tecnicas de factorizacion

Universidad Tecnológica Centroamericana
Facultad e Ingeniería
Área Académica de Ciencias y Matemáticas
Introducción al Álgebra
Fórmulas Especiales para Factorización
1) a 2 − b 2 = (a + b) (a − b)
Diferencia de Cuadrados
2.) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
Trinomio Cuadrado perfecto
3.) a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2
Trinomio Cuadrado perfecto
4.) a 3 + b 3 = ( a + b) (a 2 − ab + b 2 )
Suma de Cubos
5.) a 3 − b 3 = (a − b) ( a 2 + ab + b 2 )
Diferencia de Cubos
6.) a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3
El cubo de una suma
7.) a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3
El cubo de una resta
Técnicas de Factorización
1.) Factor Común
2.) Agrupación de 2 en dos (términos) ó de 3 y 1 (términos)
3.) Binomios especiales (diferencia de cuadrados, diferencia de cubos y suma de
cubos)
4.) Trinomios cuadrados (identificar si son perfectos o no)
5.) Trinomios cuadrados no perfectos con coeficiente principal distinto de 1
(Método de la Nueva Expresión N.E.)
6.) Sustitución
Pasos para realizar una factorización completa.
1.) Verificar si le expresión tiene factor común
2.) Verificar si lo que ha quedado en el paréntesis puede seguirse factorizando.
3.) Si el polinomio tiene 4 términos, es señal que es una factorización por
agrupación (Se prueba agrupar de 2 en 2)
4.) Si el polinomio tiene 4 términos, y no se puede factorizar agrupando de 2 en 2,
entonces se prueba agrupando 3 términos tratando de encontrar un trinomio
cuadrado perfecto.
5.) Si es trinomio, se verifica si es un trinomio cuadrado perfecto, si es así se
utiliza una de las 2 fórmulas para trinomio cuadrado perfecto.
6.) Si no es trinomio cuadrado perfecto y el coeficiente principal es distinto de 1,
se factoriza haciendo uso del método de la nueva expresión. (Tanteo especial)
7.) Si es trinomio con grado par mayor que dos, se verifica si el exponente del 1er
término es el doble del exponente del segundo término, entonces puede
factorizarse por sustitución.
8.) Si es un binomio, se verifica si es diferencia de cuadrados, diferencia de
cubos o suma de cubos y se utilizan las fórmulas según sea el caso
Un polinomio está factorizado completamente hasta que este se escribe como el
producto de factores expresados en su mínima expresión. Si el polinomio no se
puede factorizar de ninguna de las formas anteriormente listadas, se dice que el
polinomio es un polinomio primo.
Método de la Nueva Expresión (N.E.)
Sea ax 2 + bx − c un trinomio cuadrado (no perfecto y con a ≠ 1 )
Los 4 pasos par resolver el trinomio por medio del método de la nueva expresión
son:
a.) Escribir la nueva expresión: el primer y segundo término quedan igual y el
coeficiente del tercer término será la multiplicación de a × c , así:
N.E. (× a )
=
ax 2 + bx − (a × c)
b.) Crear los dos paréntesis de factorización, donde se colocará términos y signos,
teniendo cuidado de los siguientes detalles:
El signo en el 1er paréntesis es el signo del 2do término del trinomio y el signo en el
2do paréntesis es el producto de la multiplicación de los signos del 2do y 3er
términos del trinomio.
( ax + ? ) (ax − ? )
Luego se hace la pregunta para encontrar los dos números que van en el espacio ?
en los paréntesis de factorización.
Si los signos de ambos paréntesis son iguales:
o
( ax + ? ) (ax + ? )
( ax − ? ) ( ax − ? )
La pregunta sería: dos números que multiplicados den a × c y que sumados den b,
el número más grande se coloca en el 1er paréntesis y el pequeño en el 2do
paréntesis.
