Examen de A.D. de Sistemas 2 de febrero de 2006 Cuestión 1. Identificar (obtener función de transferencia) el sistema del que se proporciona una respuesta (superior) y la entrada correspondiente (inferior) en la imagen de osciloscopio mostrada en la siguiente figura, detallando el procedimiento seguido para la obtención de cada medida y parámetro: Cuestión 2. Obtener la respuesta y(t) del sistema cuyo diagrama de bloques se muestra en la figura, cuando simultáneamente se introducen la entrada ur (t) = 10 sen(5t + π/4) y la entrada up (t) = 5 sen(2t). NOTA: Considerar régimen permanente senoidal. Es decir, ignorar el transitorio. u p t u r t + - 2 + + 1 s1 y t Examen Final Febrero (curso 2005/2006) Examen de A.D. de Sistemas 2 de febrero de 2006 Cuestión 3. Obtener las ecuaciones en espacio de estados para el sistema dado por la ecuación diferencial siguiente, donde u(t) es entrada e y(t) es salida: d2 y(t) dy(t) du(t) +5 + 6y(t) = 5u(t) + 2 dt dt dt (1) Examen Final Febrero (curso 2005/2006) Examen de A.D. de Sistemas 2 de febrero de 2006 Soluciones Cuestión 1. Medida de la amplitud u∞ del escalón de entrada: u∞ = 2 div. × 0,5 V/div. = 1 V Medida del valor y∞ de la salida en régimen permanente: y∞ = 2 div. × 0,5 V/div. = 1 V Cálculo de la ganancia estática: K= y∞ 1V = =1 u∞ 1V Medida del tiempo de pico tp : tp = 0,75 div. × 0,1 s/div. = 0,075 s Medida del valor de pico yp : yp = 3 div. × 0,5 V/div. = 1,5 V Cálculo de la sobreoscilación Mp : 1,5 − 1 yp − y∞ = = 0,5 y∞ 1 Mp = Cálculo de la frecuencia de oscilación amortiguada ωd : ωd = π π = = 41,9 rad/s tp 0,075 Cálculo del coeficiente de amortiguamiento ξ: Mp = 0,5 = e−π/tg(θ) =⇒ θ = 1,35 rad =⇒ ξ = cos(θ) = 0,215 Cálculo de la frecuencia de oscilación natural ωn : ωn = ωd 41,9 = = 42,9 sen(θ) 0,977 Función de transferencia del sistema identificado: G(s) = Kωn2 1 · 42,92 1840 = = 2 2 2 2 2 s + 2ξωn s + ωn s + 2 · 0,215 · 42,9s + 42,9 s + 18,5s + 1840 Examen Final Febrero (curso 2005/2006) Examen de A.D. de Sistemas 2 de febrero de 2006 Cuestión 2. Aplicando el principio de superposición obtenemos la respuesta ante cada entrada por separado y luego las sumamos. Función de transferencia de la salida y(t) respecto a la entrada ur (t): 2 2 s+1 Gr (s) = 2 = s+3 1 + s+1 Función de transferencia de la salida y(t) respecto a la entrada up (t): Gp (s) = 1 1 s+1 −2 − s+1 = 1 s+3 Para obtener la respuesta ante la primera senoidal de frecuencia ω = 5, obtenemos la ganancia y el desfase del sistema ante entrada ur (t) a esa frecuencia, evaluando su función de transferencia para s = jω, poniendo el resultado complejo en forma polar (modulo∠argumento, argumentos en radianes, el módulo es la ganancia y el argumento es el desfase): 2 Gr (5j) = = 0,34∠ − 1,03 5j + 3 Lo mismo para la entrada up (t), esta vez con ω = 2: Gp (2j) = 1 = 0,27∠ − 0,59 2j + 3 La salida resultante será: y(t) = 0,34 · 10 sen(5t + π/4 − 1,03) + 0,27 · 5 sen(2t − 0,59) Cuestión 3. En este caso no se puede pasar a espacio de estados de forma sencilla porque en la ecuación aparecen derivadas de la entrada. Sin embargo podemos aprovechar el hecho de tener una sola entrada y una sola salida, lo que nos permite pasar a función de transferencia y de ahı́ a espacio de estados usando la forma canónica de control, lo que nos da como ecuación de estado: ẋ1 (t) 0 1 x1 (t) 0 = + u(t) ẋ2 (t) −6 −5 x2 (t) 1 y como ecuación de salida: y(t) = 5 1 x1 (t) x2 (t) Examen Final Febrero (curso 2005/2006)