PROBLEMAS DE ANALISIS VECTORIAL

PROBLEMAS DE ANALISIS VECTORIAL
1. En las figuras (a) y (b) el valor de la suma de las fuerzas 3 N y F es 5 N. Calcular el
modulo de F en cada caso y la componente horizontal de F en el (b).
2. Se aplica a un cuerpo una fuerza horizontal de 40 N y otra vertical hacia arriba. La
resultante forma un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular la fuerza vertical y el valor
de la resultante.
3. Hallar la velocidad relativa de un móvil que se desplaza
a 45 m/s de otro que se mueve a 25 m/s en las direcciones
que se señalan.
4. Determinar el valor resultante de sumar dos vectores de módulos 6 y 3 unidades de
longitud que forman entre si ángulos de a) 0º b) 30º c) 90º
5. Se aplican a un cuerpo las fuerzas coplanarias que se indican, con los ángulos que
forman con el semieje =X:
a) 40 N a 30º b) 26 N a 120º c) 15 N a 180º d) 10 N a 225º
Hallar su resultante numérica y gráficamente.
6. Hallar las componentes de un vector unitario que tenga la misma dirección que la
resta de los vectores a  4 i - 3 j  5 k y b  i - 9 j  7 k .
7. El campo eléctrico creado por una carga
eléctrica positiva en un punto tiene la
dirección de la recta que une la carga con el
punto y saliente de la carga. En la disposición
de cargas eléctricas de la figura, todas iguales,
proporcionan cada una un módulo de valor 30
del campo eléctrico en el punto O. ¿Cual será
el campo resultante en el punto O?
8. Determinar la magnitud y dirección de la resultante de cinco vectores que partiendo
de un vértice de un hexágono regular de lado l, se dirigen a los otros vértices de dicho
hexágono, siendo sus magnitudes proporcionales a las longitudes de los segmentos
respectivos.
9. Hallar la resultante de los tres vectores de la
figura  a1 , a2 , a3  cuyos módulos valen 2, 5 2 y 7
respectivamente. Sabiendo que a2
triangulo rectángulo de lados iguales.
forma un
10. Hallar un vector a sabiendo que su módulo vale 3 y que sus cosenos directores son
directamente proporcionales a 2, 3 y 4 respectivamente.
11. Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas A(0, 2, 3) y B(-4, 2, 1).
12. Descomponer el vector a  4 i  3 j - k según las direcciones de las rectas
x y
z
x y
z
 
