Clasificación de triángulos M

Clasificación de triángulos
Me ha resultado muy útil confeccionar con mis alumnos, tanto en mis clases en
el colegio como en explicaciones particulares, el cuadro que les hago llegar.
He notado que muchas veces, a los chicos les cuesta clasificar un mismo
triángulo por los dos criterios aprendidos, según sus lados o según sus ángulos;
en este cuadro visualizan lo aprendido.
1°) Repaso con ellos los elementos del triángulo:
Vértices: son los puntos de intersección entre las rectas borde, en nuestro
ejemplo: A, B y C.
Lados: son los segmentos determinados por los vértices, en nuestro ejemplo:
Ángulos interiores: son los ángulos convexos
Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores del
triángulo, en nuestro ejemplo:
2°) Repaso con ellos la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo:
"La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°".
3°) Repaso con ellos los criterios de clasificación:
Según sus lados se clasifican:
Escalenos: son aquellos triángulos que tienen sus tres lados no congruentes.
Isósceles: son aquellos triángulos que tienen por lo menos dos lados
congruentes.
Les hago notar que si el tercer lado también es congruente, entonces nos
encontramos con el caso particular del triángulo isósceles que recibe el nombre de
equilátero (equi = igual, látero = lados).
Luego, les pregunto si creen que exista alguna relación entre los ángulos interiores
de estos triángulos, así clasificados:
¿Cómo serán los ángulos de un triángulo escaleno?
Los chicos inmediatamente dicen no congruentes.
¿Cómo serán los ángulos de un triángulo isósceles?
Aquí, contestan enseguida, dos congruentes.
¿Cómo serán los ángulos de un triángulo equilátero?
En esta respuesta tampoco dudan que son los tres congruentes.
Relaciones que entre todos deducen sin problema. Algunos alumnos miden con su
transportador; otros, se basan en la propiedad de los ángulos interiores para
justificar sus respuestas; pero todos quedan convencidos de las mismas.
Según sus ángulos se clasifican:
Acutángulos: Son aquellos triángulos que tienen sus tres ángulos interiores
agudos.
Rectángulos: Son aquellos triángulos que tienen un ángulo recto.
Les pregunto que tipo de ángulos podrán ser los otros dos, comprobando entre
todos que sólo pueden ser agudos, pues si no dejaría de cumplirse la propiedad
de los ángulos interiores ya mencionada.
Obtusángulos: Son aquellos triángulos que tienen un ángulo obtuso.
Volvemos a trabajar el tipo de ángulo de los dos restantes.
Ya estamos en condiciones de confeccionar el cuadro: ayudándonos con colores
marcamos las características propias de cada uno. Usamos el mismo color para
señalar los ángulos congruentes entre sí; el mismo color e igual cantidad de
marcas para los lados de longitudes iguales.
Entre todos realizamos el cuadro que sigue:
Una vez finalizado el mismo, comienza una nueva observación:
¿Qué relación encontramos entre los ángulos y los lados opuestos?
Enunciamos, entre todos, las siguientes propiedades:


En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado, y a menor ángulo
se opone menor lado.
En todo triángulo, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes.
¿En algunos triángulos podemos asegurar la medida de sus ángulos?
Sí, podemos hacerlo en el triángulo equilátero y en el triángulo isóscelesrectángulo.


Los ángulos interiores de un triángulo equilátero mide, cada uno, 60°.
Los ángulos agudos de un triángulo isósceles-rectángulo mide, cada uno,
45°.
¿Podremos establecer alguna otra relación?


Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
Los triángulos equiláteros e isósceles-rectángulo mantienen la misma
forma, sin importar su tamaño; esto se debe a que la medida de sus
ángulos no varía.
Notación de triángulos rectángulos
Triángulo rectángulo
Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo de 90°.
Los lados contiguos al ángulo de 90° se llaman catetos y el lado opuesto es la hipotenusa.
Defincion de cuadrilátero
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
Clasificación de cuadriláteros
Paralelogramos
Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican
en:
Cuadrado
Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.
Rectángulo
Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.
Rombo
Tiene los cuatro lados iguales.
Romboide
Tiene lados iguales dos a dos.
Trapecios
Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base
menor. Se clasifican en:
Trapecio rectángulo
Tiene un ángulo recto.
Tipos de cuadriláteros
Hay algunos tipos especiales de cuadriláteros:

el rectángulo

el rombo

el cuadrado
(todos estos son paralelogramos), y también hay:

