Taller 1 matemáticas básicas: Preparación primer parcial. Profesor Jaime Andrés Jaramillo. jaimeaj@gmail.com. ITM. 2011-2 Referencia: STEWART, James y otros. Precálculo. Quinta edición. México: Thomson, 2007. Números Reales 1. Simplifica las siguientes fracciones: 1.440 i. 4.200 3.003 ii. 264 128 iii. 1.024 2. Escriba como decimal finito ó infinito periódico: 1 3 i. ii. 9 10 iii. 10 9 iv. 35 8 3. Escriba como fracción: i. 0,7777... 0.7 iv. 1,4142 vii. 3,175 ii. 0,1232323... 0.123 v. 423,0121212... 423,012 viii. 0,003 iii. 0,125634634 ... 0,125634 vi. 14,05 ix. 2,03333... 2.03 4. Efectúe la operación y escriba su resultado en forma simplificada: i. 2 iii. 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 3 3 2 2 4 2 5 6 1 . . 2 7 5 2 5 6 3 v. 4 4 1 5 5 vii. 3 4 2(8 10) 7 ii. 3 3 4 7 2 4 5 3 2 4 2 3. 16 7 5 9 5 9 vi. 3 3 3 2 iv. 3 5 2 7 viii. 4 4 2 3 3 9 1 de 10 54 1 2 7 ix. 4 23 7 3 8 1 1 1 2 1 2 4 x. * 3 4 1 1 1 2 * 2 3 2 2 xi. 7 4 5 1 2 4 1 3 xiii. : 2. 5 5 7 6 4 3 3 1 xv. 2 4(3 ) 2 2 2 xii. 11 1 1 3 * 13 4 2 26 3 3 7 2 2 4 2 5 2 9 2 13 xvi. 3 1 - 1+ 2 3 xiv. 5. Resolver aplicando las propiedades de los exponentes: i. (35 32 ) 4 iv. (52 42 54 41 ) 3 vii. ( x 2 y 1 ) 3 ii. (6 7 3 2) 2 v. (3 2 5 ) 4(3 2 5 ) 6(3 25 ) viii. (ab) 2 a 4 b 3 2 2 iii. 32 4 2 34 4 3 vi. (32 510 632 1215 416 ) 40 0 ix. (ax1 ) 2 (a 1 x) 3 de la capacidad de un tanque son 8316 litros. Hallar la capacidad del tanque. 8 7. 15 hombres pueden hacer una obra en 5 días. ¿Cuántos hombres más harían falta para hacer la obra en un día? ¿Cuántos hombres menos para hacerla en 15 días? 6. Los 8. Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado $18 000= ¿Cuánto cobrará por 8 horas? 9. Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán dos obreros? 10. Trescientos gramos de queso cuestan $6 000= ¿Cuánto podré comprar con $4500? Operaciones con expresiones algebraicas 11. Desarrolle las operaciones y escriba su resultado en forma simplificada: i. (5x 4 4 x 3 2)(5x 3) ii. (3x 4) 63x 14 x 8 2 de 10 iii. (2x 4 3x 2 6x 7)4x 3 1 5x 6 3x 5 3x 3 13 iv. (3x 1)(9x 2 3x 1) vi. x 2 y x 2 2xy 4 y 2 v. (5x 2 )(5x 2 ) vii. 4 x 316x 2 94 x 3 viii. z x y z x y x y z x y z xi. a 2b a 2b x. (3t 2 1) 2 (3t 2 1) 2 2 xii. (2 x 1)(9 x 3 y) ix. a 3 a 2 3a 9 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 xiii. 2x y 4x y 6x y ( x 4x y 3x y) 1 xiv. (3xz 3 2 z 4 ) xx 3 2 x 2 z 5 z 3 ( x 3 z 2 5 x 2 z 2 11z 5 ) z 2 x xv. y(3 6 x 1) (3x 2 3xy y 2 ) (2 x 2 y 4 y) y 12. De cual expresión hay que restar 18x 3 14x 2 84x 45 para que la diferencia dividida entre 14x 2 7 x 5 de cómo cociente x 2 9 Factorización 13. Factorice (Factor común) i. m5 3m 4 ii. 16x 2 y 2 8x 2 y 24x 4 y 3 iv. 93a 3 x 2 y 62a 2 x 3 y 2 v. 27a2 xy2 45ax2 y - 63axy2 iii. 35m2 n3 70m3 vi. 12t 2 z 24t 3 z 2 24t 4 z 3 36t 5 z 4 vii. 42xy 2 21x 2 y 56xy viii. 205z 