Manual del Curso - Gobierno de Canarias

PROYECTO MEDUSA
Gobierno de Canarias
Curso de
Cabri Geometre II
Consejería de Educación
VERSIÓN 1
Este curso de Cabri Geometre II fue elaborado por
el Área de Matemáticas del equipo Medusa de la
Consejería de Educación, Cultura y Deportes
en el curso 2003 – 2004.
Colaboran:
Fondo Social
Europeo
Curso de Cabri Geometre II
F.E.D.E.R.
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Tema 1: INTRODUCIÓN A CABRI Geomètré ............................................ 7
1.1 Asistentes geométricos y sus características....................................... 7
1.2. Acerca de Cabri. Instalación. Necesidades del sistema. Arranque del programa
y ventana de Cabri ................................................................................... 9
Tema 2: PRIMERAS ACTIVIDADES: ....................................................... 31
2.1 CREAR UNA CARPETA EN EL DISCO DURO O PENDRIVE CAMBIAR EL IDIOMA ... 32
2.2. ACTIVIDAD 1. Obtención del Circuncentro de un triángulo .................... 35
Construir un triángulo arbitrario y etiquetar sus vértices. Trazar
mediatrices. Puntos de intersección. Etiquetar puntos. Guardar figuras
realizadas con Cabri. Abrir ficheros de Cabri.
2.3. ARRASTRE, OBJETOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES ....................... 38
2.4. ACTIVIDAD 2. Circunferencia Circunscrita ........................................ 39
Ocultar objetos. Modificar la apariencia de un punto. Cambiar el color a un
objeto. Dibujar segmentos y puntos. Comprobar equidistancia. Seleccionar
varios objetos. Copiar y pegar figuras de Cabri (en Cabri y a otras
aplicaciones). Borrar, Copiar, Cortar y Pegar objetos. Dibujar una
circunferencia. Cambiar el grosor a un objeto. Deshacer y rehacer una
acción. Guardar un fichero de Cabri con otro nombre.
2.5. ACTIVIDAD 3. Construcción del Incentro. Circunferencia inscrita ............ 45
Cerrar un archivo. Abrir un nuevo archivo. Poner una marca a un ángulo.
Medir el valor de un ángulo. Escribir un comentario. Tratar las
ambigüedades. Uso de la calculadora de Cabri. Modificar un comentario.
Trazar la bisectriz de un ángulo. Trazar la recta perpendicular por un
punto. Calcular la distancia entre dos puntos.
2.6 ACTIVIDAD 4. Construcción del Ortocentro ........................................ 52
Uso de la ayuda en Cabri.
2.7 ACTIVIDAD 5. Construcción del Baricentro ........................................ 57
Punto medio de un segmento. Recta que pasa por dos puntos. Imprimir figuras
Cabri (mostrar página, preparar página, imprimir).
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Tema 3: CONTRUCCIONES MACROS. .................................................... 61
3.1. DEFINICIÓN ............................................................................. 61
3.2 Actividad 1: Crear una macro que dado un triángulo obtengamos su
circuncentro ................................................................................ 62
Crear una macro. Objetos iniciales. Objetos finales. Definir la macro.
Guardar una macro. Uso de la macro en la misma figura.
3.3. Actividad 2: Crear una macro que dado un triángulo obtengamos su
ortocentro .................................................................................. 66
Salir de Cabri sin guardar.
3.4. Actividad 3: Crear una macro que dado un triángulo obtengamos su
baricentro ................................................................................... 68
3.5. Actividad 4: Construir la recta de Euler de un triángulo ....................... 70
Cargar un fichero macro. Comprobar si tres puntos están alineados.
3.6. Actividad 5: Comprobación numérica y geométrica del teorema de
Pitágoras .................................................................................... 73
Definir segmentos. Trazar rectas perpendiculares y paralelas. Construcción
de un polígono. Fijar un punto sobre un objeto. Hallar el área de un
polígono. Cambiar el tipo, estilo y tamaño de fuente. Rellenar de color un
polígono. Definir un vector. Realizar la traslación de un polígono.
Tema 4: Transformaciones. .............................................................. 82
4.1. ACTIVIDAD 1: Construcción del hueso .............................................. 83
Realizar simetría axial de un punto
4.2. ACTIVIDAD 2: Mosaico a partir del hueso .......................................... 85
Edición numérica. Realizar giros de una figura. Realizar simetría central de
una figura.
4.3. ACTIVIDAD 3: Construcción del Pétalo ............................................. 88
Construir el arco de una circunferencia.
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4.4. ACTIVIDAD 4: Construcción de un mosaico a partir del Pétalo ................. 90
4.5. ACTIVIDAD 5: Construcción de la Pajarita ......................................... 91
Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.
4.6. ACTIVIDAD 6: Coordenadas de un giro ..................................... 95
Mostrar los ejes. Definir cuadrícula. Ver las coordenadas de un punto.
Realizar la transferencia de medidas. Fijar un punto. Construir un
polígono regular.
4.7. ACTIVIDAD 7: Homotecias .................................................. 106
Construir una semirecta. Realizar la homotecia de una figura.
4.8. ACTIVIDAD 8: Inversión ..................................................... 109
Construir el inverso de un punto respecto una circunferencia.
Tema 5. LUGARES GEOMÉTRICOS. .................................................... 111
5.1. Actividad 1: Bisectriz de un ángulo ....................................... 111
Construir un lugar geométrico. Activar y desactivar traza. Regenerar
una figura. Cambiar las opciones para lugares geométricos. Aumentos
y disminución de los objetos que forman el lugar.
5.2. Actividad 2: Construcción de la Elipse usando el método del
jardinero ........................................................................... 116
Utilizar la herramienta compás del menú construir. Construir una
cónica. Expresar las ecuaciones de una cónica. Cambiar las
preferencias al mostrar las ecuaciones.
5.3. Actividad 3: Construcción de la Parábola ................................ 120
5.4. Actividad 4: .................................................................. 123
Construcción de la CICLOIDE. Construcción de la EPICICLOIDE.
Construcción de la HIPOCICLOIDE
5.5. Actividad 5: Envolventes ................................................... 134
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Parábola como envolvente. Cardiode. Astroide
Tema 1.6: Construcciones Geométricas ............................................. 139
Actividad 1: Construcciones de triángulos. .................................. 139
Actividad 2: Potencia de un punto. ........................................... 141
Actividad 3: Gráfica de funciones. ........................................... 144
Actividad 4: Funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente). .... 145
Actividad 5: Construcción del pentágono regular a partir del lado. ...... 150
Actividad 6: Circunferencia de los nueve puntos. ........................... 151
Actividad 7: Triángulos de Napoleón de un triángulo. ...................... 152
Actividad 8: Triángulo de Morley.
Tema 1.7: Creación de Apples con CabriWeb ...................................... 154
7.1. Cómo utilizar el applet de Cabri_Web. ................................. 155
7.2. Cómo crear a partir de una figura construida con Cabri II, utilizando
CabriWeb, una página web que contenga un applet de CabriJava. ...... 157
7.3. Edición básica de la página web creada. ................................ 161
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Son programas que permiten tratar de forma dinámica conceptos geométricos.
Se pueden trabajar, entre otros, conceptos como:
Teorema de Pitágoras, elementos notables de un triángulo, construcción de
triángulos, la razón áurea, construcción de polígonos regulares,
transformaciones en el plano (traslaciones, giros, simetrías, homotecias),
mosaicos, lugares geométricos (bisectriz, cicloide, epicicloide, cardioide,
nefroide, hipocicloide).
Con este tipo de programas:
* Se puede experimentar y analizar situaciones geométricas de muy diverso tipo.
* Se permite comprobar resultados, inferir, refutar.
* Las construcciones realizadas se pueden integrar en una página Web en forma
de applet interactivo (si se quiere ver un ejemplo: Recta de Simpson
(http://nti.educa.rcanaria.es/matematicas/Geometria/Actividades/rec_sim.htm)).
Entre los asistentes de geometría tenemos los siguientes:
1. Cabri: (asistente matemático para hacer geometría, sencillo e intuitivo, se
puede bajar una demo en la página comercial, esta demo no deja guardar las
figuras creadas y se cierra la aplicación al cabo de 15 minutos).
a. Página Comercial (http://www-cabri.imag.fr/index-e.html)
b. Applet con Cabri (IES Marqués de Santillana
(http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/tallerma/cabri.htm)
i. Manual de Cabri. (centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/tallerma/tut_cab.htm).
ii. Manual de CabriWeb
(centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/tallerma/tutorial/tutorial.htm)
iii. Taller de Matemáticas
(centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/tallerma/tallerde.htm)
c. CabriWeb (pequeña utilidad de cabri que permite transformar una
construcción creada con Cabri en un applet que queda dentro de una página web).
(http://www.cabri.net/cabrijava/index.html).
d. Actividades con CabriWeb desarrolladas por el departamento de
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matemáticas del I.E.S Salvador Dalí
(http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/discocabri/inicia.html)
2. Cinderella (asistente matemático para hacer geometría, paquete comercial
del que se puede bajar una demo. Programa Italiano). Permite crear applets en
una página Web: http://www.cinderella.de/en/index.html
3. Sketchpap (asistente matematico para hacer geometría parecido al Cabri:
http://www.keypress.com/sketchpad/) (Programa de EEUU).
4. Geup: Un programa de Geometría interactivo. Programa para hacer
Geometría utilizando el ordenador. Es un programa muy parecido al Cabri. Esta
realizado por un equipo especializado en matemáticas de Canarias (Tenerife).
http://www.geup.net/index_esp.htm
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a. ACERCA DE CABRI
b. NECESIDADES DEL SISTEMA
c. INSTALACIÓN
d. ARRANQUE DEL PROGRAMA
e. VENTANA INICIAL DE CABRI
a. ACERCA DE CABRI: Este software nos permite construir y explorar objetos
geométricos de forma interactiva. Desarrollado por Jean-Marie Laborde y Franck
Bellemain en el Institu d'Informatique et Mathématiques Appliqués de Grnoble,
laboratorio de investigación de la Université Joseph Fourier de Grenoble (Francia).
b. NECESIDADES DEL SISTEMA: Vamos a estudiar la versión 1.1 MS Windows de
CABRI-GEOMETRY II
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PLATAFORMAS: PC y MACINTOSH (Nos centraremos en nuestro estudio sobre la
plataforma PC).
MICROPROCESADOR: 486 o superior.
RAM: 16 Mb. o superior. Requiere 4 Mb de memoria RAM libre para ejecutarse.
S.O.: Windows (95, 98, ME, NT, 2000 y XP).
DISCO DURO: Ocupa 1,5 Mb. de epacio en disco.
c. INSTALACIÓN: Es el proceso típico de la instalación de cualquier programa:
1. Ejecutar el fichero de instalación del programa Install.exe, haciendo doble clic
sobre el mismo:
2. Nos aparece la siguiente ventana de bienvenida a la instalación, pulsamos Next
y continuamos:
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3. Nos encontramos con la ventana donde se indica el directorio de instalación,
podemos elegir el que viene por defecto, o seleccionar otro al hacer clic sobre
Browse (Explorar). También se nos indica en esta pantalla el espacio libre en disco
antes y después de la instalación. Pulsar Next para continuar con la instalación
4. En la ventana que aparece podemos seleccionar los componentes a instalar: el
programa Cabri, los ficheros de lenguajes (luego, al abrir el programa, podremos
elegir el idioma español u otro), y figuras y macros de ejemplos. Pulsamos Next
para continuar.
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5. En la pantalla siguiente, escribimos el nombre y la compañía que ha adquirido el
producto. En el caso de querer cambiar alguna de las consideraciones anteriores
pulsamos el botón Back para ir hacia atrás. Pulsamos Next para empezar la
instalación:
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6. Pulsar Next para continuar:
7. Comienza el proceso de instalación:
8. Por último nos aparece la pantalla de finalización de la instalación, pulsamos
Finish para terminar:
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d. ARRANQUE DEL PROGRAMA:
Al terminar la instalación se nos crea un acceso directo (puntero hacia el fichero
ejecutable), tanto en el escritorio, como en el Menú Inicio/Programas/Cabri
Geometry II/Wcabri2.
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Para arrancar el programa sólo tenemos que hacer doble clic sobre el icono que
aparece en el escritorio
, o bien seleccionarlo desde el menú inicio. (También
podemos ejecutar Cabri haciendo doble clic sobre el fichero ejecutable
wcabri2.exe que se encuentra en el directorio donde se instaló Cabri).
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e. VENTANA INICIAL DE CABRI: Al arrancar Cabri aparece la siguiente ventana:
BARRA DE TÍTULO: Funciona exactamente igual que cualquier otra ventana de
Windows.
BARRA DE MENÚS: Se usa para la gestión y edición de archivos, así como para
cambiar las distintas opciones del programa.
BARRA DE HERRAMIENTAS: Es el elemento principal del programa y se utiliza
para crear las construcciones geométricas. Al mantener presionado el botón del
ratón sobre una de las once herramientas se despliega un menú con sus opciones.
ÁREA DE DISEÑO: región donde se generan las construcciones
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INSTALACIÓN DE CABRI en el entorno MEDUSA
La instalación del Cabri tiene el siguiente problema, si se instala de forma
rutinaria, sólo puede ejecutarse por el usuario que lo instale. Por tanto en el aula
medusa, cuando entre el usuario alumno, no podrá ejecutar el programa (este
usuario no tiene perfil de instalador), si intenta su ejecución obtenemos el
desagradable mensaje:
Ante esto damos la siguiente solución:
A groso modo lo que haremos será:
1. Entrar en la máquina con perfil instalador (usuario avanzado o instalador
superior).
2. Crear una carpeta compartida Cabri en C:\Archivos de programa\ (se detalla
más adelante).
3. Instalar Cabri usando el camino: \\nombre_de _la_máquina\Cabri (se detalla
más adelante).
4. Habilitar para todos los usuarios un icono en el escritorio y en
Inicio\Programas para que se acceda al Cabri.
A continuación detallamos algunos de los pasos:
a. Crear una carpeta compartida Cabri en C:\Archivos de programa\.
1. Crear la carpeta Cabri en C:\Archivos de programa.
2. Hacer clic derecho sobre la carpeta y elegir Compartir y seguridad
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3. Obtendremos la siguiente
ventana, desde la cual
vamos a agregar a los
usuarios con los que
queremos compartir la
carpeta (elegiremos el
grupo de usuarios del
Centro):
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i.
Hacemos clic sobre
Permisos
ii.
Pulsamos la opción Agregar... para seleccionar a los usuarios con
los que queremos compartir la carpeta Cabri. En el recuadro
Escriba los nombres de objeto que desea seleccionar, escribir
G_xxxxxxxx (donde xxxxxxxx es el código del Centro) y pulsar
Aceptar
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iii.
Nos aparece la siguiente ventana con los distintos Grupos de
usuarios que coinciden con el patrón G_xxxxxxxx . Cómo queremos
que el Cabri lo ejecute cualquier usuario del Centro, elegimos la
primera coincidencia y pulsamos Aceptar.
iv.
Al grupo G_xxxxxxxx
sólo le dejamos la
opción de Leer (para
una mejor
protección). Además
seleccionamos el
grupo Todos y
pulsamos Quitar.
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v.
Ahora vamos a añadir
al usuario instalador
para que tenga
permisos de escritura
en la carpeta y
pueda instalar Cabri
en ella (en este caso
particular el usuario
se llama u_ofitfe_a,
en el caso del lector
será el nombre de
usuario con el que se
ha validado en la
máquina). Pulsar
Agregar:
vi.
Aparece la pantalla de la figura donde escribimos el nombre del
usuario y pulsamos Aceptar:
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vii.
Le damos el permiso al
usuario para Cambiar y
pulsamos Aplicar y
Aceptar
4. Volvemos a la ventana
Compartir y pulsamos
Aplicar, Aceptar.
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b. Instalar Cabri usando el camino: \\nombre_de _la_máquina\Cabri.
1. Acceder a la unidad de CD y ejecutar el programa de instalación de Cabri
(Install).
2. Elegir la opción Ejecutar el programa como MEDUSA\nombre_usuario y
pulsar Aceptar.
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3. Cuando aparezca la ventana de Seleccione el directorio de Instalación,
hacer Clic sobre Browse (para cambiar el directorio por defecto):
4. Aparece la siguiente ventana. En la entrada de selección de directorio
escribir: \\nombre_de_la_máquina\Cabri y pulsar OK.
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Nota: El nombre de la máquina la podemos obtener de las siguientes
formas:
a. Al iniciar la máquina, donde introducimos el nombre de usuario,
la clave y el dominio (en nuestro caso Medusa). En el cuadro
desplegable Dominio, si lo desplegamos vemos además de
Medusa, Brezo y el nombre de la máquina.
b. Abrir una ventana DOS (Inicio\Ejecutar\cmd) y correr el
comando ipconfig /all (en la entrada Nombre del Host aparece
el nombre de la máquina).
5.
Volvemos a la pantalla anterior. Pulsar Next.
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6. Aparece la siguiente pantalla, pulsar Next.
7. En la siguiente ventan escribir un nombre y una compañía (nota ambos
campos deben tener más de cuatro caracteres) y pulsar Next.
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8. Aparece la siguiente pantalla , pulsar Next.
9. Comienza la instalación:
10. Finaliza la instalación:
Pulsar Finish
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c. Habilitar para todos los usuarios un icono en el escritorio y en
Inicio\Programas para que se acceda al Cabri.
Abrir Mi Pc y en la barra de dirección escribir: \\nombre_máquina\Cabri
Es conveniente dejar la ventana en forma restaurada para poder arrastrar iconos de
una a otra.
i. Para poner un icono en el escritorio de todos los usuarios:
1. Abrir el escritorio de todos los usuarios (Mi Pc\C:\Documents and
Settings\All User\Escritorio). Dejar la ventana en forma restaurada de
manera que se pueda ver esta ventana y la anterior.
2. Seleccionar la ventana \\nombre_equipo\Cabri y arrastrar con el clic
derecho el fichero Wcabri.exe a la ventana C:\ Documents and
Settings\All User\Escritorio y al soltar elegir Crear icono de acceso
directo aquí.
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ii. Para poner un icono en Inicio\Programas de todos los usuarios:
iii.
1. Abrir el escritorio de todos los usuarios (C:\Documents and
Settings\All Users\Menú Inicio\Programas). Dejar la ventana en
forma restaurada de manera que se pueda ver esta ventana y la
anterior.
2. Seleccionar la ventana \\nombre_equipo\Cabri y arrastrar con el
clic derecho el fichero Wcabri.exe a la ventana C:\ Documents and
Settings\All User\Escritorio y al soltar elegir Crear icono de acceso
directo aquí.
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CREAR UNA CARPETA EN EL DISCO DURO O PENDRIVE
CAMBIAR EL IDIOMA
ACTIVIDAD 1. Obtención del Circuncentro de un triángulo
Construir un triángulo arbitrario y etiquetar sus vértices. Trazar mediatrices.
Puntos de intersección. Etiquetar puntos. Guardar figuras realizadas con Cabri.
Abrir ficheros de Cabri.
ARRASTRE, OBJETOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
ACTIVIDAD 2. Circunferencia Circunscrita
Ocultar objetos. Modificar la apariencia de un punto. Cambiar el color a un
objeto. Dibujar segmentos y puntos. Comprobar equidistancia. Seleccionar
varios objetos. Copiar y pegar figuras de Cabri (en Cabri y a otras aplicaciones).
Borrar, Copiar, Cortar y Pegar objetos. Dibujar una circunferencia. Cambiar el
grosor a un objeto. Deshacer y rehacer una acción. Guardar un fichero de Cabri
con otro nombre.