el trapezoide

el deltoide
Si no es ninguna de estos es un cuadrilátero irregular.
Aquí tienes los detalles:
El rectángulo
significa "ángulo
recto"
y
indican lados
iguales
Un rectángulo es una figura de cuatro lados cuyos ángulos son todos
rectos (90°).
Además los lados opuestos son paralelos y de la misma longitud.
El rombo
Un rombo es una figura de cuatro lados cuyos lados son todos iguales.
Además los lados opuestos son paralelos y los ángulos opuestos son
iguales.
Otra cosa interesante es que las diagonales (las líneas de puntos en la
segunda figura) se cortan en ángulos rectos, es decir, son
perpendiculares.
El cuadrado
significa "ángulo
recto"
indica lados iguales
Un cuadrado es una figura de cuatro lados iguales y cuatro ángulos
rectos (90°)
Además los lados opuestos son paralelos.
Un cuadrado también es un rectángulo (ángulos de 90°) y un rombo
(lados iguales).
El paralelogramo
Los lados opuestos son paralelos y de igual longitud, y los ángulos
opuestos son iguales (los ángulos "a" son iguales, y los ángulos "b" son
iguales)
NOTA: ¡todos los cuadrados, rectángulos y rombos son
paralelogramos!
Ejemplo: si un paralelogramo tiene todos los lados iguales y los ángulos
"a" y "b" son rectos, entonces es un cuadrado.
El trapezoide
Trapezoide
Trapezoide regular
Un trapezoide tiene un par de lados paralelos.
Se llama trapezoide regular si los lados que no son paralelos tienen la
misma longitud y si los dos ángulos sobre un lado paralelo son iguales,
como en el dibujo.
Un trapezoide no es un paralelogramo porque sólo un par de lados es
paralelo.
El deltoide
Mira, parece una cometa. Tiene dos pares de lados, Cada par son dos
lados adyacentes (que se tocan) de la misma longitud. Los ángulos
donde se encuentran los pares son iguales. Las diagonales (líneas de
puntos) son perpendiculares, y una de las diagonales bisecta (divide por
la mitad) a la otra.
... y esos son los cuadriláteros especiales; si uno no es de estos tipos,
es un cuadrilátero irregular
Cuadriláteros irregulares
Un cuadrilátero que no encaja en ninguno de los tipos anteriores.
Polígonos
Un cuadrilátero es un polígono. De hecho es un polígono de 4 lados, de
la misma manera un triángulo es un polígono de 3 lados, un pentágono
es un polígono de 5 lados, etc.
Juega con ellos
Ahora que conoces los tipos que existen, puedes jugar con los
cuadriláteros interactivos.
Otros nombres
Quadrángulo ("cuatro ángulos") y tetrágono ("cuatro y polígono") son
otros nombres para los cuadriláteros.
CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es un polígono de 4 lados.
La suma de los ángulos interiores es
360º.
En todo lo que se escribe a continuación, nos
referimos a cuadriláteros no cruzados, esto es,
excluimos figuras del tipo que se representa a la
derecha. Sin entrar en la discusión de si son o no
cuadriláteros, que en todo caso dependerá de la
definición que se tome.
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
La primera gran división que podemos realizar es cuadriláteros convexos y
cuadriláteros no convexos, llamados puntas de flecha o deltoides.
CUADRILÁTERO CONVEXO
CUADRILÁTERO NO CONVEXO
(CÓNCAVO)
Cada uno de los ángulos interiores
es menor de 180º.
Uno de los ángulos (D) es mayor de
180º.
O bien, dados dos puntos cualesquiera interiores al
cuadrilátero, el segmento que los une tiene todos sus
puntos interiores al cuadrilátero.
Podemos encontrar dos puntos, P, Q, tales que el
segmento PQ tenga puntos, X, exteriores al cuadrilátero
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS.
La clasificación más extendida es atendiendo al paralelismo de sus
lados, se tiene:
Dos pares de lados paralelos
CUADRILÁTEROS Dos lados paralelos y los
otros dos no paralelos
CONVEXOS
Ningún lado paralelo
Paralelogramos
Trapecios
Trapezoides o simplemente
cuadriláteros.
Pinchando en los dibujos se accede al applet correspondiente.
C 1.PARALELOG
RAMO
U
A
D
R
I
L
P
A RECTÁNGULO
R
A
L
E
L
CUADRADO
O
G
R
A
M
O ROMBO
S
2.TRAPECIO
T
R
A
P
E
Lados paralelos dos a dos
Paralelogramo que tiene los 4
ángulos iguales.
Esto es cuatro ángulos rectos.
Tiene lados
iguales y
ángulos iguales.
Cuadrilátero
regular.
Tiene cuatro
ángulos rectos, y
por tanto es un
rectángulo.
Tiene cuatro lados
iguales y en
consecuencia es un
rombo.
Paralelogramo que tiene los cuatro
lados iguales.
Dos de sus lados, (normalmente llamados
bases) son paralelos.
Un lado perpendicular a las
TRAPECIO
RECTÁNGULO
bases.
O bien
Tiene dos ángulos rectos.
Á
C
I
O
S
T
TRAPECIO
ISÓSCELES
A veces encontramos la nomenclatura de trapecio
escaleno, para referirse a los no rectángulos ni
isósceles. Me parece innecesario. Llamémosle
trapecio, sin apellidos.
TRAPECIO
ESCALENO
E 3.TRAPEZOID
E
Los lados no paralelos son de
igual longitud.
Algunos libros denominan así a los cuadriláteros que no tienen
lados paralelos.
En mi opinión sobra este nombre. Es un cuadrilátero, sin más.
R
Cuadrilátero con
dos pares de
lados
consecutivos
iguales.
O
S
Se debe a Rey
Pastor la
utilización de la
palabra Romboide
para referirse a
esta figura.
ROMBOIDE **
o
COMETA
Existe un caso particular
especialmente
** Hay autores que denominan
interesante, el romboide o
Romboide al paralelogramo que no cometa que tiene dos
ángulos rectos.
es ni rectángulo ni rombo.
Desconozco si tiene
nombre especifico, me
permito llamarle romboide
rectángulo.
Entre otras propiedades,
este romboide es
inscriptible y
circunscriptible.
Los cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados. Si te fijas, cerca de ti
hay muchos objetos cuya línea de contorno tiene forma de cuadrilátero: una ventana, la
pantalla de un ordenador o de un televisor plano, un póster, una puerta o el trapecio que
forma en el suelo la luz del Sol que entra por la ventana.
Los cuadriláteros son los polígonos que más abundan a nuestro alrededor, más que los
triángulos y, por supuesto, que los pentágonos, hexágonos…
CLASES DE CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos y no paralelogramos.
Los paralelogramos son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos. Son cuatro:




