El papel de la cohomología de Borel en la
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5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-11/043 El papel de la cohomología de Borel en la construcción de la teoría de Smith Juan Antonio Pérez Centro Regional de Estudios Nucleares, UAZ japerez@cantera.reduaz.mx Abstract. Traditionally, since the publication of the celebrated result by P. A. Smith, the way one approaches Smith theorem has been Bredon cohomology. This paper shows that due to the equivariant nature of Smith´s results it is succesfully possible making use of Borel cohomology in its formulation. Resumen. Tradicionalmente, desde la publicación del célebre resultado de P. A. Smith, el método de aproximación al teorema de Smith ha sido la cohomología de Bredon. En el presente trabajo se muestra que, debido a la naturaleza equivariante de los resultados de Smith, es posible usar exitosamente la cohomología de Borel en su formulación. 1. Cohomología de Borel Sean G un grupo de Lie compacto y X un G-CW complejo. Dado un punto x X , denotamos por G x la órbita de x bajo la acción de G, y por G x su grupo isotropía. El espacio de puntos fijos de un subgrupo H G se denota por X H , y el espacio de órbitas se simboliza por X G . Sea EG un modelo de espacio universal para el grupo G, es decir, un CW complejo equivariante con el mismo tipo de homotopía de un punto y equipado con una G-acción libre. El producto cartesiano EG X es un G-espacio mediante la acción diagonal g e, x ge, gx y en tal caso la acción de G es libre, puesto que si g e, x e, x , en particular ge e , lo que contradice nuestras hipótesis sobre EG. Notemos además que, en el caso en que G es finito el producto cartesiano G 1 E m G H E k admite una estructura de G-CW complejo con G H celdas libres de dimensión m k , en consecuencia, podemos tomar el espacio cociente EG G X EG X , G mismo que recoge la G-simetría de X, y se conoce como la construcción de Borel de X con respecto a la acción de G; finalmente, la G-cohomología de Borel de X se define mediante 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-11/043 H G* X H * EG G X , usando cualquier teoría de cohomología ordinaria, por ejemplo, en el caso que nos ocupa, cohomología singular o celular, con coeficientes en un grupo abeliano. La cohomología de Borel es también frecuentemente conocida con el nombre de cohomología equivariante. Ver por ejemplo Hsiang [5], Kawakubo [6] ó Spanier [9]. Es fácil observar que la cohomología de Borel de un punto es justamente la cohomología ordinaria del espacio clasificante BG EG G , que es a su vez, precisamente, la cohomología de Hochschild del grupo G. Recordemos que un p-grupo es un grupo finito de orden p k donde k es un entero positivo y p es un número primo. El resultado clásico de Smith tiene que ver con acciones de un p-grupo G sobre un G-CW complejo X, en relación con una esfera que tiene la misma cohomología que la n-esfera con coeficentes en el grupo cíclico C p , que tiene estructura de campo, de manera que el álgebra de cohomología H * X ,C p tiene estructura de espacio vectorial graduado. Si H es un subgrupo normal no trivial de G, entonces XG XH G H . El resultado de Smith ( Smith [8], Dwyer [4]) se sigue por inducción sobre el orden de G si se demuestra que se cumple para el caso en que G es cíclico de orden p, restringiremos entonces nuestra atención a este último caso, en el cual notamos que G no tiene subgrupos propios no triviales, de manera que el espacio cociente FX X XG es libre fuera del punto base. Buenas referencias en topología equivariante son, entre otros, Borel [1], Bredon [2] ó tom Dieck [3]. 2. Espacios con punto base En teoría de homotopía tratamos con espacios puntuados, es decir, espacios con un punto base, y en el caso de la Topología Equivariante, requerimos que el punto base sea un punto fijo. Esto no es una limitante realmente importante cuando tratamos con los espacio universales, pues podemos agregar un punto base externo, el 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-11/043 cual es fijo. Si EG denota el espacio universal del grupo G, y e 0 es un punto que no pertenece a EG, denotamos por EG la unión ajena EG e 0 , en general, a fin de tener todo el aparato de la teoría de Homotopía a la mano, denotamos por X en G-espacio X con un punto base fijo agregado, mismo sobre el cual la acción de G es trivial. Si x 0 X es el punto base, denotamos X ,x 0 a fin de enfatizar el carácter de espacio puntuado del espacio X. Dados dos espacio puntuados X ,x 0 y Y ,y 0 , definimos la unión en un punto o producto cuña de ambos mediante X Y X y 0 x 0 Y y el producto reducido por X Y X Y . X Y En el caso equivariante, si X,Y son dos G-espacios puntuados, el producto reducido de ellos es también un G-espacio, cuyo espacio de órbitas se denota por X G Y X Y . G Dado que el producto EG X es un G-espacio libre, por el teorema de Whitehead, si f : X Y es una transformación equivariante entre G-CW complejos que es una equivalencia homotópica ordinaria, entonces 1 f : EG X EG Y es una equivalencia homotópica equivariante y en consecuencia 1 G f : EG G X EG G Y es una equivalencia homotópica ordinaria. 