Informe de la práctica A02

informeA02
14/11/2015
A) ACP con SPAD/ problema 0.2
1
INFORME TÉCNICO
Definición de estándares para la fabricación de máscaras antigás del ejército suizo.
Objetivo.
Se trata de fabricar unos pocos modelos de máscaras antigás de forma que se
ajusten lo mejor posible a la mayor parte de los soldados en el ejército suizo.
Datos.
Sobre una muestra aleatoria de 259 soldados (200 hombres + 59 mujeres),
se observan las 6 variables siguientes:
MFB = minimal front breadth
BAM = breadth of angulus mandibulae
TFH = true facial height
LGAN = length from glabella to apex nasi
LTN = length from tragion to nasion
LTG = length from tragion to gnathion
+----------------------------------+----------------------+----------------------+
| VARIABLE
OBSERVACIONES |
MEDIA DESV.TÍPICA|
MÍNIMO
MÁXIMO |
+----------------------------------+----------------------+----------------------+
| MFB
frontal minima
259
|
111.94
7.82 |
80.70
130.50 |
| BAM
mandibula angu
259
|
115.83
5.39 |
100.60
134.60 |
| TFH
cejas-menton /
259
|
121.24
6.99 |
93.40
139.10 |
| LGAN cejas-punta de
259
|
57.34
4.41 |
47.40
74.20 |
| LTN
cejas-oreja /
259
|
121.45
4.44 |
105.40
134.70 |
| LTG
menton-oreja /
259
|
136.82
6.82 |
115.70
153.30 |
+----------------------------------+----------------------+----------------------+
Las medias de estas 6 variables se mueven en valores similares (entre 112 y
136), salvo LGAN que es menor (media 57).
Las desviaciones típicas son del mismo orden y van desde 4.41 hasta 7.82.
Los recorridos oscilan entre 3 y 5 centímetros.
LGAN presenta con diferencia el mayor coeficiente de variación.
Análisis de Componentes Principales sin normar
Utilizaremos un ACP para estudiar estos datos. Disponemos de 6 variables
cuantitativas x 259 individuos, más una variable categórica (sexo) con dos niveles.
Como el objetivo consiste en definir modelos de máscara que se adapten bien a
todos los soldados independientemente de su sexo, trataremos todos los individuos
conjuntamente sin distinción de sexo y emplearemos esta variable sexo únicamente
como ilustrativa.
Para conseguir un buen ajuste de las máscaras parece aconsejable respetar la
dispersión original de cada variable y de esta forma conceder menor importancia a las
variables que presentan menos variabilidad. Realizaremos por tanto un ACP sin
normar. No obstante, al ser las varianzas bastante similares, aparecerían pequeñas
diferencias entre los resultados de un ACP Normado y uno sin normar.
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Valores propios
+----+----------+-------+---------+----------------------------------------------------------------------------------+
| Nº |
VALOR |
%
|
%
|
|
|
|
PROPIO |
|ACUMULADO|
|
+----+----------+-------+---------+----------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | 113.9672 | 50.72 | 50.72 | ******************************************************************************** |
| 2 | 38.3987 | 17.09 | 67.81 | ***************************
|
| 3 | 28.0709 | 12.49 | 80.31 | ********************
|
| 4 | 21.7623 | 9.69 | 89.99 | ****************
|
| 5 | 13.3769 | 5.95 | 95.95 | **********
|
| 6 |
9.1093 | 4.05 | 100.00 | *******
|
+----+----------+-------+---------+----------------------------------------------------------------------------------+
Cabe destacar que el primer eje factorial recoge más de la mitad de la
información y el primer plano, el 67,81%. Con el tercer eje alcanzaríamos el 80.31%.
Sólo los dos primeros ejes recogen más inercia que si hubieran sido elegidos al
azar sin ningún otro criterio. No obstante, y dado que no nos resultará demasiado
complicado manejar la información de un tercer factor, podemos no descartarlo de
momento, especialmente si resulta tener una interpretación interesante.
Correlaciones entre variables:
|
MFB
BAM
TFH
LGAN
LTN
LTG
-----+-----------------------------------------MFB |
1.00
BAM |
0.32
1.00
TFH |
0.41
0.07
1.00
LGAN |
0.14
0.06
0.43
1.00
LTN |
0.39
0.32
0.37
0.28
1.00
LTG |
0.53
0.29
0.41
0.30
0.64
1.00
-----+------------------------------------------
Las correlaciones entre las 6 variables originales son todas positivas.