El cuadrado tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos (90°).
El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos (90°).
El rombo tiene los cuatro lados iguales, pero sus ángulos no miden 90°.
El romboide tiene los lados iguales dos a dos, pero sus ángulos no miden 90°.
Los cuadriláteros que no son paralelogramos son el trapecio y el trapezoide:


El trapecio tiene dos de sus lados opuestos paralelos. A esos lados se les llama
bases.
El trapezoide no tiene ningún lado paralelo a su lado opuesto.
ÁREA DEL CUADRADO Y DEL RECTÁNGULO
Para calcular el área de estos dos paralelogramos, les dibujamos una cuadrícula, en la que el
lado de cada cuadrado mida 1 unidad, por ejemplo, 1 centímetro:
Para el cuadrado, el primer paralelogramo: 3 × 3 = 9 cuadrados Área = 9 cm2
Para el segundo paralelogramo, el rectángulo: 6 × 3 = 18 cuadrados Área = 18 cm2
Así pues, las áreas del cuadrado y del rectángulo son: Área del cuadrado = lado × lado
Área del rectángulo = base × altura
Si quieres, puedes practicar con el ejemplo siguiente.
Queremos enlosar el suelo de una habitación que mide 6 m de larga por 3 m de ancha con
baldosines cuadrados que miden 0,6 m de lado. ¿Qué superficie ocupa cada baldosín? ¿Qué
superficie tiene el suelo de la habitación? ¿Cuántos baldosines serán necesarios?
El área de cada baldosín será: 0,6 × 0,6 = 0,36 m2
El área del suelo de la habitación será: 6 × 3 = 18 m2
Así que, para enlosar la habitación se necesitarán: 18 : 0,36 = 50 baldosines
ÁREA DEL ROMBOIDE
Para calcular el área del romboide, nos fijamos en que si lo cortamos por la línea de puntos
y esa parte triangular la unimos al otro lado, la figura que resulta es un rectángulo cuya base
y cuya altura miden lo mismo que las del romboide:
Como las dos figuras ocupan la misma superficie: Área del romboide = Área del rectángulo
Con lo que: Área del romboide = base × altura
ÁREA DEL ROMBO
Para obtener el área del rombo, nos fijamos en la figura que resulta si trazamos paralelas a
sus diagonales por los cuatro vértices:
Resulta un rectángulo cuya base mide lo mismo que la diagonal mayor, y cuya altura mide
igual que la diagonal menor del rombo. Así pues:
Área del rectángulo = diagonal mayor del rombo × diagonal menor del rombo
Como los ocho triángulos rectángulos que se forman dentro del rectángulo son iguales, y
dentro del rombo hay cuatro, la mitad de ellos será el área del rombo. Es decir, el área del
rombo será la mitad del área del rectángulo.
Si quieres, puedes practicar con los ejemplos siguientes.
1. Halla el área de una cometa que tiene forma de rombo, cuyas diagonales miden 60 cm la
mayor y 40 cm la menor.
Aplicando la fórmula que acabamos de ver, tendremos:
2. Queremos cubrir de césped artificial una terraza con forma de romboide, cuyas medidas
son las de la figura. ¿Cuántos metros cuadrados de césped nos hacen falta?
Como Área romboide = base × altura
entonces: Área de la terraza = 4 × 2 = 8 m2
Es decir, nos hacen falta 8 m2 de césped artificial para cubrir toda la terraza.
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Características generales
Un cuadrilátero ABCD es una figura plana limitada por cuatro lados y cuatro vértices. Puede ser
cóncavo o convexo, inscriptible o circunscriptible. La denominación de «cuadrilátero» hace
referencia precisamente a que la figura tiene cuatro lados.
[editar] Nomenclatura
Recordamos que los cuadriláteros, como los demás polígonos se nombran por sus vértices,
siguiendo el orden alfabético. Cada ángulo se nombra por la letra griega correspondiente al orden
