Ejercicios olimpíadas de 3º nivel

3º NIVEL
1. Un cuadrado con lados de longitud entera está dividido en 89 cuadrados más pequeños, 88
de ellos de lado 1 y el restante de lado de longitud entera, mayor que 1. Hallar los posibles
valores del lado del cuadrado inicial.
2. En cada casilla de un tablero de 100
ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los enteros desde 1 hasta 100, en la
segunda fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los múltiplos de 2,
desde 2 hasta 200; en la tercera fila están ordenados en forma creciente de izquierda a
derecha los múltiplos de 3, desde 3 hasta 300; y así siguiendo, en la fila k están los múltiplos
de k desde k hasta 100k. Consideramos la diagonal del tablero que une la esquina inferior
izquierda con la esquina superior derecha. Determinar cual es el mayor de todos los números
escritos en las casillas de esta diagonal.
3. Sea ABCD un rectángulo de lados AB
DM en Q. Calcular la medida del segmento PQ.
4. Gabriel escribe una lista de 200 números de acuerdo con la siguiente regla: el primer
número es 2005, el segundo es 1, y a partir de allí, en cada paso escribe la resta del último
número ya escrito menos el penúltimo número escrito más 5. Por ejemplo, el tercer número es
-1999, pues 1-2005+5=-1999.
Calcular la suma de los 200 números de la lista de Gabriel.
5. Hallar todos los enteros positivos a y b tales que
y
6. Al plegar una hoja rectangular se obtuvo un rectángulo de 9´12, como muestra la figura.
Calcular las dimensiones de la hoja antes de plegarse.
7. Un arqueólogo ha descubierto que una antigua civilización usaba 5 símbolos para
representar los números:
. Estos símbolos corresponden en algún orden a los
dígitos 0, 1, 2, 3 y 4. De este modo, cuando escriben
representan un número en base 5:
.
El arqueólogo sabe que los siguientes tres números son consecutivos, ordenados de menor a
mayor:
,
y
.
Hallar el valor de cada símbolo y cuáles son los tres números consecutivos.
8. En la pantalla de la computadora hay inicialmente un rectángulo de 21 milímetros de ancho
y 33 milímetros de alto. Cada vez que se aprieta la tecla “+”, el ancho aumenta 2 milímetros y
el alto aumenta 1 milímetro. Determinar cuántas veces hay que apretar la tecla “+” para que
el área del rectángulo de la pantalla sea 25 veces el área del rectángulo inicial.
9. Sea ABC un triángulo rectángulo en A con AB=16 y AC=18. Una paralela a AB corta lado AC
en P y al lado BC en Q de modo que el área del trapecio ABQP es 63. Calcular la longitud del
segmento PQ.
10. Nacho escribió una progresión aritmética de primer término 101 y diferencia 2: 101, 103,
105, ...
Nico escribió una progresión aritmética de primer término 5 y diferencia 10: 5, 15, 25, ...
Las dos progresiones tienen la misma cantidad de términos y las dos progresiones tienen la
misma suma. Determinar cuántos términos tiene cada progresión y cuánto vale la suma.
11. Si a, b son números tales que
calcular el producto ab.
12. Sea ABC un triángulo rectángulo con
lado BC tales que
y
,
y
. Sean D y E puntos del
. Calcular la medida del ángulo
13. Cinco objetos, todos de pesos enteros, se han pesado en grupos de 3 de todas las maneras
posibles y se obtuvieron los siguientes 10 pesos en kilogramos:
10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24.
Calcular cuánto pesa cada uno de los cinco objetos.
14. Calcular cuántos enteros entre 1 y 2004 tienen la suma de sus dígitos igual a un múltiplo
de 5.
15. Sea ABC un triángulo rectángulo en C con AB=120 y AC=72.
Se considera el punto P de AB tal que 3BP=AB y el punto Q de BC tal que PQ es perpendicular
a AB.
Calcular el área del cuadrilátero APQC.
16. Hallar todos los pares de números enteros M y N que verifican simultáneamente las
siguientes condiciones:
 M y N son números de cuatro dígitos.
 M y N son cuadrados perfectos.
 Si se resta ordenadamente a cada dígito de M el correspondiente dígito de N (el primero
menos el primero, el segundo menos el segundo, etc.) entre los cuatro resultados obtenidos,
exactamente dos son ceros y los otros dos son 1 ó –1 (pueden ser los dos 1, los dos –1 o un 1
y un –1).
17. Hallar el máximo número natural de 100 dígitos tal que al multiplicarlo por 7 se obtiene
un número de 100 dígitos.