ACTIVIDAD 3. Construcción del Incentro. Circunferencia inscrita
Cerrar un archivo. Abrir un nuevo archivo. Poner una marca a un ángulo. Medir
el valor de un ángulo. Escribir un comentario. Tratar las ambigüedades. Uso de
la calculadora de Cabri. Modificar un comentario. Trazar la bisectriz de un
ángulo. Trazar la recta perpendicular por un punto. Calcular la distancia entre
dos puntos.
ACTIVIDAD 4. Construcción del Ortocentro
Uso de la ayuda en Cabri.
ACTIVIDAD 5. Construcción del Baricentro
Punto medio de un segmento. Recta que pasa por dos puntos. Imprimir figuras
Cabri (mostrar página, preparar página, imprimir).
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CREAR UNA CARPETA EN EL DISCO DURO O PENDRIVE.
Se utilizará para guardar las construcciones que se vayan realizando con Cabri.
La carpeta se llamará Curso_teleformacion, si ya sabe como crearla pasar al
siguiente epígrafe.
a. Abrir el explorador (clic derecho sobre el icono de Inicio de la barra de tareas
de Windows y elegir explorar).
b. En la parte derecha de la pantalla del explorador elegir la unidad y directorio
donde queremos crear el directorio de trabajo (en la figura C:\Cabri). En la parte
izquierda hacer clic derecho sobre la ventana y en menú contextual elegir
Nueva/Carpeta, escribir el nombre de la carpeta curso_teleformacion y pulsar
Enter:
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c. Quedará cono en la figura:
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CAMBIAR EL IDIOMA
Lo primero que vamos a realizar es cambiar el
idioma de inglés a español, para trabajar de ahora
en adelante en español.
Para ello abrir el programa y elegir Language...
del menú Opciones en la BARRA DE MENÚS
En la siguiente pantalla elegir Espanol.cgl:
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En la ventana que aparece elegir Sí (de ahora en adelante cada vez que iniciemos
el programa lo hará en Español) :
ACTIVIDAD 1. Obtención del circuncentro de un triángulo:
Sabemos que el circuncentro de un triángulo es el corte de sus mediatrices.
Los pasos que ralizaremos serán:
a. Construir un triángulo arbitrario. Etiquetaremos sus vértices (A, B, C).
b. Trazar dos de sus mediatrices (las correspondientes a los lados a y b).
c. Obtener su intersección (circuncentro).
d. Guardar el fichero con el nombre
circuncentro.fig.
a Construir un triángulo arbitrario y
etiquetar sus vértices. Para ello elegir la
herramienta rectas, y manteniéndola
pulsada elegir la opción Triángulo. Desde
este momento podremos dibujar el
triángulo en el área de diseño:
Hacer clic en el lugar que queramos
dibujar el primer vértice (escribir A para etiquetar el vértice antes de
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hacer clic en el segundo vértice), hacer clic en el lugar del segundo
vértice (escribir B) y por último hacer clic para el tercer vértice (escribir
C).
b Trazar dos de sus mediatrices (las
correspondientes a los lados a y b). Elegir la
herramienta construir, y manteniéndola pulsada
elegir Mediatriz, seleccionar el lado a y hacer
clic (se construye la mediatriz del lado a):
Proceder de igual forma para el lado b,
obtendremos la figura:
c. El punto de corte será el
circuncentro. Para obtener el punto
de corte de distintos objetos con
Cabri, proceder de la siguiente forma:
Elegir la herramienta puntos y
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manteniéndola pulsada hacer clic sobre Puntos(s) de interseción, ahora
seleccionamos una de las dos rectas (aparecerá una línea discontinua de
puntos) y luego la otra, el punto de corte entre las dos rectas se resalta,
es el circuncentro.
Vamos a etiquetar el circuncentro con la letra G.
Para ello seleccionar la herramienta ver activando
la opción etiqueta (se activa automáticamente ya
que es la opción por defecto de ver). Señalar el
circuncentro y escribir G, para terminar hacer clic
sobre la herramienta puntero opción
seleccionar
(es la opción por defecto).
d. Guardar el fichero con el nombre
circuncentro.fig.
Para guardar la construcción en un archivo,
procedemos de igual forma que con cualquier
programa en Windows, seleccionamos la opción
Guardar (Ctrl+S) del menú Archivo de la BARRA
DE MENÚS.
Nos aparece el cuadro de diálogo Guardar de
Windows, elegimos el directorio donde
queremos guardar el fichero (en Guardar en:) y
escribimos el nombre del archivo circuncentro (en Nombre de archivo,
por defecto tomará la extensión .fig) y pulsamos Guardar.
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De ahora en adelante siempre que se quiera volver a abrir el archivo
circuncentro.fig, seleccionaremos la opción Abrir (Crol+O) del menú
Archivo y en el cuadro de diálogo ABRIR de Windows seleccionar dicho
fichero.
ARRASTRE, OBJETOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Una de las cualidades de Cabri es su dinamismo.
Un objeto independiente es aquel que se ha construido con puntos básicos
(puntos individuales o que definen un objeto individual -triángulo, polígono,
segmento, vector, semirrecta, arco, cónica, circunferencia-). Los objetos
independientes pueden moverse, pero no modificarse directamente. Se
modifican indirectamente arrastrando los puntos básicos que lo definen.
Un objeto dependiente es el que se ha construido a partir de un objeto
independiente o de otro dependiente. No pueden moverse ni modificarse
directamente, puede variarse indirectamente cambiando el objeto
independiente utilizado para su construcción.
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Para arrastrar un objeto con Cabri, selecciona la herramienta
puntero opción Seleccionar
arrastrar.
, hacer clic sobre el objeto y
Ejercicio: En la construcción circuncentro.fig, arrastra los extremos
del triángulo ¿qué ocurre?. Arrastra un lado cualquiera del triángulo,
¿qué ocurre?. Selecciona una de las mediatrices e intenta arrastrarlas
¿que ocurre?. Selecciona el circuncentro del triángulo e intenta
arrastrarlo ¿qué ocurre?.
¿En la construcción circuncentro.fig, clasifica los distintos objetos en
puntos básicos, objetos independientes y objetos dependientes?.
¿Qué ocurre cuando la mediatriz de un lado contiene a un vértice de
un triángulo?.
ACTIVIDAD 2. Circunferencia circunscrita:
a. Vamos a ocultar las mediatrices del triángulo.
b. Vamos a modificar el punto que define el circuncentro
haciéndolo mayor y cambiándole el color (a violeta).
c. Guardaremos la construcción así creada con el mismo nombre
(circuncentro.fig).
d. Comprobaremos la equidistancia del circuncentro a los vértices
del triángulo.
e. Dibujaremos la circunferencia circunscrita. Le cambiaremos su
grosor a una unidad mayor.
f. Guardaremos el nuevo archivo con el nombre circunscrita.fig.
a. Ocultar objetos. Vamos a ocultar las
mediatrices que definen al circuncentro en la
construcción circuncentro.fig.
Abrir Cabri y abrir el fichero circuncentro.fig.
Seleccionar la herramienta dibujo y
manteniéndola presionada elegir Ocultar/Mostrar.
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Hacer clic sobre cada una de las mediatrices (las rectas aparecen
punteadas), seleccionar la herramienta puntero opción Seleccionar
para que queden las
mediatrices ocultas (si las
rectas tuvieran alguna etiqueta
asociada, también se ocultaría).
b. Modificar la apariencia de un punto:
vamos a cambiar el tamaño y color del
circuncentro. Para ello señalaremos la
herramienta dibujo y manteniéndola pulsada
elegimos la opción Modificar apariencia (de
ahora en adelante dibujo/Modificar
apariencia), aparece la
siguiente ventana:
La primera fila cambia el
aspecto de los puntos.
Hagamos clic sobre el tercer
punto (tamaño grande de los
puntos) y luego clic sobre el circuncentro. El punto
que define al circuncentro cambia de tamaño.
Para cambiar el color del circuncentro (de rojo a
violeta). Elijamos la herramienta dibujo/Color, nos
aparece la ventana de la derecha, seleccionemos el
color violeta y luego hagamos clic sobre el circuncentro
(¿qué le ocurre al color de la etiqueta G asociada al
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punto?). La construcción quedará como en la figura:
c. Guardar la construcción Archivo/Guardar.
d. Vamos a comprobar que el circuncentro equidista de sus
vértices.
* El punto G, equidista de A y B. Para comprobarlo
seleccionar comprobar propiedades/Equidistante,
señalamos primero el circuncentro (el que queremos
comprobar que es equidistante a los otros dos) y luego los
vértices A y B, aparece un rectángulo punteado (es donde
se nos dará la respuesta, mediante un cuadro de texto),
hacer clic dónde se quiera obtener la respuesta.
* El Punto G, equidista de B y C. Comprobarlo de forma
análoga al anterior.
NOTA: La etiqueta de respuesta es dinámica, si el punto dejara de
equidistar por algún cambio (no es el caso del circuncentro), la
respuesta de la etiqueta cambiaría y diría que los puntos no
equidistan.
Ejercicio 1: Equidistancia.
Puede realizar la prueba del dinamismo de las etiquetas construyendo
un segmento de vértices A y B (rectas/segmentos) y un punto C por
fuera de dicho segmento (puntos/punto), luego seleccionar
comprobar propiedades/Equidistante señalando primero C y luego A
y B. Mueve el punto C hasta que equidiste de los extremos y observa
como cambia la etiqueta.
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Ejercicio 2: Selección de varios objetos.
Supongamos que se quiere borrar los objetos creados en el ejercicio
anterior, ya que no queremos que se guarden con el circuncentro. Podemos
borrarlos uno a uno o todos a la vez.
Para borrar un objeto sólo tenemos que seleccionarlo (hacer clic en
puntero/selección
, y luego hacer clic sobre el objeto -el objeto
seleccionado parpadea-) y pulsar la tecla SUPRIMIR (Supr).
Para seleccionar varios objetos a la vez:
* Elegir la herramienta puntero/selección
* Manteniendo pulsada la tecla Mayúsculas
seleccionar con el ratón los distintos objetos (si
todos los objetos que quiero señalar se
encuentran dentro de un rectángulo, basta con
hacer clic en un extremo y arrastrar el ratón
hasta el extremo opuesto y soltar el ratón, todos
los objetos que queden dentro del rectángulo
parpadean indicando que están seleccionados).
* Si pulsamos la tecla SUPRIMIR (Supr)
borramos la selección. Si pulsamos Ctrol+C la
copiamos al portapapeles y luego la podremos pegar (Ctrol+V) en otro lugar
de la ventana de Cabri o bien en otro aplicación de Windows. Si pulsamos
cortar (Ctrol+X) la borramos del lugar y la copiamos al portapapeles
pudiéndola luego pegar en otro lugar. Las opciones Borrar, Copiar, Cortar y
Pegar también las podemos obtener desde la BARRA DE MENÚS
Edición/Borrar, Edición/Copiar, Edición/Cortar, Edición/Pegar.
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Borrar todos los objetos utilizados en el ejercicio de equidistancia (el
segmento AB y el punto C, la etiqueta se borra automáticamente al borrar
los elementos que la han generado).
Ejercicio: Selecciona el triángulo con su circuncentro y cópialo en un
documento de Word (o WordPad) que se llame circuncentro.doc. Guarda
este documento en el directorio de trabajo.
e. Dibujaremos la circunferencia circunscrita. Le cambiaremos su
grosor a una unidad mayor.
Recordar que tenemos abierto el fichero circuncentro.fig.
Para dibujar la circunferencia circunscrita, utilizaremos la herramienta
curvas/Circunferencia, hacemos clic sobre el centro de la circunferencia (en
este caso el circuncentro G) y luego seleccionamos cualquiera de los vértices,
quedando:
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Nota: Si nos equivocamos realizando una acción en la construcción,
podemos deshacerla (pero sólo la última). Esta opción actúa en modo
interruptor, luego se puede rehacer lo anterior. Como ejercicio deshace la
última acción (la construcción de la circunferencia), para ello elige en la
barra de menús Edición/Deshacer (con el teclado Ctrol+Z) -desaparece la
circunferencia-. Rehace ahora la acción
Edición/Rehacer (Ctrol+Z). Pulsando Ctrol+Z
continuamente pasamos de Deshacer a Rehacer y
recíprocamente.
Vamos a cambiar el grosor de la circunferencia
circunscrita. Para cambiar el grosor elegir la
herramienta dibujo/Grosor. Nos aparece el submenú
con tres posibles tamaños, seleccionamos el
intermedio y hacemos clic sobre la circunferencia,
quedando como se muestra en la figura:
f. Guardaremos el nuevo archivo con el
nombre circunscrita.fig. El fichero con el que
estamos trabajando se llama circuncentro.fig.
Para mantener este archivo como en un principio
y crear uno nuevo con la figura actual de la
circunferencia circunscrita elegir la opción de la
BARRA DE MENÚS Archivo/Guardar Como, se abre el cuadro de diálogo
Guardar Como, especificar en él, el directorio de trabajo y el nombre
del archivo (circunscrita.fig). Observar en la BARRA DE TÍTULO como
aparece el nombre del archivo en la misma:
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ACTIVIDAD 3. Construcción del Incentro. Circunferencia inscrita.
Sabemos que el incentro de un triángulo es el corte de sus bisectrices.
Los pasos que ralizaremos serán:
a. Construir un triángulo arbitrario. Etiquetaremos sus vértices (A, B,
C).
b. Trazar dos de sus bisectrices (las correspondientes a los ángulos A y
B).
c. Obtener su intersección (incentro).
d. Ocultar las bisectrices del triángulo.
e. Vamos a modificar el punto que define el incentro haciéndolo mayor
y cambiándole el color (a violeta).
f. Guardar el fichero con el nombre incentro.fig.
g. Comprobaremos la equidistancia del incentro a los
lados del triángulo.
h. Dibujaremos la circunferencia inscrita. Le
cambiaremos su grosor a una unidad mayor.
f. Guardaremos el nuevo archivo con el nombre
inscrita.fig.
Antes de empezar, si teníamos una construcción previa
abierta, guardarla (Archivo/Guardar -Ctrol+S-) y cerrarla
(Archivo/Cerrar -Ctrol+W-). Abrir un archivo nuevo para
empezar a trabajar en él (Archivo/Nuevo -Ctrol+N-)
a Construir un triángulo arbitrario y etiquetar sus
vértices.
Para ello elegir la herramienta rectas/Triángulo, señalar
los puntos (cada vez que señalemos un punto, escribimos
su etiqueta A, B y C)
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Ejercicio: Comprobar con Cabri que la suma de los ángulos del
triángulo es 180º.
Vamos a poner las marcas a los ángulos del triángulo
(visualizándolos mejor), para ello elegir la herramienta
ver/Marca de ángulo, y señalar tres puntos para definir
el ángulo, el primero sobre un lado, el segundo el
vértice y el tercero sobre el otro lado, por ejemplo para
señalar la marca de ángulo del vértice A, señalar los
puntos B,A,C (siempre el vértice en el centro). El
triángulo quedará, como en la figura:
Si las etiquetas de los vértices (A, B, y C), quedan sobre
los ángulos no dejando ver la marca, podemos arrastrarlas
colocándolas por fuera (herramienta puntero/Seleccionar).
Podemos conocer las medidas de los ángulos, utilizando
la herramienta medir/Ángulo. Seleccionar la herramienta
y hacer clic sobre cada una de las marcas de los ángulos,
nos aparecerá el valor del ángulo y nos permitirá escribir
un comentario (escribir ángulo A: , para el ángulo A).
Proceder de igual forma para cada uno de los ángulos. Las
etiquetas con los valores de los ángulos se encuentran
sobre los vértices.
Vamos a arrastrarlas hacia la derecha utilizando
puntero/Seleccionar, y señalar la etiqueta que contiene el número del ángulo,
luego arrastrarla hacia la derecha (al principio muestra una cierta resistencia a
despegarse del entorno del ángulo, pero se deja).
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Puede suceder que al intentar
señalar a la etiqueta el puntero
del ratón se convierta en una
lupa, preguntando ¿Qué objeto?,
esto significa que existe una
ambigüedad, es decir que la zona
que señala el puntero del ratón
está ocupado por más de un
objeto, al hacer clic se despliega un menú indicando los objetos ordenados según
se crearon, elegir el número y arrastrarlo.
Al final aparecerá algo como la siguiente figura:
Arrastra los extremos de los ángulos ¿qué ocurre?
¿Cómo comprobar que la suma de los ángulos de cualquier
triángulo es 180º? Utilizando la calculadora de Cabri.
Para abrir la calculadora utilizar la herramienta
medir/Calcular, aparecerá la calculadora en una ventana
adicional (como muestra la figura).
En ella se podrán realizar cálculos como en cualquier calculadora, pero lo
realmente interesante es que se pueden utilizar parámetros numéricos para
realizar cálculos y que la solución dinámica de dichos cálculos se puede reflejar
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sobre la construcción. Por ejemplo vamos a sumar los tres ángulos del triángulo
(para cualesquiera que sean estos ángulos) y el resultado, añadiremos a la figura:
* Añadir parámetros a la calculadora. Teniendo seleccionada la calculadora (la
barra de título debe estar resaltad en azul), hacer clic sobre el valor numérico del
ángulo A (aparecerá sobre la ventana de edición una letra a que indica dicho valor,
variable en función de que variemos la posición de los vértices y en consecuencia
el ángulo), escribir el signo + y pulsar el valor numérico del ángulo B (aparecerá
una b), escribir + y pulsar el valor numérico del ángulo C.
* Realizar el cálculo: pulsar =
* Llevar el resultado dinámico sobre la figura. Simplemente arrastraremos con el
ratón el valor que encontremos en la ventana de resultado sobre el área de diseño
de la figura de Cabri (este resultado se guardará con la figura y se recalculará cada
vez que se varíen los ángulos). En nuestro caso siempre será 180º.
* Cerrar la calculadora, para ello pulsar el botón Off.
Asociada al resultado siempre aparece, una etiqueta que pone
. Generalmente cambiaremos dicha etiqueta por otra más acorde con el contexto.
Vamos a cambiar la etiqueta de forma que ponga
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.
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Para ello seleccionar la herramienta
ver/Comentario, y luego hacer clic sobre la etiqueta
que queremos modificar, aparece resaltado el texto
a modificar (
), escribimos el
nuevo texto terminando la edición.
La construcción quedará como en la figura:
Guardar la construcción con el nombre angulos_triangulo.fig.
Vamos a borrar todas las etiquetas y los valores numéricos de los ángulos, para ello
seleccionarlos con puntero/Seleccionar y manteniendo pulsada la tecla
Mayúscula, seleccionar todas las etiquetas, y pulsar
Supr.
b Trazar dos de sus bisectrices (las correspondientes a
los lados a y b).
Elegir la herramienta construir/Bisectriz, seleccionar
los vértice B, A, C (se construye la bisectriz del lado a):
Proceder de igual forma para el lado b (A, B, C),
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obtendremos la figura:
c. El punto de corte será el incentro. Elegir la herramienta puntos/Puntos(s) de
interseción, luego seleccionamos el punto de intersección y hacemos clic,
aparecerá el incentro. Etiquetarlo como I.
d. Ocultar las bisectrices del triángulo.
e. Vamos a modificar el punto que define el incentro haciéndolo mayor y
cambiándole el color (a violeta).
f. Guardar el fichero con el nombre incentro.fig.
g. Comprobaremos la equidistancia del incentro a los lados del triángulo.
a. Vamos a representar los puntos pies de las perpendiculares por el incentro a los
lados. La distancia del incentro al los lados será las distancia del incentro a cada
uno de dichos puntos.
Para representar el punto p1, hallamos la recta perpendicular al lado BC, por el
punto I, para ello utilizar la herramienta
construir/Recta perpendicular,
seleccionar el punto I y luego el lado BC.