del alfabeto griego o indicando su vértice, como ya hemos visto al hablar de triángulos.
[editar] Cuadriláteros cóncavos o convexos
Recordamos que un polígono es convexo cuando no contiene prolongaciones de sus lados y es
cóncavo cuando las contiene. Los ángulos internos de los cuadriláteros suman 360º, sean
cóncavos o convexos, pues en ambos casos una diagonal los divide en dos triángulos.
[editar] Cuadriláteros idénticos, iguales y semejantes
Un polígono es idéntico a otro cuando es igual y ocupa el mismo lugar. Como los cuadriláteros de
la figura, ABCD ≡ A’B’C’D’.
Un polígono es igual a otro cuando sus lados y ángulos correspondientes son iguales con el
mismo orden. En la figura ABCD = A’B’C’D’.
Un polígono es semejante a otro cuando sus lados son directamente proporcionales y sus ángulos
correspondientes iguales, con el mismo orden.
En la figura ABCD es semejante a A’B’C’D’.
[editar] Cómo se dibujan polígonos iguales
Vamos a ver dos métodos de dibujar un polígono igual a otro.
[editar] Por triangulación
Se dibujan las diagonales necesarias para dividir el polígono en triángulos. En el caso de un
cuadrilátero basta con trazar una diagonal. Se copian ordenadamente los triángulos obtenidos.
[editar] Por coordenadas
Se establece un sistema de ejes x e y. Se dibujan las coordenadas de los vértices ABCD respecto
de tales ejes. Se repiten los ejes en el lugar donde se quiera dibujar el polígono igual y se llevan
los datos de cada coordenada sobre ellos.
[editar] Cómo se dibujan polígonos semejantes
Para dibujar un cuadrilátero A’B’C’D’ semejante a ABCD, conociendo un lado A’B’, se superpone
el lado conocido al correspondiente en el dato, haciendo coincidir un vértice A=A’. Se dibuja la
diagonal AC que será común a ambas figuras. Por B’ se traza la paralela a BC, obteniendo C’. Por
C’ se traza la paralela a CD, obteniendo D’.
[editar] Cuadrilátero completo
Se llama así al obtenido por todas las intersecciones de sus lados ABCDEF.
[editar] Alturas y alturas medias de un cuadrilátero
Se llama altura a la distancia desde un vértice al lado opuesto. Si nos fijamos en la figura vemos
que desde D se puede trazar otra altura perpendicular a BC, que también es lado opuesto. Por lo
tanto, en los cuadriláteros y polígonos con más lados, este concepto solamente es interesante si se
concreta el vértice y el lado a los que se refiere la altura.
Se llama altura media o semi-altura de un cuadrilátero a la recta perpendicular a un lado que
pasa por el punto medio del lado opuesto.
[editar] Relaciones entre las diagonales y los lados de los cuadriláteros
Si en un cuadrilátero ABCD trazamos por los extremos de la diagonal BD paralelas a la otra
diagonal definimos un paralelogramo DBSR semejante al que se forma uniendo los puntos medios
de cada lado, QMPN. Los lados de DBSR miden el doble que los correspondientes de QMPN. El
resultado sería igual partiendo de la diagonal AC.
Si en un cuadrilátero ABCD trazamos por un extremo C de la diagonal AC rectas paralelas a los
lados que pasan por A, definimos los paralelogramos ACRD y ABSC semejantes a AENQ y a
AMPE, respectivamente. AENQ y AMPE son los paralelogramos obtenidos al unir los puntos
medios de dos lados con el punto medio de la diagonal AC y el vértice A. Los lados de ACRD y
ABSC miden el doble que los correspondientes de AENQ y AMPE.
Si partimos de la diagonal BD del mismo cuadrilátero obtendremos otros paralelogramos con las
mismas relaciones de semejanza.
Si en un cuadrilátero ABCD unimos los puntos medios de las diagonales con los puntos medios de
