Ejercicio 1 (repaso Primer Cuatrimestre)

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ESTADÍSTICA
REPASO PRIMER CUATRIMESTRE – TEST DE HIPÓTESIS
EJERCICIO 1
El número de libro juveniles prestados en 15 días elegidos al azar en los meses de
verano (V) e invierno (I) ha sido:
V
54
61
44
50
50
54
59
54
22
48
45
30
38
36
35
I
61
46
50
17
45
31
20
54
37
38
30
42
58
44
58
Utilizando Statgraphics:
1.- Comprueba que, a partir de los coeficientes de asimetría y curtosis, puede
aceptarse que en Verano e Invierno (separadamente) la distribución es normal.
Descripción / Datos numéricos / Análisis unidimensional
Entrada de datos = V
Resumen Estadístico para V
Frecuencia = 15
Media = 45,3333
Mediana = 48,0
Moda = 54,0
Varianza = 124,095
Desviación típica = 11,1398
Mínimo = 22,0
Máximo = 61,0
Rango = 39,0
Primer cuartil = 36,0
Segundo cuartil = 54,0
Asimetría tipi. = -0,947273
Curtosis típificada = -0,234526
Coef. de variación = 24,5731%
El StatAdvisor
-------------Esta tabla muestra el resumen estadístico para V. Incluye las medidas de tendencia
central, medidas de variabilidad, y medidas de forma. De particular interés están los
coeficientes de asimetría y curtosis estandarizados que pueden utilizarse para
determinar si la muestra procede de una distribución normal. Los valores de estos
estadísticos fuera del rango de -2 a +2 indican alejamiento significante de normalidad
que tendería a invalidar cualquier test estadístico con respecto a la desviación normal.
En este caso, el valor del coeficiente de asimetría estandarizado está dentro del rango
esperado para los datos de una distribución normal.
El valor del coeficiente de
curtosis estandarizado está dentro del rango esperado para los datos de una distribución
normal.
Como ambos valores (asimetría y curtosis) se encuentran dentro del rango
esperado [-2,2], puede aceptarse que el préstamo en verano sigue una distribución
normal.
Entrada de datos = I
Resumen Estadístico para I
Frecuencia = 15
Media = 42,0667
Mediana = 44,0
Moda = 58,0
Varianza = 180,352
Desviación típica = 13,4295
Mínimo = 17,0
Máximo = 61,0
Rango = 44,0
Primer cuartil = 31,0
Segundo cuartil = 54,0
Asimetría tipi. = -0,679855
Curtosis típificada = -0,439777
Coef. de variación = 31,9244%
El StatAdvisor
-------------Esta tabla muestra el resumen estadístico para I.
Incluye las medidas de
tendencia central, medidas de variabilidad, y medidas de forma. De particular interés
están los coeficientes de asimetría y curtosis estandarizados que pueden utilizarse para
determinar si la muestra procede de una distribución normal. Los valores de estos
estadísticos fuera del rango de -2 a +2 indican alejamiento significante de normalidad
que tendería a invalidar cualquier test estadístico con respecto a la desviación normal.
En este caso, el valor del coeficiente de asimetría estandarizado está dentro del rango
esperado para los datos de una distribución normal.
El valor del coeficiente de
curtosis estandarizado está dentro del rango esperado para los datos de una distribución
normal.
Como ambos valores (asimetría y curtosis) se encuentran dentro del rango
esperado [-2,2], puede aceptarse que el préstamo en invierno también sigue una
distribución normal.
2.- Construye histogramas correspondientes tanto a los datos correspondientes al
verano, como al invierno. ¿Avalan estos gráficos una distribución normal para el
préstamo, en cada época?
Descripción / Datos numéricos / Análisis unidimensional
Entrada de datos = V
Opciones gráficas / Histograma
Histograma
frecuencia
5
4
3
2
1
0
20
30
40
50
60
70
V
Entrada de datos = I
Histograma
frecuencia
6
5
4
3
2
1
0
0
20
40
60
80
I
Ambos histogramas confirman que el préstamo tanto en invierno como en verano sigue
una distribución normal.
3.- Indica la media y la desviación típica correspondientes tanto al verano, como al
invierno.
