones iníciales no
eran lo suficientemente cercanas a las reales. Sin
embargo, como las suposiciones iníciales facilitadas
por ARIANE y otros organismos cuentan con una
gran precisión, el error inicial nunca superará el
límite de estabilidad que conllevaría a una eventual
divergencia del filtro.