dos lados opuestos, como vemos en la figura, obtenemos un paralelogramo FMEN cuyos lados
son paralelos al otro par de lados opuestos y miden la mitad que ellos.
También se definen:
Dos cuadriláteros semejantes a ABCD con los lados paralelos o coincidentes a los suyos y que
miden la mitad que ellos, DQFN y NEPC. dos paralelogramos cuyos lados son paralelos o
coincidentes con lados de ABCD midiendo la mitad que ellos, QAMF y MBPE.
Si unimos los puntos medios de las diagonales con los puntos medios del otro par de lados
opuestos del mismo cuadrilátero obtendremos otros cuadriláteros con las mismas relaciones de
semejanza.
[editar] Cuadriláteros inscriptibles
Un cuadrilátero es inscriptible cuando sus ángulos opuestos son suplementarios.
En la figura vemos el cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia.
Sus vértices B y D definen los arcos DAB y BCD cuyos ángulos centrales suman 360º. Por lo
tanto los ángulos inscritos correspondientes, y sumarán El mismo razonamiento puede
aplicarse a los vértices A y C.
[editar] Teorema de Tolomeo
“Si ABCD es un cuadrilátero inscriptible se verifica que AB•CD+BC•DA=AC•BD”
Es decir, la suma de los productos de sus lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.
Existe un caso particular muy interesante. Cuando ABD es un triángulo equilátero, para todo C
perteneciente al arco AB, se verifica que: CD = CB+CA.
[editar] Centro de gravedad de un cuadrilátero inscriptible
En un cuadrilátero incriptible el centro de gravedad está en la intersección de las rectas que
unen los puntos medios de dos lados opuestos.
Se cumple que el punto de intersección de las alturas medias, H, y el centro de la circunferencia
circunscrita, O, definen un segmento cuyo punto medio es el centro de gravedad, G.
[editar] Teorema japonés
En un cuadrilátero inscriptible se verifica que la suma de los radios de las cirunferencias inscritas
en los triángulos definidos por una diagonal es igual sea cual sea la diagonal considerada.
Este teorema es aplicable a cualquier polígono inscriptible.
[editar] Cuadriláteros circunscriptibles
Un cuadrilátero es circunscriptible cuando las sumas de sus lados opuestos son iguales : AB+CD
= AD+BC
Esta condición es muy fácil de comprobar, recordando que la circunferencia inscrita en un ángulo
tiene los puntos de tangencia con los lados del ángulo equidistantes del vértice.
En la figura vemos que AT=AQ; BQ=BR; CR=CS y DT=DS.
Además: AB = AQ+BQ; CD = CS+DS; AD = AT+DT; BC = BR+CR;
Para verificar que AB+CD = AD+BC, se aplica lo anterior:
AB+CD = AQ+BQ +CS+DS;
AD+BC = AT+DT +BR+CR= AQ+BQ +CS+DS.
Los polígonos
Si te fijas en la cara o superficie que ves de
muchos de los objetos que hay a tu
alrededor, observarás que sus líneas de
contorno son rectas, y que son figuras
cerradas. Otros objetos tienen caras con
lados circulares o curvos, pero ahora nos
vamos a fijar en las caras con lados rectos,
llamadas caras poligonales o, sencillamente,
polígonos.
¿QUÉ ES UN POLÍGONO?
Los polígonos son figuras planas cerradas,
limitadas por segmentos rectilíneos. Los
elementos de un polígono son los lados, los
vértices, los ángulos y las diagonales.
Los lados son los segmentos rectilíneos que
delimitan al polígono.
Los vértices son los puntos donde se cortan los
lados dos a dos.
Los ángulos son las regiones comprendidas entre
cada par de lados.
Las diagonales son los segmentos que unen cada
pareja de vértices no consecutivos.
CLASES DE POLÍGONOS
Según su número de lados, los polígonos se
llaman:
Según la amplitud de sus ángulos, un polígono
puede ser:


