Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 REPASO DE CÁLCULO I INTEGRAL Repaso General sobre Métodos de Integración Indefinida Guía Complementaria No.03 Como se ha visto, claramente la integración es más desafiante que la derivación. Para hallar la derivada de una función, resulta evidente cual fórmula de derivación se debe aplicar. Pero podría no ser obvio con la técnica que se debe usar para integrar una función dada. Hasta ahora se han aplicado técnicas individuales en cada sección, bien definida la integración por parte o el cambio trigonométrico. Pero éste capítulo presenta una colección de diversas integrales en orden aleatorio y la dificultad principal es reconocer que técnica o fórmula usar. Ninguna regla invariable se puede dar en cuanto a qué método se aplica en una determinada situación, pero se da cierta orientación sobre la estrategia que podría resultar útil. Un prerrequisito para la selección de estrategia es conocer las fórmulas básicas de integración. En la siguiente tabla se han reunido las integrales de lista básica (formulario de James Stewart) junto con varias fórmulas adicionales que se han aprendido posteriormente. La mayor parte se deben memorizar para entender el esqueleto conceptual de los métodos estudiados. Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida Página 1 de 10 Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 Una vez que se cuenta con éstas fórmulas de integración básica, si no se ve de inmediato cómo proceder a resolver una determinada integral, se podría probar la siguiente estrategia de tres pasos: 1. Simplifique el integrando si es posible. A veces el uso de operaciones algebraicas o identidades trigonométricas simplifica el integrando y hace evidente el método de integración. A continuación se dan algunos ejemplos: x 1 x dx x x dx tan sen 2 sec 2 d cos cos d sen 2 d 2 sen 2 x 2sen x cos x cos 2 x dx sen cos d 1 sen x cos x 2 1 2sen x cos x dx dx 2. Busque una sustitución obvia. Intente hallar alguna función u = g(x) en el integrando cuya diferencial du = g’(x) también aparece, además de un factor constante. Por ejemplo, en la integral x x 2 1 dx Se observa que si u = x2 – 1, en seguida du = 2xdx. Por lo tanto, se usa la sustitución u = x2 – 1 en lugar del método de fracciones parciales. 3. Clasifique el integrando de acuerdo con su forma. Si los pasos 1 y 2 no han llevado a la solución, en tal caso se echa un vistazo a la forma del integrando f(x). a) Funciones Trigonométricas. Si f(x) es un producto de potencias de sen(x) y cos(x), de tan(x) y sec(x), o de cot(x) y csc(x), después se usan las sustituciones recomendadas en la teoría de dicho método. Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida Página 2 de 10 Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida Página 3 de 10 Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 b) Funciones Racionales. Si f(x) es una función racional, se usa el procedimiento relacionado con Fracciones Parciales. Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida Página 4 de 10 Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 c) Integración Por Partes. Si f(x) en un producto de una potencia de x (o un polinomio) y una función trascendental (como una función trigonométrica, exponencial o logarítmica), por lo tanto se prueba la integración por partes, y se eligen “u” y “dv” de acuerdo a las recomendaciones comentadas durante el desarrollo de las clases. Como por ejemplo, para elegir “u” podemos tomar como referencia no obligatoria, la regla empírica de prioridad como se muestra a continuación: I – Inversas Trigonométricas L – Logarítmicas A – Algebraicas T – Trigonométricas E – Exponenciales d) Radicales. Los tipos particulares de sustituciones se recomiendan cuando aparecen ciertos radicales, como ser: x 2 a 2 dx Y aplicando los siguientes cambios de variable: Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida Página 5 de 10 Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 A.