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GRAVITACIÓN UNIVERSAL
1.- TEORÍA GEOCÉNTRICA: PTOLOMEO
2.- TEORÍA HELIOCÉNTRICA: COPÉRNICO
3.- LEYES DE KEPLER
4.- GRAVITACIÓN UNIVERSAL: NEWTON
5.- GRAVEDAD TERRESTRE
6.- EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
7.- SATÉLITES ARTIFICIALES
1. TEORÍA GEOCÉNTRICA: PTOLOMEO
El hombre, desde tiempos remotos ha estudiado el movimiento de los astros tomando
como referencia la Tierra, que según ellos permanecía inmóvil como apreciaban en sus
teorías dos grandes filósofos: Platón y Aristóteles que se basaban en lo siguiente:



La Tierra es esférica y permanece inmóvil.
Los planetas, la Luna y el Sol giran en torno a la Tierra en círculos perfectos.
Las estrellas permanecen fijas en el exterior del firmamento y a continuación no hay
nada.
A continuación comenzaron a surgir dificultades, ya que diversos astrónomos
observaban los astros de diferentes formas. Y para defender
las ideas de los movimientos circulares, surgió un gran
astrónomo, Hiparco (190-120 a.C) que aportó la idea de que
el planeta giraba en un círculo menor llamado epiciclo, en
cuyo centro giraba con la esfera y describía un círculo
llamado deferente.
A partir de entonces surgieron más astrónomos como
Ptolomeo que creó un sistema geocéntrico, llamado sistema
de Ptolomeo que no era muy fiable porque no coincidía el
centro del deferente con el de la Tierra. Pero aparte de esto
dio como nombre de ecuante, a un punto equidistante de la Tierra del centro total pero al
lado contrario.
Ptolomeo desarrolló su sistema geocéntrico y fue recopilado en una traducción al árabe
llamado Almagesto. Éste perduró a lo largo de toda la Edad Media. Además de esta obra,
también son importantes las Tablas Toledanas, escritas por el toledano Azarquiel y las
Tablas Alfonsinas de Alfonso X El Sabio. Don Raimundo fue el encargado de proteger las
obras astronómicas durante un tiempo, además de traducirlas a la lengua latina. A partir
de entonces, se desarrollaron aparatos para situar a los astros nombrados por el sistema
ptolemaico, como esferas celestes y astrolabios planos y esféricos.
2. TEORIA HELIOCÉNTRICA: COPÉRNICO
Nicolás Copérnico (1472-1543), gran matemático y astrónomo polaco, fue el
encargado de dar a conocer una hipótesis que el creía que era posible. Supuso que la
posición y el movimiento de los planetas podrían determinarse más fácilmente si
considerábamos como centro del Universo al Sol y no a la Tierra como hasta entonces. Por
tanto su hipótesis se basaba en que la Tierra no permanecía inmóvil sino que giraba en
torno al Sol y tardaba un año en dar una vuelta completa, y que además de eso giraba
sobre sí misma, por ello sabemos que hay días y noches. Además de estas teorías que
supusieron una revolución, todavía tenía que basarse en que sus movimientos describían
órbitas circulares.
Esta nueva interpretación del Universo era contraria a lo
dictado por la Biblia y a las concepciones aristotélicas, por lo que
los contemporáneos a Copérnico lo utilizaron como un método
válido para el cálculo de posiciones planetarias, pero no como un
modelo descriptivo del Universo. El propio Copérnico se resistió a
publicar la obra en la que quedaban plasmadas sus ideas.
Finalmente, “De Revolution ibus Orbium Celestium” fue publicado
a título póstumo, en 1543.
Las aportaciones de Galileo desde el campo experimental, con ayuda de su anteojo
astronómico, dieron un espaldarazo a las ideas copernicanas.
3. LEYES DE KEPLER
Tycho Brahe (1546-1601) realizó medidas precisas de las distancias de los planetas
al Sol, sobre todo de Marte. Estas mediciones fueron utilizadas por su discípulo Johannes
Kepler, quien, tras numerosos cálculos estableció una serie de ideas que cambiarían el
curso de la Astronomía, son las denominadas:
LEYES DE KEPLER.

