metodo analitico para construir cualquier tipo de triangulos y

MÉTODO
“DABEJA”
PARA CONSTRUIR POLIGONOS REGULARES
Y TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS, ISÓSCELES Y ESCALENOS
DANIEL BEJARANO SEGURA
Licenciado en Matemáticas y Física
dabejase@yahoo.es
MÉTODO “DABEJA” PARA CONSTRUIR POLIGONOS REGULARES
Y TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS, ISÓSCELES Y ESCALENOS
El método nace en la necesidad creada de los grados octavos de la institución
educativa Escuela Normal Superior Indígena Maria Reina “ENOSIMAR” en la
ciudad de Mitú capital del departamento del Vaupés en Colombia. Al abordar
el pensamiento espacial, con la construcción y resolución de polígonos
regulares, de triángulos equiláteros, isósceles y escalenos, los cuales se
construían con el método de regla y compás siendo este el único empleado
por los estudiantes, además se identificaban las siguientes falencias en la
enseñanza y el aprendizaje de estas construcciones geométricas:
El poco empleo que se da a los números reales en las construcciones
geométricas que aparecen en los textos escolares que posee la
institución ya que sus ejemplos y ejercicios propuestos emplean los
números enteros positivos para las medidas de los lados, dejando a un
lado los racionales y los irracionales, permitiendo así que el concepto
de continuidad de los números reales se olvide por la falta de práctica.
La falta de utilización de herramientas de cálculo numérico como las
calculadoras científicas y el papel milimetrado para facilitar las
operaciones básicas y la graficación de figuras en el plano con mayor
exactitud.
El no encontrar un método diferente al de regla y compás para la
construcción de triángulos y polígonos regulares, que estuvieran en
diferentes posiciones en el plano cartesiano sin necesidad de efectuar
varias gráficas.
Apropiarse de conceptos geométricos a partir de la construcción de
triángulos desde los grados de básica primaria y secundaria que
permitan abordar con facilidad la trigonometría en el grado décimo.
En los software existentes se construyen los triángulos y polígonos
regulares, mostrando sus características importantes pero esto no tiene
gran influencia en los educandos ya que no saben que procesos utiliza
el software para la construcción limitando ese potencial del niño a la
simple observación de la construcción con dos o tres movimientos
hechos con el Mouse.
Estos interrogantes hicieron que desde la práctica pedagógica se desarrollará un
método que pudiera construir polígonos regulares y triángulos equiláteros, isósceles
y escalenos, diferente al método de regla y compás, el cual le permitiera al docente
(sea licenciado o no en matemáticas) y al estudiante de diversos grados construirlos
de manera fácil, con gran exactitud empleando la calculadora científica y el papel
milimetrado aproximando con una o dos cifras decimales para la localización de los
puntos; a su vez entender el cómo los software de graficación los realizan tan solo
con hacer varios clic.
El método se basa; a través de un punto de coordenadas cartesianas P1=(x1, y1), la
medida del lado L, el ángulo de rotación θ respecto de la horizontal del lado L, el cual
puede tomar valores de 0 ≤ θ ≤ 360º y un ángulo suplementario respecto a los
lados L los cuales forman el ángulo interno del triángulo o polígono regular, y
ω=(360/n), n= al número de lados , permite construir polígonos regulares y el
triángulo equilátero, presentando pequeñas variaciones para la construcción de
triángulos isósceles y escálenos.
Los casos de construcción se presentan a continuación:
Construcción de un triángulo equilátero.
Construir un triángulo equilátero si:
P1=(x1, y1) L= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º ω= (360/n), n= al número de lados.
Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por P2=(x2, y2) y
P3=(x3, y3) siguiendo el siguiente proceso:
Figura 1. Triángulo Equilátero, sus puntos y ángulos correspondientes
Para n= 3, entonces ω= (360/3), ω= 120º
x2 – x1 = LCos θ
x2 = LCos θ + x1
y2 - y1 = LSen θ
y2 = LSen θ + y1
punto, P2=(x2, y2)
para las coordenadas del punto P3(x3, y3)
x3 – x1 = LCos (θ+ ω)
x3 = LCos (θ+ ω) + x2
y
y3 - y1 = LSen (θ+ ω)
y3 = LSen (θ+ ω) + y2
Encontrando los dos puntos restantes para graficar el triángulo equilátero.
Ejercicios: Construir los siguientes triángulos equiláteros.
a) Sea: P1=(-2, -2)
L= 8 cm.
θ= 60º
ω=120º
b) Sí θ= 105º
P1=(0, -2)
ω=120º
L = 2 3 cm.
Construcción de un cuadrado.
Construir un cuadrado sí:
P1=(x1, y1) L= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º ω= (360/n), n= al número de lados.
Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2=(x2, y2),
P3=(x3, y3) y P4=(x4, y4) siguiendo el siguiente proceso:
Para n= 4, entonces ω= (360/4), ω= 90º
x2 = LCos θ + x1
y
y2 = LSen θ + y1
punto P2=(x2, y2)
x3 = LCos (θ+ ω) + x2
y
y3 = LSen (θ+ ω) + y2
punto P3=(x3, y3)
x4 = LCos (θ+ 2ω) + x3
y
y4 = LSen (θ+ 2ω) + y3 punto P4=(x4, y4)
Encontrando los demás puntos para graficar cualquier cuadrado.
Figura 2. Cuadrado, sus puntos y ángulos correspondientes.
Ejercicios: Construir los siguientes cuadrados.
a) Sí, L= 6 cm.
P1(-3, 1)
θ= 45º
ω=90º
b) Sea P1=(3/5, √3)
L= 11/4 cm.
θ= 0º
ω=90º
Construcción de un pentágono.
Construir un pentágono sí:
P1(x1, y1) L= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º ω= (360/n), n= al número de lados.
Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por P2=(x2, y2),
P3=(x3, y3), P4=(x4, y4) y P5=(x5, y5). Siguiendo el siguiente proceso:
Figura 3. Pentágono, sus puntos y ángulos correspondientes
n= 5, entonces ω= (360/5), ω= 72º
x2 = LCos θ + x1
y
y2 = LSen θ + y1
punto P2=(x2, y2)
x3 = LCos (θ+ ω) + x2
y
y3 = LSen (θ+ ω) + y2
punto P3=(x3, y3)
x4 = LCos (θ+ 2ω) + x3
y
y4 = LSen (θ+ 2ω) + y3 punto P4=(x4, y4)
x5 = LCos (θ+ 3ω) + x4
y
y5 = LSen (θ+ 3ω) + y4 punto P5=(x5, y5)
Encontrando los demás puntos para graficar cualquier pentágono.
Ejercicios: Construir los siguientes pentágonos.
a) Sí, L= 5 cm.
P1(-2, 3)
b) Sea L= 9/2 cm. P1(4,-3).
θ = 35º
ω=72º
θ = 155º
ω=72º
Siguiendo el mismo método se pueden construir los demás polígonos regulares.
Generalizando así:
Para construir cualquier polígono regular de n lados partiendo de P1=(x1, y1)
L= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º ω= (360/n), n= al número de lados, para la consecución de
cada punto se tendrá:
Para las componentes en el eje horizontal X (abscisas),
x2 = LCos θ + x2-1
=
x2 = LCos θ + x1
x3 = LCos (θ+ ω) + x3-1
=
x3 = LCos (θ+ ω) + x2
x4 = LCos (θ+ 2ω) + x4-1
=
x4 = LCos (θ+ 2ω) + x3
x5 = LCos (θ+ 3ω) + x5-1
.
.
.
Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1
=
x5 = LCos (θ+ 3ω) + x4
Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1 con
K= {0, 1, 2, 3, 4…}
En general.
De igual forma para las componentes en y (ordenadas),
y2 = LSen θ + x2-1
=
y2 = LSen θ + x1
y3 = LSen (θ+ ω) + x3-1
=
y3 = LSen (θ+ ω) + x2
y4 = LSen (θ+ 2ω) + x4-1
=
y4 = LSen (θ+ 2ω) + x3
y5 = LSen (θ+ 3ω) + x5-1
.
.
.
yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1
=
y5 = LSen (θ+ 3ω) + x4
En general.
yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1 con K= {0, 1, 2, 3, 4…}
Encontrando los puntos respectivos denotados por:
P2=(x2, y2), P3=(x3, y3), P4=(x4, y4), … Pn=(xn, yn).
Necesarios para graficar cualquier polígono regular de n lados y el triángulo
equilátero.
Para triángulos isósceles y escálenos se hace necesario incluir variantes en el
método, ya que por conocimiento general poseen características diferentes respecto
al triángulo equilátero, veamos a continuación las variantes en el método.
Construcción de un triángulo isósceles.
Se hace necesario incluir las siguientes variantes para triángulos isósceles. El ángulo
suplementario ω queda dado por:
0 < ω < 180º, con ω ≠ 120º
además ω + ω´ =180º
Construir un triángulo isósceles sí:
P1=(x1, y1) L1y2= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º 0 < ω< 180º ω≠ 120º ángulo suplementario
respecto a los lados L1 y 3
Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por P2=(x2, y2) y
P3=(x3, y3) siguiendo el siguiente proceso:
Figura 4. Triángulo Isósceles, Sus puntos y ángulos correspondientes.