-) En los problemas de 1 al 24, determine la expresión de la antiderivada requerida, aplicando el método estudiado que corresponda de acuerdo a su criterio. 1.-) 2.-) 3.-) 4.-) 5.-) 1 x 1 x 2 3x 2 2 tan x sec 2 2 1 tan x 3 lnx x 4 ln x 2 10 x 10 2 x 1 10 2 x 4 x x dx dx dx 24 x 27 7.-) 8.-) 3 3 tan 3x sec 3x dx 3 x 6 x 12 x 6 x 3 6 x 2 12 x 8 x x 3 2 dx a2 x 2 b 2 dx cos 2 x cos 2 x sen 2 x 1 dx 3 2 cos x 2sen x x5 x 3 1x 3 8 dx xarcsen 2 x 2 dx e x 2e 2 x 15.-) 16.-) arcsen x dx dx Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida 2 11.-) 14.-) lnx x 1x 1dx 3 sen 4 x 2 2 tan 10.-) 13.-) dx 6.-) 3 cos x 4 senx 4 9.-) 12.-) dx 2 dx 1 6e x 3e 2 x dx Página 6 de 10 Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 4 x 4 2 x 3 x 2 3x 1 17.-) 18.-) 7 5sen x cos 2 x dx 19.-) 20.-) 3 2 x x x 1 dx 22.-) cot sen 2 x cos x ln e 2 x ln e 2 1 1 2 x 4 x 2 4 2 3 x 2 x 3x 4 dx x 12 x 3 x 2 2 dx xarcsen x 21.-) 23.-) 24.-) 1 x 2 3 3 dx x 3 csc x 3 dx 4 x4 x 4 2x 2 1 dx sen 2 x senx sen 3 x dx Bibliografía Utilizada en el Desarrollo de ésta Guía Complementaria de Estudio 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile. Santiago de Chile. 11. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. CengageLearning Editores. 12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana de Venezuela. 13. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela. 14. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago de Chile, Chile. 15. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores. JUCELO1209® D.R.2016 Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida Página 7 de 10 Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 Repaso Métodos de Integración Indefinida Guía Complementaria No.03 Respuestas De Todos Los Ejercicios Repaso General sobre Métodos de Integración 1. R/= 2 x3 2 2 2 C 2 2 x 3x 2 x 3x 2 1 2. R/= ln 1 tanx ln 2 x 4 C 3. R/= 4. R/= 2 2 tanx 1 arctan C 3 3 1 ln 10 x 1 C ln10 5. R/= 1 x 3 18 x 2 6 x 27 C 4 x 1 3 tan 2 9 C 6. R/= ln 5 3 tan x 1 2 7. R/= x2 8 11 C 2 x 2 x 2 2 8. R/= x ln x x2 1 x2 1 C 9. R/= 1 1 sec 3 3x sec 3x C 9 3 10. R/= 5 9 2 2 tan 2 x tan 2 x C 5 9 Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida Página 8 de 10 Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 b 5 1 a 2 x 2 b 2 11. R/= b a 4 3 x 2 3 2 2 2 1 a x b 5 b 5 C 12. R/= 2 arctan tan 2 C 13. R/= 1 8 1 8 ln x 1 ln x 2 ln x 2 x 1 ln x 2 2 x 4 C 21 21 21 21 1 x2 1 4x 4 C arcsen 2x 2 14. R/= 4 2 2 2 3 ex 1 4 2 1 3 x x 3 e 1 4 ln e 1 C 15. R/= 3 2 2 3 16. R/= xarcsen x 12 arcsen 1 x 12 2 17. R/= 2x 6 x 1 x x C 31 3 5 ln x 1 ln x 1 C 2x 1 4 4 18. R/= 5 ln 3 senx 3 ln 2 senx C 19. R/= 20. R/= 21. R/= 1 2 4x1 2 4 3 4 4x1 2 4x1 4 2 4 3 C 4 106 9 1 3 1 19 83 ln x 1 ln x 2 2 x 2 arctanx 1 C 2 125 25 x 1 5 x 1 250 125 arcsenx 22. R/= 1 x2 1 1x C ln 2 1x 3 x 1 x cot 4 cot 6 C 4 3 2 3 Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida Página 9 de 10 Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 23. R/= x 3 x arctan x C 2 2 2 x 1 tan2 x 3 8 1 2 24. R/= ln C 8 tan2 x 3 8 2 ----------------------------------última línea--------------------------------------------------------------------------- Repaso sobre Métodos de Integración Indefinida Página 10 de 10