Primera ley
Los planetas describen órbitas elípticas que presentan una pequeña
excentricidad, y el Solo se localiza uno de sus focos.

Segunda ley
El radio vector, o vector de posición, que une el Sol con el
planeta barre áreas iguales en tiempos iguales: la velocidad
angular es constante.

Tercera ley
El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo de la distancia
media desde el Sol.
T2 / R3 = k
3ª Ley de Kepler
T: en años(a) y días (d)
Radio: ( millones de kilómetros)
Planeta Periodo (T)
Dist. (R) del
Sol
Mercurio
88 d
58
Venus
225 d
108
Tierra
1a
150
Marte
1.9 a
228
Júpiter
11.9 a
778
Saturno
29.5 a
1427
Urano
84 a
2870
Neptuno
164. 8 a
4497
a) ¿Por qué la velocidad de un planeta es mayor en el perihelio (punto más próximo al
Sol) que en el afelio (punto más alejado)?
b) A la distancia media desde la Tierra al Sol se le denomina unidad astronómica (1 UA
= 1.5x1011 m). Si Saturno tarda 29.5 años en recorrer su órbita, determina la
distancia desde el Sol hasta Saturno, expresada en UA.
c) Argumenta a partir de las leyes de Kepler por qué la duración del año Marte es
mayor que la del año terrestre.
4 GRAVITACIÓN UNIVERSAL: NEWTON
En 1665 Isaac Newton (1642-1727) tras terminar su doctorado la
Universidad de Cambridge en Londres, decidió trasladarse a vivir en una
finca con su madre. Donde se le ocurrió una gran idea; la de relacionar la
caída de un objeto, la manzana, en las proximidades de la Tierra con la
caída de la Luna sobre la Tierra.
Su teoría dice que la velocidad de caída de la manzana y la de la
Luna debe ser directamente proporcional a la fuerza de la gravedad terrestre, y a su vez,
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre dichos objetos y el centro de
la Tierra. Newton no quedó satisfecho porque algún resultado no era muy fiable ya que la
distancia que había entre la Tierra y la Luna se medía en radios terrestres.
En 1684, gracias a las leyes de Kepler pudo calcular la fuerza gravitatoria entre la
Tierra y la Luna.
M .m
F  G T2
RT
En la ecuación, MT y m son las masas de la Tierra y de la Luna; RT es el radio y G es la
constante de gravitación = 6.67. 10-11 N m2 / kg2.
Newton utilizó su fórmula para todos los cuerpos del Universo. También tuvo la
conclusión de que la distancia que interviene en la ley hay que medirla desde el centro de
las masas. Por la ley de gravitación universal es la siguiente:
Dos cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus
masas en inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
Con la formidable intuición que tuvo Newton de hacer
extensibles todos los cuerpos celestes, los tres principios de la
mecánica y la ley de gravitación universal, a todos estos
descubrimientos se les da a conocer como la síntesis newtoniana.
La importancia de la existencia de la fuerza gravitatoria sirve para
sostener a los planetas para que produzcan órbitas y no se
desperdiguen por el Universo.
Desde la existencia de la síntesis newtoniana no hay dos
mundos como expresaba Aristóteles. El primero, inmutable, perfecto y armónico situado
en las esferas celestes, y el otro cambiante e imperfecto, el terrestre. Con las ideas de
Newton podemos explicar la interacción del Sol con otros planetas.
Ejemplos (problemas)
1. Calcular la fuerza con que se atraen dos masas de 100 kg y 1000 kg situadas a una
distancia de 20 m.
2
100 kg 1000 kg
mM
Nm
F  G 2  6,67 1011
2
d
kg
2
20 m
2
 1,67 108 N
Como se puede observar debido a la pequeñez de la constante de gravitación,
la fuerza de atracción es muy débil, prácticamente inapreciable.
2. Calcular la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de 50 kg. situado en su
superficie. Datos: MTierra= 6 10 24 Kg ; RTierra = 6400 km
2
FG
mM
Nm
 6,67 1011
2
2
R
kg
50 kg 6 1024 kg
(6,4 106 )2 m 2
 488,5 N
En este caso, y debido a que la masa de la Tierra es muy grande, la fuerza de
atracción es considerable. Observe que, en realidad, la ecuación que da el valor de la fuerza
de gravedad se puede escribir separando la masa del cuerpo de los datos propios del
planeta (en este caso la Tierra) de esta manera:
2