Obtener el punto de intersección entre el
lado BC y la perpendicular, así obtenemos
p1. Proceder de igual forma para obtener
p2 y p3. Ocultar las perpendiculares,
cambiar el color de los puntos y colocarles
las etiquetas (p1, p2 y p3), de forma que
la construcción quede como en la figura.
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b. Comprobación:
b1. Geométrica: utilizando la herramienta Comprobar
propiedades/Equidistante, primero señalar el incentro y luego los puntos p1 y p2,
el programa nos indica que son equidistantes. Proceder de igual forma con I, p2 y
p3 el resultado también es positivo. Por lo tanto comprobamos que I es
equidistantes a p1, p2 y p3.
b2. Numéricamente: calculando la distancia del
incentro a cada uno de los puntos p1, p2 y p3.
Seleccionar la herramienta medir/Distancia y longitud,
hacer clic sobre el incentro y luego sobre p1, aparece el
valor de la distancia en centímetros y con dos
decimales, podemos escribir un texto que identifique a
la etiqueta. Calcular luego las distancias a p2 y p3. Al
final la figura aparecerá como:
Arrastrar los vértices del triángulo y observar la variación de las distancias.
h. Dibujaremos la circunferencia inscrita. Le cambiaremos su grosor a una unidad
mayor.
La circunferencia inscrita será aquella de centro el incentro y que es tangente
a los lados del triángulo. Dibujarla utilizando curvas/Circunferencia. El resultado
será:
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f. Guardaremos el nuevo archivo con el nombre inscrita.fig.
ACTIVIDAD 4. Construcción del Ortocentro
Sabemos que el ortocentro de un triángulo es el corte de sus alturas.
Los pasos que ralizaremos serán:
a. Construir un triángulo arbitrario. Etiquetaremos sus vértices (A, B, C).
b. Trazar dos de sus alturas (las correspondientes a los ángulos A y B).
c. Obtener su intersección (ortocentro).
d. Ocultar las alturas del triángulo.
e. Vamos a modificar el punto que define el ortocentro haciéndolo mayor
y cambiándole el color (a violeta).
f. Guardar el fichero con el nombre ortocentro.fig.
Antes de empezar, si teníamos una construcción previa abierta, guardarla
(Archivo/Guardar -Ctrol+S-) y cerrarla (Archivo/Cerrar -Ctrol+W-). Abrir un
archivo nuevo para empezar a trabajar en él (Archivo/Nuevo -Ctrol+N-)
a Construir un triángulo arbitrario y etiquetar sus vértices.
Para ello elegir la herramienta rectas/Triángulo, señalar los puntos (cada vez que
señalemos un punto, escribimos su etiqueta A, B y C)
Ejercicio: Uso de la Ayuda de Cabri. La
ayuda de Cabri, es uno de los puntos
flojos del programa.
La orden Ayuda/Ayuda (F1) abre una
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ventana en la parte inferior del entorno de Cabri, que nos da una descripción de la
herramienta que esté seleccionada en ese momento. La ayuda funciona en modo
interruptor si se vuelve a seleccionar la ayuda, esta se cierra.
Pulsar F1 y selecionar construir/Recta perpendicular, observa la ayuda que se
muestra en la parte inferior de la pantalla.
Si volvemos a pulsar F1 ¿qué ocurre?. Volver a activar la ayuda para seguir con el
ejercicio.
b Trazar dos de sus alturas (las correspondientes a los lados a y b).
Elegir la herramienta construir/Recta perpendicular, seleccionar el lado a y el
vértice A (se construye la altura del lado a)
Proceder de igual forma para el lado b y vértice B obtendremos la figura:
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c. El punto de corte será el ortocentro. Elegir la herramienta puntos/Puntos(s) de
interseción, luego seleccionamos el punto de intersección y hacemos clic,
aparecerá el ortocentro. Etiquetarlo como O.
d. Ocultar las alturas del triángulo.
e. Vamos a modificar el punto que define el ortocentro haciéndolo mayor y
cambiándole el color (a violeta). El resultado será parecido al de la figura:
Arrastra los extremos y observa como varía el ortocentro
f. Guardar el fichero con el nombre ortocentro.fig.
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Ejercicio: Guardar como una imagen en un documento Word (o WordPad), la
construcción del ortocentro.
a. Elegir la herramienta puntero/Seleccionar. Hacer clic y arrastrar el ratón
de forma que la figura quede dentro de un rectángulo como en la figura:
Luego seleccionar la orden copiar (Ctrol+C), ir al documento Word (o WordPad)
posicionarnos en el lugar donde queremos insertar la imagen y dar la orden pegar
(Ctrol+V). El documento, quedará como en la figura (guardarlo en el directorio de
trabajo con el nombre pegar_const.doc):
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ACTIVIDAD 5. Construcción del Baricentro
Sabemos que el baricentro de un triángulo es el corte de sus medianas.
Los pasos que ralizaremos serán:
a. Construir un triángulo arbitrario. Etiquetaremos sus vértices (A, B, C).
b. Trazar dos de sus medianas (las correspondientes a los ángulos A y B).
c. Obtener su intersección (baricentro).
d. Ocultar las medianas del triángulo.
e. Vamos a modificar el punto que define el baricentro haciéndolo mayor y
cambiándole el color (a violeta).
f. Guardar el fichero con el nombre baricentro.fig.
Antes de empezar, si teníamos una construcción previa abierta, guardarla
(Archivo/Guardar -Ctrol+S-) y cerrarla (Archivo/Cerrar -Ctrol+W-). Abrir un
archivo nuevo para empezar a trabajar en él (Archivo/Nuevo -Ctrol+N-)
a Construir un triángulo arbitrario y etiquetar sus vértices.
Para ello elegir la herramienta rectas/Triángulo, señalar los puntos (cada vez
que señalemos un punto, escribimos su etiqueta A, B y C)
b Trazar dos de sus medianas (las correspondientes a
los lados a y b). Recordar que las medianas son las rectas
que pasan por un vértice y por el punto medio del lado
opuesto.
Elegir la herramienta construir/Punto medio, seleccionar
el lado a, se dibujará el punto medio del lado.
Seleccionar la herramienta rectas/Recta y luego el punto
A y el punto medio del lado a.
Proceder de igual forma para el lado b y vértice B obtendremos la figura:
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c. El punto de corte será el baricentro (centro de gravedad del triángulo). Elegir
la herramienta puntos/Puntos(s) de interseción, luego seleccionamos el punto de
intersección y hacemos clic, aparecerá el baricentro. Etiquetarlo como B.
d. Ocultar las medianas del triángulo, y los puntos medios de los lados.
e. Vamos a modificar el punto que define el baricentro haciéndolo mayor y
cambiándole el color (a violeta). El resultado será parecido al de la figura:
Arrastra los extremos y observa como varía el baricentro
Ejercicio: Vamos a poner un comentario, a la construcción de color azul marino,
para que quede como en la figura:
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Para ello utilizar la herramienta ver/Comentarios, y escribir el
comentario; si este no queda en una línea (como la figura de la
derecha), se puede redimensionar, cuando el puntero del ratón
pasa por los extremos del rectángulo y cambie de forma se
puede arrastrar, dejando una sola línea.
Para cambiar el color del comentario
elegir la herramienta dibujo/Color,
hacer clic en azul y hacer clic en la
etiqueta.
f. Guardar el fichero con el nombre baricentro.fig.
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Ejercicio: Imprimir la figura.
Nota 1: La opción de menús Archivo/Mostrar
Página nos permite ver toda la ventana de
diseño (donde se generan las figuras de Cabri)
que mide un metro cuadrado. Podemos hacer
clic y arrastrar para cambiar la zona de diseño
visible desde la ventana principal de Cabri. Se
suele utilizar para construcciones que se salen
de la ventana de edición. Esta zona
seleccionada será la que se imprimirá por
defecto.
Nota 2: Antes de imprimir puede ser conveniente Preparar la página
(Archivo/Preparar Página), por si se quiere cambiar el tamaño y orientación del
papel (vertical u horizontal) así como los márgenes o elegir la impresora adecuada.
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Para imprimir seleccionar la opción de menú Archivo/Imprimir (Ctrol+P) después
de seleccionar la impresora, podemos seleccionar el área a imprimir de toda la
ventana de diseño (haciendo clic y arrastrando).
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DEFINICIÓN
Actividad 1: Crear una macro que dado un triángulo obtengamos su
circuncentro
Crear una macro. Objetos iniciales. Objetos finales. Definir la macro.
Guardar una macro. Uso de la macro en la misma figura.
Actividad 2: Crear una macro que dado un triángulo obtengamos su ortocentro
Salir de Cabri sin guardar.
Actividad 3: Crear una macro que dado un triángulo obtengamos su baricentro
Actividad 4: Construir la recta de Euler de un triángulo
Cargar un fichero macro. Comprobar si tres puntos están alineados.
Actividad 5: Comprobación numérica y geométrica del teorema de Pitágoras
Definir segmentos. Trazar rectas perpendiculares y paralelas.
Construcción de un polígono. Fijar un punto sobre un objeto. Hallar el
área de un polígono. Cambiar el tipo, estilo y tamaño de fuente. Rellenar
de color un polígono. Definir un vector. Realizar la traslación de un
polígono.
DEFINICIÓN
Una macro es una construcción realizada por el usuario, que se utilizará como
herramienta para crear nuevos objetos, y se trabajará con ella de forma análoga al
resto de las herramientas que posee el programa, formada con una secuencia de
construcciones interdependientes.
Las macros construyen objetos finales basados en objetos iniciales (los objetos
intermedios no se construyen). Las macros creadas en una sesión se pueden guardar
en un fichero (con extensión .mac) para su uso en otros ficheros Cabri.
Para crear una macro hay que dar los siguientes pasos:
a. Seleccionar los objetos iniciales (justo los necesarios para crear el objeto
final).
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b. Seleccionar el o los objetos finales (se pueden cambiar los atributos de éstos,
para que tengan el aspecto adecuado).
c. Definir la macro (indicar su nombre, propiedades y guardar la macro para su
posterior utilización).
Veamos varios ejemplos de creación y su uso.
Actividad 1: Crear una macro que dado un
triángulo obtengamos su circuncentro.
1. Abrir la figura ya creada llamada circuncentro.fig
2. Seleccionar la herramienta macros/Objetos
iniciales y señalemos el triángulo, este se mostrará
con puntos discontinuos.
3. Elegir macros/Objetos finales y señalar el
circuncentro, que empezará a parpadear.
4. Por último elegir macros/Definir macro, nos
aparecerá la siguiente ventana de definición de la
macro:
a. En Nombre de la construcción, introducir el nombre que aparecerá en el cuadro
de herramientas macros, y sobre el que haremos clic cuando deseemos utilizarla.
Para nuestro caso escribiremos Circuncentro.
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b. En Nombre del primer objeto final, escribir el nombre que aparecerá cuando el
ratón se acerque al primer objeto final. Para nuestro caso escribir Circuncentro
de este triángulo.
c. En Ayuda para esta macro, introducir el mensaje que se desea que aparezca en
la ventana de Ayuda, cuando esta esté seleccionada. En nuestro caso escribir:
Construir el circuncentro de un triángulo.
d. Si activamos la casilla de verificación Guardar archivo, además de guardarse la
macro en la figura actual se guardará en un fichero .mac que luego podremos
utilizar en cualquier otra figura de Cabri. En nuestro caso activar la casilla.
e. Si pulsamos el botón Cancelar, se anula la acción de la macro y por lo tanto la
selección de objetos iniciales y finales.
f. En la parte superior derecha aparece el icono que se asociará a la macro y que
aparecerá en la barra de herramientas. En nuestro caso vamos a cambiar la que
aparece por defecto por la siguiente
Para conseguir el cambio:
i. Pulsar el botón Borrar para que
desaparezca el icono M.
ii. Pulsar el botón Ejemplo para ver la
ventana de la derecha, donde se puede
escoger un icono base (elegir el triángulo y
pulsar el botón OK).
iii. Seleccionar el botón rojo de la paleta
de colores y situar aproximadamente el
circuncentro del triángulo dibujado,
haciendo clic sobre el punto.
Al final la definición de nuestra macro quedará como en la figura:
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Pulsar el botón OK. Aparecerá el cuadro de diálogo Guardar Macro. La
guardaremos como circuncentro.mac en el directorio de trabajo del
curso para futuros usos:
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5. Uso de la macro en la misma figura.
Observar que en la herramienta macro aparecerá ahora la
opción Circuncentro (Nombre de la construcción macro).
Vamos a utilizarla, para ello dibujar un triángulo cualquiera
(construir/Triángulo), luego elegir macro/Circuncentro,
señalar el triángulo y hacer clic. Automáticamente se
dibujará el circuncentro (no se dibujan las construcciones intermedias mediatrices- utilizadas para generar el circuncentro).
Si pasamos el puntero del ratón sobre el circuncentro
del nuevo triángulo se nos visualiza el mensaje:
"Circuncentro de este triángulo", el campo que
completamos en la definición de la macro como
Primer objeto final.
Si se encuentra señalado macro/Circuncentro y solicitamos Ayuda (F1), ¿qué
nos aparece como ayuda?.
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6. Seleccionar Archivo/Cerrar (Crol+W), para cerrar la figura e indicar que no se
quieren guardar los cambios realizados.
Actividad 2: Crear una macro que dado un triángulo obtengamos su
ortocentro.
1. Abrir la figura ya creada llamada ortocentro.fig
2. Seleccionar la herramienta macros/Objetos iniciales y señalemos el triángulo,
este se mostrará con puntos discontinuos.
3. Elegir macros/Objetos finales y señalar el ortocentro, que empezará a
parpadear.
4. Por último elegir macros/Definir macro.
a. En Nombre de la construcción escribiremos Ortocentro.
b. En Nombre del primer objeto final, escribir Ortocentro del triángulo.
c. En Ayuda para esta macro escribir: Construir el Ortocentro de un triángulo.
d. Activar la casilla de verificación Guardar archivo.
Al final la definición de nuestra macro quedará como en la figura:
Pulsar el botón OK. Aparecerá el cuadro de diálogo Guardar Macro. La
guardaremos como ortocentro.mac en el directorio de trabajo del curso.
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5. Uso de la macro en la misma figura.
Observar que en la herramienta macro aparecerá ahora la
opción Ortocentro (Nombre de la construcción macro).
Vamos a utilizarla, para ello dibujar un triángulo cualquiera
(construir/Triángulo), luego elegir macro/Ortocentro,
señalar el triángulo y hacer clic. Automáticamente se dibujará el ortocentro (no
se dibujan las construcciones intermedias -alturas- utilizadas para generar el
ortocentro).
Si pasamos el puntero del ratón sobre el ortocentro del
nuevo triángulo se nos visualiza el mensaje: "Ortocentro
del triángulo", el campo que completamos en la
definición de la macro como Primer objeto final.
Si se encuentra señalado macro/Ortocentro y solicitamos Ayuda (F1), ¿qué nos
aparece como ayuda?.
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6. Seleccionar Archivo/Salir (Ctrol+Q), para cerrar Cabri, e indicar que no se
quieren guardar los cambios realizados.
Actividad 3: Crear una macro que dado un triángulo obtengamos su
baricentro.
1. Abrir la figura ya creada llamada baricentro.fig
2. Seleccionar la herramienta macros/Objetos iniciales y señalemos el triángulo,
este se mostrará con puntos discontinuos.
3. Elegir macros/Objetos finales y señalar el baricentro, que empezará a
parpadear.
4. Por último elegir macros/Definir macro.
a. En Nombre de la construcción escribiremos Baricentro.
b. En Nombre del primer objeto final, escribir Baricentro del triángulo.
c. En Ayuda para esta macro escribir: Construye el baricentro de un triángulo.
d. Activar la casilla de verificación Guardar archivo.
Al final la definición de nuestra macro quedará como en la figura:
Pulsar el botón OK. Aparecerá el cuadro de diálogo Guardar Macro. La
guardaremos como baricentro.mac en el directorio de trabajo del curso.
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5. Uso de la macro en la misma figura.
Observar que en la herramienta macro aparecerá ahora la
opción Baricentro (Nombre de la construcción macro).
Vamos a utilizarla, para ello dibujar un triángulo cualquiera
(construir/Triángulo), luego elegir macro/Baricentro,
señalar el triángulo y hacer clic. Automáticamente se
dibujará el baricentro (no se dibujan las construcciones intermedias -medianasutilizadas para generar el baricentro).
Si pasamos el puntero del ratón sobre el baricentro
del nuevo triángulo se nos visualiza el mensaje:
"Baricentro del triángulo", el campo que completamos
en la definición de la macro como Primer objeto final.
Si se encuentra señalado macro/Baricentro y solicitamos Ayuda (F1), ¿qué nos
aparece como ayuda?.
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6. Seleccionar Archivo/Salir (Ctrol+Q), para cerrar Cabri, e indicar que no se
quieren guardar los cambios realizados.
Actividad 4: Construir la recta de Euler de un triángulo.
Sabemos que el circuncentro (G), ortocentro (O) y baricentro (B) de cualquier
triángulo están alineados (vamos a comprobarlo con Cabri). A la recta que contiene
dichos tres puntos se llama recta de Euler. Además se satisface la siguiente
relación: "La mitad de la distancia del baricentro al ortocentro es la distancia del
baricentro al circuncentro", que se comprobará con Cabri.
Antes de empezar, si teníamos una construcción previa abierta, guardarla
(Archivo/Guardar -Ctrol+S-) y cerrarla (Archivo/Cerrar -Ctrol+W-). Abrir un archivo
nuevo para empezar a trabajar en él (Archivo/Nuevo -Ctrol+N-)
1. Construir un triángulo arbitrario.
2. Hallar el circuncentro (G), ortocentro (O) y baricentro (B) utilizando las macros
ya obtenidas.
a. Para cargar las macros en la figura utilizar la opción de menú Archivo/Abrir y
en Tipo de archivos elegir Archivos de macro (*.MAC). Se mostrarán las macros que
se encuentran en nuestro directorio de prácticas, hacer clic sobre Baricentro.mac y
pulsar Abrir.
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Ahora aparecerá en la herramienta de Macros la opción
Baricentro.
Procedamos de igual forma para cargar las macros
Circuncentro.mac y Ortocentro.mac.
Tendremos en la herramienta Macros los tres puntos notables.
b. Dibujemos ahora el Circuncentro (G) (etiquetándolo), para
ello seleccionar la herramienta macro/Circuncentro y hacer clic
sobre el triángulo (aparecerá el circuncentro). Luego etiquetar el
punto utilizando la herramienta ver/Etiqueta, seleccionar el
circuncentro y escribimos G.
Proceder de igual forma para el Ortocentro (O) y Baricentro
(B). Al final tendremos la figura:
3. Vamos a comprobar que los tres puntos (G, B y O) están
alineados. Para ello utilizar la herramienta comprobar
propiedades/Alineado y señalar los tres puntos, aparecerá un
rectángulo parpadeando, arrastrarlo y hacer clic en el lugar que
estimemos oportuno para ver el mensaje ¿qué nos dice el
mensaje?.
Vamos a dibujar la recta que une los tres puntos, recta de Euler, para ello
utilizar, rectas/Recta y señalar dos de los puntos. Aparecerá la siguiente figura. Si
arrastramos cualquier vértice del triángulo, ¿los tres puntos seguirán alineados?.