Convexo, si todos sus ángulos son menores
que 180°.
Cóncavo, si alguno de sus ángulos es mayor
que 180°.
Según la longitud de sus lados, los polígonos
pueden ser:


Regulares, si tienen todos sus lados y todos
sus ángulos iguales.
Irregulares, si tienen lados desiguales.
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO
El perímetro de cualquier polígono es igual a la
suma de las longitudes de sus lados.
Por ejemplo, vamos a calcular el perímetro, P, de
cada uno de los polígonos de las dos figuras
siguientes.
Para el polígono de cuatro lados iguales cuyo lado
mide 3 cm: P = 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 4 = 12 cm
Para el polígono de cinco lados iguales cuyo lado
mide 2 cm: P = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 5 = 10
cm
Para el polígono cuyos lados, iguales dos a dos,
miden 2 y 4 cm: P = 2 + 4 + 2 + 4 = 2 × 2 + 4
× 2 = 12 cm
Para el polígono de cuatro lados iguales cuyo lado
mide 2 cm: P = 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4 = 8 cm
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR
En cualquier polígono regular podemos dibujar
tantos triángulos en su interior como lados tenga
el polígono. Todos los triángulos dibujados tienen
un vértice común que es el centro del polígono.
El área de cada uno de esos triángulos será:
Siendo la base el lado (l) y la altura la apotema
(a) del polígono:
Así pues:
El área del polígono será la suma de las áreas de
los n triángulos, seis en el caso del hexágono
anterior:
Y sustituyendo los valores del lado y de la
apotema en nuestro caso, tendremos:
En general, para un polígono regular de n lados,
su área se calcula así:
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Los cuadriláteros son polígonos, es decir, figuras geométricas planas
limitadas por líneas rectas, que tienen los siguientes elementos:
cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y cuatro
ángulos exteriores. Además, la suma de todos sus ángulos interiores
es de 360º.
Los Cuadriláteros pueden ser cóncavos o convexos, dependiendo cuánto midan sus
ángulos interiores.
Cuadriláteros Cóncavos y Convexos
El cuadrilátero es convexo, si todos sus ángulos interiores son menores a 180°.
También puedes darte cuenta si es convexo, cuando al trazar una recta sobre él, la
recta lo cortó a lo más en dos lados.
El cuadrilátero es cóncavo, si uno de sus ángulos interiores mide más de 180°.
También puedes darte cuenta si es cóncavo, cuando al trazar una recta sobre él, la
recta lo corta en más de dos lados.
Lados Consecutivos u Opuestos
Además, decimos que los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos,
cuando tienen un vértice en común, u opuestos, cuando no tienen ningún vértice
todos los derechos.
común.
Recuerda que un vértice es el punto común entre los lados.
Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Un
cuadrilátero tiene 2 diagonales.
Clasificación de los Cuadriláteros
De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadriláteros en:
1. Paralelogramos: tienen dos pares de lados paralelos.
2. Trapecios: tienen un par de lados paralelos.
3. Trapezoides: son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos.
Clasificación de polígonos según sus lados
Triángulos
Tienen 3 lados.
Cuadriláteros
Tienen 4 lados.
Pentágonos
Tienen 5 lados.
Hexágonos
Tienen 6 lados.
Heptágonos
Tienen 7 lados.
Octágonos
Tienen 8 lados.
Eneágono
Tiene los 9 lados.
Decágono
Tiene 10 lados.
Endecágono
Tiene 11 lados.
Dodecágono
Tiene 12 lados.
Tridecágono
Tienen 13 lados.
Tetradecágono
Tiene 14 lados.
Pentadecágono
Tiene 15 lados.
Clasificación de polígonos según sus ángulos
Convexos
Todos
sus
ángulos
menores
que
180°.
de
180°.
Todas sus diagonales son interiores.
Cóncavos
Si
un
ángulo
mide
más
Si una de sus diagonales es exterior.
Buscar
El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus
cuatro ángulos son distintos de 90º.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2



