guía de lectura n° 4.

UNEFA
GOBIERNO BOLIVARIANO DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
UNEFA
NÚCLEO CARABOBO-EXTENSIÓN GUACARA
ASIGNATURA:
Física III
PROF:
Ing. Alexander Zavala
GUÍA DE LECTURA N° 4.
Unidad N° 3
DUALIDAD ONDA-PARTÍCULA
3.1.
ONDAS DE de BROGLIE:
Un gran avance en la comprensión de la estructura atómica se inició en 1924, con una proposición por
parte del príncipe Louis-Victor De Broglie, físico y noble francés, 7° duque de De Broglie. En su disertación
doctoral sugirió que, puesto que las ondas electromagnéticas tienen un comportamiento dual onda-partícula, las
partículas también deberían presentar en algunas situaciones, propiedades ondulatorias. En su tesis partía de las
dos expresiones relativistas de Einstein para la energía y la cantidad de movimiento de un fotón: E  hf y
p  E c , de modo que la longitud de onda para el fotón es:
p
E hf h
h

  
c
c 
p
(Longitud de onda de De Broglie para un Fotón)
De Broglie sugirió que la expresión para la longitud de onda asociada a una partícula libre, de masa en
reposo m y velocidad no relativista v, sería análoga a la del fotón:

h
h

p mv
(Longitud de onda de De Broglie para una partícula)
Un haz de partículas se puede difractar y experimentar fenómenos de interferencia. Estas propiedades
ondulatorias de las partículas se pueden calcular al suponer que las partículas se comportan como ondas que
tienen longitud de onda de De Broglie.
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Resonancia de las Ondas de De Broglie: Se dice que una partícula confinada en una región finita del
espacio es una partícula ligada. Ejemplos típicos de sistemas de partículas ligadas son las moléculas de un gas
en un recipiente cerrado y un electrón en un átomo. La onda de De Broglie que representa a una partícula
ligada entrará en resonancia dentro de la región de confinamiento si la longitud de onda cabe adecuadamente
en esa región. A cada posible forma de resonancia se le llama estado (estacionario) del sistema. Es más
probable encontrar la partícula en las posiciones de los antinodos de la onda resonante; nunca se encuentra en
las posiciones de los nodos.
Ondas de De Broglie para Partículas Relativistas: La longitud de onda de De Broglie de una
partícula que tiene energía en reposo


m0 c 2 y energía cinética K  eV  p 2 2m , es:
hc
K K  2m 0 c 2

(Longitud de onda de De Broglie relativista)
3.2. ONDAS DE De BROGLIE Y EL ÁTOMO DE BOHR:
El primer modelo efectivo del átomo fue presentado por Niels Bohr en 1913. Aun cuando ha sido
sobrepasado por la mecánica cuántica, muchos de sus resultados sencillos todavía son válidos. En la versión
más antigua del modelo de Bohr los electrones se representaban en órbitas circulares alrededor del núcleo.
Uno de los argumentos esgrimidos por De Broglie para sustentar su teoría fue que la naturaleza ondulatoria de
los electrones era consistente con el modelo de Bohr. La onda electrónica en una onda permitida del átomo
debe ser una onda estacionaria que se cierra sobre sí misma en una circunferencia. (Ver la siguiente figura)
Para que la onda de De Broglie del electrón resuene o se ajuste (ondas estacionarias) en una órbita de radio
r, debe cumplirse lo siguiente:
L  mv n rn 
nh
2
(Cuantización del momento angular)
Donde n se llama número cuántico principal, es un entero. La cantidad L es el momento angular del
electrón en su n-ésima órbita. La rapidez del electrón es v, su masa m y h es la constante de Planck.
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La fuerza centrípeta que mantiene en órbita al electrón es producida por la atracción de Coulomb entre el
núcleo y el electrón. Por tanto,
F  ke2 r 2  ma  mvn2 rn y
m vn2
e2
k 2
rn
r
k
1
4 0
La solución simultánea de estas ecuaciones da los radios de las órbitas estables,
rn   o
n2h2
 (0,053nm)n 2
2
m e
1 e2
v
 0 2nh
(Radios de las órbitas en el modelo de Bohr)
(Velocidades orbitales en el modelo de Bohr)
La energía del átomo cuando está en su n-ésimo estado (es decir, con su electrón en la n-ésima órbita de
configuración) es
En  
13,6
eV
n2
(Energía del átomo)
La energía está cuantizada porque una configuración estable corresponde a una forma de resonancia del
sistema ligado. Para núcleos con carga Ze orbitados por un solo electrón, las relaciones correspondientes son
 n2
rn  (0,053nm)
Z