y
 
2 1 1
3 2 1
13. La diferencia de dos vectores a y b es otro vector c de módulo 5 unidades y cuyos
cosenos directores son 3/5, 0, 4/5. Por otra parte se sabe que 2 a  3 b  16 i - 5 j  3 k .
Calcular los vectores a y b.
14. Cuanto vale el producto escalar de los vectores a1 de modulo 4 y formando 20º con
la horizontal en dirección noroeste y a2 de modulo 5 formando 75º con la horizontal en
dirección sureste.
15. Dados los vectores a  3 i  2 j  2 k y b  2 i  j  k , determinar: a) El ángulo
que forman a y b. B) La proyección del vector a sobre el b. C) La proyección del vector
b sobre el a.
16. Dados los vectores m  4i  a j-2 k y n  a i  2a j  8 k , deducir el valor de a si
dichos vectores son perpendiculares.
17. Descomponer el vector v  10i  6 j  16k en dos componentes paralela y
perpendicular, respectivamente, al vector a  2i  3j  6k .
18. Obtener la resultante de los vectores a  4 i  8 j - 6 k y b  -5 i  6 k y calcular el
ángulo que forma la resultante con cada vector.
19. Determinar si los vectores a  i - 2 j  k y b  2 i  4 j - 2 k son paralelos. Hacer
lo mismo para los vectores c  2 i  j  k y d  i  j  k .
20. Determinar un vector a de módulo 2 que sea paralelo al vector b  4 i - 3j  5 k
de su mismo sentido. Determinar la relación que debe existir entre las de dos vectores a
y b que sean paralelos.
21. Calcúlense las componentes de los vectores b que, teniendo de módulo 14 ,
cumplen con la condición de que a x b  c  2i  4j  2k . Los vectores a y c tienen
por componentes 1,1,1 y  2,1,0 respectivamente
22. Dados los vectores libres a  5 i  k ; b  i  2 j  k y c  4 i - 2 j , se pide: a)
Demostrar que forman un triángulo rectángulo. B) Hallar la superficie de dicho
triángulo.
23. Tenemos un vector deslizante de módulo 3 que pasa por el origen de coordenadas,
siendo sus cosenos directores, directamente proporcionales a 2, 1 y -2 Determinar el
momento de dicho vector en el punto P 1,1,0
24. La recta soporte de un vector a, de módulo
24 , tiene por ecuación
x  2z ; z  y  1 . Calcular el momento del vector a en el origen de coordenadas.
25. Hallar un vector deslizante a que cumple las condiciones siguientes: a) Genera en el
punto P1, 1, 2 un momento MP  2i - 2j  k . Genera en el punto Q2, - 1,1 un
momento MQ cuya dirección viene dada por x  2z ; y  z - 1 .
26. Determinar un vector deslizante a que pasa por el punto A(3, 2, 2) y que genera
en P1, 1, 1 y en Q3, 0, - 1
los
momentos
respectivos
y
MP  2 i  j - 5 k
MQ  6 i  3 j - 2 k .
27. Del vector deslizante a  2 i  k , se conocen dos componentes de su momento
respecto al origen, Mox  3 y Moy  1. Determinar: a) La componente M oz . b) Un
punto cualquiera de la recta soporte del vector a.
28. Dados los vectores a  2t i  4 j - t 2 k y b  4 i  2t2 j - k . Calcular la derivada del
producto escalar y del producto vectorial.
29. Hallar el ángulo que forma con los ejes de coordenadas el vector aceleración siendo
el vector velocidad v  senti  costj  2k , correspondiente al caso t  0 .
30. El movimiento de un punto está dado por las ecuaciones: x  8t  4t 2 ; y  6t - 3t2 .
a) Determinar la trayectoria del punto. b) Calcular la velocidad y aceleración del punto
en cualquier instante.
31. Determinar el unitario de la tangente a la curva x  t 2  1 ; y  2t - 1 ; z  3t 2  2t .
Aplicación para t = 1.
32. La indicatriz de un vector es la curva de ecuaciones paramétricas:
x  R cos t ; y  R sen t ; z  R t . a) Comprobar que la derivada del vector forma un
ángulo constante con el eje OZ. b) Comprobar que la primera y segunda derivada del
vector son perpendiculares. c) ¿Para que valor de t el vector y la primera derivada
forman un ángulo de 60º?
33. Calcular la circulación del vector Fx, y, z  3xy i - y2 j a lo largo de la curva
y  2 x2 , entre los puntos A(0, 0) y B(1, 2).
34. Calcula la circulación de F   x 2  2yz  i   5x  3y  j  4k entre los puntos
A 1,0,0 y B1,1,1 : a) A lo largo del segmento que une A y B. b) A lo largo de la
curva x  1 ; y  t ; z  t 2 .
8
cos 2  hallar su
2
R
integral curvilínea entre A y B a lo largo del cuarto de
circunferencia que une los puntos A y B.
35. Dada la función escalar U 
36. Una función vectorial tiene por módulo 2y
siendo su dirección la del eje OY y su sentido
el positivo de dicho eje. Hallar el flujo de F a
través del prisma de la figura.
37. Una función vectorial tiene la dirección y el sentido positivo del eje del cilindro
representado en la figura, siendo su módulo
SR
F
, donde S es la distancia de cada
R
punto a la base izquierda del cilindro y R el
radio del mismo. Hallar el flujo de la función
vectorial a través del cilindro.
38. Calcular el flujo de la función vectorial
F  kj, k > 0 , a través de la superficie
plana de la figura.