18. Sea AB una cuerda de longitud 6 de una circunferencia de centro O y radio 5. El cuadrado
PQRS está inscripto en el sector OAB de modo tal que P está en el radio OA, Q está en el radio
OB y R y S pertenecen al arco de circunferencia
. Hallar el área del cuadrado PQRS.
19. En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 2006. Nacho borra
números con el siguiente procedimiento: Recorre los
números del pizarrón ordenadamente de menor a mayor comenzando con el 3. Borra el 3 y
cada vez que llega a un número que se puede escribir
como suma de dos números distintos que no se hayan borrado hasta ese momento, lo borra.
Determinar cuántos números quedarán en el pizarrón
cuando Nacho concluya su tarea.
20. En un parque sólo hay gatos de dos colores: completamente blancos y completamente
negros. Algunos son machos y los otros, hembras.
Los machos son el 55% del total de los gatos del parque.
La proporción entre machos blancos y machos negros es igual a la proporción entre gatos
blancos y gatos negros.
Hallar la proporción entre machos blancos y hembras blancas.
21. Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles de hipotenusa BC. Consideramos los puntos D
en el cateto AB y E en el cateto AC tales que
y
. La paralela a AC por D corta a BC en G, y la paralela a AB por E
corta a BC en F.
Si el área del trapecio DEFG es igual a 10, calcular la longitud de los catetos del triángulo ABC
Sean a y b números reales distintos tales que 2a2 + 2b2 = 5ab. Hallar todos los posibles
valores de
(a + b) / (a - b)
¿Cuántos números enteros entre 1 y 1000 inclusive pueden descomponerse en suma de un
múltiplo positivo de 7 más un múltiplo positivo de 4?
22. Sean A, B, C, D puntos de una circunferencia tales que AB es perpendicular a CD y sea P el
punto de intersección de AB y CD. Si AP = 8, DP = 6, CP = 15, calcular el diámetro de la
circunferencia.
23. Hallar todos los enteros n tales que n + 19 y n + 97 son ambos potencias de 3.
24. Sea ABCD un rectángulo inscrito en una circunferencia. Sea P un punto en el arco
de la
circunferencia. La paralela a AB que pasa por P intersecta a las prolongaciones de DA y CB en
P1 y P2 respectivamente. La paralela a BC que pasa por P intersecta a AB y CD en P3 y P4
respectivamente. Demostrar que P3 es el punto de intersección de las alturas del triángulo
P1P2P4.
25. Una hormiga camina por las líneas de un tablero de n + m - 1 casillas, como el de la
figura, con n casillas de ancho y m casillas de alto (m 2, n 2). ¿De cuántas diferentes
maneras puede ir desde A hasta B, si su camino no puede pasar dos veces por un mismo
punto?
26. Funcionando simultáneamente, tres máquinas, P, Q y R, hacen un trabajo en x horas. Para
realizar sola el mismo trabajo, P necesita 6 horas más; en cambio, Q necesita sólo 1 hora más,
mientras que R necesita el doble de tiempo que las tres máquinas en simultáneo.
Hallar x.
27.Sea ABC un triángulo rectángulo en B, con AB<BC. En la bisectriz del ángulo B
consideramos el punto P tal que AP es perpendicular a dicha bisectriz. Sea M el punto medio de
la hipotenusa AC. La recta PM corta al cateto AB en E. Si EM=15, calcular la longitud del cateto
BC.
28. Un arqueólogo ha descubierto que una antigua civilización usaba 5 símbolos para
representar los números:
. Estos símbolos corresponden en algún orden a los
dígitos 0, 1, 2, 3 y 4. De este modo, cuando escriben
representan un número en base 5:
.
El arqueólogo sabe que los siguientes tres números son consecutivos, ordenados de menor a
mayor:
,
y
.
Hallar el valor de cada símbolo y cuáles son los tres números consecutivos.
29. En la pantalla de la computadora hay inicialmente un rectángulo de 21 milímetros de
ancho y 33 milímetros de alto. Cada vez que se aprieta la tecla “+”, el ancho aumenta 2
milímetros y el alto aumenta 1 milímetro. Determinar cuántas veces hay que apretar la tecla
“+” para que el área del rectángulo de la pantalla sea 25 veces el área del rectángulo inicial.
30. Sea ABC un triángulo rectángulo en A con AB=16 y AC=18. Una paralela a AB corta lado
AC en P y al lado BC en Q de modo que el área del trapecio ABQP es 63. Calcular la longitud
del segmento PQ.
31. Si n es un número natural, d(n) es la cantidad de divisores positivos de n. Por ejemplo,
d(12)=6, pues los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Hallar todos los números naturales n 200 tales que n/d(n)=8.