y
13,6Z 2
En  
eV
n2
Donde Z se llama el número atómico del núcleo.
3.3.
EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO:
El átomo de hidrógeno tiene un diámetro de aproximadamente 0,1 nm; consiste en un protón como
núcleo (con un radio aproximado de 10-15 m) y un solo electrón.
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Los Diagramas de los Niveles de Energía: Resumen las energías permitidas de un sistema. Sobre una
escala de energía vertical, las energías permitidas se muestran mediante líneas horizontales. El diagrama de
niveles de energía para el hidrógeno se muestra en la siguiente figura.
0
Átomo ionizado
-2
n = ∞, E = 0
n = 4, E = -0,85 eV
n = 3, E = -1,51 eV
n = 2, E = -3,4 eV
-4
-12
Estado base
n = 1, E = -13,6 eV
-14
Cada línea horizontal representa la energía de un estado resonante del átomo. El cero de energía se toma
para cuando el átomo está ionizado, es decir, el estado en el cual el átomo tiene un radio orbital infinito. A
medida que el electrón cae más cerca del núcleo, su energía potencial disminuye desde el nivel cero, y por tanto
la energía del átomo es negativa. El estado más bajo posible, n = 1, corresponde al electrón en su órbita más
pequeña posible; se llama estado base.
Emisión de Luz: Cuando un átomo aislado cae desde un nivel energético a otro menor se emite un
fotón. Este fotón conduce la energía perdida por el átomo en su transición al estado más bajo de energía. La
longitud de onda y la frecuencia del fotón están dadas por
hf 
hc

= energía perdida por el sistema
La radiación emitida tiene una longitud de onda precisa y da lugar a una sola línea espectral en el
espectro de emisión del átomo. Es conveniente recordar que un fotón de 1240 nm tiene una energía de 1 eV, y
que la energía del fotón varía inversamente con la longitud de onda.
Las Líneas Espectrales: Las líneas espectrales emitidas por los átomos de hidrógeno aislados excitados
se producen en series. La Serie de Balmer es una serie típica que aparece en las longitudes de onda visibles.
Existen otras series; una, en el ultravioleta, se llama serie de Lyman; hay otras en el infrarrojo como las series
de Paschen, Brackett y Pfund:
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Lyman:
1 
1
 R 2  2  n = 2, 3, …

n 
1
Balmer:
1 
 1
 R 2  2  n = 3, 4, …

n 
2
Paschen:
1 
 1
 R 2  2  n = 4, 5, …

n 
3
Brackett:
1 
 1
 R 2  2  n = 5, 6, …

n 
4
Pfund:
1 
 1
 R 2  2  n = 6, 7, …

n 
5
1
1
1
1
1
Donde R = 1,0974x107 m-1 es la llamada constante de Ridberg.
Origen de las Series Espectrales: Las líneas de serie de Balmer se presentan cuando un electrón en el
átomo cae desde estados altos hasta el estado n= 2. La transición desde n=3 a n=2 produce una energía de
fotón
E3,2  1,89eV , que equivale a una longitud de onda de 656 nm, la primera línea de la serie. La
segunda línea se origina en la transición de n=4 a n=2. La línea límite de serie representa la transición de n=∞
a n=2. Similarmente, las transiciones que terminan en el estado n=1 dan a lugar a la serie de Lyman; las
transiciones que terminan en el estado n=3 dan las líneas de la serie de Parschen.
364,6
Límite de serie
410
434
Ultravioleta
Violeta
Azul
486
Azul-verde
656
Rojo
Λ (nm)
3.4.
DIFRACCIÓN DE ELECTRONES:
La propuesta de De Broglie de ondas de materia, muy pronto dejó de ser pura especulación. En 1927,
Davisson y Germer proporcionaron la primera confirmación de la naturaleza ondulatoria de la materia y la
validez de la relación

h
h
. Haciendo incidir electrones de baja energía sobre un cristal de níquel, se

p mv
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encontró que exhibían máximos de intensidad a ángulos específicos, mostrando que el sólido cristalino sirve
como rejilla tridimensional de difracción para las ondas de los electrones.

