10.-Errores. En este capítulo se tratarán los errores en dos tipos de situaciones. Caso I. Incertidumbre en el trazado de los puntos. Después de haber realizado las medidas (o cálculos) de los datos, procederemos a graficarlos, pero cuando medimos (o calculamos), el valor obtenido no es exacto, siempre estará contenido dentro de un margen de incertidumbre equivalente a la apreciación del instrumento de medida (o del error absoluto). Por ejemplo, se mide el diámetro de una esfera utilizando una regla ordinaria tendríamos algo como esto, diámetro = (2,3 0,1) cm eso quiere decir que el verdadero valor está contenido en el intervalo (2,2 a 2,4) cm. Cuando trasladamos ese punto a un gráfico, también debemos reflejar dicha incertidumbre en el gráfico. Para ilustrar mejor lo que se quiere lograr, miremos el gráfico # 10.1. Grafico # 10.1. Tenemos una grafica de distancia vs tiempo. La distancia exhibe una incertidumbre de 0,2 mts y el tiempo 0,5 seg. Entonces, cuando tracemos un punto, debemos dibujar también su incertidumbre y comprender que el valor de este punto puede estar ubicado en cualquier lado dentro del intervalo. Por esa razón, debemos encerrar el punto dentro de un símbolo que represente la incertidumbre de este, pudiéndose emplear círculo , equis o cuadrado si x = y; o rectángulo, óvalo, cruz, etc, si x y. Hay casos donde la incertidumbre es tan pequeña que no es posible graficarse en el papel, sin embargo es necesario dibujar el símbolo y citar que el símbolo no corresponde con la incertidumbre, en este caso el símbolo indicará que se trata de un punto experimental afectado por cierta incertidumbre, de manera que “siempre” se debe utilizar símbolos para representar los puntos experimentales. Caso II. Incertidumbre en el trazado de la recta. Cuando se dispone a trazar la recta sobre los puntos que se han graficado, se debe tener un buen criterio para esta finalidad. En el capitulo #6 se había tratado el criterio para el trazado de la recta para el caso de baja, media y alta dispersión, empleando el método grafico (regla y lápiz). El trazado de la recta es de supremo interés ya que de él se deriva la pendiente y el corte que va a servir para escribir la ecuación de la recta, no obstante este método es muy ambiguo y el error puede ser significativo. Existe la posibilidad de calcular la pendiente, corte y sus errores absolutos de manera “optima”, que no dependa del observador si no de los datos, que sea univoca y confiable. Dichos métodos de optimización están basados en el cálculo estadístico. El método de los mínimos cuadrados es uno de los métodos más usados para determinar la recta que mejor represente la tendencia de un conjunto de puntos experimentales. Suponiendo que la dispersión de los puntos experimentales es debido a los errores casuales de las mediciones, la mejor recta será aquella para la cual la suma de los cuadrados de las distancias ( yi – yo ) sea un mínimo y por eso se le llama “método de los mínimos cuadrados”. Consideremos una relación lineal entre dos magnitudes físicas y y x de la forma: y=mx+b Donde x es la variable dependiente y y es la variable independiente, en nuestro caso la magnitud controlada por el experimentador. Con la finalidad de simplificar este estudio se asumirá que uno de los errores es mayor que el otro, por ejemplo yx. Por lo tanto, la desviación de un valor cualquiera yi determinado experimentalmente con respecto a su valor yo en la recta, será: yi = yi – yo = yi – (b + m xi ) Ahora se puede enunciar el principio básico de este método, el cual dice que: “La mejor recta que puede ser trazada entre esos puntos, es aquella para la cual la suma de los cuadrados de las desviaciones yi de los datos experimentales, con respecto a la línea que se va a determinar, es mínima” yi)2 = [yi – (b + m xi )]2 Ya que la condición exigida es la de minimizar la suma anterior, entonces los parámetros m y b deben ajustarse para cumplir con esta condición. Ello se logra calculando las derivadas parciales de la suma con respecto a m y con respecto a b, e igualándolas a cero. 2 Δyi 2nb 2Σyi + 2mΣxi = 0 b Δyi 2 m 2mΣxi 2 + 2bΣxi + 2mΣ(xiyi)= 0 Donde n es el numero de pares de valores y y x. Resolviendo el sistema de ecuaciones para m y b, se tiene: Σxi Σyi 2 Σxiyi Σxi2 Σxi Σyi ΣxiΣxiyi b= = Σxi nxi 2 ( xi)2 n Σxi Σxi2 n Σxi m= n Σxi Σyi Σxiyi nxiyi ΣxiΣyi = Σxi ni 2 (xi)2 Σxi2 Luego, b= Σxi2 Σyi ΣxiΣxiyi nxi 2 ( xi)2 nxiyi ΣxiΣyi nxi 2 ( xi)2 Ecuaciones con las cuales se pueden calcular los parámetros m y b determinando así la ecuación de la mejor recta que se puede trazar entre los puntos experimentales. Nótese que los términos xi2 y (xi)2 no son lo mismo. Idéntica observación se puede hacer para los términos xiyi) y xiyi. Para usar este método de los mínimos cuadrados se recomienda construir la siguiente tabla, para asi ordenar la información y facilitar los cálculos. m= Yi ( ) Y1 … … Yn yi. Xi ( ) X1 … … Xn xi Xi2 ( ) X12 … … Xi2 xi2 XiYi ( ) X1Y1 … … XiYi xiyi Las cuatro sumas en la última línea, son los valores necesarios para calcular m y b. Los valores de m y b que se obtengan por el método de los mínimos cuadrados, deberán ser muy próximos a los obtenidos directamente utilizando el método grafico. Actualmente cualquier calculadora científica de bolsillo posee software que permite los cálculos necesarios para el ajuste de la recta. Hay que hacer notar que el uso de este método no nos obliga a hacer el grafico de la recta; pero, por razones pedagógicas, es conveniente hacerlo para así observar más claramente las desviaciones de los puntos experimentales con respecto a la recta calculada. Además el software no le dirá si es o no una recta, la representación grafica de los puntos experimentales, solo le muestra si la correlaciona es buena o mala. Una vez obtenido los valores de m y b, es necesario calcular sus errores correspondientes m y b. Para calcular estos valores, por el método de los mínimos cuadrados, se utilizan las siguientes expresiones: n Δm = 2 2 n(xi) ( xi) 1 2 Sy Σ(xi)2 Δb = 2 2 n(xi) ( xi) 1 2 Sy Donde, 1 Σ(yi b m xi) 2 Sy = n2 2 Para calcular Sy, se puede utilizar como ayuda la siguiente expresión: Sy = Σdi2 n2 Donde Sy representa la llamada “Desviación Estándar” de y respecto a la recta. Finalmente se puede utilizar la siguiente tabla para ordenar los valores y calcular la desviación estándar. X() Y() d() d2 ( ) X1 Y1 Y1-mX1-b (Y1-mX1-b)2 X2 Y2 Y2-mX2-b (Y2-mX1-b)2 … … … … Xn Yn Yn-mXn-b (Yn-mXn-b)2 di2 Aplicación del método de mínimos cuadrados. Grafiquemos los siguientes puntos X() Y() 0,5 1 1 2 1,5 3 2 4 X() Y() 0,5 1,2 1 1,8 1,5 3,2 2 3,8