Seminario: Paradojas, Circularidad y Universalidad Expresiva Eduardo Barrio
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UBA, Filosofía
1er Cuatrimestre de 2007
Seminario: Paradojas, Circularidad y Universalidad Expresiva
Eduardo Barrio
La Noción Tarskiana de Verdad
La definición tarskiana de verdad
-
definir el predicado veritativo
o
Ramsey: las oraciones 'la tierra es redonda' y 'es verdad que la tierra es
redonda' son equivalentes
o
De manera compatible con una solución a las paradojas semánticas
o
que garantice la aplicación del predicado a todas las oraciones verdaderas del
lenguaje y sólo a ellas.
-
Condición de adecuación Convención T
(T) s es verdadera si y sólo si p
donde 's' es reemplazable por el nombre de una oración del lenguaje objeto, y 'p' por una
descripción estructural de esa oración.
Si el metalenguaje no contiene al lenguaje objeto como una de sus partes, 'p' se reemplaza por
la traducción de la oración referida por la descripción estructural.
Instancias de (T) podrían ser
(1) 'La nieve es blanca' es verdadera ssi la nieve es blanca
o
(1') 'La nieve es blanca' is true if and only if snow is white.
La definición del predicado veritativo de un lenguaje es materialmente adecuada sss tiene
como consecuencia todas las oraciones (T).
Cada instancia de (T) define parcialmente el predicado veritativo.
El conjunto de las oraciones (T) fija la extensión del predicado veritativo.
La definición del predicado veritativo de un lenguaje es formalmente adecuada sss tiene como
consecuencia sólo el conjunto de las oraciones (T).
Estructura de la definición de verdad para un lenguaje finito
{s1, s2 , ..., sn }: conjunto finito de todas las oraciones del lenguaje
Definición material y formalmente adecuada de verdad:
x es verdadera ssi
(x = 's1' y s1 ) o
(x = 's2' y s2 ) o
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(x = 's3' y s3 ) o ...
(x = 'sn' y sn ) o
Estructura de la definición de verdad para un lenguaje infinito
-
Empleo de técnicas recursivas en su definición de verdad
Identificar estructuralmente los componentes mínimos del lenguaje a los que se les
aplica el predicado veritativo
Construir la verdad de los restantes componentes a partir de la aplicación de reglas a
los componentes básicos.
Por ejemplo, la verdad de la oración 'llueve y truena' se establece de la siguiente manera:
x es verdadera sii o bien ('x = ¬p', 'p' = llueve y no llueve) o
(x = 'p . q', 'p' = llueve y 'q' = truena, y llueve y truena) o …
Estructura de la definición de verdad para un lenguaje infinito con infinitas oraciones
elementales.
-
-
Empleo de técnicas recursivas en su definición de verdad
Identificar los mecanismos finitos generadores de infinitas oraciones elementales
o Predicación y Cuantificación
Ambos mecanismos dependen de la posibilidad de reconocer
expresiones suboracionales de categorías distintas (términos
singulares y predicados)
Ya que el número de oraciones es infinito y con cualquier conjunto
finito de ellas se pueden formar infinitos predicados complejos (como
Hx . Hy, Hx . Hy . Hz, … ) que a su vez puedan ser cumplidos (o no)
por un número potencialmente infinito de objetos, el lenguaje debe
contar con algún procedimiento para expresar o anterior. Ese
procedimiento es el de postular un número infinito de variables. x, y,
z.
Como hay predicados relacionales n-ádicos, es importante que los
objetos que sean utilizados tengan un orden secuencial infinito (en el
caso en que los objetos que se utilicen para interpretar sean
infinitos).
Construir un concepto más general que el de verdad (que sea aplicable tanto a
oraciones como a oraciones abiertas) a partir del cual definir verdad
Los objetos o1,..., on satisfacen el predicado n-ésimo.
o Para evitar la relativización a un número finito de o1,..., on objetos que
obligaría a tener diversos conceptos de satisfacción, conviene tener el
siguiente concepto
La secuencia finita S de objetos satisface el predicado
o Para permitir que los cuantificadores hablen acerca de conjuntos infinitos, es
indispensable tener el siguiente concepto
La secuencia infinita S de objetos satisface el predicado
Resumen:
(i)
el predicado veritativo se aplica a oraciones de un lenguaje particular,
(ii)
este predicado no puede pertenecer él mismo al lenguaje para el cual se lo
define,
(iii)
el predicado sólo se aplica a las oraciones del lenguaje, por lo cual cuando la
estructura del lenguaje objeto involucra fórmulas abiertas, hay que recurrir a la
noción de satisfacción; por último,
(iv)
cuando el número de oraciones del lenguaje objeto es infinito, es conveniente
dar una caracterización recursiva del predicado veritativo
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Ejemplo de definición para un L sin nombres propios ni funciones, con infinitas variables
individuales y con un único predicado.
x1,..., xn son variables que pueden ser reemplazadas por conjuntos
'I x1 x13' se la interpreta informalmente como x1 está incluido en x13
El concepto de satisfacción se aplica tanto a oraciones abiertas como a oraciones cerradas.