Descripción / Datos numéricos / Análisis unidimensional
Entrada de datos = V
Resumen Estadístico para V
Frecuencia = 15
Media = 45,3333
Mediana = 48,0
Moda = 54,0
Varianza = 124,095
Desviación típica = 11,1398
Mínimo = 22,0
Máximo = 61,0
Rango = 39,0
Primer cuartil = 36,0
Segundo cuartil = 54,0
Asimetría tipi. = -0,947273
Curtosis típificada = -0,234526
Coef. de variación = 24,5731%
Entrada de datos = I
Resumen Estadístico para I
Frecuencia = 15
Media = 42,0667
Mediana = 44,0
Moda = 58,0
Varianza = 180,352
Desviación típica = 13,4295
Mínimo = 17,0
Máximo = 61,0
Rango = 44,0
Primer cuartil = 31,0
Segundo cuartil = 54,0
Asimetría tipi. = -0,679855
Curtosis típificada = -0,439777
Coef. de variación = 31,9244%
4.- ¿En que tanto por ciento de días, en verano, se espera superar los 50 préstamos?
¿Y en invierno? ¿Cuál es la probabilidad, tanto en verano como en invierno, de que
un día cualquiera se presten menos de 25 libros? ¿En qué porcentaje de días se da un
préstamo de entre 30 y 50 libros?
Verano
Descripción / Distribuciones / Distribuciones de probabilidad / Normal
Botón derecho / Opciones de análisis
Media V = 45,3333
Desviación típica V = 11,1398
Distribución acumulativa / Opciones de ventana
P (X>50)
Valores para la variable = 50
Distribución Acumulativa
-----------------------Distribución: Normal
Variable
50
Area de cola inferior (<)
Dist. 1
Dist. 2
0,662365
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Variable
50
Densidad de Probabilidad
Dist. 1
Dist. 2
0,0328038
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Variable
50
Area de cola Superior (>)
Dist. 1
Dist. 2
0,337635
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Por tanto, en verano se esperan superar los 50 préstamos un 33’76 % de los días
P (X<25)
Valores para la variable = 25
Distribución Acumulativa
-----------------------Distribución: Normal
Variable
25
Area de cola inferior (<)
Dist. 1
Dist. 2
0,0339789
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Variable
25
Densidad de Probabilidad
Dist. 1
Dist. 2
0,00676973
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Variable
25
Area de cola Superior (>)
Dist. 1
Dist. 2
0,966021
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Por tanto, en verano la probabilidad de prestar menos de 25 libros un día cualquiera es
de 3,39 %
P(30<X<50) = P(X<50)-P(X<30)
Valores para las variables = 30 y 50
Distribución Acumulativa
-----------------------Distribución: Normal
Variable
50
30
Area de cola inferior (<)
Dist. 1
Dist. 2
0,662365
0,084342
Variable
50
30
Densidad de Probabilidad
Dist. 1
Dist. 2
0,0328038
0,0138876
Variable
50
30
Area de cola Superior (>)
Dist. 1
Dist. 2
0,337635
0,915658
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
P(30<X>50) = P(X<50)-P(X<30) = 0,662365- 0,084342 = 0,578023
Por tanto, en verano la probabilidad de prestar entre 30 y 50 libros es de 57,80 %
Invierno
Descripción / Distribuciones / Distribuciones de probabilidad / Normal
Botón derecho / Opciones de análisis
Media I = 42,0667
Desviación típica I = 13,4295
Distribución acumulativa / Opciones de ventana
P (X>50)
Valores para la variable = 50
Distribución Acumulativa
-----------------------Distribución: Normal
Variable
50
Area de cola inferior (<)
Dist. 1
Dist. 2
0,722653
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Variable
50
Densidad de Probabilidad
Dist. 1
Dist. 2
0,0249501
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Variable
50
Area de cola Superior (>)
Dist. 1
Dist. 2
0,277347
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Por tanto, en invierno se esperan superar los 50 préstamos un 27,73 % de los días
P (X<25)
Valores para la variable = 25