La más alta aparece entre LTN-LTG (0,64), que son las dos medidas de
“profundidad” o “anchura del perfil”.
Siguen
MFB-LTG (0,53), LGAN-TFH (0,43),
MFB-TFH y LTG-TFH (0,41).
Las menores son BAM-TFH (0,07), casi incorreladas; MFB-LGAN (0,14).
Visualizamos toda esta estructura de correlaciones de una manera global y más
rápidamente mediante un gráfico de puntos variable en el plano 1-2 que se obtiene en un
ACP Normado, pues las correlaciones entre variables normadas son las mismas que
entre las variables originales:
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Interpretación de las CP (componentes principales)
---------------------+------------------------+--------------------+------------------VARIABLES
|
COORDONNEES
|CORR.VARIABLE-FACTOR|ANCIENS AXES UNIT.
---------------------+------------------------+--------------------+------------------IDEN LIBELLE COURT |
1
2
3
|
1
2
3
|
1
2
3
--------------------------+------------------------+--------------------+-------------MFB
frontal minima |
6.52
2.54 -3.36
| 0.83 0.33 -0.43 | 0.61 0.41 -0.63
BAM
mandibula angu |
2.16
2.73
1.56
| 0.40 0.51 0.29 | 0.20 0.44 0.29
TFH
cejas-menton
|
4.88 -4.48 -1.08
| 0.70 -0.64 -0.15 | 0.46 -0.72 -0.20
LGAN cejas-punta nar|
1.76 -2.04
1.04
| 0.40 -0.46 0.24 | 0.16 -0.33 0.20
LTN
cejas-oreja
|
2.97
0.09
1.89
| 0.67 0.02 0.43 | 0.28 0.01 0.36
LTG
menton-oreja
|
5.58
0.48
2.93
| 0.82 0.07 0.43 | 0.52 0.08 0.55
---------------------+------------------------+--------------------+-------------------
Primer eje:
0.61 MFB + 0.20 BAM + 0.46 TFH + 0.16 LGAN + 0.28 LTN + 0.52 LTG
La primera CP presenta correlaciones positivas medio-altas (entre 0.40 y 0.83)
con todas las variables originales.
Se trata pues de un factor “tamaño de la cabeza” y es la mayor fuente de
variabilidad (50%).
Valores altos de este primer factor van asociados con valores altos de todas las
variables. Esta asociación es algo menos fuerte (0,40) con BAM (ancho de mandíbula) y
LGAN (longitud de nariz)
Segundo eje:
0.41 MFB + 0.44 BAM - 0.72 TFH - 0.33 LGAN + 0.01 LTN + 0.08 LTG
La segunda CP está correlada positivamente con BAM (0,51) y MFB (0,33),
que son las dos medidas de la anchura de la cara. Negativamente con TFH (-0,64) y
LGAN (-0,46), que son las dos medidas de la altura de la cara.
Es por lo tanto un factor “forma de la cara”. Constituye la segunda fuente de
variabilidad (18%) y contrapone individuos de cara estrecha a los de cara ancha.
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Reunimos la interpretación de los dos primeros ejes y presentamos las
características de las diferentes zonas del primer plano factorial que recoge el 68% de la
información:
Tercer eje:
-0.63 MFB + 0.29 BAM - 0.20 TFH + 0.20 LGAN + 0.36 LTN + 0.55 LTG
El tercer factor recoge un 12.5% de información y está pendiente de incluirse si
encontramos para él una interpretación clara o interesante.
Está correlado positivamente con LTN y LTG (0,43), que son las dos medidas de
“profundidad” de la cabeza o “anchura del perfil”. Negativamente con MFB (-0,64) que
mide el ancho de frente y en menor medida TFH (-0,15). Contrapone individuos de
perfil ancho y frente estrecha a individuos de perfil estrecho y frente ancha.