3.5.
h
h
, donde p  2meV

p
2m eV
(Longitud de onda de De Broglie para un electrón)
EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE:
El Principio de Incertidumbre descubierto por Werner Heisemberg (1901 – 1976), físico alemán. Establece
que, en general, ni la posición ni la cantidad de movimiento de una partícula se pueden determinar con una
precisión arbitrariamente grande.
xp  h
(Principio de incertidumbre para posición y cantidad de movimiento)
Donde h es la constante de Planck dividida entre 2 : h 
h
 1.054571596  10 34 J .s
2
“Es imposible conocer simultáneamente la posición y la cantidad de movimiento (momentum) de una
partícula. El producto de sus incertidumbres x y p que tiene un mínimo que está dado por xp  h ”.
También hay un principio de incertidumbre para la energía. Sucede que la energía de un sistema también
tiene una incertidumbre inherente. La incertidumbre  E depende del intervalo de tiempo t durante el cual el
sistema permanece en determinado estado. En efecto, si observamos el paso de una partícula por un punto fijo,
el tiempo para registrar ese paso tiene una incertidumbre
t  x v ; en donde v  p m , es su velocidad. La
incertidumbre en la energía es:
Et  h
(Principio de incertidumbre para la energía e intervalo de tiempo)
El principio de incertidumbre nos niega el conocimiento exacto de estas variables en forma simultánea.
Cuanto más pequeño tengamos la incertidumbre de una de ellas, más grande será la incertidumbre de la otra.
La incertidumbre resulta de la inevitable interacción entre el objeto que se observa y el observador. Esto no
tiene nada que ver con los problemas prácticos asociados a errores de medición; es una limitación inherente al
comportamiento de la naturaleza.
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3.6.
ECUACIÓN CUÁNTICA DE LA ONDA:
Si aceptamos que la materia está acompañada de una onda, sería natural preguntarse ¿qué es lo que está
ondulando en el espacio y el tiempo? La función de onda,  x, t  , contiene toda la información acerca del
estado de una partícula y en general es una cantidad compleja que no es observable. Es decir, no se puede
definir en términos de algo tangible, como en el caso de una onda sonora (presión, desplazamiento) o de una
onda luminosa (campos eléctricos y magnéticos).
La explicación fue dada en 1928, por Max Born quien propuso que, el cuadrado del módulo de
podía interpretar como una densidad de probabilidad, de forma tal que, en un instante dado,
representa la probabilidad de que la partícula se encuentre en la región dx alrededor de
 x 
se
 x  dx
2
x.
Como la partícula debe estar con certeza en algún lado, la suma de todas las probabilidades sobre todos
los posibles valores de
3.7.
x
debe ser igual a 1.
ECUACIÓN DE SCHRODINGER:
En 1926, Erwin Schrödinger formuló una ecuación diferencial, análoga a la ecuación de onda clásica, que
relaciona las derivadas espaciales y temporales de la función de onda
confinada a moverse en el eje

Donde
 x, t  .
Para una partícula de masa m
x , la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es:
h 2 d 2 x 
d x, t 
 U x  x, t   ih
2
2m dx
dt
(Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo)
U x  es la energía potencial del sistema. Si se supone una solución de la forma
 x, t    x  t  , se obtiene la ecuación que es independiente del tiempo:

h 2 d 2 x 
 U x  x   E x 
2m dx2
(Ec. de Schrödinger independiente del tiempo)
Donde E es la energía total de la partícula, una constante para un estado cuántico dado. Esto sugiere que,
en lado izquierdo de la ecuación, el primer término corresponde a la energía cinética, mientras que el segundo
término corresponde a la energía potencial de la partícula.
La ecuación de Schrödinger, permite hallar las funciones
 x 
y las energías E para los diferentes
estados estacionarios que son consistentes con las condiciones de frontera impuestas por el tipo de energía
potencial
U x  .
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