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4. Comprobemos la propiedad: "La mitad de la distancia del baricentro al
ortocentro es la distancia del baricentro al circuncentro".
a. Calculemos la distancia de B a O (d(B,O)). Para ello utilizar la herramienta
medir/Distancia y longitud, hacer clic sobre B y luego sobre O, nos da el resultado
en un cuadro de texto, permitiéndonos escribir un comentario delante del mismo,
escribir d(B,O)=. Hacer clic en seleccionar/puntero y arrastrar el comentario
hacia la derecha.
b. Calculemos la distancia de B a G (d(B,G)). Para ello utilizar la herramienta
medir/Distancia y longitud, hacer clic sobre B y luego sobre G, nos da el resultado
en un cuadro de texto, permitiéndonos escribir un comentario delante del mismo,
escribir d(B,G)=. Hacer clic en seleccionar/puntero y arrastrar el comentario
hacia la derecha.
c. Calculemos la mitad de d(B,O)/2 comprobando que d(B,O)/2=d(B,G).
Para calcular d(B,O)/2 utilizaremos la calculadora (medir/Calcular). Teniendo
la calculadora activada hacer clic sobre el número que define la distancia BO, este
se reflejará en la ventana de edición en forma de parámetro a, dividimos entre
dos y pulsamos =. Hacemos clic sobre el resultado y situamos el puntero del ratón
donde queremos situar el resultado y volvemos hacer clic. Modificamos la etiqueta
del resultado de forma que aparezca d(B,O)/2=.
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Se observa que se mantiene la relación:
Varía los vértices del triángulo y observa que siempre se mantiene la relación.
5. Guarda la figura con el nombre recta_euler.fig.
Actividad 5: Comprobación numérica y geométrica del teorema de Pitágoras.
Esta actividad se podría desarrollar en cualquier curso de la Eso dependiendo de
la experiencia de los alumnos con los ordenadores.
ACTIVIDAD PREVIA (1): Construcción de un cuadrado a partir de un lado.
1. Definir el segmento a partir del cual se construirá el cuadrado.
rectas/Segmento.
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2. Trazar perpendiculares a los segmentos por los extremos: construcciones
gemétricas/recta perpendicular.
3. Trazar circunferencias de centro cada
extremo del segmento y de radio la longitud
del segmento (lado).
4. Señalar los puntos de intersección de las
circunferencias con las rectas:
puntos/Punto(s) de intersección (señalar las
intersecciones). Estos puntos son los otros
dos vértices del cuadrado.
5. Construir el cuadrado rectas/Polígono
(hacer clic sobre cada uno de los cuatro
puntos, para finalizar la construcción del
polígono, volver a hacer clic sobre el primer
punto). (Nota: La construcción de cualquier polígono se termina haciendo clic
sobre el punto de partida, o bien doble clic en cualquier punto -se cierra
automáticamente-).
ACTIVIDAD PREVIA (2): Creación de la macro cuadrado.
Vamos a crear una macro mediante la cual obtengamos un cuadrado (objeto
final) a partir de dos puntos (lado del cuadrado –objeto inicial-).
1. Seleccionar Macro/Objetos iniciales y picar sobre los extremos del segmento
inicial.
2. Seleccionar Macro/Objetos finales y hacer clic sobre el cuadrado.
3. Seleccionar Macro/Definir macro. Completar el siguiente cuadro de diálogo:
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4. Guardar la macro con el nombre Cuadrado.mac en la carpeta de prácticas.
5. Usar la macro para construir cuadrados dados los puntos extremos de un lado.
Seleccionar Macro/Cuadrado. Picar dos puntos del plano y se construirá el
cuadrado (tener en cuenta el orden en la selección de los puntos).
6. Guardar la actividad con el nombre CUADRADO.FIG en el directorio de
prácticas (Archivo/Guardar como).
7. Cerrar el fichero: (Archivo/Cerar)
ACTIVIDAD COMPROBACIÓN NUMÉRICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS:
1. Crear un nuevo fichero donde se realizará la comprobación del teorema de
Pitágoras (Archivo/Nuevo)
2. Crear un triángulo rectángulo:
a. Dibujar la base (segmento AB). Seleccionar rectas/Segmento y picar los dos
puntos extremos. Etiquetar los extremos con A y B Ver/Etiqueta seleccionar el
punto A y escribir “A” (proceder de forma análoga con el otro punto).
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b. Dibujar la perpendicular al segmento por el punto A. Seleccionar
construir/Recta perpendicular.
c. Fijar un punto sobre dicha perpendicular. Éste será el vértice C del triángulo.
Para ello seleccionar Puntos/Puntos sobre objeto y hacer clic sobre la recta.
Etiquetarlo con C. Ocultar el segmento AB y la recta perpendicular, que no
necesitaremos para la construcción del triángulo (Dibujo/Ocultar-Mostrar y
hacer clic sobre el segmento y en la recta).
d. Construir el triángulo utilizando rectas/Triángulo, señalar los tres vértices.
e. Podríamos poner una marca de ángulo
en el ángulo recto. Ver/Marca de
ángulo y luego señalar los vértices CAB.
f.
Elegir seleccionar/Puntero y arrastrar
cada uno de los vértices del triángulo
para observar como varía el triángulo.
g. Cambiarle el color al triángulo y el
grosor para verlo mejor. Dibujo/Color
(seleccionar el color y luego el
triángulo). Dibujo/Grosor (seleccionar
el grosor intermedio y luego el
triángulo).
3. Construir cuadrados de lado los lados del triángulo. Señalar
Macro/Cuadrado (en caso de no estar cargada, Archivo/Abrir y señalar la
macro cuadrado), luego señalar en el orden adecuado los vértices para
crear los cuadrados.
4. Hallar las áreas de los cuadrados y escribir un comentario como aparece
en la figura, para ello realizar los siguientes pasos:
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a. Medir/Area y señalar cada uno de los cuadrados para
obtener sus áreas, podemos escribir un comentario
delante del número (a^2=,...).
b. Para presentar los comentarios que se encuentran a la
derecha de la figura proceder del siguiente modo:
i. Abrir la calculadora: Medir/Calcular. Señalar el
número asociado al cateto “c”; pulsar igual y
arrastrar el resultado al lugar donde queremos
insertarlo y hacer clic. Sustituir la palabra
“Resultado” que aparece delante por “c^2”, para ello seleccionar
Ver/Comentarios y luego hacer clic sobre “Resultado” y cambiar el texto.
ii. Señalar nuevamente la calculadora y realizar el mismo procedimiento con
los otros dos lados del triángulo.
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iii. Para realizar la suma, señalar la calculadora el valor del
cuadrado del lado “b” luego + y señalar el valor del cuadrado del
lado “c”. Pulsar igual y arrastrar el resultado, procediendo como
en los apartados anteriores.
5. Mover los vértices del triángulo comprobando el teorema de Pitágoras
para cualquier triángulo.
6. Guardar la figura con el nombre pitagoras1.fig.
Ejercicio:
1. ¿Cómo se consigue que todos los textos en color púrpura con un
tamaño de 8 puntos y en negrita?
2. ¿Cómo se consigue poner etiquetas a los lados del tríangulo a, b y c?.
(Pica aquí para ver las Soluciones).
ACTIVIDAD DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS:
Se trata de solapar las áreas de los cuadrados sobre los catetos en el cuadrado
sobre la hipotenusa, mediante traslaciones adecuadas, como muestra el siguiente
applet (seguir los pasos que se dan a continuación para realizar la construcción):
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1. Guardar el archivo anterior como pitagoras2.fig. (El fichero pitagoras1.fig lo
seguimos teniendo en nuestro disco).
2. Borrar todas las etiquetas, para ello, seleccionarlas previamente (con la
herramienta puntero y manteniendo pulsada la tecla Mayúscula ir picando sobre
cada una de ellas) y Supr.
3. Hallar los centros de los tres cuadrados (ocultar las diagonales utilizadas para
construir los centros). Los centros serán las referencias para trasladar las áreas.
4. Seccionar el cuadrado sobre el cateto mayor en cuatro trapezoides. Para ello:
a. Trazar una paralela a la hipotenusa por el centro
de dicho cuadrado y una perpendicular a esta por
este centro.
i. Para trazar la paralela utilizar la herramienta
construir/Recta paralela, seleccionar la
hipotenusa y el centro cuadrado sobre el
cateto mayor.
ii. Para trazar la perpendicular utilizar
construir/Recta perpendicualar, picar sobre
la recta anterior y el centro.
b. Señalar los cuatro puntos de intersección de estas
rectas con el cuadrado (utilizar puntos/Punto(s) de
intersección y hacer clic sobre la recta y
cuadrado). Ocultar las rectas creadas en el
apartado (a).
c. Construir los cuatro trapecios del siguiente modo: rectas/Polígono y
señalar los vértices del trapezoide (Centro, punto de corte cercano al
vértice, vértice, punto de corte alejado de este vértice, Centro).
d. Cada trapecio rellenarlo de un color diferente como en la figura.
Rellenar también el cuadrado sobre el cateto menor.
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Para rellenar un objeto se utiliza la herramienta Dibujo/Rellenar,
seleccionar el color de relleno y aproximarse al objeto (triángulo, polígono,
circunferencia o etiqueta) cuando aparece el cubito hacer clic.
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5. Realizar el solapamiento utilizando traslaciones:
a. Trasladar el cuadrado que se encuentra sobre el cateto
menor:
i. Definir el vector de traslación que será del centro del
cuadrado del cateto al centro del cuadrado sobre la
hipotenusa. Rectas/Vector y señalar como origen el
centro del cuadrado sobre el cateto y como final, el
centro del cuadrado sobre la hipotenusa.
ii. Realizar la traslación: Transformar/Traslación
seleccionar el cuadrado a trasladar, luego el vector.
b. Trasladar cada uno de los trapecios sobre el cuadrado mayor de manera
que encajen de forma perfecta:
i. Definir los vectores de traslación.
Origen: centro del cuadrado sobre el cateto mayor;
Extremo: vértices homólogos del cuadrado mayor.
ii. Realizar las traslaciones.
c. Ocultar los vectores de traslación.
6.
Mover los vértices del triángulo para observar como se mantiene el
solapamiento.
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TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 1
ACTIVIDAD 1: Construcción del hueso
Realizar simetría axial de un punto
ACTIVIDAD 2: Mosaico a partir del hueso
Edición numérica. Realizar giros de una figura. Realizar simetría
central de una figura.
ACTIVIDAD 3: Construcción del Pétalo
Construir el arco de una circunferencia.
ACTIVIDAD 4: Construcción de un mosaico a partir del Pétalo
ACTIVIDAD 5: Construcción de la Pajarita
Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.
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ACTIVIDAD 1: Construcción del hueso.
El siguiente applet explica la construcción del Hueso, polígono nazarí cuya base es
un cuadrado (esta figura se usa en algunos mosaicos de la Alhambra de Granada).
Pulsar play para ver la construcción.
Figura hueso.fig
Vamos a realizar una figura Cabri llamada hueso.fig. donde se explique cómo
construir el Hueso. Al final crearemos una macro que a partir del cuadrado nos
construya el hueso (hueso.mac).
Puede intentar hacer la práctica directamente o bien seguir las siguientes
indicaciones.
1. Dibujar un cuadrado, a partir de un segmento (utilizar la macro cuadrado
creada en la práctica anterior). Ocultar el segmento.
2. Vamos a construir el hueso a partir del cuadrado. Etiquetar los vértices como
en la figura anterior (A, B, C y D).
3. Trazar las diagonales del cuadrado: rectas/Segmento y picar sobre los puntos A
y D; luego picar sobre B y C (es importante el orden).
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4. Hallar el punto medio del segmento AB y etiquetarlo (1).
5. Trazar las mediatrices de los segmentos A1 y
B1. Hallar los cortes con las diagonales
obteniendo los vértices 2, 3, 4 y 5 (etiquetar
estos puntos con los números 2, 3, 4 y 5, como
muestra la figura).
6. Hallar los vértices 6 y 7 de la figura por
simetría axial de los puntos 2 y 4. Y los vértices
8 y 9 por simetría axial de los puntos 3 y 5.
Para ello seleccionar la herramienta
transformar/Simetría axial picar sobre el punto 2
y luego sobre el lado AB (escribir 6 para etiquetar
el punto construido). Proceder de forma análoga
con el resto de los puntos.
7. El Hueso será el polígono formado por los
puntos A, 2, 3, C, 8, 9, D, 5, 4, B, 7, 6, A. Para
construirlo utilizar la herramienta,
rectas/Polígono, y hacer clic sobre los vértices indicados anteriormente.
8. Cambiar el color y grosor del polígono hueso para
que quede como en la figura de la derecha.
9. Guardar el fichero con el nombre de hueso.fig.
10. Vamos a crear una macro que a partir de los dos
puntos que definen el lado del cuadrado, nos
construya el hueso. Para ello:
a. Seleccionar macros/Objeto inicial y hacer clic
sobre sobre los puntos que definen el segmento inicial
A, B.
b. Seleccionar macros/Objeto final y hacer clic sobre
el polígono Hueso.
c. Elegir la herramienta macros/Definir Macro y
completar el cuadro de diálogo:
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d. Guardar el archivo de macros con el nombre hueso.mac (en el directorio de
prácticas).
e. Comprobar que funciona la macro, seleccionar macros/Hueso y hacer clic sobre
dos puntos y observar como se construye el hueso. Borrar este último hueso creado
con la macro.
ACTIVIDAD 2: Mosaico a partir del hueso.
Mosaico: Construcción geométrica que resulta de recubrir todo el plano.
Tesela: Motivo mínimo que se repite para formar el mosaico.
¿Cuánto miden los ángulos de los vértices A, B, C y D, en el hueso?.
Para formar el mosaico:
a. Giramos el primer hueso 90º alrededor de uno de los vértices anteriores (por
ejemplo A).
b. El mosaico se construye por simetría central de cada hueso respecto a cada
uno de los vértices de 90º.
Para conseguir el mosaico a partir de la tesela hueso usando Cabri procedamos
como se indica:
i. Abrir un nuevo documento y cargar la macro hueso.mac.
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ii. Seleccionar la herramienta macros/Hueso y hacer clic en dos
puntos del plano. Obtenemos de esta forma el hueso de partida
del mosaico. Etiquetar el vértice A.
iii. Girar 90º el hueso alrededor del vértice A.
1. Primero pondremos el número 90 en la parte superior
izquierda del área de diseño. Este número lo necesitamos para
realizar el giro de 90º en el paso
siguiente. Para editar un número
utilizaremos la herramienta
ver/Edición Numérica (crea un
cuadro para editar y modificar
valores numéricos) hacer clic en
el área de diseño considerada y
escribir 90. Si queremos expresar
el número en grados pulsar
Ctrol+U y elegir la unidad de grados en el
menú que se despliega.
2. Realizar el giro del hueso, para ello utilizar la herramienta
transformar/Rotación (gira un objeto un cierto ángulo con
respecto a un punto) seleccionar el hueso, el punto A y el valor
numérico 90º creado anteriormente. Obtendremos la siguiente
figura:
iv. Realicemos ahora simetría central de cada huesos respecto a cada uno de los
vértices de 90º (A, B, C, E), para obtener el mosaico de la figura. Para ello
elijamos la herramienta Transformar/Simetría hacer clic sobre uno de los huesos y
sobre el vértice A. Proceder de forma análoga con dicho hueso sobre los vértices
B, C y D. Realizar la misma operación con el otro hueso. Continuar con el mismo
procedimiento con cada uno de los huesos generados.
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iv. Guardar la figura con el nombre mosaico_hueso.fig.
Para comprobar la integridad de la construcción arrastra uno de los
puntos de partida A ó B y observa que se mantiene el mosaico.
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ACTIVIDAD 3: Construcción del Pétalo.
El siguiente applet explica la construcción del Pétalo, polígono nazarí cuya base es
un rombo formado por dos triángulos equiláteros. Pulsar play para ver la
construcción.
Vamos a realizar una figura Cabri llamada petalo.fig. donde se explique cómo
construir el Pétalo.
Como actividad inicial se creará una macro que a partir de dos puntos construya el
triángulo equilátero de base el segmento que determinan los puntos (llamarla
equilatero.mac).
Puede intentar hacer la práctica directamente o bien seguir las siguientes
indicaciones.
Ejercicio: Crear una macro que construya un triángulo equilátero a partir de dos
puntos.
i. Abrir un nuevo archivo de Cabri. Señala dos puntos en el área de diseño.
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ii. Construye dos circunferencias centradas en cada uno de los puntos y de radio el
segmento que los une.
iii. Halla el punto de intersección de
las dos circunferencias en la parte
superior del semiplano que delimita
el segmento.
iv. Construye el triángulo equilátero
que une los tres puntos.
v. Crea la macro equilatero.mac,
tomando como objetos iniciales los
dos puntos de partida y como
objetos final el triángulo equilátero.
vi Prueba la macro y observa que importa el orden en que se señalen los puntos
para que el triángulo se dibuje en un semiplano o en otro.
Construcción del pétalo:
1. Abrir un nuevo documento de Cabri y cargar la macro equilatero.mac.
2. Construir un triángulo equilátero partiendo de dos puntos -A y B- (usar la
macro). Etiquetar al tercer punto con C.
3. Usar simetría central del vértice C
con respecto a los vértices A y B.
Etiquetar a los puntos simétricos 1, 2.
4. Haciendo centro en los puntos 1 y 2
y en los vértices de la base (A, B),
construir cuatro circunferencias de
radio el lado del triángulo.
5. El Pétalo esta formado cuatro arcos
que se muestran en la figura. Para
obtenerlos procedamos de la siguiente
forma:
a. Crear el punto de intersección de
las cuatro circunferencias (será el
vértice inferior del Pétalo) (utilizar la
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herramienta (puntos/Punto(s) de intersección). Etiquetarlo como D.
b. Hallar el arco CA, para ello utilizar la herramienta curvas/Arco y hacer clic
en los puntos C, sobre el arco de circunferencia entre C y A, y sobre el punto A. Se
dibujará en color rojo el arco buscado. Ocultar el punto intermedio del arco y
poner un grosor intermedio.
c. Construir los arcos AD, BD y CB como en el apartado b.
6. Guardar la construcción con el nombre petalo.fig. Si
arrastramos el punto A o B se observa la integridad de la figura.
Vuelve a la figura de partida y guarda la figura con el nombre
mosaico_petalo.fig (esta será la figura base para la construcción
del mosaico).
ACTIVIDAD 4: Construcción de un mosaico a partir del Pétalo.
Utilizando como tesela el pétalo podemos construir un mosaico. El mosaico se
puede formar trasladando el pétalo mediante dos vectores ¿cuales?.
1. Vamos a partir de la figura anterior que se encuentra en el
archivo mosaico_petalo.fig. Definamos los vectores de traslación
(las diagonales del rombo) AB y CD. Para ello utilizar rectas\Vector
y picar sobre los extremos de los vectores.
Para clarificar la figura ocultar todos los objetos, dejando sólo
los vectores y los arcos que definen al Pétalo.
2. Realicemos la traslación del pétalo según el vector AB.
Para ello utilizar transformar/Traslación y luego seleccionar
un arco y el vector AB, proceder de forma análoga con el
resto de los arcos.
3. Realicemos la traslación del pétalo según el vector CD.
Para ello utilizar transformar/Traslación y luego seleccionar
un arco y el vector CD, proceder de forma análoga con el
resto de los arcos.
4. Trasladando los arcos de los pétalos nuevos,
sucesivamente, según los vectores AB y CD creamos el
mosaico. Si arrastramos el punto A o B se observa la
consistencia de la figura. Guardar el archivo.
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.
ACTIVIDAD 5: Construcción de la Pajarita.
El siguiente applet explica la construcción de la Pajarita, polígono nazarí cuya
base es un triángulo equilátero. Pulsar play para ver la construcción.
Vamos a realizar una figura Cabri llamada pajarita.fig. donde se explique cómo
construir la Pajarita.
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Puede intentar hacer la práctica directamente o bien seguir las siguientes
indicaciones.
1. Abrir un nuevo documento de Cabri y cargar la macro equilatero.mac.
2. Construir un triángulo equilátero partiendo de dos puntos -A y B- (usar la
macro). Etiquetar al tercer punto con C.