Vistos desde arriba, unos presentan cabeza más estrecha y alargada, mientras
que otros tienen cabeza ancha y poco alargada. Podríamos decir por tanto que se trata de
un factor de “forma de la vista cenital” o “forma del perímetro craneal”
Tres primeros factores
Factor
Significado
1
Tamaño de la cabeza
(tamaño global)
2
Forma de la cara
(vista frontal)
3
Forma desde arriba
(vista cenital)
contrapone
pequeña
cabeza
/
grande
estrecha-alargada
cara
/ ancha-aplastada
Perímetro craneal con forma
estrecha-alargada / ancha-corta
%
% acu.
50.72
50.72
17.09
67.81
12.49
80.31
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Proyecciones
Individuos en los planos 1-2 y 1-3 por sexos, con tamaño proporcional a la c.r.
Los puntos llenan de forma bastante suave todo el rango de medidas y no
aparecen grupos nítidamente aislados. Curiosamente, aparece un pequeño vacío relativo
en la zona central del plano 1-2, lo que significa que no existen individuos con valores
medios de tamaño cabeza y de forma de cara simultáneamente.
La calidad de la representación en los planos 1-2 y 1-3 es alta para la gran
mayoría.
Los hombres (en azul) forman una nube más compacta y tienen por lo general
cabezas de tamaño mayor que las mujeres (en verde). Ambos grupos se solapan en la
zona correspondiente a cabezas de tamaño medio-bajo y forma de cara intermedia.
También se entremezclan en una amplia zona con individuos de ambos sexos que
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presentan valores intermedios de la forma del perímetro craneal, mientras que en las
formas extremas de esta vista cenital hombres y mujeres se separan completamente: Los
perímetros craneales con formas más estrechas y alargadas corresponden todos a
hombres con menores cabezas, mientras que en el extremo contrario, las formas
cenitales más anchas y cortas corresponden a mujeres de cabeza media-pequeña.
Las medias de uno y otro sexo (en rojo) difieren enormemente en tamaño de
cabeza, pero sólo en eso; presentan muy pequeñas diferencias tanto en la forma de la
cara como en la forma del perímetro craneal.
Existen también notables diferencias en cuanto a variabilidad en uno y otro sexo.
El grupo de mujeres es mucho más variable que el de hombres en cuanto a forma de
cara y también en las proporciones de la vista cenital, resultando especialmente
llamativa la gran dispersión de formas de cara que presentan las mujeres con menor
tamaño de cabeza:
individuos de cabeza muy pequeña y cara muy ancha:
203, 205
individuos de cabeza muy pequeña y cara con forma media: 206, 236
individuos de cabeza muy pequeña y cara muy estrecha:
211
Curiosamente, con las cabezas más grandes no ocurre lo mismo. En el gráfico
del plano 1-2 vemos cómo al aumentar el tamaño de la cabeza la forma de cara se va
centrando y en el extremo, terminamos por encontrar tres hombres algo aislados del
resto (140, 159 y 194) con cara de forma media.
Dentro del grupo de hombres, también las cabezas más pequeñas tienen forma
de cara intermedia y cráneo alargado, mientras que la mayor dispersión en la forma de
cara se observa en tamaños medios de la cabeza. El 010 es un hombre de cabeza mucho
menor que todos los demás, pero no originará problemas, pues sus medidas se parecen a
las de otras muchas mujeres y ello, si prescindimos de la información de sexo, le hace
perder su atipicidad. En situación similar se encuentran otros individuos como 239, 255,
256… que siendo atípicos dentro del grupo de mujeres, no lo son en el total.
Los perímetros craneales de forma más ancha corresponden a mujeres con
cabeza de tamaño algo menor que la media de las mujeres.
Otros elementos que sí pueden ocasionar desajustes son los individuos de cabeza
media y formas extremas de cara (96, 133 y 169), pues aparecen bastante separados del
grupo. Otro tanto podemos decir de la mujer 201, que es de cara muy ancha.
Finalmente, las mujeres 208, 210 y 212 tienen cabeza de tamaño algo menor que la
media de las mujeres, pero resultan bastante atípicas, pues presentan las formas del
perímetro craneal más estrechas; los hombres 57 y 160 son de cabeza pequeña dentro de
los hombres y presentan formas extremadamente anchas de perímetro craneal.