3. Localización Supongamos que G es un p-grupo elemental abeliano, es decir smash product 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-11/043 G Cp n para algún n positivo. Supóngase además que X es un G-CW complejo de dimensión finita. El álgebra de cohomología del espacio clasificante BG, coincide con el álgebra de cohomología de Hoschild de G, es decir, es un álgebra de polinomios en n generadores de grado 1 si p 2 , y si p 2 , entonces es el producto tensorial de un álgebra exterior en n generadores de grado 1 y el álgebra de polinomios sobre las imágenes bajo el homomorfismo de Bockstein (Véase Milnor – Stasheff [7]). Denotemos por S el subconjunto multiplicativo de H * BG generado por los elementos no nulos de grado 1 si p 2 y por las imágenes de Bockstein no nulas si p 2 . Si A es un subanillo denotamos por S 1 A la localización de A en los elementos de S. El siguiente resultado es conocido como el teorema de Localización. Teorema 1. Si X es un G-CW complejo de dimensión finita, la inclusión i : XG X induce un isomorfismo i * : S1 HG* X S1 HG* X G . Demostración: Dado que FX es libre fuera de su punto base, existe una cofibración XG X FX . Resulta entonces suficiente demostrar que S1 HG* FX 0 . Tenemos además que FX es un G-CW complejo de dimensión finita con un único punto fijo. Por inducción sobre la dimensión de los esqueletos, es suficiente demostrar que si Y es un producto cuña de copias de G H Sq para cuando H es un subgrupo propio de G, entonces podemos escribir 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-11/043 Y GH K , donde K es un producto cuña de copias de la esfera S q . Ahora bien, dado que EG G G H EG H es un modelo para el espacio universal BH, observamos que EG G Y BH K . Entonces al menos un elemento de S se restringe a cero en H * BH , y esto implica que S1 HG* Y 0 como pretendíamos demostrar. En el caso de un único factor, el teorema anterior puede enunciarse en forma considerablemente más precisa. Teorema 2. Si G C p y la dimensión de X es r, entonces i * : HGq X HGq X G es un isomorfismo para q r . Demostración: Es suficiente demostrar que HG* FX 0 para q r . Dado que FX es libre fuera de su punto base, la proyección EG S0 induce una G-equivalencia homotópica EG FX FX que induce a su vez una equivalencia homotópica 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-11/043 EG G FX FX G . Además, obviamente el espacio de órbitas de FX tiene dimensión a lo sumo r. Debemos notar por completitud que G actúa trivialmente sobre los espacios XG y EG G X G BG X G . 4. El teorema de Smith Antes de enunciar el teorema de Smith [4], definimos una n-esfera cohomológica como un espacio topológico cuya cohomología coincide cono la de la esfera de dimensión n. La cohomología módulo p es la cohomología con coeficientes en el campo finito Fp . Teorema 3. Si X es una n-esfera cohomológica módulo p, entonces el espacio de puntos fijos X G es vacío o es una m-esfera cohomológica módulo p para algún m n . Además, si p es impar, entonces n m es par y si n es par, entonces X G . Demostración: Sean entonces G C p y X una n-esfera cohomológica. Supongamos que X G . La sucesión espectral de Serre correspondiente al has fibrado EG G X BG converge de H * G; H * X H * BG H * X a HG* X . Ahora bien, un punto fijo de X proporciona una sección del haz, luego E2 E . En consecuencia, la cohomología de Borel de X es un BG-módulo libre en un generador de grado n y, en grados superiores, debe ser isomorfo a HG* X G H * BG X G H * BG HG* X G . ~ ~ 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-11/043 Por un argumento elemental de dimensión, esto es posible sólo en el caso en que X G es una esfera cohomológica módulo p de dimensión menor que n, y además, debe ser congruente con n módulo 2 si p 2 . Para convencernos de que XG para p 2 y n par, se supone que es vacío y se deduce de la estructura multiplicativa de la sucesión espectral que X no puede ser de dimensión finita. Referencias [1] A. Borel et al. Seminar on Transformation Groups. Annals of Math. Studies 46, Princeton 1960. [2] G. E, Bredon. Introduction to compact transformation groups. Academic Press, New York, 1960. [3] T. tom Dieck. Transformation Groups. Walter de Gruyter, Berlín 1987. [4] W. G. Dwyer, C. W. Wilkerson. Smith theory revisited. Annals of Math., 127 (1988) 191-198. [5] W. Y. Hsiang. Cohomology theory of topological transformation groups. Springer Verlag, New York, 1975. [6] K. Kawakubo. The theory of transformation groups. Oxford University Press, Oxford, 1991. [7] J. Milnor, J. D. Stasheff. Characteristic classes. Annals of Math. Studies 76, Princeton 1974. [8] P. A. Smith. Transformations of finite period. Annals of Math. Studies 39, Princeton 1938.+ [9] E. Spanier. On Equivariant cohomology. Bol. de la Soc. Mat. Mex. 37 (1992) 519-524.