3. Usar simetría axial del vértice C con respecto al lodo AB, para obtener el
vértice D.
4. Hallar los punto medios de los lados AB y AD (etiquetarlos con 1 y 2
respectivamente).
5. Hallar la circunferencia que pasa por los punto A, 1 y 2.
a. Hallar el centro de la circunferencia:
i. Trazar las mediatrices de los segmentos A1 y A2.
ii. Hallar la intersección (será el centro). Ocultar las
mediatrices.
b. Construir la circunferencia con centro en el punto anterior
que pase por A.
6. Construir el arco de circunferencia menor determinado por 1 y A. Para ello
utilizar curvas/Arco y hacer clic sobre 1, punto sobre la circunferencia, punto A.
Ocultar el punto intermedio y dibujar más grueso el arco.
A partir de este arco construiremos la pajarita. Para ello:
7. Girar el arco creado 60º respecto al vértice A.
Necesitamos indicar el número 60 para proceder al giro, por
ello definimos los segmentos BD y AD y calculamos el ángulo
formado por ADB, que será 60º.
Utilizando la herramienta Transformar/Rotación girar el arco.
Hacer clic sobre el arco, ángulo y punto A.
8. Utilizando simetría central sobre el arco girado respecto al
punto medio AC construir el nuevo tramo de la pajarita.
9. Girar el arco creado 60º respecto al vértice C.
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10. Utilizando simetría central sobre el arco girado respecto al
punto medio CB construir el nuevo tramo de la pajarita.
11. Girar el arco creado 60º respecto al vértice B, completando
la pajaritaEs conveniente ocultar todos los puntos que se han generado en
los vértices y dejar visibles sólo los puntos de partida.
12. Guardar la construcción con el nombre pajarita.fig. Si
arrastramos el punto A o B se observa la integridad de la figura.
13. Vamos a crear una macro que a partir de los dos puntos que definen el lado
del triángulo, nos construya la pajarita. Para ello:
a. Seleccionar macros/Objeto inicial y hacer clic sobre sobre los puntos que
definen el segmento inicial B, A.
b. Seleccionar macros/Objeto final y hacer clic sobre cada uno de los arcos que
definen la pajarita .
c. Elegir la herramienta macros/Definir Macro y completar el cuadro de diálogo:
d. Guardar el archivo de macros con el nombre pajarita.mac (en el directorio de
prácticas).
e. Comprobar que funciona la macro, seleccionar macros/Pajarita y hacer clic
sobre dos puntos y observar como se construye la pajarita (es importante el orden
en la construcción). Borrar esta última pajarita creada con la macro.
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Utilizando sólo la pajarita (como tesela) se puede formar un mosaico ¿Cómo se
formaría el mosaico a partir de la pajarita de inicio?.
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TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 2
ACTIVIDAD 6: Coordenadas de un giro
Mostrar los ejes. Definir cuadrícula. Ver las coordenadas de un punto.
Realizar la transferencia de medidas. Fijar un punto. Construir un
polígono regular.
ACTIVIDAD 7: Homotecias
Construir una semirecta. Realizar la homotecia de una figura.
ACTIVIDAD 8: Inversión
Construir el inverso de un punto respecto una circunferencia.
ACTIVIDAD 6: Coordenadas de un giro.
A. Coordenadas del homólogo de un punto P(x,y) al realizar giros de 90º, 180º
y 270º
El siguiente applet muestra la figura que se va a construir con Cabri para explicar
cómo varían las coordenadas de un punto al realizar giros de 90, 180 y 270 grados
(pulsar play para ver construcción -botón que se encuentra en la esquina inferior
izq-). Puede intentar hacer el ejercicio directamente o bien seguir los pasos que se
indican.
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1. Abrir un nuevo archivo de Cabri. Mostrar los ejes de coordenadas seleccionando
dibujo/Mostrar ejes. Y mostrar la cuadrícula (para que al arrastrar el punto se
mueva sólo a través de la cuadrícula) dibujo/Definir cuadrícula y hacer clic sobre
los ejes.
2. Utilizando ver/Edición numérica escribir los ángulos en la esquina superior
derecha, que utilizaremos para realizar los giros (90º, 180º y 270º); cada vez que
hacemos clic sobre el área de diseño nos permite introducir un número. Si los tres
números no nos quedan alineados, los podemos arrastrar con el puntero y
colocarlos a nuestro gusto.
3. Situar un punto sobre el plano (puntos/Punto). Mostrar las coordenadas del
punto seleccionando la herramienta medir/Ecuación y coordenadas y picar sobre
él, aparecen las coordenadas y nos permite editar un comentario, escribir P=.
4. Para que el giro se muestre con más evidencia, construyamos el segmento que
une el origen de coordenadas con el punto P (rectas/Segmento y picar sobre el
origen y sobre P).
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5. Girar el segmento OP un ángulo de 90º. Para ello utilizar la
herramienta transformar/Rotación y hacer clic sobre el segmento
(objeto que va a girar), luego sobre el origen de coordenadas
(centro de giro) y por último señalar el ángulo de 90º (amplitud del
giro).
6. Mostrar las coordenadas del homólogo de P mediante el giro y
etiquetarlo con P'.
7. Pongamos una marca a la amplitud (ver/Marca de ángulo y luego
señalar punto P, origen y punto homólogo P'). Observar que la marca toma forma
rectangular al ser un ángulo recto.
8. Girar el segmento OP un ángulo de 180º. Para ello utilizar la herramienta
transformar/Rotación y hacer clic sobre el segmento (objeto que va a girar), luego
sobre el origen de coordenadas (centro de giro) y por último señalar el ángulo de
180º (amplitud del giro).
9. Mostrar las coordenadas del homólogo de P mediante el giro y etiquetarlo con
P''.
10. Pongamos una marca a la amplitud (ver/Marca de ángulo y luego señalar punto
P, origen y punto homólogo P'').
11. Realizar el mismo procedimiento con el ángulo de 270º. Etiquetar el punto
homólogo como P''.
12. Guardar la construcción como coordenadas1.fig
Si arrastramos el punto P, observamos las coordenadas de los puntos girados.
Completar la siguiente tabla:
amplitud --->
90º
P(2,3)
(-3,2)
P(-1,3)
180º
(-3,1)
P(2,-4)
P(x,y)
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270º
(-4,-2)
(-x,-y)
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B. Coordenadas del homólogo de un punto P(x,y) al realizar giros de amplitud
"a" respecto al origen.
El siguiente applet muestra la figura que se va a construir con Cabri para explicar
cómo varían las coordenadas de un punto al realizar giros de amplitud a
(arrastrando el punto P se cambian las coordenadas del punto de partida y
moviendo el punto M se varía el ángulo de giro). Puede intentar hacer el ejercicio
directamente o bien seguir los pasos que se indican.
Sabemos que si sobre un punto P(x,y) realizamos un giro de amplitud a, respecto al
origen de coordenadas, obtendremos el punto P'(x',y') homólogo de P, de forma
que
.
Vamos a comprobar con Cabri que las relaciones anteriores son ciertas.
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1. Abrir un nuevo archivo de Cabri. Mostrar los ejes de coordenadas seleccionando
dibujo/Mostrar ejes.
2. Situar un punto sobre el plano (puntos/Punto). Mostrar las coordenadas del
punto seleccionando la herramienta medir/Ecuación y coordenadas y picar sobre
él, aparecen las coordenadas y nos permite editar un comentario, escribir P=.
3. Para que el giro se muestre con más evidencia, construyamos el segmento que
une el origen de coordenadas con el punto P (rectas/Segmento y picar sobre el
origen y sobre P).
Situar una marca de ángulo sobre el ángulo que forma el segmento OP con el eje
OX. Para ello utilizar la herramienta ver/Marca de ángulo y picar sucesivamente:
punto sobre el eje positivo del eje de abscisas, el origen y el punto P. Ocultar el
punto sobre el eje.
4. Situemos las coordenadas sobre los ejes para mejorar la explicación utilizando
transferencia de medidas.
a. Situar la abscisa del punto P sobre el eje OX.
i. Utilizando la herramienta construir/Transferencia de medidas (crea un punto a
una distancia representado por un valor numérico,
sobre un elemento recto -o curvo- ), hacer clic
sucesivamente sobre el origen de coordenadas, sobre
el valor de la abscisa del punto P y sobre el eje de
abscisas. Aparecerá un punto sobre el eje OX, que
representa la abscisa del punto P.
ii. Añadir el valor numérico a la abscisa. Para ello
elegir la herramienta medir/Ecuación y coordenadas y
picar sobre el punto que se encuentra sobre el eje,
escribir x=... donde ... indican el valor de la x (borrar
los paréntesis y el 0.00).
iii. Definir el segmento que une el origen de
coordenadas con x. Cambiarle el grosor (haciéndolo
mayor) y el color (rojo).
Mover el punto P y observa como varía la abscisa.
b. Situar la ordenada del punto P sobre el eje OY (proceder de manera análoga
al caso anterior).
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i. Utilizando la herramienta construir/Transferencia
de medidas, hacer clic sucesivamente sobre el origen
de coordenadas, sobre el valor de la ordenada del
punto P y sobre el eje de ordenadas. Aparecerá un
punto sobre el eje OY, que representa la ordenada
del punto P.
ii. Añadir el valor numérico a la ordenada. Para ello
elegir la herramienta medir/Ecuación y coordenadas
y picar sobre el punto que se encuentra sobre el eje OY, escribir y=... donde ...
indican el valor de la y (borrar los paréntesis y el 0.00).
iii. Definir el segmento que une el origen de coordenadas con y. Cambiarle el
grosor (haciéndolo mayor) y el color (violeta).
iv. Para mejorar la presentación dibujar el segmento que une el
punto P con la proyección de P sobre el eje de abscisas (x). Utiliza
herramienta dibujo/Punteado (cambia el modelo de contorno del
objeto -normal, punteado corto- punteado largo) y hacer clic sobre
segmento.
la
el
Mover el punto P y observa como varía la ordenada.
5. Vamos a definir un ángulo que represente a la amplitud del giro, de forma que
lo podamos variar de forma dinámica, para ello:
a. Dibujar un segmento (aproximadamente de 1 cm.) en la parte
superior izquierda. Fijar los extremos utilizando ver/Fijar (fija la
posición de un punto -una vez fijado no puede moverse ni borrarse-).
b. Dibujar la circunferencia centrada en el extremo izquierdo y de
radio la longitud del segmento. Situar un punto sobre la circunferencia (M).
Dibujar el radio móvil, segmento que une el centro de la circunferencia con el
punto M.
c. Poner la marca de ángulo. Utilizar ver/Marca de ángulo y señalar el extremo
del segmento base, el centro de la circunferencia y el punto M.
d. Calcular el valor de la marca. Utilizar medir/Ángulo y hacer clic sobre la
marca del ángulo (es conveniente definir el valor numérico utilizando la marca,
para que éste tome valores mayores de 180º).
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6. Girar el segmento OP un ángulo de "a" grados. Para ello utilizar la herramienta
transformar/Rotación y hacer clic sobre el segmento (objeto que va a girar), luego
sobre el origen de coordenadas (centro de giro) y por último señalar el ángulo de
"a" (amplitud del giro).
7. Mostrar las coordenadas del homólogo de P mediante el giro y etiquetarlo con
P'.
8. Pongamos una marca a la amplitud (ver/Marca de ángulo y luego señalar punto
P, origen y punto homólogo P'). Calcular el valor de la marca y etiquetarla como
a=.
Nota: Si arrastramos el punto M, variamos el ángulo de giro. Si arrastramos el
punto P, variamos las coordenadas del mismo y el de su homólogo.
9. Calcular el valor del ángulo OX, Origen, P.
10. Vamos a comprobar con Cabri la relación:
.
a. Vamos a calcular x'=x·cos(a)-y·sen(a). Para ello seleccionar la calculadora y
teniéndola activada, hacer clic sobre la abscisa del punto P (el valor de la abscisa
pasa a la ventana de edición), luego escribir x (operador multiplicación), luego la
función cos(, hacer clic sobre el ángulo a (pasará este valor a la ventana de
edición), cerrar el paréntesis. Escribir el signo - (operador de sustracción) y luego
hacer clic sobre el valor de la ordenada del punto P (el valor de la ordenada pasa a
la ventana de edición), luego escribir x (operador multiplicación), luego la función
sin(, hacer clic sobre el ángulo a (pasará este valor a la ventana de edición), cerrar
el paréntesis. Hacer clic sobre = para obtener el resultado.
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Hacer clic sobre el valor calculado y moverlo a la ventana de diseño de Cabri.
Utilizando ver/Comentarios, cambiar la etiqueta Resultado=, por x'=x·cos(a)y·sen(a)=.
b. Proceder de forma análoga para comprobar la identidad y'=x·sen(a)+y·cos(a).
Situar los dos comentarios con sus valores en la parte inferior derecha. Modifica el
ángulo a y el punto P y comprueba como se mantienen las identidades.
11. Incluir la demostración de la relación utilizando comentarios de Cabri. Bajo las
relaciones escribir los siguientes comentarios utilizando ver/Comentarios:
Comprobación de las relaciones:
Por definición de seno y coseno tenermos que:
x=r·cos(b); y=r·sen(b)
x'=r·cos(b+a)=r(cos(b)·cos(a)-sen(b)·sen(a))=x·cos(a)-y·sen(b)
y'=r·sen(b+a)=r(sen(b)·cos(a)+cos(b)·sen(a))=y·cos(a)+x·sen(b)
q.d.
12. Guardar la construcción como coordenadas2.fig
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Si arrastramos el punto P o bien M, observamos las cómo varían las coordenadas de
los puntos girados.
Ejercicio: La siguiente actividad se le podría plantear a los alumnos de 14 años.
a. Si en un triángulo equilátero efectuamos un giro de centro el centro del
triángulo y de amplitud 120º, el triángulo se transforma en sí mismo (compruébalo
usando el applet). Encuentra todos los giros que transforman un triángulo
equilátero en sí mismo.
b. Haz lo mismo con un cuadrado, un rectángulo, un rombo, un pentágono regular
y un hexágono regular.
c. Observa que el giro que hace invariante a un polígono regular es el que tiene
por amplitud el valor del ángulo central (360/n siendo n el número de lados) y
origen el centro del polígono. ¿Qué giros hacen invariante un heptágono regular? ¿y
a un dodecágono regular?.
Vamos a construir con Cabri la figura anterior, puede realizarlo directamente o
bien seguir los pasos que se enumeran:
1. Vamos a definir un ángulo que represente a la amplitud del giro, de forma que
lo podamos variar de forma dinámica, para ello (se realiza exactamente igual que
el punto 5 del apartado anterior):
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a. Dibujar un segmento (aproximadamente de 1 cm.) en la parte
superior izquierda. Fijar los extremos utilizando ver/Fijar (fija la
posición de un punto -una vez fijado no puede moverse ni borrarse).
b. Dibujar la circunferencia centrada en el extremo izquierdo y
de radio la longitud del segmento. Situar un punto sobre la circunferencia (M).
Dibujar el radio móvil, segmento que une el centro de la circunferencia con el
punto M.
c. Poner la marca de ángulo. Utilizar ver/Marca de ángulo y señalar el extremo
del segmento base, el centro de la circunferencia y el punto M.
d. Calcular el valor de la marca. Utilizar medir/Ángulo y hacer clic sobre la
marca del ángulo (es conveniente definir el valor numérico utilizando la marca,
para que éste tome valores mayores de 180º).
2. Dibujemos ahora el triángulo equilátero, el cuadrado, el rectángulo, el
pentágono regular, el hexágono regular y el rombo:
a. Para dibujar los polígonos regulares utilizaremos la herramienta
rectos/Polígono regular (construye un polígono regular convexo o un polígono
estrellado definido por su centro y n-lados (30 o menos)).
a1. Triángulo equilátero, una vez elegido Polígono regular hacer clic en el que
será el centro, desplazar el cursor del centro y hacer clic para especificar el radio
del polígono, girar en en sentido de las agujas del reloj (en el centro nos va
indicando el número de lados) y hacer clic cuando aparezca el 3 (lados).
Nota: Si después de especificar el centro y el radio giramos en sentido contrario a
las agujas del reloj dibujamos un polígono estrellado.
a2. Procediendo de forma análoga dibujar el cuadrado, el pentágono y el hexágono
regular.
a3. Con la herramienta puntero, ajustar la situación como en el applet.
Arrastrando un lado trasladamos el polígono y moviendo un vértice o el centro
ajustamos el radio y el lado.
a4. Fijemos un el centro y uno de los vértices de cada polígono para que no se
puedan cambiar.
b. Construyamos el rectángulo:
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b1. Dibujemos un segmento que será la base del rectángulo (AB).
b2. Definamos otro de los lados del rectángulo (AC). Tracemos la recta
perpendicular a AB por A. Construyamos el segmento que une un punto de la recta
(C) con A (AC). Ocultemos la recta perpendicular.
b3. Construir los dos lados del rectángulo que faltan (CD y BD). Trazar la paralela a
AB por C y la paralela a AC por A. El punto de intersección será el punto D.
Construir los segmentos que unen C con D y B con D. Ocultar las paralelas y los
lados.
b4. Utilizando la herramienta rectas/Polígono construir el rectángulo uniendo los
cuatro puntos. Observar que moviendo los puntos de partida cambiamos el
rectángulo. Ajustarlo como en el applet.
b5. Hallar el centro del rectángulo. Punto de corte de las diagonales. Dibujar las
diagonales del rectángulo y hallar su punto de corte. Ocultar las diagonales.
b5. Fijar los punto A, B y C para inmovilizar el rectángulo.
c. Construcción del rombo:
c1. Dibujar un segmento AB que represente a una de las diagonales del rombo.
c2. Hallar el punto medio de AB (será el centro del rombo). Trazar la
perpendicular por el punto medio.
c3. Señalar un punto sobre dicha perpendicular (C), que será el tercer vértice del
rombo. Trazar utilizando simetría axial el simétrico de C respecto al segmento AB.
Obtendremos así el vértice D. Ocultar el segmento AB y la recta perpendicular.
c4. Utilizando la herramienta rectas/Polígono construir el rombo uniendo los
cuatro puntos. Observar que moviendo los puntos de partida cambiamos el rombo.
Ajustarlo como en el applet.
c5. Fijar los punto A, B y C para inmovilizar el polígono.
3. Girar cada una de las figuras geométricas, según la amplitud indicada, tomando
como centro los centros de cada figura. Para ello utilizar la herramienta
transformar/Rotación y hacer clic sobre: la figura, el ángulo y finalmente el
centro de la figura. Observa que al variar el ángulo arrastrando el punto M se gira
la figura sobre su centro. Cambia el color de la figura girada a verde oscuro.
4. Guardar la construcción con el nombre: giros_invariantes.fig.
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Ejercicio: En una mesa de billar hay situadas dos bolas. Halla el camino que ha
de seguir una de ellas para que después de golpear en dos bandas choque con la
otra. Ilustra la situación utilizando Cabri (sol.
nombre billar2.fig.
). Guardar la construcción con el
ACTIVIDAD 7: Homotecias
Para ver una propuesta de estudio de las homotecias ir a la página:
http://nti.educa.rcanaria.es/matematicas/Geometria/Actividades/Transformacion
es/homotecia.htm
Vamos a construir con Cabri la figura que se muestra en el siguiente applet y que
se utilizaría para dar la definición de homotecia de una figura.
Puedes intentar realizar la figura sin ayuda o bien seguir los siguientes pasos:
1. Construcción del segmento que define la razón de la homotecia.
a. Construir una semirecta (rectas/Semirecta).