4 t 3 r 2 123z 3t 2 r 3 164z 2 t 4 r 4 ix. 12m5 n 2 3m 4 n 3 14. Factorice (Factor común por agrupación) i. a2 + ab + ax + bx = ii. iii. ab - 2a - 5b + 10 = iv. v. am - bm + an - bn = vi. 2 vii. 3x - 3bx + xy - by = viii. 2 2 ix. 3a - b + 2b x - 6ax = x. ab + 3a + 2b + 6 = 2ab + 2a - b - 1 = 3x3 - 9ax2 - x + 3a = 6ab + 4a - 15b - 10 = a3 + a2 + a + 1 = 15. Factorice (Diferencia de cuadrados) ii. 36x 2 16 a 2 b4 i. 100 9 iv. 64x 2 1 v. 25x 2 y 4 49z 2 iii. 1 4 25 x 4 81 vi. 9 x 2 4 z 2 16. Factorice (Trinomio cuadrado perfecto TI) 3 de 10 i. x 2 25 10x ii. 4 x 2 12x 9 17. Factorice (Completación de cuadrados TI) i. a 4 y 4 7a 2 y 2 16 ii. a 4 16a 2 b 2 36b 4 v. 1 2x 4 y 8 81x 8 y16 iv. 100 45t 2 t 4 viii. 121 21x 2 y 2 x 4 y 4 vii. 625x 8 16 18. Factorice (Trinomio de la forma x2 + ax + b) i. x 2 7 x 12 ii. x 2 15x 100 iv. v. iii. x 2 xy y 2 4 3 9 iii. 49x 8 76x 4 y 4 100y 8 vi. 64z 4 t 4 ix. 9 x12 23x 4 144 iii. x 2 2 x 3 vi. 2 19. Factorice (Trinomio ax bx c ) 2 ii. 24x 2 2 x 2 i. 2 x 5 x 3 2 v. 15x 2 26x 8 iv. 8 x 6 x 9 20. Factorice (Diferencia de cubos) 27 ii. 27n 3 64r 6 i. x 3 64 21. Factorice (Suma de cubos) ii. x 9 y15 64x 3 a 3 i. 125y 3 8 iii. 6 x 2 7 x 2 vi. 10x 2 13x 4 iii. 2x y3 8x6 iii. 125x6 z6 3 8y 22. Factorice decidiendo cual caso aplicar. Tenga en cuenta que es posible que más de un caso se presente en un solo ejercicio: 2 7 iii. 125x 3 y 3 z 8z 4 i. k 3 27 x ii. 3 12 3 3 2 2 iv. 27a 15b v. x y 49z 2 1 c8 vi. 64 100 2 2 2 5 10 11 6 11 12 viii. 8b m 26mn 6b n vii. 10x y z 11x y z ix. x 3 64 x. 2 m b a n 2 m n a b xi. 2 x y 2 2 x y xii. 2 x 2 11x 6 23. Factorice i. 3x5 48x iv. 4 x 2 y 2 x 2 y 2 z 2 vii. 25x 2 10 3x 3 2 ii. x 3 x 2 81x 81 iii. 3x3 3x 2 3x 3 3 1 1 v. ax a bx b 2 3 2 vi. 6bx6 48by9 viii. x 32 3x 3 28 ix. x3 x 2 16x 16 24. Factorice 4 de 10 i. x 2 3a 2bx 6ab iv. 4x4 y 4 vii. 1 3 1 ax ax 3 3 ii. x2 a 5bx 5ab iii. 16x 4 4 x 2 1 c. v. x 8 y 8 vi. 6bx6 48by9 3 1 1 viii. ax a bx b 2 3 2 ix. 8 3 x y3 27 Fracciones algebraicas 25. Simplifique la expresión x2 7x 6 x 2 4 x 12 ii. x 2 7 x 10 x 2 25 iii. 2 xy 2 y 2 4 x 4 y x2 y2 iv. x 3 2 x 2 3x x2 x v. 2x 2 9x 5 3x 2 17x 10 vi. 6 y 2 11y 3 3y 2 y vii. y2 9 y 3 27 x 3 64 x 3 8 x 2 32x 64 ix. 2x3 x 2 6x 2x 2 7x 6 6( x 1) 2 3( x 2)(x 1) xii. y5 y3 y2 1 y2 2y 1 xv. 2 z 2 5z 3 z 2 3 z 18 i. x. x2 x 2 x 2 17 viii. xi. xiii. 2 x 2 7 xy 6 y 2 6 x 2 y 3xy 2 9 y 3 xiv. 1 x2 x3 1 xvi. zx 2 4 xyz 4 y 2 z x 2 3xy 2 y 2 xvii. 12y 2 2 y 2 8 64y 3 xviii. 