Área de Ciencia. Geometría del espacio – Espacio vectorial R3

UE. Anexo Crispín Pérez
Tocuyito -Municipio Libertador
S4056-D0806
Área de Ciencia.
Geometría del espacio – Espacio vectorial R3
Coordenadas
Las Coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el
espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el
globo de la Tierra o en el globo de los cielos.
En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia, viene dado por un punto de referencia
y un sistema de coordenadas. En mecánica newtoniana se emplean sistemas de referencia caracterizados por un punto denominado
origen y un conjunto de ejes definen unas coordenadas.
Coordenadas en el Plano
El sistema más usado es de las coordenadas cartesianas, basado en un juego de ejes perpendiculares entre sí. Fue conocido
con el nombre de René Descartes ("Dey-cart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma
sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números. Puede que esto ya le sea familiar a usted.
René Descartes
El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"), perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se
juntan ("origen"): los espacios hacia la derecha del origen y hacia arriba de él, se toman como positivos y para los otros lados como
Y
negativos
X
La distancia en un eje se llama "x" y en el otro "y". Dado un punto P se dibujan, desde él, líneas paralelas a los ejes y los valores de
"x" e "y" definen totalmente el punto. En honor a Descartes, esta forma de designación de los puntos se conoce como sistema
cartesiano y los dos números (x, y) que definen l
a posición de cualquier punto son sus coordenadas cartesianas.
El plano Cartesiano
Aplicaciones a laFísica
Coordenadas celestes
Las gráficas usan ese sistema, al igual que algunos mapas.
Funciona bien en una hoja de papel plana, pero el mundo real es tridimensional y a veces es necesario designar los puntos en dicho
espacio tridimensional. El sistema cartesiano (x, y) puede extenderse hacia las tres dimensiones añadiendo una tercera coordenada z.
Geometría del espacio – Espacio vectorial R3
Elaborado por: Lic. Javier Brizuela
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Si (x, y) es un punto en una hoja, entonces el punto (x, y, z) en el espacio se consigue situándose en (x, y) y elevándose una distancia z
sobre el papel (los puntos por debajo del papel tienen z negativa).
Geometría del Espacio
La geometría espacial o geometría del espacio es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras
geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el
cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de KeplerPoinsot, no convexos) y otros poliedros.
Ejemplos:
Esfera
pirámide
icosaedro
La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría
esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en
matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.
Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan
siempre un espacio.
Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos en una cantidad que recibe el nombre de
capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa.
La geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X,Y,Z):
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Los tres ejes: X, Y, Z, no son elementos reales del mundo, sino que son una creación y un convenio humano para poder trabajar en
tres dimensiones. Dicho de otro modo, es la herramienta que utiliza todo el mundo para representar las posiciones y dimensiones de
los cuerpos en el espacio en un determinado momento. Así, mediante las unidades métricas y los ejes, podemos representar
exactamente el lugar del espacio en el que se encuentra un determinado objeto. Los tres ejes son tres líneas imaginarias que se cortan
perpendicularmente en un punto denominado origen. Podemos imaginar los tres ejes como las aristas de un cubo, que se unen para
formar uno de los ocho vértices de la caja. Las posiciones se calculan midiendo la posición lateral, la altura y la profundidad. Estas
líneas son en realidad vectores, es decir, tienen un sentido. Así el eje X va de izquierda a derecha, el eje Y de abajo arriba y el eje Z de
atrás a delante.
Actividades
Parte I
Punto y distancia entre dos puntos en el espacio R3
1. Represente gráficamente en el espacio cada uno de los siguientes puntos:
a.
b.
c.
d.
1,3, 2
B  2,1,3
C 3,2,4
D  3, 2, 4 
A
 0, 2, 2
f. F  1, 2, 3
g. G  3, 2,5
h. H  2,0,1
 0,0,1
j. J  0,1,0 
k. K 1,0,0 
l. L  1, 2,5
e. E
2. Hallar la distancia entre los puntos:
i. I
1, 4, 5
n. N  1,5, 3
o. O  0,0,0
p. P  5, 1,0
m. M
a.
P1  1, 2, 2 y P2  2,4, 1
b.
P1 1,0,0 y P2  0,1,0 
3,2,4 y P2 1, 4, 5
f. P1  3, 2,5 y P2  1,5, 3
c.
P1  2,3,1 y P2  5,2, 3 
g. P1
d. P1 1,3, 2  y P2  2,1,3
e. P1
i. P1
j. P1
y P2
 1, 2,5
1,0,0
y P2
0,0,0
Geometría del espacio – Espacio vectorial R3
 0, 2, 2 y P2  0,1,0




2,  2, 2 y P2 2 2, 2 2,1
 2 1

1 2 
  , , 7  y P2  , , 2 
 3 2

3 5 
l. P1  ln  e  , log 5  25  , log 2  8   y P2  2,3,4
 2,0,1
h. P1
(+ 2pts. Prueba #1 )
k. P1
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3. Retos:
a.
Demostrar que los puntos
P1  2, 4, 3 , P2  4, 3, 2 y P3  3, 2,4  son los vértices de un triángulo equilátero.
(fundamente su respuesta).
b. Demostrar que el punto
c.
P1  2, 2,3 equidista de los puntos P2 1,4, 2 y P3 3,7,5 .
Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son:
A 2, 3, 2 , B  3,1, 4 y C  2,3, 1
d. Calcular el valor de la coordenada en “X” de los puntos
P1 1,1 1 y P2  x,1, 1 sabiendo que: P1 P2  2
Parte II
Cosenos directores de una recta en el espacio y ángulo formado por dos rectas en el espacio.
1.
Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos P1 (2, 5, - 1) P2 (3, - 2, 4) y que está dirigida
de P1 a P2.
2.
Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos P1 (- 9, 2, 1) P2 (- 7, 0, 2) y que está dirigida de P2 a P1.
3.
Hallar 1os cosenos directores de la recta que pasa por los puntos P1 (2, 1, -2) y P2 P (-2, 3, 3) y está dirigida de P2 a P1.
4.
Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos P1 (1, 3, - 8) P2 (1, - 4, 3) y que está dirigida
de P1 a P2.
Vectores en el espacio R3
Continuara…
Geometría del espacio – Espacio vectorial R3
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