Buscar
Sitio
Inicio
Temario
Formulario
Ejercicios
Vídeos
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Aritmética
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Álgebra Lineal
Cálculo
Geometría
Geometría Analítica
Trigonometría
Estadística y Probabilidad
Tema
Polígonos
Tipos de polígonos
Polígonos regulares
Clases de triángulos
Elementos triángulo
Teoremas
Circunferencia y círculo
Ángulos circunferencia
Polígonos estrellados
Áreas I
Áreas II
Áreas III
Resumen
Esquema
Ejercicios
Evaluación
Vídeos
Enlaces
Polígono

Los cuadriláteros son los polígonos que más abundan a nuestro alrededor, más que
los triángulos y, por supuesto, que los pentágonos, hexágonos…
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Los cuadriláteros
Los cuadriláteros son los polígonos que tienen
cuatro lados. Si te fijas, cerca de ti hay
muchos objetos cuya línea de contorno tiene
forma de cuadrilátero: una ventana, la
pantalla de un ordenador o de un televisor
plano, un póster, una puerta o el trapecio que
forma en el suelo la luz del Sol que entra por
la ventana.
Los cuadriláteros son los polígonos que más
abundan a nuestro alrededor, más que los
triángulos y, por supuesto, que los
pentágonos, hexágonos…
CLASES DE CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos
y no paralelogramos.
Los paralelogramos son los cuadriláteros cuyos
lados opuestos son paralelos. Son cuatro:




El cuadrado tiene los cuatro lados iguales y
los cuatro ángulos rectos (90°).
El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos
y los cuatro ángulos rectos (90°).
El rombo tiene los cuatro lados iguales, pero
sus ángulos no miden 90°.
El romboide tiene los lados iguales dos a dos,
pero sus ángulos no miden 90°.
Los cuadriláteros que no son paralelogramos son
el trapecio y el trapezoide:


El trapecio tiene dos de sus lados opuestos
paralelos. A esos lados se les llama bases.
El trapezoide no tiene ningún lado paralelo a
su lado opuesto.
ÁREA DEL CUADRADO Y DEL
RECTÁNGULO
Para calcular el área de estos dos
paralelogramos, les dibujamos una cuadrícula, en
la que el lado de cada cuadrado mida 1 unidad,
por ejemplo, 1 centímetro:
cuadriláteros
Los
Los cuadriláteros son los polígonos que tienen
cuatro lados. Si te fijas, cerca de ti hay
muchos objetos cuya línea de contorno tiene
forma de cuadrilátero: una ventana, la
pantalla de un ordenador o de un televisor
plano, un póster, una puerta o el trapecio que
forma en el suelo la luz del Sol que entra por
la ventana.
Los cuadriláteros son los polígonos que más
abundan a nuestro alrededor, más que los
triángulos y, por supuesto, que los
pentágonos, hexágonos…
CLASES DE CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos
y no paralelogramos.
Los paralelogramos son los cuadriláteros cuyos
lados opuestos son paralelos. Son cuatro:


El cuadrado tiene los cuatro lados iguales y
los cuatro ángulos rectos (90°).
El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos
y los cuatro ángulos rectos (90°).


El rombo tiene los cuatro lados iguales, pero
sus ángulos no miden 90°.
El romboide tiene los lados iguales dos a dos,
pero sus ángulos no miden 90°.
Los cuadriláteros que no son paralelogramos son
el trapecio y el trapezoide:


El trapecio tiene dos de sus lados opuestos
paralelos. A esos lados se les llama bases.
El trapezoide no tiene ningún lado paralelo a
su lado opuesto.
ÁREA DEL CUADRADO Y DEL
RECTÁNGULO
Para calcular el área de estos dos
paralelogramos, les dibujamos una cuadrícula, en
la que el lado de cada cuadrado mida 1 unidad,
por ejemplo, 1 centímetro:
Para el cuadrado, el primer paralelogramo: 3 × 3
= 9 cuadrados Área = 9 cm2
Para el segundo paralelogramo, el rectángulo: 6
× 3 = 18 cuadrados Área = 18 cm2
Así pues, las áreas del cuadrado y del rectángulo
son: Área del cuadrado = lado × lado Área del
rectángulo = base × altura
Si quieres, puedes practicar con el ejemplo
siguiente.
Queremos enlosar el suelo de una habitación que
mide 6 m de larga por 3 m de ancha con
baldosines cuadrados que miden 0,6 m de lado.
¿Qué superficie ocupa cada baldosín? ¿Qué
superficie tiene el suelo de la habitación?
¿Cuántos baldosines serán necesarios?
El área de cada baldosín será: 0,6 × 0,6 = 0,36
m2
El área del suelo de la habitación será: 6 × 3 =
18 m2
Así que, para enlosar la habitación se
necesitarán: 18 : 0,36 = 50 baldosines
ÁREA DEL ROMBOIDE
Para calcular el área del romboide, nos fijamos en
que si lo cortamos por la línea de puntos y esa
parte triangular la unimos al otro lado, la figura
que resulta es un rectángulo cuya base y cuya
altura miden lo mismo que las del romboide:
Como las dos figuras ocupan la misma superficie:
Área del romboide = Área del rectángulo
Con lo que: Área del romboide = base × altura
ÁREA DEL ROMBO
Para obtener el área del rombo, nos fijamos en la
figura que resulta si trazamos paralelas a sus
diagonales por los cuatro vértices:
Resulta un rectángulo cuya base mide lo mismo
que la diagonal mayor, y cuya altura mide igual
que la diagonal menor del rombo. Así pues:
Área del rectángulo = diagonal mayor del rombo
× diagonal menor del rombo
Como los ocho triángulos rectángulos que se
forman dentro del rectángulo son iguales, y
dentro del rombo hay cuatro, la mitad de ellos
será el área del rombo. Es decir, el área del
rombo será la mitad del área del rectángulo.
Si quieres, puedes practicar con los ejemplos
siguientes.
1. Halla el área de una cometa que tiene forma
de rombo, cuyas diagonales miden 60 cm la
mayor y 40 cm la menor.
Aplicando la fórmula que acabamos de ver,
tendremos:
2. Queremos cubrir de césped artificial una
terraza con forma de romboide, cuyas medidas
son las de la figura. ¿Cuántos metros cuadrados
de césped nos hacen falta?
Como Área romboide = base × altura
entonces: Área de la terraza = 4 × 2 = 8 m2
Es decir, nos hacen falta 8 m2 de césped artificial
para cubrir toda la terraza.
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Para el cuadrado, el primer paralelogramo: 3 × 3
= 9 cuadrados Área = 9 cm2
Para el segundo paralelogramo, el rectángulo: 6
× 3 = 18 cuadrados Área = 18 cm2
Así pues, las áreas del cuadrado y del rectángulo
son: Área del cuadrado = lado × lado Área del
rectángulo = base × altura
Si quieres, puedes practicar con el ejemplo
siguiente.
Queremos enlosar el suelo de una habitación que
mide 6 m de larga por 3 m de ancha con
baldosines cuadrados que miden 0,6 m de lado.
¿Qué superficie ocupa cada baldosín? ¿Qué
superficie tiene el suelo de la habitación?
¿Cuántos baldosines serán necesarios?
El área de cada baldosín será: 0,6 × 0,6 = 0,36
m2
El área del suelo de la habitación será: 6 × 3 =
18 m2
Así que, para enlosar la habitación se
necesitarán: 18 : 0,36 = 50 baldosines
ÁREA DEL ROMBOIDE
Para calcular el área del romboide, nos fijamos en
que si lo cortamos por la línea de puntos y esa
parte triangular la unimos al otro lado, la figura
que resulta es un rectángulo cuya base y cuya
altura miden lo mismo que las del romboide:
Como las dos figuras ocupan la misma superficie:
Área del romboide = Área del rectángulo
Con lo que: Área del romboide = base × altura
ÁREA DEL ROMBO
Para obtener el área del rombo, nos fijamos en la
figura que resulta si trazamos paralelas a sus
diagonales por los cuatro vértices:
Resulta un rectángulo cuya base mide lo mismo
que la diagonal mayor, y cuya altura mide igual
que la diagonal menor del rombo. Así pues:
Área del rectángulo = diagonal mayor del rombo
× diagonal menor del rombo
Como los ocho triángulos rectángulos que se
forman dentro del rectángulo son iguales, y
dentro del rombo hay cuatro, la mitad de ellos
será el área del rombo. Es decir, el área del
rombo será la mitad del área del rectángulo.
Si quieres, puedes practicar con los ejemplos
siguientes.
1. Halla el área de una cometa que tiene forma
de rombo, cuyas diagonales miden 60 cm la
mayor y 40 cm la menor.
Aplicando la fórmula que acabamos de ver,
tendremos:
2. Queremos cubrir de césped artificial una
terraza con forma de romboide, cuyas medidas
son las de la figura. ¿Cuántos metros cuadrados
de césped nos hacen falta?
Como Área romboide = base × altura
entonces: Área de la terraza = 4 × 2 = 8 m2
Es decir, nos hacen falta 8 m2 de césped artificial
para cubrir toda la terraza.
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