3x 4 2 x 3 3x 2 2 x x6 1 26. Efectúe la operación y escriba su resultado en forma simplificada: i. x 2 6x 9 2x 2 * x3 x2 1 x 2 7 x 6 2x 2 x 1 2 3x 9 x 5x 6 iii. t 1 t 2 4t 5 v. 5t 10 t 2 8t 16 vii. 1 5 x 4 x 2 2 ix. x 4x 18 2 x3 x3 x 9 2 ii. 4x 2 9 4x 4 6x 3 9x 2 * 2x 2 7x 6 8 x 7 27x 4 iv. 2y4 4y2 3y 2 y * 6 y 2 14y 4 y 2 2 5 x 2 12x 4 25x 2 20x 4 vi. x 4 16 x 2 2x 2 3x viii. 2 x 9 x 18 5x 2x 1 3 y 2 x y x y x y 2 x. 5 de 10 xi. xiii. xv. 4 4y 1 3 y y 1 xii. x 1 7 2 x x 12 x 3 x 4 3x 5x 40 2 x2 x2 x 4 xiv. xvi. 4 x 2x 1 1 2x x 2 2 x 3 3x 12 * x 2 8 x 16 x 1 12. Simplifique la expresión x y 1 x2 i. y x 1 y2 1 3 x2 4 x x iii. ii. x 3 x4 x3 1 2 x x4 iv. 1 1 x2 y2 x y x y x y Ecuaciones lineales 11. Resuelva la ecuación: a) 6 x 2 x 1 3x 9 d) 1 x 1 x 1 2x 2 3 b) 3( x 3) 2( x 4) e) 1 x 2 5 x 32 12 x 3 4 2 c) 2 x 11 1 3x 1 x 3 4 5 f) 27 x 7 9 x 54 2 2 10 12. La suma de las edades de Hernán y Pedro es de 84 años, y Pedro es 8 años menor que Hernán. Hallar ambas edades. 13. Pague $87 000= por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 000= más que el libro y $20 000= menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada artículo? 14. La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números. 15. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar ambos números. 6 de 10 16. La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar ambos números. 17. Entre Andrés y Bernardo tienen $1 154 000=. Bernardo tiene $506 000= menos que Andrés ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 18. En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada piso? 19. Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24. 20. Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36. 21. Juliana tiene 14 años menos que Catalina y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada una? 22. Hallar tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 192. 23. La suma de tres números enteros pares consecutivos es 102. ¿Cuáles son los números? 24. Pagué U$325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó U$80 más que el coche y los arreos U$25 menos que el coche. Hallar los precios respectivos. 25. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números. 26. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto? 27. Repartir 310 dólares entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera. Ecuación cuadrática: 28. Resuelva la ecuación (Encuentre si es posible las soluciones complejas) a) x 2 25 0 b) x 2 39 c) x 2 14x d) x 2 12x 0 e) 8 x 2 5 x 0 f) x 2 15x 56 0 g) 12x 2 17x 5 0 h) 6 x 2 23x 20 0 i) 7 x 2 5x 16 0 7 de 10 4 x 2 11x 5 0 k) 8x 2 15x 17 0 l) m) 7 x 5 2 x 2 2 x n) (3x 1)2 x 5 3x 2 o) 4 x 2 5 8 5x 8x 2 p) 42 15x 6 x 2 22x 22 q) 9 x 2 10x 12 0 r) 6 x 2 21x 33 4 x j) 9 x 2 30x 25 0 29. Resuelva la ecuación (Si existen soluciones complejas determínelas) a) x 13 x 7 b) d) x 3x 1 21 e) h) g) 2x 3 4x 4 1 x 1 x 1 x j) 4 x 20 4 x 4 x k) x 4 7 x 2 18 0 (4 x 2)(x 1) (2 x 1)(x 3) 1 x 1 1 3x x 3 2x 1 2 x x 4 3x 2x 3 i) 6x 29 x x 5 l) 2x 4x 3 3 x 5x 14 r) 4x 24x 11 0 3xx 2 72 u) 7x 10x 2x 155 m) n) p) x 6x 8 0 q) s) x 4 12x t) 2 7x 2 x 4 2x 2 3 0 20 43 x 3 11 x 2 2x 1 f) o) 6 3 x2 x2 21 c) 1 2 3 x x 0 8 4 2 2 2 2 30. Un terreno rectangular tiene su largo igual al doble de su ancho. Si el largo se aumenta en 40m y el ancho en 6m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno original. 