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b. Dibujar un segmento sobre la semirecta de forma que uno de los extremos
del segmento sea el extremo de la semirecta (rectas/Segmento).
c. Ocultar la semirecta (Dibujo/Ocultar).
d. Fijar el extremo izquierdo del segmento
(ver/Fijar).
e. Etiquetar el extremo móvil como (M).
f. Medir el segmento (Medir/Distancia y longitud) y escribir la etiqueta
"Razón de homotecia=...".
g. Mover la etiqueta centrándola bajo el segmento (Puntero y arrastrar la
etiqueta).
2. Dibujar el centro de la homotecia y el Hueso.
a. Dibujar un punto sobre el área de diseño y etiquetarlo
con O (centro de la homotecia).
b. Cargar la macro Hueso.mac (Archivo/Abrir y en tipo de
archivo seleccionar Archivos de macro *.MAC). Y luego ir a
la carpeta curso_ teleformación y señalar hueso.mac.
c. Usar la macro Hueso.mac para dibujar el hueso a una
distancia aproximada de 2 cm. del centro de la homotecia.
3. Realizar la homotecia de centro O del Hueso y de razón r
(Transformar/Homotecia).
a. Marcar el hueso (figura sobre la que se va a realizar la
homotecia).
b. Señalar el punto O (Centro de la homotecia).
c. Hacer clic sobre la razón de la homotecia (número que
representa la longitud del segmento).
Nota: Observa el dinamismo del programa:
i. Variando la razón (arrastrando el punto M).
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ii. Variando el centro de la homotecia O.
iii. Variando la figura de partida (el hueso).
4. Situar un punto P sobre el hueso y construir la recta que pasa por O y por P.
a. Situar un punto P sobre el hueso (puntos/Punto y señalar el hueso).
Etiquetarlo con P.
b. Construir la recta que pasa por el centro (O) y el punto P (Rectas/Recta).
5. Obtener los puntos homólogos de P, A, B sobre el hueso homotético.
a. Seleccionar Transformar/Homotecia y seleccionar el punto P.
b. Hacer clic sobre el origen de la homotecia (O).
c. Seleccionar el factor y etiquetar el nuevo punto P'.
d. Realizar los mismos pasos con los puntos A y B.
e. Arrastrar los puntos A, B, y P y observa cómo varían sus homólogos.
6. Comprobar con la calculadora que OP'/OP=razón y que el cociente de distancias
de segmentos homólogos es la razón A'B'/AB=r.
a. Seleccionar Medir/Distancia y luego
hacer clic sucesivamente sobre los
puntos O y P. Nos aparecerá el número
donde podremos escribir la etiqueta
"OP=" delante del mismo.
b. Seleccionando Puntero arrastramos el número a la parte inferior del área de
diseño.
c. Proceder de forma análoga con OP', AB y A'B'.
d. Usemos la calculadora para expresar los cocientes.
i. Seleccionar la herramienta Medir/Calcular. Se abre la calculadora.
ii. Con la calculador abierta hacer clic sobre el número que representa a la
distancia OP'. Esta quedará reflejada sobre la ventana de edición de la
calculadora (con la letra a). Poner luego el símbolo de división (/).
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iii. Luego hacer clic sobre el número que representa a la distancia OP. Esta
quedará reflejada sobre la ventana de edición de la calculadora (con la
letra b).
iv. Hacer clic sobre el botón =, se realizará el cálculo y aparecerá en la
ventana de resultados.
v. Arrastrando el resultado a la ventana de edición, tendremos el resultado
dinámico en el área de diseño que como observamos coincide con la razón
de la homotecia.
vi. Seleccionando la herramienta Ver/Comentarios y haciendo clic sobre el
número anterior, escribir la etiqueta "r=OP'/OP=...".
vii. Proceder de forma análoga (pasos i..vi) con el cociente de segmentos
homólogos.
7. Guardar la figura con el nombre: Definir_hom_figura.fig.
ACTIVIDAD 8: Inversión
Vamos a construir el inverso de un punto M, respecto a una circunferencia de
radio r y de centro O. El punto homólogo será M' de forma que se satisface la
siguiente relación OM·OM'=r2 .
Crear una figura de Cabri que refleje la situación indicada (ver la figura de la
derecha) y llamarla inversion.fig.
1. Dibujemos un punto M arbitrario en el área
de dibujo.
2. Dibujemos una circunferencia de centro O
(arbitrario) y radio r arbitrario
(Curvas/Circunferencia) y etiquetar el Centro
como O.
3. Elegir la herramienta Transformar/Inversión y
señalar el punto M y luego la circunferencia,
obtenemos el punto inverso (etiquetarlo con M').
¿Qué ocurre si M se aleja de la circunferencia?
¿y si se acerca?. ¿Qué ocurre si M se encuentra
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sobre la circunferencia? ¿y si M se acerca al Centro?.
4. Comprobemos la propiedad: OM·OM'=r2
a. Calcular el radio de la circunferencia:
i. Seleccionar la herramienta Medir/Distancia y longitud.
Señalar el centro y luego un punto de la circunferencia.
ii. Etiquetar el valor del radio "r=...".
iii. Arrastrar el radio a la parte inferior del área de
diseño.
b. Calcular de forma análoga la longitud de los segmentos OM y OM'.
c. Utilizando la calculadora Medir/Calcular hallar r2 y situar el valor sobre el
área de diseño.
d. Utilizando la calculadora Medir/Calcular hallar OM·OM' y situar el valor
sobre el área de diseño.
Se comprueba la igualdad.
Se puede observar el dinamismo del programa variando el radio de la
circunferencia y el punto M.
Ejercicio: ¿Cuál es el lugar geométrico que describen los puntos homólogos
(inversos M') cuando M se desplaza a lo largo de una recta que corta a la
circunferencia?.
Nota: Utiliza Cabri para responder a dicha cuestión utilizando la herramienta
construir/Lugar geométrico.
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LUGARES GEOMÉTRICOS
Actividad 1: Bisectriz de un ángulo
Construir un lugar geométrico. Activar y desactivar traza.
Regenerar una figura. Cambiar las opciones para lugares
geométricos. Aumentos y disminución de los objetos que forman el
lugar.
Actividad 2: Construcción de la Elipse usando el método del
jardinero
Utilizar la herramienta compás del menú construir. Construir una
cónica. Expresar las ecuaciones de una cónica. Cambiar las
preferencias al mostrar las ecuaciones.
Actividad 3: Construcción de la Parábola
Actividad 1: Bisectriz de un ángulo.
Sabemos que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de los lados del ángulo.
Vamos a realizar una construcción con Cabri que explique cómo construir la
bisectriz de un ángulo, como muestra el siguiente applet:
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Usted podría realizar la figura sin seguir los siguientes pasos, pero es
recomendable que vea como se activa la traza de un punto y los efectos de
animación.
Crearemos la figura bisectriz.fig.
1. Construir un ángulo cualquiera, para ello utilizar la herramienta
rectas/Semirectas para crear los lados del triángulo (el punto de partida de las
semirectas será el vértice del triángulo).
2. Vamos a buscar un punto P perteneciente a la
bisectriz del ángulo:
a. Elegir un punto arbitrario X sobre uno de los
lados del triángulo (utilizar Puntos/Punto sobre
objeto y etiquetar el punto).
b. Trazar la circunferencia de centro el vértice del
ángulo y que pase por el punto X. Esta
circunferencia corta al otro lado del ángulo en el
punto Y (utilizar Puntos/Punto(s) intersección y
etiquetar el punto).
c. Trazar las rectas tangentes a la circunferencia por los puntos X e Y (rectas
perpendiculares a los lados por los puntos X e Y). Estas rectas se cortan en un
punto, etiquetarlo como P.
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Pág. 112
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Este punto equidista de los lados del ángulo ¿Por qué?. Vamos a comprobarlo
numéricamente con Cabri:
c1. Calcular las distancias PX y PY (utilizar medir/Distancia y longitud).
c2. Escribir un comentario delante de cada número d(P,X)=, d(P,Y)=
(utilizar Ver/Comentarios). Luego arrastra los números (utilizar Puntero) al
extremo superior derecho de la ventana de edición para ver mejor la figura
(al principio se resiste al arrastre hasta que cede).
d. Si arrastramos el punto X (arbitrario en la construcción) obtenemos los
diferentes puntos de la bisectriz al moverse P. Vamos a activar la traza al
punto P para que cuando este se traslade deje un rastro, construyendo así la
bisectriz:
d1. Seleccionar la herramienta ver/Traza Activada-Desactivada. A partir de
ahora los elementos que se señalen dejarán rastro cuando se trasladen;
activar la traza del punto P haciendo clic sobre el mismo (el punto
parpadea).
d2. Arrastrar utilizando la herramienta puntero el punto X, y observar como
el punto P deja rastro (además puedes observar la equidistancia de P a los
lados del triángulo -ver distancias numéricas a la derecha).
d3. Borrar el rastro utilizando la opción regenerar dibujo
(archivo/Regenerar dibujo -vuelve a dibujar todos los objetos de la
construcción- Ctrol+F, se suprimen los pixels
dibujados con la traza).
d4. Utilizar la herramienta ver/Animación
(desplaza automáticamente un objeto
independiente por una trayectoria determinada)
para mover automáticamente el punto P. Hacer
clic sobre P y arrastrar el ratón en la dirección del
lado y sentido del vértice -para que el punto se
mueva en sentido contrario-, aparecerá un resorte
(la longitud del resorte indica la velocidad del
movimiento).Si se quiere aumentar o disminuir la
velocidad del movimiento pulsar las teclas + ó respectivamente. Para parar la animación hacer clic en cualquier lugar de la
ventana de edición.
Para volver al punto de partida seleccionar deshacer la última acción
(archivo/Deshacer Ctrol+Z).
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d5. Quitar la traza del punto P. Para ello seleccionar la herramienta
ver/Traza Activada-Desactivada y pulsar sobre el punto P.
3. Construir el lugar geométrico descrito por el punto P cuando el punto arbitrario
X se desplaza a lo lardo del lado del triángulo. Obtendremos así la bisectriz, para
ello seleccionar la herramienta construir/Lugar geométrico, señalar el punto P
(objeto que describe el lugar) y luego el punto X (que se mueve a lo largo del
lado). Queda dibujada la bisectriz como un objeto. Observa que si mueves el lado
del ángulo también se mueve la bisectriz.
Lo que hace Cabri es dibujar el objeto que se selecciona en primer lugar 50
veces, de forma equidistante, al variar el punto que se seleccione en segundo
lugar que normalmente está ligado a una trayectoria (en nuestro caso el punto P
se dibuja 50 veces según el movimiento del punto X a lo largo del lado). Si el
objeto que genera el lugar son puntos, éstos se conectan por segmentos (puntos de
enlace). Si se trata de rectas se genera la envolvente. Estas opciones se pueden
cambiar usando el punto de menú opciones/Preferencias,
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Puedes realizar pruebas, borrando el lugar dibujado y en Preferencias,
deseleccionar los puntos de enlace y luego volver a dibujar la bisectriz. Observa
cómo no se enlazan los puntos y que sólo se dibujan 50 puntos del lugar.
Vuelve a poner las opciones como al principio y crea nuevamente la bisectriz.
4. Guardar el fichero con el nombre bisectriz.fig.
Ejercicios:
1. ¿Cuál es el lugar geométrico descrito el baricentro de un triángulo cuando uno
de sus vértices se desplaza por la circunferencia circunscrita?. (Llamar a la
construcción lugar_baricentro.fig).
2. ¿Cuál es el lugar geométrico descrito el incentro de un triángulo cuando uno de
sus vértices se desplaza por la circunferencia circunscrita?. (Llamar a la
construcción lugar_incentro.fig).
3. ¿Cuál es el lugar geométrico descrito el ortocentro de un triángulo cuando uno
de sus vértices se desplaza por la circunferencia circunscrita?. (Llamar a la
construcción lugar_ortocentro.fig).
4. Hallar el lugar geométrico descrito por el punto medio de una cuerda de una
circunferencia cuando uno de sus extremos recorre la misma.
5. Sea ABC un triángulo de forma que C sea el centro de una circunferencia que
pasa por A y B. Hallar el lugar geométrico descrito por el incentro del triángulo.
6. Sea Q un punto exterior a una circunferencia. Hallar el lugar geométrico
descrito por los pies (P) de las perpendiculares a la tangentes a la circunferencia
que pasan por Q. Dicho lugar geométrico se llama Caracol de Pascal.
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a. Dibuja una circunferencia y un punto exterior a la misma, etiqueta el
punto por Q.
b. Dibuja un punto (R) sobre la circunferencia y el radio que une dicho punto
con el centro.
c. Halla la recta tangente a la circunferencia por R. Para ello dibuja la
perpendicular al radio por R. Si arrastramos el punto R obtendremos el
conjunto de todas las tangentes a la circunferencia.
d. Dibujemos la perpendicular a la tangente por el punto Q. Las dos rectas
se cortan en el punto P.
e. Activar la traza del punto P, luego arrastrar el punto R y observar la
gráfica que se obtiene. Regenera el dibujo para borrar la traza y desactivar la
traza del punto P.
f. Construir la el Caracol de Pascal. Para ello utilizar construir/Lugar
geométrico y luego hacer clic sobre el punto P, y luego sobre el punto R. Si
arrastramos el punto Q vemos como cambia el lugar (ver qué ocurre si el punto
Q, está sobre la circunferencia, interior a ella o si es el centro).
g. Guarda la construcción como caracol.fig.
Actividad 2: Construcción de la Elipse usando el método del jardinero.
Sabemos que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos (F, F') es constanta (2·a) e igual al
semieje mayor.
Vamos a realizar una construcción con Cabri que explique cómo crear elipse, como
muestra el siguiente applet, puede intentar realizar directamente la construcción
o bien seguir los pasos que se indican a continuación:
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1. Definir un segmento (A'A) que represente al eje mayor de la elipse.
2. Hallar el punto medio del segmento A'A (0), que será el centro de la elipse.
Definir el segmento A'O y fijar un punto sobre dicho segmento (etiquetarlo con F')
(como hay dos segmentos aparece una ambigüedad, elegir el segundo -siempre se
ordenan según su construcción-). Dicho punto será uno de los focos, como no dan
restricciones lo tomamos de forma arbitraria. Hallar el simétrico (simetría central)
respecto al centro de F' obteniendo el otro foco F.
3. Definamos el segmento F'F y situemos un punto arbitrario (P) sobre él. Por la
construcción sabemos que A'P+PA=A'A (eje mayor).
4. Construyamos dos circunferencias:
a. Centrada en F' y radio A'P (utilizar construir/Compás picar sobre A', P (radio)
y luego sobre F').
b. Centrada en F y radio PA (utilizar construir/Compás picar sobre P, A (radio) y
luego sobre F).
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5. Los puntos de intersección de dichas circunferencias pertenecen a la elipse ¿por
qué?. Construir dichos puntos utilizando puntos/Punto (s) intersección y hacer clic
sobre las dos circunferencias.
6. Activar la traza del punto de intersección, luego arrastrar el punto P y observar
la gráfica de la elipse. Regenera el dibujo para borrar la traza y desactivar la traza
del punto P.
7. Construir la elipse. Para mejorar la representación seleccionamos
opciones/Preferencias... opciones para los lugares y cambiar el número de
objetos de 50 a 1000, en Aplicar a elegir Nuevos objetos y pulsar Aceptar.
Crear la elipse, para ello utilizar construir/Lugar geométrico y picar sobre uno de
los puntos de intersección y luego sobre el punto P. Se construye la parte superior
de la elipse.
Proceder de forma análoga para construir la parte inferior.
8. Guardar la figura con el nombre elipse.fig.
9. Vamos a obtener la ecuación de la elipse utilizando Cabri. Mostrar los ejes de
coordenadas (dibujo/Mostrar ejes) y definir las cuadrículas (dibujo/Definir
cuadrícula) para centrar el estudio.
Arrastrando el eje mayor de la elipse
(segmento A'A), procura hacer coincidir
el centro de la elipse con el origen de
coordenadas.
a. Para obtener la ecuación del lugar
geométrico, utilizaremos la
herramienta Ecuaciones y
coordenadas. Por ello tendremos que
definir la elipse utilizando la opción curvas/Cónica (crea una parábola,
hipérbola o elipse definida por cinco puntos) y hacer clic sobre cinco puntos
del lugar geométrico; de esta forma tenemos el objeto elipse definido.
b. Utilizar la herramienta medir/Ecuación y coordenadas y hacer clic sobre la
elipse, obtendremos la ecuación de la misma que variará si variamos el foco o
el eje mayor. (Seleccionando la ecuación del lugar y pulsando TAB
cambiamos la misma entre ecuación general o canónica).
También se puede cambiar la forma de las ecuaciones utilizando el punto
de menú opciones/Preferencias, seleccionando Sistema de coordenadas y
ecuaciones. En esta plantilla además se puede cambiar el sistema de
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referencia utilizado (Cartesiano y polares -radianes, grados sexagesimales y
grados centesimales).
11. Quitar la cuadrícula, para ello con la herramienta puntero, seleccionar un
punto de la parrilla y pulsar Supr.
12. Ocultar los ejes (dibujo/Ocultar ejes) y suprimir la ecuación de la elipse
(seleccionarla y suprimir). Guardar la figura.
Ejercicio:
a. Calcular la excentricidad de la elipse (e=c/a). ¿Qué relación existe entre la
excentricidad y la forma de la elipse?.
1. Medir la distancia OF', etiquetarla con c (semieje focal).
Arrastrar el número y colocarlo en la parte inferior derecha.
2. Medir la distancia OA', etiquetarlo con a (semieje mayor).
Arrastrar el número y colocarlo en la parte inferior derecha.
3. Utilizando la calculadora llevar los valores anteriores para
calcular e=c/a. Llevar el resultado a la ventana de diseño y
etiquetarlo con e=.
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4. Si arrastramos el punto F' vemos como cambia el valor de la
excentricidad.
b. Calcular el semieje menor (b) a partir del semieje focal (c) y del semieje mayor
(a).
1. Sabemos que se satisface la relación
la función sqrt(a^2-c^2), calcular el valor de b.
. Utilizando la calculadora y
2. Arrastrar el valor sobre la ventana de diseño.
Actividad 3: Construcción de la Parábola.
Sabemos que la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta llamada directriz (r).
Vamos a realizar una construcción con Cabri que explique cómo crear la parábola,
lo muestra el siguiente applet, puede intentar realizar directamente la
construcción o bien seguir los pasos que se indican a continuación:
1. Construir una recta que será la directriz (d) de la parábola. Etiquetar la recta
con d.
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2. Fijar un punto en el plano que represente al foco (F) de la parábola.
3. Dibujar el eje de la parábola, recta perpendicular al la directriz que contenga
al foco.
4. Hallar el vértice (V) de la parábola. Punto medio entre el foco y la intersección
de la directriz y el eje (N).
5. Situar un punto M sobre la semirecta VF (definir previamente la semirecta), y
trazar la paralela por dicho punto a la directriz.
6. Construir la circunferencia centrada en el foco y de radio la distancia entre el
punto M y la directriz (utilizar compás, picar en M y en N -radio- y finalmente en F
-centro-).
7. Las intersecciones entre la paralela y la
circunferencia son puntos de la parábola ¿por qué?.
Activar la traza de los puntos de intersección, luego
arrastrar el punto M y observar la gráfica de la
parábola. Regenera el dibujo para borrar la traza y
desactivar la traza de los puntos de intersección.
8. Construir la parábola. Para mejorar la
representación seleccionamos
opciones/Preferencias... opciones para los lugares y
cambiar el número de objetos de 50 a 1000, en Aplicar
a elegir Nuevos objetos y pulsar Aceptar.