32. Los números a, b, c, d, e son enteros fijos y distintos tales que la ecuación
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=1996
admite una solución entera r. Demostrar que 5r = a + b + c + d + e + 499.
33. En el cuadrilátero convexo ABCD (en ese orden), CAB=40 , CAD=30 , DBA=75 , DBC=25 .
Hallar BDC.
34. Si x, e, y son números reales que satisfacen 3x + 4y = 1/3, demostrar que x2+y2 > 1/400
35. Un vendedor ambulante vende cada lata de gaseosa a 0,94 pesos, pero no tiene monedas
para dar vuelto. Determinar el menor número de latas que debe comprar un cliente para que
cada una le cueste menos de 1 peso, si el cliente sólo dispones de monedas de 1 peso.
36. Dos ciclistas viajan a velocidades constantes por dos caminos que se cruzan. Cuando A
llega al cruce, a B le faltan todavía 3200 metros para llegar al cruce .Cuatro minutos más
tarde, la distancia de A al cruce es la misma que la distancia de B al cruce, y 12 minutos más
tarde, nuevamnete la distancia de A al cruce es la misma que la distancia de B al cruce.
Calcular las velocidades de cada uno de los ciclistas.
37. Sea ABCD un rectángulo de lados AB = 16 y BC = 20. Sea E el punto medio del lado AB y
F el punto en el que la perpendicular a EC trazada por E corta al lado DA. Calcular la medida
del segmento FD.
38. En la siguiente configuración de nueve círculos hay seis maneras de elegir cuatro círculos
de modo que los centros de los cuatro círculos sean los vértices de un cuadrado.
Distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, uno en cada círculo, de modo que para cada
uno de los seis cuadrados mencionados, la suma de los cuatro números escritos en los cuatro
círculos correspondientes a sus vértices sea siempre la misma.
39. De un trapecio isósceles se sabe que sus diagonales son perpendiculares y su área es igual
a 98. Hallar la altura del trapecio.
40. Hallar todos los cuadrados perfectos menores que 100000 que son iguales a un cubo
perfecto multiplicado por 3/2.
ACLARACION: Los cuadrados perfectos son los números que se obtienen al elevar al cuadrado
los números naturales y los cubos perfectos son los números que se obtienen al elevar al cubo
los números naturales.
41. Determinar todos los números naturales n tales que n y n + 475 son ambos cuadrados
perfectos.
42. Sea ABCD un rombo de lado 61 tal que sus diagonales AC y BD verifican que AC = 98 +
BD. Hallar el área del rombo.
43. Sea n un número natural. Se tiene un rectángulo de 3 x n, cuadriculado en cuadraditos de
l x l.
Denominamos puntos de la cuadrícula a los puntos donde se cortan dos líneas del
cuadriculado, o una línea del cuadriculado con un lado del rectángulo, o dos lados del
rectángulo.
Si se cuentan todos los cuadrados de todos los tamaños posibles que tienen sus cuatro vértices
en puntos de la cuadrícula, se obtienen 950 cuadrados. Hallar el valor de n.
44. Sea ABC un triángulo isósceles de base AB. Con centro en el punto medio de AB se traza la
semicircunferencia tangente a los lados AC y BC del triángulo. Sean P en el lado AC y Q en el
lado BC tales que PQ es tangente a la semicircunferencia. Si PA = a y QB = b, hallar la medida
de AB en términos de a y b.
45. Sean ABC un triángulo y M el punto medio del lado AB. Si se sabe que ^CAM + ^MCB =
90°, demostrar que el triángulo ABC es isósceles o es rectángulo.
(^CAM es el ángulo CAM)
46. Un grupo de amigos se reparten en partes iguales 994 monedas de 1 peso, hasta que lo
que sobra no alcanza para darle una moneda más a cada uno. Si el grupo tuviera una persona
más, la cantidad sobrante no habría variado. Lo mismo ocurriría si el grupo tuviera dos
personas más.
Decidir si con esta información se puede determinar, sin ambigüedades, el número de
personas del grupo.
¿Cuántas fracciones mayores que 97/99 y menores que 98/99 tienen denominador mayor o
igual que 2 y menor o igual que 98?
En el triángulo isósceles ABC (con AB = AC), sean P y Q en AB y AC, respectivamente, tales
que PQ es paralelo a BC. La altura desde A intersecta a PQ en O y a BC en M.
Si AP = 64 y
, hallar AB.
Sean x, y, números reales tales que x + y = 26, x3 + y3 = 5408. Hallar x2 + y2.
Hallar todos los números enteros n tales que (n + 98) / (n + 19) es un número entero.