HOJA DE TRABAJO PARA EL ALUMNO “PUZZLE ALGEBRAICO” 1. Dada la ecuación x2 −16 = 0 . Comprueba que sus soluciones son: X = 4 y X=-4 Recuerda que las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado son los valores de X que al sustituirlos en la ecuación, hacen que la igualdad se cumpla. Sustituimos los valores 4 y –4 en la ecuación, para comprobar si son o no soluciones: x 2 −16 = 0 (4)2 −16 = 0 16 −16 = 0 0= 0 La igualdad se cumple para X= 4 x 2 −16 = (−4)2 −16 = 16 −16 = 0= 0 0 0 0 La igualdad se cumple para X= -4 Por tanto, los valores X = 4 y X = -4 son soluciones de la ecuación: x 2 −16 = 0 2. Comprueba sí alguno de estos valores X = -3, X = - 1, X = 0, X = 1, X = 3 y X = 5, es solución de alguna de las siguientes ecuaciones de 2º grado: a) x2 − 9 = 0 b) x2 − 1 = 0 c) x2 − x = 0 3. Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones de 2º grado: a) x2 − 9x = 0 b) x2 − 6 = 10 c) c) x2 + 8 = 33 4. Dibuja las piezas del puzzle algebraico que representan geométricamente cada una de las siguientes expresiones de 2º grado: Ejemplo: 2 x2 + 5x + 3 a) x2 −10x +1 b) 2 x2 + 7x +1 c) x2 − 5x – 2 d) x2 + 8x – 3 5. Escribe la expresión algebraica asociada a cada uno de las siguientes representaciones geométricas realizadas con las piezas del puzzle algebraico. Ejemplo: El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado: x2 -2x-3_______ a) El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:____________ b) El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado: ____________ c) El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado: ____________ d) El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado: ____________ 6. Escribe las dimensiones de los siguientes rectángulos y cuadrados: a) b) c) d) e) f) g) 7. Factoriza el trinomio. A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico. Ejemplo: x2 + 5x + 6 Construimos el rectángulo y calculamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus dimensiones: Área a partir de sus componentes: Área a partir de sus dimensiones: El área del rectángulo como suma de sus componentes, es: x2 + 5x + 6 El área del rectángulo como producto de las medidas de su base por su altura, es: (x + 3)(x + 2) Con lo que obtenemos la factorización de la expresión inicial: x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) a) Factoriza la expresión: x2 + 6x + 8 . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico b) Factoriza la expresión: 2x2 + 7x + 3. A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico c) Factoriza la expresión: x2 − 2x +1. A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico d) Factoriza la expresión: x2 − 5x + 6 . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico 8. Resuelve la ecuación de 2º grado con puzzle algebraico mediante la construcción de un rectángulo. Ejemplo: x2 − 5x + 4 = 0 Construido el rectángulo, calculamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus dimensiones: Mediante lo cual, obtenemos la ecuación de 2º grado equivalente a x2 − 5x + 4 = 0 en forma factorizada: (x – 4)(x – 1) = 0 a) Resolviendo algebraicamente esta ecuación equivalente, tenemos las soluciones: (x – 4)(x – 1) = 0 Para que un producto sea cero, uno de los factores (o los dos) debe ser cero: x– 4=0 x=4 (x – 4)(x – 1) = 0 x– 1=0 Por tanto, las soluciones son: x = 4 y x=0 x=0 a) Resuelve la ecuación de 2º grado x2 − 6x + 8 = 0 con puzzle algebraico mediante la construcción de un rectángulo: b) Resuelve la ecuación de 2º grado x2 + 4x + 3 = 0 mediante la construcción de un rectángulo. c) Resuelve la ecuación de 2º grado x2 + 2x − 8 = 0 con puzzle algebraico mediante la construcción de un rectángulo. d) Resuelve la ecuación de 2º grado x2 + x − 2 = 0 con puzzle algebraico, mediante la construcción de un rectángulo. 9. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado factorizadas (ya no necesitas auxiliarte de las piezas del puzzle). a) (x – 3)(x + 4) = 0 b) (x – 1)(x - 2) = 0 c) (x – 5)(x + 11) = 0 d) (2x – 5)(7x - 3) = 0 3 e) (x – 4)(8x + 42) = 0 10. Resuelve con puzzle algebraico la ecuación incompleta mediante la construcción de un rectángulo. Ejemplo: x2 + 2x = 0 Construimos el rectángulo, calculamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus dimensiones: Mediante lo cual, obteníamos la ecuación de 2º grado equivalente a x2 + 2x = 0 en forma factorizada: x(x + 2) = 0 Resolviendo algebraicamente esta ecuación equivalente, teníamos las soluciones: Si x = 0 ⇒ x=0 Si (x + 2)= 0 x=2 x(x + 2)= 0 a) Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado incompleta: x2 − x = 0 b) Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado incompleta x2 + 5x = 0 Observación: Las ecuaciones de 2º grado incompletas, sin término independiente, del tipo x2 + bx = 0 vistas en los ejemplos anteriores, o del tipo general ax2 + bx = 0 siempre pueden factorizarse y escribirse de la forma: Este tipo de factorización se denomina: “sacar factor común X”. Resuelve “sacando factor común X” las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas, sin término independiente (ya no es necesario que utilices las piezas del puzzle algebraico): a) x2 − 9x = 0 1 b) x2 − 3x = 0 c) 2 x2 − 5x = 0 d) 3x2 − 4x = 0