Crear la parábola, para ello utilizar construir/Lugar geométrico y picar sobre uno
de los puntos de intersección (los que definen la parábola) y luego sobre el punto
M. Se construye una rama de la parábola.
Proceder de forma análoga para construir la otra rama.
Ocultar la circunferencia y la recta auxiliar para que se visualice mejor el dibujo.
9. Guardar la figura con el nombre parabola.fig.
El foco lo podemos variar cambiando la parábola.
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La directriz se puede variar arrastrando la recta (cambiamos su dirección)
moviendo el punto que la define (nos trasladamos paralelamente).
10. Vamos a ver la ecuación de la parábola utilizando Cabri. Mostrar los ejes de
coordenadas (dibujo/Mostrar ejes) y definir las cuadrículas (dibujo/Definir
cuadrícula) para centrar el estudio .
a. Directamente, como lugar geométrico no podemos usar la herramienta
Ecuaciones y coordenadas. Por ello tendremos que definir la parábola
utilizando la opción curvas/Cónica (crea una parábola, hipérbola o elipse
definida por cinco puntos) y hacer clic sobre cinco puntos del lugar geométrico;
de esta forma tenemos el objeto parábola definido.
b. Utilizar la herramienta medir/Ecuación y coordenadas y hacer clic sobre la
parábola, obtendremos la ecuación de la misma que variará si variamos el foco
o la directriz.
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LUGARES GEOMÉTRICOS 2
Actividad 4:
Construcción de la CICLOIDE
Construcción de la EPICICLOIDE
Construcción de la HIPOCICLOIDE
Actividad 5: Envolventes
Parábola como envolvente. Cardiode. Astroide
Actividad 4: Soy un punto sobre un círculo, ¿cual es mi trayectoria cuando gira
el círculo sobre:
a. una recta? Cicloide.
b. un círculo por el exterior? Epicicloide.
c. un círculo por el interior? Hipocicloide.
CONSTRUCCIÓN DE LA CICLOIDE
Para simular el movimiento de un punto sobre una circunferencia cuando esta se
mueve sobre una recta, realicemos los siguientes pasos:
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1. Abrir un nuevo fichero de Cabri. Dibujar una semirecta (camino por el cual se
desplazará la circunferencia).
2. Construir la circunferencia que se moverá sobre la semirecta (tangente a la
circunferencia).
a. Dibujar el radio de la circunferencia.
Para ello construir un segmento en la
parte inferior derecha de la ventana de
edición, fijar el punto izquierdo y llamar
A al punto derecho.
b. Dibujar un punto sobre la semirecta,
llamarlo <-D->. Al arrastrar este punto
simularemos el movimiento de la
circunferencia sobre el eje.
c. Construir una circunferencia centrada
en el punto D y de radio el segmento
dado. Para ello utilizar la herramienta construir/Compás (crea una
circunferencia a partir de un punto -centro- y un segmento -compás-), pulsar
sobre D y luego sobre el segmento.
d. Construir la circunferencia tangente por D a la semirecta. Para ello trazar
una recta perpendicular a la semirecta por D, el punto de corte entre la
circunferencia anterior (apartado c) y la recta será el centro de la
circunferencia buscada. Definir este punto de intersección y ocultar la recta y
la circunferencia. Utilizando curvas/Circunferencia construir la
circunferencia centrada en el punto de corte y que pasa por D. Arrastra el
punto D y observa cómo se mueve la circunferencia.
3. Vamos a situar el punto que describirá la cicloide, para ello:
a. Mediremos la distancia entre el origen de la semirecta y el punto D
utilizando, medir/Distancia y longitud.
b. Utilizar Transferencias de medidas para llevar
esta distancia a la circunferencia desde el punto
D, obteniendo el punto P' sobre la circunferencia.
Para ello seleccionar construir/Transferencias de
medidas hacer clic sobre el la medida del
segmento y luego sobre la circunferencia y
finalmente sobre el punto D. Finalmente ocultar
la medida del segmento. Si arrastramos el punto
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D se observa que P' gira en sentido contrario a las agujas del reloj.
c. Cambiar el sentido de giro hallando el simétrico del punto P' respecto a la
recta perpendicular a la semirecta por D. Mostrar esta recta si se oculto
anteriormente. Utilizar transformar/Simetría axial seleccionar el punto P' y
luego la recta. Obtenemos el punto P. Poner un grosor mayor al punto.
Ocultar la recta y el punto P'
4. Observar la trayectoria del punto P. Activar la traza del punto P, luego arrastrar
el punto <-D-> y observar la gráfica de la cicloide. Regenera el dibujo para borrar
la traza y desactivar la traza del punto P.
5. Construir la Cicloide. Para ello utilizar construir/Lugar geométrico y luego
hacer clic sobre el punto P, y luego sobre el punto <-D->. Si arrastramos el punto
A (variamos el radio de la
circunferencia), vemos cómo sería la
cicloide para las distintas
circunferencias.
Observamos que la gráfica del lugar no
es lo suficientemente curva, esto es
debido a que por defecto el número de
objetos que definen el lugar es sólo 50.
Para mejorar la representación
seleccionamos el lugar y seleccionamos
opciones/Preferencias... opciones para los lugares y cambiar el número de
objetos de 50 a 500, en Aplicar a elegir Selección y pulsar Aceptar. Observar que
el lugar mejora su representación.
6. Guardar el fichero con el nombre cicloide.fig.
Ejercicio:
a. Construir el lugar geométrico descrito por un punto interior a la circunferencia
(cicloide corta) al girar la circunferencia a lo largo de una recta.
b. Construir el lugar geométrico descrito por un punto exterior a la circunferencia
(cicloide larga) al girar la circunferencia a lo largo de una recta.
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CONSTRUCCIÓN DE LA EPICICLOIDE:
Lugar geométrico que describe un punto sobre una circunferencia (de radio R'),
al girar alrededor de otra (de radio R) por fuera de la misma. Si el radio de la
circunferencia base (R) es el doble de la circunferencia que gira (R'), el lugar
geométrico se llama Nefroide. Si los radios son iguales el lugar geométrico se
llama Cardiode.
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Para construir la figura proceder de la siguiente forma:
1. Definir los segmentos que determinan los radios de las circunferencias, de
longitudes R(3) y R'(1).
a. Utilizando ver/Edición numérica, editar el número que representa al radio
R.
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b. Dibujar un punto y luego utilizando construir/Transferencias de medidas
señalar la medida y el punto.
c. Definir el segmento a partir de los dos puntos. Etiquetar el extremo del
segmento con la letra R.
d. Proceder de igual forma para R'.
2. Construir una semirecta auxiliar y un punto D sobre la misma, que al desplazarlo
haga que se mueva el punto P, que define el lugar geométrico.
a. Utilizando rectas/Semirecta dibujar una semirecta, fijar un punto sobre la
misma y etiquetarlo con <-D->. Etiquetar el punto inicial como O.
b. Medir el segmento desde el inicio hasta el punto D.
El gráfico siguiente puede ayudar a realizar los pasos siguientes
3. Construir la circunferencia base de radio R y sobre ella el punto de tangencia
con la otra circunferencia.
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a. Utilizando Construir/Compás crear una circunferencia centrada en un
punto arbitrario y de radio el valor numérico R.
b. Punto sobre la circunferencia que será tangente a la circunferencia que
gira.
b1. Fijar un punto sobre la circunferencia de forma arbitraria X, y la recta
que une el centro con dicho punto. Llamarla r.
b2. Utilizando transferencia de medidas, llevar la longitud auxiliar OD a la
circunferencia a partir del punto X, etiquetar el nuevo punto con Y. Al
arrastrar el punto D, el punto sobre la circunferencia se mueve en sentido
contrario a las agujas del reloj.
b3. Para que el movimiento sea en el mismo sentido de las agujas del
reloj, hallar el punto simétrico al punto Y respecto al eje r. Este punto Z,
es de tangencia con la circunferencia que gira.
b4. Ocultar los puntos X e Y y la recta r.
4. Construir la circunferencia que gira de radio R' tangente a la anterior por el
punto fijado.
a. Construir la recta que une el centro de la circunferencia base con el punto
Z.
b. Utilizando la herramienta compás, construir la circunferencia centrada en
Z de radio R'.
c. Hallar la intersección exterior entre esta circunferencia y la recta. Ocultar
la recta y la Circunferencia
d. Construir la circunferencia de centro el punto de intersección anterior y
que pase por Z.
Si arrastramos el punto D vemos cómo gira una circunferencia sobre la otra.
5. Situar sobre la circunferencia de radio R' el punto P que describe el lugar
geométrico.
a. Utilizando transferencia de medidas, llevar la longitud auxiliar OD a la
circunferencia (que gira) a partir del punto Z, etiquetar el nuevo punto con
T. Al arrastrar el punto D, el punto sobre la circunferencia se mueve en
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sentido contrario a las agujas del reloj. Dibujar la recta que une el centro de
la circunferencia con el punto T y llamarla r'.
b. Para que el movimiento sea en el mismo sentido de las agujas del reloj,
hallar el punto simétrico al punto T respecto al eje r'. Este es el punto P.
c. Ocultar los puntos Z, T y la recta r'.
6. Observar la trayectoria del punto P. Activar la traza del punto P, luego arrastrar
el punto <-D-> y observar la gráfica de la epicloide. Regenera el dibujo para
borrar la traza y desactivar la traza del punto P.
7. Construir la Epicloide. Para ello utilizar construir/Lugar geométrico y luego
hacer clic sobre el punto P, y luego sobre el punto <-D->.
Observamos que la gráfica del lugar no es lo suficientemente curva, esto es debido
a que por defecto el número de objetos que definen el lugar es sólo 50. Para
mejorar la representación seleccionamos el lugar y seleccionamos
opciones/Preferencias... opciones para los lugares y cambiar el número de
objetos de 50 a 500, en Aplicar a elegir Selección y pulsar Aceptar. Observar que
el lugar mejora su representación.
Seleccionando Edición numérica y haciendo clic sobre el valor numérico de los
radios (R y R') podemos cambiar los radios de las circunferencias obteniendo
distintos epicicloides.
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Pág. 130
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Si hacemos R=2 y R'=1 el lugar geométrico se llama nefroide (siempre que R/R'=2
obtendremos la nefroide).
Si hacemor R=1 y R'=1 el lugar gemétrico se llama cardiode (siempre que R/R'=1
obtendremos la nefroide).
8. Guardar la construcción con el nombre epicicloide.fig.
CONSTRUCCIÓN DE LA HIPOCICLOIDE:
Lugar geométrico que describe un punto sobre una circunferencia (de radio R'),
al girar alrededor de otra (de radio R) por dentro de la misma.
Para construir la figura proceder de la siguiente forma (los tres primeros pasos son
exactamente iguales que los anteriores):
1. Definir los segmentos que determinan los radios de las circunferencias, de
longitudes R(3) y R'(1).
a. Utilizando ver/Edición numérica, editar el número que representa al radio
R.
b. Dibujar un punto y luego utilizando construir/Transferencias de medidas
señalar la medida y el punto.
c. Definir el segmento a partir de los dos puntos. Etiquetar el extremo del
segmento con la letra R.
d. Proceder de igual forma para R'.
2. Construir una semirecta auxiliar y un punto D sobre la misma, que al desplazarlo
haga que se mueva el punto P, que define el lugar geométrico.
a. Utilizando rectas/Semirecta dibujar una semirecta, fijar un punto sobre la
misma y etiquetarlo con <-D->. Etiquetar el punto inicial como O.
b. Medir el segmento desde el inicio hasta el punto D.
El gráfico siguiente puede ayudar a realizar los pasos siguientes
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3. Construir la circunferencia base de radio R y sobre ella el punto de tangencia
con la otra circunferencia.
a. Utilizando Construir/Compás crear una circunferencia centrada en un
punto arbitrario y de radio el valor numérico R.
b. Punto sobre la circunferencia que será tangente a la circunferencia que
gira.
b1. Fijar un punto sobre la circunferencia de forma arbitraria X, y la recta
que une el centro con dicho punto. Llamarla r.
b2. Utilizando transferencia de medidas, llevar la longitud auxiliar OD a la
circunferencia a partir del punto X, etiquetar el nuevo punto con Y. Al
arrastrar el punto D, el punto sobre la circunferencia se mueve en sentido
contrario a las agujas del reloj.
b3. Para que el movimiento sea en el mismo sentido de las agujas del
reloj, hallar el punto simétrico al punto Y respecto al eje r. Este punto Z,
es de tangencia con la circunferencia que gira.
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b4. Ocultar los puntos X e Y y la recta r.
4. Construir la circunferencia que gira de radio R' tangente a la anterior por el
punto fijado.
a. Construir la recta que une el centro de la circunferencia base con el punto
Z.
b. Utilizando la herramienta compás, construir la circunferencia centrada en
Z de radio R'.
c. Hallar la intersección interior entre esta circunferencia y la recta. Ocultar
la recta y la Circunferencia
d. Construir la circunferencia de centro el punto de intersección anterior y
que pasa por Z.
Si arrastramos el punto D vemos cómo gira una circunferencia sobre la otra.
5. Situar sobre la circunferencia de radio R' el punto P que describe el lugar
geométrico.
a. Utilizando transferencia de medidas, llevar la longitud auxiliar OD a la
circunferencia (que gira) a partir del punto Z, etiquetar el nuevo punto con
T. Al arrastrar el punto D, el punto sobre la circunferencia se mueve en
sentido contrario a las agujas del reloj. Dibujar la recta que une el centro de
la circunferencia con el punto T y llamarla r'.
b. Para que el movimiento sea en el mismo sentido de las agujas del reloj,
hallar el punto simétrico al punto T respecto al eje r'. Este es el punto P.
c. Ocultar los puntos Z, T y la recta r'.
6. Observar la trayectoria del punto P. Activar la traza del punto P, luego arrastrar
el punto <-D-> y observar la gráfica de la hipocicloide. Regenera el dibujo para
borrar la traza y desactivar la traza del punto P.
7. Construir la Hipocicloide. Para ello utilizar construir/Lugar geométrico y luego
hacer clic sobre el punto P, y luego sobre el punto <-D->.
Observamos que la gráfica del lugar no es lo suficientemente curva, esto es debido
a que por defecto el número de objetos que definen el lugar es sólo 50. Para
mejorar la representación seleccionamos el lugar y seleccionamos
opciones/Preferencias... opciones para los lugares y cambiar el número de
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objetos de 50 a 500, en Aplicar a elegir Selección y pulsar Aceptar. Observar que
el lugar mejora su representación.
Seleccionando Edición numérica y haciendo clic sobre el valor numérico de los
radios (R y R') podemos cambiar los radios de las circunferencias obteniendo
distintos hipocicloides.
8. Guardar la construcción con el nombre hipocicloide.fig.
Actividad 5: Envolventes
La envolvente de una familia de curvas es una curva que toca a todos los
miembros de la familia. Siendo tangentes en dichos puntos ambas curvas. (Una
mejor definición en la dirección http://mathworld.wolfram.com/Envelope.html).
Ejercicio 1. Hallar el lugar geométrico de las perpendiculares a un segmento AB
por uno de sus extremos (B), cuando dicho extremo se desplaza sobre una recta r.
1. Dibujar un punto A y una recta r.
2. Dibujar el segmento que une A con un punto sobre r y etiquetar el extremo
sobre la recta como B.
3. Construir la recta perpendicular al segmento AB que pase por el punto B.
Cambiarle el color a marrón.
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4. Utilizar la herramienta construir/Lugar geométrico y hacer clic sobre la recta
marrón y luego sobre B ¿qué se obtiene?.
5. Si en vez de obtener la envolvente de las rectas que forman el lugar queremos
mostrar estas rectas, tendremos que cambiar las opciones para los lugares. Para
ello seleccionar opciones/Preferencias y elegir Opciones para lugares. Por
defecto, en el lugar geométrico de las rectas se encuentra habilitada la opción
para dibujar la envolvente, deshabilitarla como en la figura.
Volver a dibujar el lugar y observar el conjunto de las rectas y la parábola que
envuelven. Arrastrando el punto A, el B o la recta obtenemos distintas parábolas.
Si queremos aumentar o disminuir el número de rectas que determinan el lugar,
seleccionar con puntero el lugar geométrico y luego pulsar + para aumentar y para disminuir.
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6. Guardar la construcción con el nombre envolvente_parabola.fig.
7. Para tener una visión global del lugar seleccionar la opción archivo/Mostrar
página. Vemos la figura sobre un cuadrado de un metro de lado.
Ejercicio 2: Dado un punto P sobre una circunferencia c. Hallar la envolvente
determinada por todas las circunferencias que contengan a P y cuyo centro se
encuentre en c ¿cómo se llama dicha curva?.
1. Dibujar una circunferencia y un punto sobre la misma (etiquetarlo como P).
Dibujar otro punto sobre la circunferencia (etiquetarlo como C).
2. Dibujar una circunferencia centrada C que pase por P.
3. Hallar el lugar geométrico de dichas circunferencias cuando C, recorre la
circunferencia.
4. Guardar la construcción con el nombre cardiode.fig.
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Ejercicio 3: Sea una circunferencia de radio r. Hallar el lugar geométrico de todos
los segmentos de longitud r que se apoyan en los diámetros perpendiculares de la
circunferencia. La envolvente se llama astroide.
1. Dibujar una circunferencia y dos diámetros
perpendiculares.
a. Construir una recta que pasa por el centro y
otra perpendicular a esta última por el centro.
b. Puntos de corte entre las rectas y la
circunferencia.
c. Diámetros definidos por estos puntos de corte.
Ocultar las rectas.
2. Definir los segmentos de longitud el radio de la
circunferencia sobre los diámetros anteriores, como
muestra la figura:
a. Dibujar un punto P sobre uno de los diámetros y construir la circunferencia
centrada P de radio el de la circunferencia de partida (para ello utilizar
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construir/compás y hacer clic sobre el centro y un punto de la circunferencia
-radio- y luego picar sobre el punto P -centro-).
b. Hallar los puntos de corte entre el otro de los diámetros y la
circunferencia. Los segmentos buscados son los determinados por P y dichos
puntos de corte.
3. Construir el lugar geométrico determinado por cada uno de los segmentos
anteriores cuando el punto P se desplaza por el diámetro.
4. Guardar la construcción con el nombre astroide.fig.
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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS 1
Actividad 1: Construcciones de triángulos.
Observa los siguientes applets, elige uno de ellos para realizar la figura con
Cabri que hay tras él y elabora una propuesta de trabajo (en Word o en Web) para
trabajar con los alumnos. El fichero de Cabri se llamará
construccion_triangulo.fig y la propuesta didáctica triangulos.doc o
triángulo.htm. Mejore las figuras a su gusto (por ejemplo se podría hacer que los
lados se movieran sobre una recta horizontal y no de forma libre).
1. Construcción de triángulos conocidos tres lados:
2. Construcción de triángulos conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre
ellos:
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3. Construcción de triángulos conocidos dos lados y un ángulo no comprendido
entre ellos:
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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS 2
Actividad 2: Potencia de un punto.
Observa el siguiente applet y arrastra el punto R y observa que el producto
PR*PS permanece constante:
Se llama potencia de un punto P respecto a una circunferencia C al producto
PR*PS donde:
a) R, S  C
b) P, R y S están alineados.
¿Cuánto vale la potencia de un punto que se encuentre sobre la circunferencia?.
¿Cuál es el máximo valor que alcanza la potencia de un punto interior a la
circunferencia?.
Ejercicio: Construye la figura Cabri que está detrás del applet y llámala
potencia.fig.
Definición llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los
puntos del plano que tienen la misma potencia.
Comprueba con Cabri las siguientes proposiciones (puedes ayudarte de los
applets):
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Proposición 1: El eje radical de dos circunferencias secantes es la recta
determinada por los puntos de intersección de las circunferencias.