6 1024 kg
 M 
11 N m

F  m  G 2   50 kg 6,67 10

kg 2 (6,4 106 )2 m 2
 R 


  50 kg 9,8 m2  488,5 N

s

El término encerrado entre paréntesis, tiene un valor fijo e igual a 9,8 m/s2, que es
el valor de la aceleración de la gravedad o, también llamado, valor del campo gravitatorio.
De aquí que la fuerza con que un cuerpo es atraído por la Tierra (u otro planeta),
peso, puede escribirse de forma más sencilla: P = m g, donde g es el valor de la aceleración
de la gravedad:
g G
M
R2
A partir de esta ecuación podemos calcular el valor de g para cualquier cuerpo
celeste si conocemos sus datos. Por ejemplo para Marte:
MMarte = 6.5 10 23
R Marte= 3400 km
gMarte  G
M
Nm
 6,67 1011
2
R
kg 2
2
6,5 1023 kg
6 2
(3,4 10 ) m
2
 3,5
m
s2
5. GRAVEDAD TERRESTRE.
El peso de un cuerpo es la fuerza ejercida por la Tierra sobre él. Ésta idea está
expresada en la siguiente fórmula:
PG
M T .m
RT2
Cuando los cuerpos caen hacia la Tierra experimentan un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado. La aceleración que provoca este movimiento se llama gravedad
y viene dado por el peso ejercido sobre la unidad de masa:
P  m.g
De la cual, al igualar los segundos miembros obtenemos:
g G
MT
RT2
La gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el cuerpo y el
centro de la Tierra.
La gravedad es mayor en los polos ya que están más cerca del centro de gravedad, y
por tanto el ecuador está sometido a menor fuerza de gravedad. Este valor fue obtenido en
un lugar en el cuál la latitud era de 45 y al nivel del mar, g = 9,8065 m/s2
La Tierra atrae a los cuerpos con una fuerza llamada peso. El peso se ejerce desde
las infinitas partículas que posee el cuerpo, pero se dice que el peso es la resultante de los
pesos de todas esas partículas y se aplica en el centro de masa o centro de gravedad del
cuerpo (c.g.) La masa es constante y no varía aunque el cuerpo cambie de situación, de
forma o estado. Ésta se determina en la balanza tradicional o electrónica, y se mide en kg.
El peso es una fuerza y varía de un lugar a otro, se determina mediante el
instrumento que mide las fuerzas, el dinamómetro. Éste señala el peso aproximado
dependiendo de la gravedad; éste se expresa en newton (N).
Si el cuerpo está a una altura h sobre la superficie terrestre, resultaría
MT
g G
RT  h2
3. Calcula el valor de la aceleración de la gravedad sobre un satélite meteorológico
situado a una altura de 500 km sobre la superficie terrestre.
4. Explica por qué un astronauta no tiene el mismo peso en la Tierra que en la Luna.
Calcula el peso en la Tierra de un astronauta que en la Luna pesa 114 N. gL= 1.62
m/s2.
6.- EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS CELESTES
La aceleración centrípeta (normal) es una aceleración que aparece siempre que
una partícula realiza un movimiento curvilíneo.
v2
ac 
R
El segundo principio de la dinámica dice que la aceleración que lleva una masa m
está producida por una fuerza directamente proporcional a ella:
m.v 2
Fc 
R
La fuerza centrípeta puede existir en muchas situaciones, como la tensión de la
cuerda, la fuerza de rozamiento y la fuerza gravitatoria.
El movimiento de los planetas alrededor del sol, que consideraremos circular, se
produce por la fuerza gravitatoria entre cada uno de los astros y el sol. Esta fuerza
cumple todos los requisitos propios de una fuerza centrípeta. Por consiguiente,
podemos asumir que: Fc  Fg
M .m
M
m.v 2
 G S2 ; v 2  G S ;
R
R
R
Por lo que la velocidad con que gira un planeta será v  G
MS
R
Como la masa del Sol es 1.98 x 1030 Kg y la distancia de la Tierra al Sol 1.5 x 1011 m,
se puede demostrar que la Tierra tarda 365 días en dar una vuelta al Sol.
5. Calcula la masa de la Tierra sabiendo que el periodo de la Luna es 28 días y la
distancia Tierra-Luna 380.000 km y, G = 6.67 x 10-11 N m2 / kg2.
M .m
M .m
m.v 2
 2R2
 G T2 ;
m
 G T2 ;
R
R
R
R
2 2
2 3
M m
4 R
4 R
m 2
 G T2 ; M T 
 5,7.1024 Kg .
2
T R
R
GT
Fc  Fg ;
6. Calcula la velocidad de rotación de la Tierra sobre si misma.
La Tierra da una vuelta alrededor de su eje cada 24 horas que son 86400 s.