Distribución Acumulativa
-----------------------Distribución: Normal
Variable
25
Area de cola inferior (<)
Dist. 1
Dist. 2
0,101893
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Variable
25
Densidad de Probabilidad
Dist. 1
Dist. 2
0,013248
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Variable
25
Area de cola Superior (>)
Dist. 1
Dist. 2
0,898107
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Por tanto, en invierno la probabilidad de prestar menos de 25 libros un día cualquiera es
de 10,18 %
P(30<X<50) = P(X<50)-P(X<30)
Valores para las variables = 30 y 50
Distribución Acumulativa
-----------------------Distribución: Normal
Variable
30
50
Area de cola inferior (<)
Dist. 1
Dist. 2
0,184453
0,722653
Variable
30
50
Densidad de Probabilidad
Dist. 1
Dist. 2
0,0198398
0,0249501
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Variable
30
50
Area de cola Superior (>)
Dist. 1
Dist. 2
0,815547
0,277347
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
P(30<X<50) = P(X<50)-P(X<30) = 0,722653 – 0,184453 = 0,5382
Por tanto, en invierno la probabilidad de prestar entre 30 y 50 libros es de 53,82 %
5.- ¿Qué número de préstamos se rebasa sólo en un 5% de los días? ¿Por debajo de
qué número de préstamos se localiza el 10% de los días con menor cantidad de
préstamos? (Indica la respuesta tanto para verano como para invierno)
Verano
Descripción / Distribuciones / Distribuciones de probabilidad / Normal
Botón derecho / Opciones de análisis
Media V = 45,3333
Desviación típica V = 11,1398
Opciones tabulares / CDF inverso
P(X > k) = 0,05
Botón derecho / Opciones de ventana
P(X < k) = 1 – P(X > k) = 1 – 0,05 = 0,95
CDF = 0,95
Inversa CDF
----------Distribución: Normal
CDF
0,95
0,1
0,5
0,9
0,99
Dist. 1
63,6567
31,057
45,3333
59,6096
71,2484
Dist. 2
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Por tanto, en verano, sólo en un 5% de los días, el número de préstamos es mayor de 63.
CDF = 10% = 0,1
Inversa CDF
----------Distribución: Normal
CDF
0,95
0,1
0,5
0,9
0,99
Dist. 1
63,6567
31,057
45,3333
59,6096
71,2484
Dist. 2
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Por tanto, en verano, el 10 % de los días, el número de préstamos es menor de 31.
Invierno
Descripción / Distribuciones / Distribuciones de probabilidad / Normal
Botón derecho / Opciones de análisis
Media I = 42,0667
Desviación típica I = 13,4295
Opciones tabulares / CDF inverso
P(X > k) = 0,05
Botón derecho / Opciones de ventana
P(X < k) = 1 – P(X > k) = 1 – 0,05 = 0,95
CDF = 0,95
Inversa CDF
----------Distribución: Normal
CDF
0,95
0,1
0,5
0,9
0,99
Dist. 1
64,1563
24,8561
42,0667
59,2773
73,3084
Dist. 2
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Por tanto, en invierno, sólo en un 5% de los días, el número de préstamos es mayor de 64.
CDF = 10% = 0,1
Inversa CDF
----------Distribución: Normal
CDF
0,95
0,1
0,5
0,9
0,99
Dist. 1
64,1563
24,8561
42,0667
59,2773
73,3084
Dist. 2
Dist. 3
Dist. 4
Dist. 5
Por tanto, en invierno, el 10 % de los días, el número de préstamos es menor de 24.
6.- ¿Avalan los datos anteriores la hipótesis de que la media de libros prestados en
verano es de 50? ¿Y de 40? Respóndase utilizando niveles de significación del 5% y el
1% en cada caso. Idem para los libros prestados en invierno.
Verano
Descripción / Datos numéricos / Análisis unidimensional
Entrada de datos = V
Opciones tabulares / Contraste de hipótesis
Botón derecho / Opciones de ventana
Media = 50
Hipótesis alternativa = No igual
contraste t
-----------
Hipótesis nula: media = 50,0
Alternativa: no igual
Estadístico t = -1,62246
P-valor = 0,127
No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05.