Proposición 2: El eje radical de dos circunferencias tangentes es la recta tangente
por el punto de intersección de las circunferencias (tangente común ).
Proposición 3: El eje radical de dos circunferencias exteriores C1 y C2 será la
perpendicular al segmento que une los centros por el punto Q, donde Q se obtiene
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de la siguiente forma:
a. Tracemos una circunferencia que sea secante a las dos exteriores (C 3).
b. Obtengamos el eje radical determinado por las circunferencias C1 y C3, sea
r1.
c. Obtengamos el eje radical determinado por las circunferencias C 2 y C3, sea r2.
d. Sea Q el punto de intersección de r1 y r2.
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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS 3
Actividad 3: Gráfica de funciones.
Para trabajar las gráficas de funciones pueden ser mejor otro tipo de software
como Descartes, Graphics Calculus o asistentes de cálculo simbólico como MuPAD.
Pero a modo de curiosidad veamos cómo representar gráficamente funciones con
Cabri.
Vamos a representar la función f(x)=x·cos(x) usando Cabri. La figura se llamará:
funcion1.fig
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Puedes intentar realizar la construcción directamente o bien seguir los siguientes
pasos:
a. Mostrar los ejes: Dibujo/Mostrar Ejes.
b. Situar un punto sobre el eje de abscisas. Puntos/Punto sobre objeto y hacer clic
sobre el eje. Etiquetar el punto con x.
c. Obtener las coordenadas del punto x, para ello elegir la herramienta
Medir/Ecuación y coordenadas y seleccionar el punto x. Arrastrar la expresión a la
parte inferior derecha de la pantalla y dejar sólo la expresión x=2,59 (donde el
número representa la abscisa). Observa que si se arrastra el punto M se actualiza
el valor de la abscisa.
d. Abrir la calculadora y escribir la expresión x*cos(x) (donde x se obtiene
haciendo clic sobre el valor de la abscisa -siempre que se tenga la calculadora
activa-).
e. Pulsar "=" y llevar la expresión sobre el área de diseño. Etiquetar el valor como
y=2,21 (recuerda que para cambiar la etiqueta que sale por defecto
"Resultado=2,21" utilizar Ver/Comentarios).
f. Utilizando Construir/Transferencia de medidas llevar el valor de y sobre el eje
de ordenadas (seleccionar el valor 2,21 y luego el eje y). Etiquetar dicho punto
como y. Observa como al arrastrar el punto x sobre el eje de abscisas se mueve la
imagen (y) sobre el eje OY.
g. Para dibujar el punto que define la gráfica (x,y) tracemos rectas paralelas a los
ejes por x e y. El punto de corte será un punto de la gráfica. Ocultar las rectas
paralelas (Dibujo/Ocultar).
h. Para dibujar la gráfica utilizar Construir/Lugar geométrico señalar el punto de
la gráfica y luego el punto x (abscisa).
Ejercicio: Crear un fichero con otra función y una propuesta didáctica para el
alumnado (en word). Llamar al fichero de Cabri como funcion2.fig y
funcion2.doc.
Actividad 4: Funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente).
Observa los siguientes applets que muestran las gráficas del seno, coseno y
tangente de un ángulo.
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Gráfica de la función seno:
Gráfica de la función coseno:
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Gráfica de la función tangente:
Gráfica de las tres funciones:
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Ejercicio: Crear las figuras Cabri que se encuentras tras los tres primeros applets y
llámalas seno.fig, coseno.fig y tangente.fig.
Se detallan los pasos a seguir para realizar la primera (seno.fig):
a. Puede ser conveniente realizar los cálculos en radianes, para ello vamos a
tomar por defecto que se utilicen los ángulos en radianes. Elegir la opción del
menú Opciones/Preferencias... y en la pestaña Precisión mostrada y unidades
seleccionar Radian(rd) para los ángulos y pulsar Aceptar:
a. Mostrar los ejes (Dibujar/Mostrar ejes) y la parrilla (Dibujar/Definir
cuadrícula). Arrastrar el centro de coordenadas hacia la derecha, para que luego
quede centrada la gráfica.
b. Fijar (Ver/Fijar) los puntos origen y el punto (-1,0), que definirán a la
circunferencia goniométrica (esto se hace para que luego no se pueda mover la
circunferencia).
c. Definir la circunferencia goniométrica. Circunferencia centrada en el punto (1,0) y que pasa por el origen de coordenadas (Curvas/Circunferencia).
d. Definir el ángulo sobre la circunferencia:
d1. Definir un punto sobre la circunferencia y etiquetarlo con M (Puntos/Punto
sobre objetos).
d2. Definir el segmento que une el centro de la circunferencia con M
(Rectas/Segmento).
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d3. Ponerle una marca al ángulo (Ver/Marca de ángulo y señalar origen, centro
y punto M ).
d4. Calcular el ángulo utilizando la marca (Medir/Marca de ángulo). Arrastrar
dicho valor a la zona superior derecha del área de edición y etiquetarla como
"ángulo= ".
e Transferir el valor de la marca sobre el eje de abscisas (Construir/Transferencia
de medidas y hacer clic sucesivamente sobre el valor y luego sobre el eje).
Etiquetar el punto como "x".
f. Calcular el seno del ángulo utilizando la calculadora, para ello abre la
calculadora: Medir/Calcular y escribir sin(, luego hacer clic sobre el valor del
ángulo, cerrar el paréntesis y seleccionar =. Arrastrar el valor del seno al área de
edición y etiquetar el valor como seno=...
g. Transferir el valor del seno sobre el eje de ordenadas (Construir/Transferencia
de medidas y hacer clic sucesivamente sobre el valor y luego sobre el eje).
Etiquetar el punto como "y".
h. Representa gráficamente el valor del seno sobre la circunferencia goniométrica.
Para ello traza la perpendicular por M respecto al eje de
abscisas. Halla el punto de intersección entre el eje y la
perpendicular. Oculta la recta perpendicular. Define el
segmento que une el punto M con dicha intersección.
Colorear de naranja dicho segmento que representa al valor
del seno.
i. Hallar un punto sobre la gráfica del seno. Para ello traza perpendiculares por "y"
y por "x" a los ejes de abscisas y ordenadas respectivamente. El punto de
intersección será el punto de la gráfica del seno. Define el segmento que une
dicho punto con x, como muestra el gráfico. Arrastrando el punto M se van
obteniendo los distintos puntos de la gráfica de la función seno entre 0º y 360º.
j. Activa la traza del punto anterior para que al arrastrar el punto M, obtengamos
la gráfica de la función seno. Para ello utilizar la herramienta Ver/Traza activada
y luego seleccionar el punto de la gráfica.
k. Comprueba como se dibuja el seno al arrastrar el punto M (previamente elige
Puntero).
l. Guarda la figura con el nombre de seno.fig.
Ejercicio: Como ampliación se podría estudiar la secante, cosecante, cotangente.
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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS 4
Actividad 5: Construcción del pentágono regular a partir del lado.
Actividad 6: Circunferencia de los nueve puntos.
Actividad 7: Triángulos de Napoleón de un triángulo.
Actividad 8: Triángulo de Morley.
Actividad 5: Construcción del pentágono regular a partir del lado.
Observa el siguiente applet y pulsa Play para ver cómo se realiza la construcción
del pentágono regular a partir del lado.
Utilizando Cabri, crea la figura que explica la construcción y llámala
pentagono.fig.
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Actividad 6: Circunferencia de los nueve puntos.
Comprueba utilizando Cabri que dado un triángulo:
a) los pies de las alturas
b) los puntos medios de los lados
c) los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los tres
vértices,
se encuentran sobre una misma circunferencia.
Llama a la construcción nueve_puntos.fig.
Nota: Utiliza los pies de las alturas para construir la circunferencia y comprueba
con la herramienta Comprobar/Pertenece que el resto de los seis puntos están
sobre la circunferencia.
Actividad 7: Triángulos de Napoleón de un triángulo.
Triángulo de Napoleón exterior de un triángulo: Construir triángulos equiláteros
sobre cada uno de los lados, hacia afuera. Los baricentros de los triángulos
equiláteros forman un triángulo también equilátero llamado triángulo de Napoleón
exterior.
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Ejercicio: Comprueba con Cabri esta propiedad. Al fichero creado llámalo
napoleon_exterior.fig.
Ejercicio: Comprobar que el triángulo de Napoleón interior es equilátero
(napoleon_interior.fig).
Ejercicio: Comprobar que la diferencia de las áreas de los triángulos de Napoleón
coincide con el área del triángulos (napoleon_areas).
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Actividad 8: Triángulo de Morley.
Los puntos de corte de las trisectrices consecutivas de los ángulos de un triángulo
forman un triángulo equilátero, llamado Triángulo de Morley.
Ejercicio: Comprueba esta construcción con Cabri. Llama a la figura morley.fig.
Para trisectar cada ángulo, calcula el valor del ángulo, divídelo entre tres con la
calculadora. Luego gira el lado según dicho valor.
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CABRIWEB
CabriWeb es una aplicación que permite, a partir de una
figura Cabri II obtener una página web que incluye un applet
de CabriJava (ventana interactiva en la que se pueden mover
los distintos objetos) con la figura de Cabri.
El applet de CabriWeb permite utilizar algunas de las
herramientas de Cabri como arrastrar objetos (se actualizan
de manera dinámica todas las figuras asociadas y cálculos
asociados), revisar la construcción, desplazar la figura,
escoger trazar y resorte de animación.
En este tema vamos a estudiar los siguientes aspectos:
1. Cómo utilizar el applet de Cabri_Web.
2. Cómo crear a partir de una figura construida con Cabri
II, utilizando CabriWeb, una página web que contenga un applet de
CabriJava.
3. Edición básica de la página web creada.
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1. Cómo utilizar el applet de Cabri_Web
Si no ve el applet (no se carga), lo más probable es que no tenga instalada la
máquina virtual java, descargarla desde http://java.com/es/.
Mover objetos libres (puntos, rectas, circunferencias, etc.): Para ello situarse
sobre el objeto y arrastrar:
Ejemplo:
a. Situarse sobre el punto X y arrastrarlo (observar que se arrastran todos los
objetos que dependen de X).
b. Arrastrar el centro de la circunferencia.
c. Arrastrar el lado del ángulo sobre el que se encuentra el punto X.
Barra de herramietas :
Para activar o desactivar la barra de herramientas hacer doble clic sobre el
applet (probarlo)
Revisar construcción (Play): Pulsando este botón se va generando sobre el
applet la construcción de la figura que se representa. Si queremos parar la
construcción de la figura para realizar alguna explicación, pulsar nuevamente o
poner el puntero del ratón fuera de la ventana del applet. Para volver a animar la
contrucción pulsar o colocar el puntero del ratón dentro del applet.
Prueba esta función en el applet.
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Etapas de la construcción:
Haciendo clic, sobre la barra se nos muestra la construcción hasta ese punto.
Arrastrando la bolita sobre la barra podemos seleccionar el punto de la
construcción que nos interese. Esto conviene cuando hay construcciones tediosas en
determinadas etapas.
Prueba esta acción en el applet.
Retrocede y avanza una etapa en la construcción. Prueba esta función en
el applet.
Desplazamiento de la figura: es un botón del tipo On-Off, al hacer clic sobre él
se activa y nos permite desplazar la figura arrastrando el puntero del ratón sobre la
figura. Al volver a pulsar se desactiva esta opción. Esta función suele ser útil
cuando interactuamos con el applet y figura sale fuera de nuestro campo de visión.
Prueba esta opción sobre el applet.
Escoger trazas: es un botón del tipo encendidio-apagado. Al hacer clic sobre él
se activa, a partir de este momento, todo objeto que se seleccione en el applet se
le activa la traza (esto significa que el objeto seleccionado deja un rastro tras de
sí, al interactuar posteriormente sobre el applet). Si nos equivocamos al seleccionar
la traza de un objeto, pulsando nuevamente sobre él la deseleccionamos. Una vez
elegidos el o los objetos que queremos ver la traza, volvemos a pulsar el botón
Escoger trazas para apagarlo. La traza de un objeto se desactiva de la misma
forma que se activa, seleccionando Escoger trazas y pulsando sobre el objeto que
tiene activada la traza.
Ejemplo: Vamos a observar en el applet de la bisectriz, como el punto p genera
el lugar geométrico (la bisectriz).
a. Retroceder dos veces la contrucción del dibujo.
b. Pulsar Escoger traza .
c. Activar la traza del punto p pulsado sobre él.
d. Desactivar Escoger traza, pulsando sobre .
e. Arrastrar el punto X, ¿qué ocurre?.
f. Desactiva la traza del punto p (pulsar Escoger traza, seleccionar el punto p y
pulsar Escoger traza).
Resorte de animación: Es un botón del tipo On-Off. Al hacer clic sobre él se
activa, luego tendremos que seleccionar el objeto que queremos animar y arrastrar
el ratón (dándole el sentido e intensidad de movimiento). Para comenzar la
animación pulsar . Para parar (activar) la animación hacer clic sobre la ventana
del applet (o bien quitar -poner- el puntero del ratón fuera -dentro- de la ventana
del applet). Para desactivar completamente la animación, pulsar (se verá el
resorte en la ventana del applet) y hacer clic en cualquier punto del applet.
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Pág. 156
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Ejemplo: Sobre el applet de la bisectriz, vamos a animar el punto "x".
a. Pulsar sobre
, seleccionar y arrastrar el punto x, aparecerá un resorte (el
tamaño indica la intensidad).
b. Pulsar nuevamente en (desaparece el resorte) y comienza la animación.
c. Hacer clic sobre el applet para parar la animación. Volver a hacer clic ¿qué
ocurre?. Poner el puntero del ratón fuera del applet ¿qué ocurre?, ponerlo dentro
¿qué ocurre?.
d. Desactiva la animación haciendo clic sobre
, seleccionar el punto x y volver
a pulsar . Se ha desactivado la animación.
Cómo crear a partir de una figura construida con
Cabri II, utilizando CabriWeb, una página web que
contenga un applet de CabriJava.
1. Es necesario tener a nuestra disposición los siguientes ficheros:
a. CabriWeb.bat (archivo batch) es simplemente un archivo que llama a
la aplicación CabriWeb.jar. Su contenido es el siguiente:
@echo off
jview /cp CabriWeb.jar CabriWeb
@exit
b. CabriWeb.jar esta es la aplicación que nos permite generar la página web.
Estos dos ficheros los podemos bajar de la página
http://www.cabri.net/cabrijava/CabriWeb.html.
Los ficheros vienen comprimidos en formato Zip (con windows XP se
descomprime directamente). En caso de necesitar un descompresor se puede
bajar el Winzip en la dirección http://www.winzip.com/.
c. CabriJava.jar este fichero es el que posibilita que se pueda ver el applet,
es conveniente que se encuentre en el mismo directorio que la página web
generada y que el fichero Cabri de partida. Este fichero se puede bajar de la
dirección: http://www.cabri.net/cabrijava/index.html.
2. Para que se pueda ver el applet de CabriJava se necesita tener instalado en
nuestro ordenador la máquina virtual Java y además para ejecutar CabriWeb es
necesario instalar las Runtime de Java. Es normal que se instale cuando se instala
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el navegador de Internet. Si no se posee se puede bajar en la dirección
http://java.com/es/.
3. Creación de una página web a partir de una figura Cabri:
a. Creemos una carpeta en el directorio de prácticas llamado CabriWeb.
b. Guardar en dicho directorio los ficheros CabriWeb.bat, CabriWeb.jar y
CabriJava.jar. Guarda también en dicho directorio el fichero de partida
hueso.fig (Creado en el tema "Transformaciones en el plano").
c. Ejecuta el fichero CabriWeb.bat (haciendo doble clic) sobre él. Nos
aparece la ventana que se muestra:
c1. Vamos a cambiar el idioma, para ponerlo en español:
Edit/Language/es
c2. Vamos a cargar el fichero hueso.fig, para ello elegir Archivo/Abrir
una figura Cabri o un fichero HTML. En la siguiente pantalla elegir la
figura cabri hueso.fig y pulsar Abrir:
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c3. Ajustar el tamaño de la ventana a la figura de cabri de forma que se muestre
todo el contenido. El tamaño de esta ventana será el del applet asociado.
c4. Elegir un color de fondo (Edición/Color de fondo), un color de borde
(Edición/Color de borde) y tamaño de borde (Edición/Ancho de borde 3) para
que quede como en la figura:
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c5. Hacer doble clic sobre la figura para que aparezca la barra de
herramientas (o bien Edición/Presentación de la barra de herramientas).
c6. Seleccionar el archivo CabriJava.jar que se utilizará para la traducción
del applet. Elegir Archivo/Seleccionar el archivo CabriJava y hacer clic
sobre CabriJava.jar.
c7. Crear la página web que contiene el applet: Archivo/Registrar el
fichero HTML. Llamarlo hueso.htm y Guardar.
Notas:
1. Si el applet explica cómo realizar una construcción paso a paso (al
pulsar Play en la barra de herramientas) es conveniente, cuando se cree la
figura con Cabri, ir creando los objetos y comentarios en el orden que
luego se quiere que se visualicen.
2. No conviene insertar más de 4 applets sobre una página web ya que
esta se hace lenta.
3. Hay figuras Cabri que no se ejecutan bien sobre el applet, sobre todo
aquellas donde se definen lugares geométricos. Otras son un poco lentas,
sobre todo aquellas donde se utilizan transferencias de madidas.
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3. Edición básica de la página web creada.
1. Abrir la página hueso.htm (ir a la carpeta CabriWeb y hacer doble clic
sobre hueso.htm).
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2. Veamos el código html que se ha generado, para ello elegir en el navegador
Ver/Código fuente.
Las sentencias con fondo azul hacen referencia al applet.
<APPLET CODE="CabriJava.class" WIDTH="651" HEIGHT="350"
ALIGN=bottom ARCHIVE="CabriJava.jar">
APPLET: Nos indica el inicio del applet
CODE="CabriJava.class" ARCHIVE="CabriJava.jar": Indica que se ejecute el
programa CabriJava (que traducirá la figura de Cabri) que se encuentra en
el archivo CabriJava.jar
WIDTH="651" HEIGHT="350" ALIGN=bottom: Ancho, alto y alineación de la
ventana del Applet.
<PARAM NAME=file VALUE="hueso.fig">
Nos indica la figura Cabri que se mostrará sobre el applet.
<PARAM NAME=lang VALUE="es">
Nos indica que se va a usar el lenguaje español.
<PARAM NAME=border VALUE="2">
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2
-2
-4
5
2.5
0
-2.5
yx-5
4
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Es el grosor del borde del applet.
<PARAM NAME=bordercolor VALUE="#0066FF">
Color del borde.
<PARAM NAME=bgcolor VALUE="#FFFFCC">
Color de fondo.
<PARAM NAME=autocontrol VALUE="true">
Hace que se muestre la barra de herramientas.
</APPLET>
Fin del applet.
Para que funcione el applet anterior se debe tener en el mismo directorio que
el fichero html, el fichero CabriJava.jar y la figura de Cabri (en este caso
hueso.fig).
Si se quiere insertar el applet en otra página web, tendremos que copiar el
código anterior en la misma.
Para editar la página web se puede utilizar el bloc de notas o cualquier editor
de páginas web (FrontPage, Dreamweaver, Namo, Composer, etc.)
EJERCICIO: Crear una propuesta didáctica, donde se utilicen tres applets de
CabriWeb (en una única página o en varias). Llamar a fichero
ejercicio_cabriWeb.htm.
NOTA: Hasta abril de 2004, no se tiene la versión de CabriWeb para figuras
creadas con Cabri II Plus. Desde Cabri nos indican que se guarde las figuras creadas
con Cabri II Plus como figuras de Cabri II. Pero la conversión no es del todo
eficiente.
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