t

2 rad
 7,27.105 rad / s.
86400s
7. Comprueba que el satélite Meteosat, situado a una altura de 36.000 km, tiene la
misma velocidad angular que la Tierra. G = 6.67 x 10-11 N m2 / kg2. MTierra= 6 x 10 24
Kg ; RTierra = 6400 km
v  G.
v  w.r;
MT
6.10 24
 6,67.10 11.
 3068 m / s.
RT  h
6,4.10 6  3,6.10 7
w
v
;
Rh
w
3068
 7,245 rad / s
6
7
6,4.10  3,6.10
8. ¿Qué velocidad deberá llevar un satélite para que orbite alrededor de la Tierra a
5000 km de la superficie? G = 6.67 x 10-11 N m2/kg2; MTierra= 6 x 10 24 Kg ; RTierra =
6400 km.
v G
MT
6.1024
; v  6,67.1011.
; v  5925m / s.
R
6.4.106  5.106
7. SATÉLITES ARTIFICIALES
Todos sabemos que la Luna es un satélite de la Tierra.
Ahora, para ser más exactos, debemos decir que es su satélite
natural, porque, desde que el hombre comenzó la conquista del
espacio cósmico, la Tierra tiene otros satélites más, a los cuales
podemos llamar artificiales. Esta denominación no es arbitraria
ya que lleva implícita la idea de que se trata de algo elaborado
por la mano del hombre. Un satélite artificial es un pequeño
laboratorio con instrumental adecuado, puesto en el espacio cósmico para recoger datos
científicos acerca del espacio externo a la atmósfera terrestre.
Una órbita geosíncrona es la órbita que describe un satélite alrededor de la Tierra
con el mismo período de rotación que la Tierra (es decir, con la misma velocidad angular
ω). Si además la órbita está sobre el Ecuador, y es una circunferencia, se
denomina órbita geoestacionaria.
Para calcular la altura de una órbita geoestacionaria, se utiliza la Segunda Ley de
Newton y la Ley de Gravitación Universal.
F G
ms .M T
r  RT 2
;
an 
v2
  2 r  RT 
r  RT ) 
La fuerza que la Tierra ejerce sobre el satélite es la fuerza gravitatoria, donde
MT es la masa de la Tierra, ms es la masa del satélite, RT es el radio de la Tierra y G la
constante de gravitación universal.
Como la velocidad angular es constante, la única aceleración que tiene el satélite
es la aceleración normal, paralela a la fuerza gravitatoria.
Aplicando la Segunda Ley de Newton,
F  ms .an ;
G
ms .M T
r  RT 
2
Despejando r: r  3
G.M T
2
 ms  2 r  RT 
 RT
Ahora sustituyendo los siguientes valores
G = 6.67 x 10-11 Nm2kg-2; RT = 6.4 x 106 m; MT = 6 x 1024 kg; ω = 7.29 x 10-5 rad s-1
Queda que el radio de la órbita geoestacionaria es 3.57 x 107 m
La gran ventaja que aportan es que se pueden considerar como puntos fijos en el
cielo, de manera que pueden encargarse de la transmisión de las comunicaciones entre dos
puntos, o del envío de imágenes periódicas de una zona para analizar su meteorología,
como enlace para telefonía móvil o para aplicaciones militares, entre otras muchas
actividades.
9. Un satélite geoestacionario está a 36000 km sobre la superficie de la Tierra. ¿Qué
periodo tiene otro situado a 3600 km de altura? Radio aproximado de la Tierra:
6400 km.
10. Suponemos que los dos satélites siguen órbitas circulares de radios:
R1=36.000+6400=42400 km R2=3600+6400=10.000 km.
Además el periodo del satélite geoestacionario es de 24 horas, para estar siempre sobre el
mismo punto de la Tierra. Aplicando como antes la 3ª ley de Kepler
42.4003 10.0003