Las variables del lenguaje están ordenadas por los números naturales.
La variable i-ésima refiere al objeto (en este caso, conjunto) i-ésimo de la secuencia.
Definición:
La secuencia S satisface la función oracional O´ sss
o bien O´ es I x1 x3 y o1 está incluido en x3
o bien O´ es ¬A y la secuencia S no satisface A
o bien O´ es xn (A) y para toda secuencia S' igual a S salvo quizás en el nésimo lugar, A es verdadera en S.
Las oraciones reaccionan de un modo peculiar respecto de las secuencias: la posibilidad de
que unas secuencias satisfagan (y otras no) una oración depende de la existencia en su
interior de variables libres.
La oración “I x1 x3 “ es satisfecha por la secuencia
S1 < { 1} , {1, 2} , { {1} , 1 , 2} , ...>
Pero no lo es por la secuencia
S2 < { 1} , {1, 2} , { {3} , 1 , 2} , ...>
Pero, para las oraciones cerradas la definición se comportan de tal manera que o bien todas
las secuencias la satisfacen o bien ninguna lo hace. Y si alguna lo hace, lo hacen todas.
X es verdadera ssi toda secuencia satisface X
Definición para un lenguaje que contenga nombres propios (cn), nombres de función, y un
numero infinito de variables de objetos.
Es necesario comenzar dando una caracterización inductiva de la denotación de una
expresión con relación a una secuencia de objetos
(i)
1 'xn' denota en S on
2 ' cn' denota en S lo que denota
3 ' fn(A)' denota en S un objeto o1 ssi
(i) hay un objeto o2 que A denota en S
(ii) 'fn' se satisface por < o1, o2 >
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Ahora, se puede definir lo que Tarski denomina satisfacción de una fórmula, o lo que es lo
mismo las condiciones en las cuales una fórmula es verdadera en una secuencia:
(ii) Definición material y formalmente adecuada de verdad:
La secuencia infinita S satisface la función oracional O´ ssi
(O´ = x1,..., x n y
(x = 's2' y s2 ) o
(x = 's3' y s3 ) o ...
(x = 'sn' y sn ) o
(a) O' = ¬A y A no satisface S
(b) O' = A B y 'A' satisface S y 'B' satisface S
(c) O' = xn (A) y
- para toda secuencia S' igual a S salvo quizás en el n-ésimo lugar, A satisface S.
(d) O' = Pn(cn) y
- existe un objeto o tal que 'cn' denota o en S.
- 'P' se aplica a o.
Esto completa la caracterización de verdad relativa a una asignación de objetos a las variables.
Resta ahora definir las condiciones de verdad para una oración.
(v) Una oración es verdadera ssi es satisfecha por toda secuencia. Una fórmula es
verdadera con relación a una secuencia de objetos si sus constituyentes simples
son verdaderos en esa secuencia.
Resumen de la estrategia
-
las distintas secuencias S de objetos sólo pueden conducir a resultados distintos
respecto de fórmulas con variables libres.
-
Con respecto a las oraciones, todas las secuencias se comportan de modo idéntico:
o o bien la satisfacen todas las secuencias o bien no la satisfacen ninguna.
Cuando consideramos las circunstancias bajo las cuales una oración es verdadera o
falsa, no tenemos que tener en cuenta explícitamente las circunstancias bajo las
cuales esa expresión es satisfecha por todas las secuencias (es decir, secuencia por
secuencia). Todo lo que tenemos que considerar es una secuencia.
-
Esto queda a la vista en el siguiente caso: si aplicamos la definición de satisfacción a una
fórmula abierta como 'Px1' y suponemos que 'P' denota el conjunto de los objetos redondos,
la formula es satisfecha por
S1 <luna, Quine, Déborah de Corral, ...> pero no por S2 < Quine, luna, Déborah de Corral,
...>
En cambio en la aplicación de la definición a una oración con variables ligadas como '(‘x1)
(Px1 . Qx1)' resulta que, si es satisfecha por una secuencia S, lo es por todas. No puede darse
el caso de que exista una S' que no lo haga, puesto que la regla semántica correspondiente al
cuantificador requiere, entonces, que la secuencia S tampoco satisfaga la fórmula. La
conclusión general a la que se llega es que para las oraciones es posible dar la siguiente
definición de verdad:
A es verdadera ssi existe alguna secuencia S tal que A es verdadera en S.