x2 – x1 = LCos θ
x2 = LCos θ + x1
y2 - y1 = LSen θ
y2 = LSen θ + y1 punto P2=(x2, y2)
y
y
Luego,
x3 – x2 = LCos (θ+ ω)
x3 = LCos (θ+ ω) + x2
y3 - y2 = LSen (θ+ ω)
y3 = LSen (θ+ ω) + y2 punto P3=(x3, y3)
y
y
Variante: Para encontrar el valor del lado tres L3 y el ángulo α en el triángulo
isósceles se hace necesario abordar las siguientes fórmulas conocidas:
L3 
x 3  x 2 2  y 3  y 2 2
180= 2 + ω´
y
Valor distancia entre dos puntos
180= ω + ω´ luego,
2 + ω´ = ω + ω´
αω
2
Valor de los ángulos α, propiedad de
los triángulos isósceles
Nota: Si en la hoja le aparece las letras á, y ù es porque en el computador que usted
está trabajando no tiene el editor de ecuaciones, pero sus valores son los siguientes :
á= , ω = ù(ángulo suplementario)
Construyendo así el triangulo y sí se quiere continuar con la resolución del triángulo
se debe utilizar las fórmulas conocidas para encontrar el perímetro, área y demás
características que el docente o el estudiante crean convenientes.
Ejercicios: Construir los siguientes triángulos isósceles.
a) Sea:
b) Si
θ = 50º
P1=(2, 5)
P1=(-3, -4) L1y2= 8 cm.
L1y2= 5 cm.
θ = 25º
ω=65º
ω=45º
Construcción de un triángulo escaleno.
Para construir un triángulo escaleno también existen variantes pero se conserva el
principio del método:
Sea P1=(x1, y1) L1= a cm., L2= b cm. a ≠ b. 0 ≤ θ ≤ 360º con 0 < ω< 180º
Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2=(x2, y2) y
P3=(x3, y3) siguiendo el siguiente proceso:
Figura 5. Triángulo Escaleno, sus puntos y respectivos ángulos
x2 – x1 = L1Cos θ
y
y2 - y1 = L1Sen θ
x2 = LCos θ + x1
y
y2 = LSen θ + y1 entonces, P2=(x2, y2)
Luego,
x3 – x1 = L2Cos (θ+ ω)
y
y3 - y1 = L2Sen (θ+ ω)
x3 = L2Cos (θ+ ω) + x2
y
y3 = L2Sen (θ+ ω) + y2 así, P3=(x3, y3)
Variante: Para encontrar el valor del lado tres L3 y el ángulo α en el triángulo
isósceles se hace necesario abordar las siguientes fórmulas conocidas:
L3 
x 3  x 2 2  y 3  y 2 2
Distancia entre dos puntos.
Para el ángulo α se emplea la ley de senos, respecto a ω y los lados L2 y L3
se n α  se nω
L
L
2
3
 L s e nω 

α  s e n1 2
 L

3


Nota: Si en la hoja le aparece las letras á y ù es porque en el computador que usted
está trabajando no tiene el editor de ecuaciones, pero sus valores son los siguientes:
á= , ω = ù (ángulo suplementario)
Y para el ángulo φ, la propiedad fundamental de ángulos internos de un triángulo
φ + α+ ω´ = 180º
φ = 180º-(α+ ω´ )
Construyendo así el triangulo y sí se quiere continuar con la resolución del triángulo
se debe utilizar las fórmulas conocidas para encontrar el perímetro, área y demás
características que el docente o el estudiante crean convenientes.
Ejercicios: Construir los siguientes triángulos isósceles.
a) Sea: P1=(5, -7)
L1= 8 cm.
L2= 6 cm.
θ = 43º
ω=18º
b) Si θ = 112º
P1=(-9, -3)
L1= 7 cm.
L2= 9 cm.
ω=35º
el método permite emplear los números reales, la calculadora científica como
herramienta tecnológica para cálculos rápidos, el papel milimetrado para el diseño de
planos cartesianos con unidades, décimas y centésimas, abordando en ellos la
construcción de triángulos y polígonos regulares por aproximación de una o más
cifras decimales en grados de básica primaria motivando al estudiante al diseño de
sus propios triángulos y polígonos vistos en diversas posiciones para desarrollar aún
más su pensamiento espacial ya que sus gráficos los encuentran fácil de crear,
comprendiendo como los software de geometría diseñan estos polígonos con igual
exactitud.
Al practicar el método el estudiante refuerza conceptos y procedimientos de: plano
cartesiano, manejo de herramientas matemáticas, números reales, componentes
vectoriales, rotación de figuras en el plano, relación del método de regla y compás y
demás. Para el docente el método sirve como herramienta pedagógica con la cual
se logrará además de los conceptos propios del método, hacer que la clase de
matemáticas sea divertida, afianzar sus propios conocimientos en el caso que no sea
licenciado en el área de las matemáticas en especial a los docentes de básica
primaria ya que lo invita a cambiar y conocer diversas formas fáciles de enseñar las
matemáticas.