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Elementos atípicos
Ya hemos dicho que la nube presenta un aspecto bastante compacto. No
obstante, unos pocos elementos, los más distantes del grupo, aparecen algo aislados y
sus medidas afectarán sin duda a la calidad de los ajustes de las máscaras. Se trata de los
individuos nº 159, 140, 194, 96, 201, 205, 203, 236, 206, 211, 133, 179, 208, 210 y 212.
La lista incluye los 7 individuos más atípicos en términos de distancia euclídea:
individuo
dist02
individuo
dist02
203
123,6
210
77,2
212
121,5
140
75,9
211
107,8
236
74,2
205
90,3
243
72,0
159
84,5
213
69,6
208
82,1
194
66,1
206
82,0
230
62,8
216
79,2
254
62,3
235
78,4
207
61,8
214
77,9
242
61,2
Estos individuos suponen del orden de sólo un 5% del total pero al presentar las
medidas más atípicas, bastante alejadas de los otros, su inclusión provocará un
empeoramiento en la calidad del ajuste de las máscaras para todos los demás (95%).
Aconsejamos que se estudie la posibilidad de definir los estándares de máscara
prescindiendo de estos individuos atípicos. De esta forma podrá mejorarse
sensiblemente el ajuste para el 95% de los usuarios a costa de empeorarlo para este 5%
de individuos más atípicos.
Nuevo ACP con elementos ilustrativos
Realizamos un nuevo ACP sin normar tratando los puntos extremos como ilustrativos.
Individuos en los planos 1-2 por sexos, con tamaño proporcional a la c.a.
Este 5% de elementos atípicos es responsable en buena medida de la aparición
de los ejes (ver el gráfico anterior). Sin embargo, al eliminarlos del análisis el
significado de las CP básicamente se mantiene (ver la tabla siguiente) y la variabilidad
del grupo disminuye del orden del 15% (la inercia es ahora 190 en lugar de 224).
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--------------------------+------------------------+--------------------+-----------------VARIABLES
|
COORDONNEES
|CORR.VARIABLE-FACTOR|ANCIENS AXES UNIT.
--------------------------+------------------------+--------------------+-----------------IDEN LIBELLE COURT
|
1
2
3
|
1
2
3
|
1
2
3
--------------------------+------------------------+--------------------+-----------------MFB frontal minima anchu |
6.52
2.54 -3.36
| 0.83 0.33 -0.43 | 0.61 0.41 -0.63
con ilustrativos |
5.87 -1.93 -1.46
| 0.84 -0.28 -0.21 | 0.60 -0.34 -0.31
BAM mandibula angulo anc |
2.16
2.73
1.56
| 0.40 0.51 0.29 | 0.20 0.44 0.29
con ilustrativos |
1.92 -2.49 -2.53
| 0.38 -0.49 -0.50 | 0.20 -0.44 -0.54
TFH cejas-menton / altur |
4.88 -4.48 -1.08
| 0.70 -0.64 -0.15 | 0.46 -0.72 -0.20
con ilustrativos |
4.07
4.29 -1.54
| 0.65 0.69 -0.25 | 0.42 0.77 -0.33
LGAN cejas-punta de nariz |
1.76 -2.04
1.04
| 0.40 -0.46 0.24 | 0.16 -0.33 0.20
con ilustrativos |
1.78
1.62 -0.14
| 0.42 0.38 -0.03 | 0.18 0.29 -0.03
LTN cejas-oreja / anchu |
2.97
0.09
1.89
| 0.67 0.02 0.43 | 0.28 0.01 0.36
con ilustrativos |
2.64 -0.38
1.10
| 0.65 -0.09 0.27 | 0.27 -0.07 0.24
LTG menton-oreja / anchu |
5.58
0.48
2.93
| 0.82 0.07 0.43 | 0.52 0.08 0.55
con ilustrativos |
5.47 -0.60
3.11
| 0.84 -0.09 0.48 | 0.56 -0.11 0.67
--------------------------+------------------------+--------------------+------------------
Nuevos coeficientes y correlaciones comparados con los valores anteriores.