Si los signos de ambos paréntesis son distintos:
( ax + ? ) (ax − ? )
o
( ax − ? ) ( ax + ? )
La pregunta sería: dos números que multiplicados den a × c y que restados den b,
el número más grande se coloca en el 1er paréntesis y el pequeño en el 2do
paréntesis.
c.) Dividir por a la expresión obtenida en el paso anterior, puede dividirse por uno de
los dos paréntesis si queda apropiado o por los dos paréntesis cuando sea necesario
descomponer a en dos números. (Recuerde que el resultado de la división por a
entre los factores deben ser números enteros)
d.) Verificar que la respuesta esté correcta. Multiplicando los binomios obtenidos y
el resultado debe ser igual al trinomio original. ax 2 + bx − c
Ejemplos:
Factorice completamente:
1.) 6 x 2 − 26 x + 20
tiene factor común 2, entonces escribimos:
2(3 x 2 − 13x + 10) El factor común 2 se va escribiendo a lo largo del proceso de
factorización.
Como (3 x 2 − 13 x + 10) no es un trinomio cuadrado perfecto, y el coeficiente principal
es distinto de 1, entonces utilizamos el método de la nueva expresión para factorizar.
Multiplicar 3 por 10, el cual se convierte en el 3er término en la nueva expresión o
polinomio:
a.) N .E. (× 3) = 2(3 x 2 − 13 x + 30)
Se ubican los términos y signos en los paréntesis según lo explicado en los pasos.
Como los signos son iguales, la pregunta que se realiza es: ¿cuáles dos números
multiplicados dan 30 y sumados (porque los signos son iguales) dan 13? Los
números son 10 y 3, se ubica el número mayor en el 1er paréntesis y el menor en
el 2do paréntesis así:
b.) Factorizar = (3 x − 10)(3 x − 3)
Se divide la expresión resultante por 3, en este caso el paréntesis conveniente es el
2do, dado que es el que posee números que son divisibles por y se divide así:
c.) ÷ 3
=
2(3 x − 10) (3 x − 3)
3
= 2 (3 x − 10) ( x − 1)
Se multiplican los binomios resultantes en la solución
multiplicación simplificada dé el polinomio original.
d .)Verificando
y se verifica que la
2 (3 x − 10)( x − 1) = 2(3 x 2 − 3 x − 10 x + 10)
= 2(3 x 2 − 13 x + 10)
= 6 x 2 − 26 x + 20
( El trinomio original )
2.) 6 x 2 − 11xy − 10 y 2
Como no es un trinomio cuadrado perfecto, no hay factor común y el coeficiente
principal es distinto de 1, entonces utilizamos el método de la nueva expresión para
factorizar.
Realicemos los 4 pasos planteados anteriormente:
Multiplicar 6 por 10y 2, el cual se convierte en el 3er término en la nueva expresión o
polinomio:
a.) N .E. (× 6) = 6 x 2 − 11xy − 60 y 2
Se ubican los términos y signos en los paréntesis según lo explicado en los pasos,
como los signos son distintos, la pregunta que se realiza es: ¿cuáles dos números
multiplicados dan 60y 2 y restados (porque los signos son distintos) dan 11y? Los
números son 15y y 4y, se ubica la expresión mayor en el 1er paréntesis y la menor
en el 2do paréntesis así:
b.) Factorizar = (6 x − 15 y )(6 x + 4 y )
Se divide la expresión resultante por 6, en este caso no se puede dividir un solo
paréntesis por 6 porque al dividir los factores no quedan números enteros, entonces
6 se descompone en 2 factores 2 y 3 y se divide así:
c.) ÷ 6
(6 x − 15 y ) (6 x + 4 y )
3
2
= (2 x − 5 y ) (3 x + 2 y )
=
Se multiplican los binomios resultantes en la solución y se verifica que la
multiplicación simplificada dé el polinomio original.
d .)Verificando
(2 x − 5 y )(3 x + 2 y ) = 6 x 2 + 4 xy − 15 xy − 10 y 2
= 6 x 2 − 11xy − 10 y 2
( El trinomio original )