31. Un automóvil ha recorrido 200km en cierto tiempo, para haber recorrido esa distancia en 1,0 h menos, la velocidad debía haber sido 10 km/h más. Halla la velocidad del automóvil. 32. Determina las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 36 cm y la suma de los catetos es 21 cm 33. Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 56 m y su área es 180m2. 34. Una persona compró cierto número de calculadoras por $150 000=. Podría haber comprado 5 más, si cada una hubiese costado $5 000= menos. ¿Cuántas calculadoras compró? ¿Cuánto costó cada calculadora? 8 de 10 35. Tres segmentos miden 8, 15 y 16 cm respectivamente. Si se quita a cada uno la misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud. 36. Calcula el lado de un cuadrado, sabiendo que el producto del área de dicho cuadrado por el área del rectángulo que se obtiene al aumentar la base en 2 cm y disminuir la altura en 2 cm es igual a 6237 cm2. 37. (Usar dos variables) El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m 2. Calcula los catetos. 38. (usar dos variables)La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m 2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo. 39. La raíz cuadrada de la edad del padre nos da la edad del hijo y dentro de 24 años la edad del padre será doble que la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno? 40. (Usar dos variables) El área de un triángulo rectángulo es 120 cm 2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos? [24cm,10cm] 41. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendría dentro de 6 años. Determine la edad actual. 42. Determine el valor de k, de modo que la ecuación 3x2 + 4x = k – 5 tenga: a. Dos soluciones reales y distintas. b. Dos soluciones reales e iguales. c. Dos soluciones que no sean números reales 43. Calcula el valor de b en la ecuación 5 x 2 bx 6 0 5x2 + bx + 6 = 0, sabiendo que una de sus soluciones es 1. ¿Cuál es la otra solución de la ecuación? 44. Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye partiendo de un pedazo cuadrado de cartón, cortando un cuadrado de 5 cm en cada esquina, y doblando hacia arriba los lados. Si la caja debe contener 80 cm3, ¿qué dimensiones debe tener el pedazo de cartón? 45. Un rectángulo áureo es un rectángulo que puede dividirse en un cuadrado y en otro rectángulo, que también es áureo, semejante al original. En la figura, ABCD es un rectángulo áureo porque puede dividirse en un cuadrado AFED y en un rectángulo áureo FBCE. Estableciendo una proporción de las longitudes de los lados de los rectángulos se obtiene a b a b a . Si b = 1, resuelve la ecuación para a. 9 de 10 A a F b B E C a D 10 de 10