; T2  2,75 horas
242
T23
ACTIVIDADES
1. Aplica la ley de la gravitación universal en cada uno de los casos que se plantean a continuación,
para calcular:
a) La fuerza con que se atraen dos masas de 3 toneladas separadas 10 cm.
b) La distancia entre dos masas de 4 x 107 kg y 7 x 106 kg que se atraen con una fuerza de 0.2 N.
c) La masa que, separada una distancia de 3 m de otra masa de 10000 kg, ejerce sobre ella una
fuerza de atracción de 0.004 N.
2. En un laboratorio de investigación están intentando determinar el valor de G, la constante
gravitatoria. Para eso, miden la fuerza que se ejercen dos masas de 5 kg a una distancia de 5 cm, y
resulta ser de 0.7 μN. Calcula el valor de G a partir de esos datos y compáralo con el valor real.
3. Calcula, aplicando la ley de la gravitación universal, el peso de una masa de 15 kg en la superficie
de la Tierra y en la cima del Everest (8878 m de altura). Recuerda que la masa de la Tierra es 5.97 x
1024 kg y que su radio medio es 6370 km.
4. Sabemos que el peso de un cuerpo es variable, mientras que su masa es siempre la misma.
Calcula cuál sería el peso de un astronauta que, provisto de su equipo, tiene una masa de 150 kg,
en Marte.
MM=6.42 x 1023 kg; RM=2.28 x 108 km.
5. Unos científicos están realizando experimentos en un globo aerostático. Al colocar una pesa de
500 g en una balanza de precisión, observan que el peso es de 4.899 N. ¿A qué altura se encuentra
el globo?
7. Júpiter describe su órbita a una distancia de 780 millones de kilómetros del Sol.
a) ¿Cuál es su velocidad orbital media?
b) ¿Cuántos años terrestres tarda Júpiter en completar su órbita?
9. Calcula el periodo del movimiento circular de la Tierra alrededor del Sol.
Msol=1.98 x 1030 kg; RT-Sol= 1.5 x 1011m. G= 6.67 x 10-11NKg2/m2
10. Explica qué son los satélites artificiales, cómo se clasifican y para qué se usan.
11. La velocidad orbital de los satélites no es la misma siempre, pues depende de varios factores (o
variables). Indica si los siguientes factores influyen o no en la velocidad del satélite y, en caso
afirmativo, cómo afecta a esta. No olvides justificar tu respuesta.
a) La masa del satélite. b) La masa de la Tierra. c) La altura a la que órbita. d) El peso del satélite.