En la tabla siguiente comparamos las medias y desviaciones típicas del grupo
completo con sus valores cuando se eliminan los elementos atípicos. Apenas cambian
las medias (salvo MFB) y todas las varianzas disminuyen
+----------------------------------+----------------------+----------------------+
| VARIABLE
OBSERVACIONES |
MEDIA DESV.TÍPICA|
MÍNIMO
MÁXIMO |
+----------------------------------+----------------------+----------------------+
| MFB
frontal minima
259
|
111.94
7.82 |
80.70
130.50 |
|
241
|
115.87
5.05 |
100.60
127.80 |
| BAM
mandibula angu
259
|
115.83
5.39 |
100.60
134.60 |
|
241
|
115.87
5.05 |
100.60
127.80 |
| TFH
cejas-menton
259
|
121.24
6.99 |
93.40
139.10 |
|
241
|
121.66
6.26 |
103.30
139.10 |
| LGAN cejas-punta de
259
|
57.34
4.41 |
47.40
74.20 |
|
241
|
57.32
4.25 |
47.40
74.20 |
| LTN
cejas-oreja
259
|
121.45
4.44 |
105.40
134.70 |
|
241
|
121.50
4.04 |
111.50
133.10 |
| LTG
menton-oreja
259
|
136.82
6.82 |
115.70
153.30 |
|
241
|
136.95
6.52 |
115.70
152.60 |
+----------------------------------+----------------------+----------------------+
Efecto en las medias y desviaciones típicas
Individuos en los planos 1-2 por sexos, con tamaño proporcional a la c.a.
Los individuos ilustrativos aparecen con su identificador.
El gráfico es muy similar al del primer ACP (con todos los individuos activos)
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A) ACP con SPAD/ problema 0.2
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INFORME FINAL
Definición de estándares para la fabricación de máscaras antigás del ejército suizo.
Objetivo.
Se trata de fabricar unos pocos modelos de máscaras antigás de forma que se
ajusten lo mejor posible a la mayor parte de los soldados en el ejército suizo.
Datos. Sobre una muestra aleatoria de 259 soldados (200 hombres + 59 mujeres),
se observan las 6 variables siguientes:
MFB = minimal front breadth
BAM = breadth of angulus mandibulae
TFH = true facial height
LGAN = length from glabella to apex nasi
LTN = length from tragion to nasion
LTG = length from tragion to gnathion
Grupos
No aparecen agrupaciones de individuos diferenciadas.
Las observaciones llenan de forma bastante suave todo el rango de medidas y no
aparecen agrupaciones de individuos diferenciadas nítidamente unas de otras.
Hombres y mujeres
Los hombres difieren de las mujeres en el tamaño de la cabeza pero no en las
formas y proporciones. Las mujeres presentan mayor variabilidad de formas, tanto de la
cara como del perfil craneal.
Variabilidad de tamaños y formas
La mayor fuente de variabilidad (50%) es el tamaño de la cabeza, que
contrapone la existencia de individuos con todas las medidas de la cabeza más grandes
con otros con todas las medidas más pequeñas.
La segunda fuente de variación (17%) es la forma de la cara, que contrapone
individuos con caras alargadas (más altas y estrechas) a otros de cara aplastada (más
baja y ancha).
La tercera fuente (13%) es la forma del perímetro craneal o forma de la cabeza
vista desde arriba. Contrapone formas más alargadas longitudinalmente a formas más
alargadas transversalmente.
Curiosamente, las formas más extremas se presentan en los individuos de cabeza
más pequeña, mientras que los de mayor cabeza tienen formas intermedias. Entre los
individuos con cabeza más pequeña (mujeres) aparecen las proporciones de cara más
extremas (las caras más alargadas y las más aplastadas) y las formas de perímetro
craneal más anchas.
Apenas existen individuos con valores medios de tamaño cabeza y de forma de
cara simultáneamente.
Elementos atípicos
No existen elementos extraordinariamente atípicos, pero sí que aparecen unos
cuantos individuos que presentan conjuntos de medidas medianamente extrañas. Este
grupo supone del orden de un 5% del total pero su presencia provocará sin duda un
empeoramiento en la calidad del ajuste de las máscaras para todos los demás (95%).
Aconsejamos que se sondee la posibilidad de definir los estándares de máscara
prescindiendo de estos individuos atípicos. De esta forma podrá mejorarse
sensiblemente el ajuste para el 95% de los usuarios a costa de empeorarlo para este 5%
de individuos más atípicos.
Se trata de los individuos nº 159, 140, 194, 96, 201, 205, 203, 236, 206, 211,
133, 179, 208, 210 y 212, aunque podríamos incluir alguno menos o más.