Como p-valor = 0,127 no es menor que 0’05, aceptamos con un nivel de significación
del 5% que la media de libros prestados en verano sea de 50. Además, 0’127 tampoco
es menor que 0’01, luego también aceptamos la hipótesis nula al 1% de significación.
Botón derecho / Opciones de ventana
Media = 40
Hipótesis alternativa = No igual
contraste t
----------Hipótesis nula: media = 40,0
Alternativa: no igual
Estadístico t = 1,85424
P-valor = 0,0848888
No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05.
Como p-valor = 0,0848 no es menor que 0’05, aceptamos con un nivel de significación
del 5% que la media de libros prestados en verano sea de 50. Además, 0’0848 tampoco
es menor que 0’01, luego también aceptamos la hipótesis nula al 1% de significación.
Invierno
Descripción / Datos numéricos / Análisis unidimensional
Entrada de datos = I
Opciones tabulares / Contraste de hipótesis
Botón derecho / Opciones de ventana
Media = 50
Hipótesis alternativa = No igual
contraste t
----------Hipótesis nula: media = 50,0
Alternativa: no igual
Estadístico t = -2,28792
P-valor = 0,0382153
Se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05.
Como p-valor=0’038 es menor que 0’05, al 5% de significación rechazamos la hipótesis
nula; por lo tanto, no podríamos admitir que la media de libros prestados fuera de 50.
Sin embargo, como p-valor=0’038 NO es menor que 0’01, al 1% de significación
aceptaríamos la hipótesis nula.
Botón derecho / Opciones de ventana
Media = 40
Hipótesis alternativa = No igual
contraste t
----------Hipótesis nula: media = 40,0
Alternativa: no igual
Estadístico t = 0,596012
P-valor = 0,56068
No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05.
Como p-valor=0’56068 no es menor que 0’05, al 5% de significación aceptamos la
hipótesis nula; por lo tanto, podríamos admitir que la media de libros prestados fuera
de 40. Igualmente aceptamos la hipótesis nula al 1% de significación.
7.- ¿Puede considerarse, en cualquier caso, que la media de libros prestados en
verano está por encima de 38? ¿Y de 45? (Respóndase utilizando niveles de
significación del 5%) Idem para invierno.
Verano
Descripción / Datos numéricos / Análisis unidimensional
Entrada de datos = V
Opciones tabulares / Contraste de hipótesis
Botón derecho / Opciones de ventana
Media = 38
Alpha = 5%
Hipótesis alternativa = Mayor que
contraste t
----------Hipótesis nula: media = 38,0
Alternativa: mayor que
Estadístico t = 2,54959
P-valor = 0,011568
Se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05.
Por tanto, con un nivel de significación del 5%, rechazamos la hipótesis nula y
aceptamos la hipótesis alternativa, es decir, que la media de los libros prestados en
verano está por encima de 38.
Botón derecho / Opciones de ventana
Media = 45
Alpha = 5%
Hipótesis alternativa = Mayor que
contraste t
----------Hipótesis nula: media = 45,0
Alternativa: mayor que
Estadístico t = 0,11589
P-valor = 0,454693
No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05.
Por tanto, con un nivel de significación del 5%, aceptamos la hipótesis nula, es decir,
que la media de los libros prestados en verano es de 45.
Invierno
Descripción / Datos numéricos / Análisis unidimensional
Entrada de datos = I
Opciones tabulares / Contraste de hipótesis
Botón derecho / Opciones de ventana
Media = 38
Alpha = 5%
Hipótesis alternativa = Mayor que
contraste t
----------Hipótesis nula: media = 38,0
Alternativa: mayor que
Estadístico t = 1,1728
P-valor = 0,130223
No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05.
Por tanto, con un nivel de significación del 5%, aceptamos la hipótesis nula, es decir,
que la media de los libros prestados en invierno es de 38.
Botón derecho / Opciones de ventana
Media = 45
Alpha = 5%
Hipótesis alternativa = Mayor que
contraste t
----------Hipótesis nula: media = 45,0
Alternativa: mayor que
Estadístico t = -0,845953
P-valor = 0,794097
No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05.
Por tanto, con un nivel de significación del 5%, aceptamos la hipótesis nula, es decir,
que la media de los libros prestados en invierno es de 45.
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