5. Comportamiento estratégico cooperativo 5.1. Juegos

5. Comportamiento estratégico cooperativo
5.1. Juegos cooperativos
Un juego cooperativo (con utilidad transferible) en forma coalicional consiste en: (i) un
conjunto no vacío y finito N de jugadores,
cuyos subconjuntos se denominan coaliciones;
y (ii) una función v (llamada función característica) que asocia con cada coalición S (es
decir, con cada subconjunto S de N) un número
real v(S), que representa el pago (la “utilidad”,
los “beneficios”) que los miembros de S pueden obtener por sí mismos y que deben repartirse entre ellos.
Convención. Aunque un juego es, por tanto, un
par (N, v), para simplificar se identifica v con
el juego y se habla de “el juego v”. Cuando i 
N, se escribirá v(i) en lugar de v({i}) y, cuando
N es un conjunto de números, se escribirá (a
modo de ejemplo) v(12) en lugar de v({1, 2}).
Hipótesis. (i) La coalición vacía no genera
pagos: v() = 0. (ii) Propiedad de superaditividad: para todo subconjunto S y T de N
sin elementos en común, v(S  T)  v(S) +
v(T). Es decir, la unión de dos coaliciones
disjuntas puede al menos procurarse un “valor”
tan grande como la suma de los valores que
obtienen por separado. Esta propiedad captura,
grosso modo, la idea que cuando mayor es una
coalición mayor es lo que sus miembros pueden conseguir actuando colectivamente.
Aclaración. El término “utilidad transferible”
significa que v(S) se puede repartir de cualquier manera (sin restricción alguna) entre los
miembros de S. Puede, por ejemplo, pensarse
que v(S) es dinero.
Un juego es esencial si v(N) > iN v(i). Es
decir, si todos los jugadores forman la gran
coalición N (la coalición de todos los
jugadores), lo que pueden obtener v(N) al
formar la gran coalición es mayor que la suma
iN v(i) de lo que cada uno puede hacer por
separado.
Interpreta estas dos propiedades: (i) el juego v
es de suma constante si, para todo S  N, v(S)
+ v(N\S) = v(N); (ii) el juego v es convexo si,
para todo S  N y todo T  N, v(S  T) + v(S
 T)  v(S) + v(T).
Una imputación en un juego en forma
coalicional v con n jugadores es un vector (x,
… , xn) tal que: (i) iN xi = v(N); y (ii) para
todo jugador i en N, xi  v(i).
Una imputación es una especificación sobre
cómo distribuir entre los jugadores el pago que
puede conseguirse cuando todos se reúnen en
la gran coalición (puesto que, asumiendo la
superaditividad, ninguna coalición puede
conseguir más que la gran coalición N), de
forma que cada jugador obtenga al menos tanto
como puede conseguir por sí mismo. La interpretación es que la imputación (x, … , xn)
reparte el valor v(N) de forma que al jugador i
le corresponde xi.
Un concepto de solución para juegos cooperativos consiste en la selección del conjunto de
imputaciones que se consideran “razonables” o
“aceptables”. Se presentan a continuación dos
conceptos de solución: el núcleo (que generalmente selecciona más de una imputación) y el
valor de Shapley (que consiste en una única
imputación).
5.2. El núcleo
Definición 1. El núcleo de un juego en forma
coalicional v con n jugadores es el conjunto de
todas las imputaciones (x, … , xn) tales que,
para todo S  N, iS xi  v(S).
El núcleo de un juego v recoge todas las
imputaciones cuyo reparto de ganancias entre
los jugadores es inmune a objeciones que
pueda formular cualquier coalición. Dicho de
otro modo, una imputación está en el núcleo si
lo que corresponde a cada coalición según la
imputación es al menos tan grande como lo
que esa coalición puede conseguir por sí
misma. Porque si le correspondiese menos, los
miembros de la coalición tendrían incentivo a
romper el acuerdo que establece la imputación
separándose de la gran coalición.
Ejemplo. Sea el juego con 3 jugadores v(i) = 0
para todo i  N, v(12) = 10, v(13) = 15, v(23) =
20 y v(123) = 25. La imputación (x, x, x) =
(7, 9, 9) no pertenece al núcleo porque la coalición {2, 3} puede obtener por sí misma 20 y en
la imputación le corresponde sólo 18.
Así como los perfiles de estrategias que constituían un equilibrio en un juego no cooperativo eran estables/robustas/inmunes a desviaciones por parte de jugadores (en un equilibrio
ningún jugador, actuando por separado, tenía
incentivo a desviarse de la estrategia que
prescribía el equilibrio), las imputaciones que
están en el núcleo de un juego cooperativo son
estables/robustas/inmunes a desviaciones por
parte de coaliciones, es decir, a desviaciones
por parte de grupos de jugadores.
Teorema 1. El núcleo de un juego esencial y
de suma constante está vacío.
El Teorema 1 establece que no todos los
juegos cooperativos tienen imputaciones que
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sean in-munes a desviaciones por parte de
coaliciones: hay juegos en los que ninguna
imputación (x, … , xn) cumple que, para todo
S  N, iS xi  v(S). Por tanto, el núcleo de
esos juegos será el conjunto vacío. El
paralelismo con los juegos no cooperativos se
encuentra en aquellos jue-gos que no poseen
algún equilibrio en estrate-gias puras.
Ejemplo. Sea el juego v(1) = 5, v(2) = 10, v(3)
15, v(12) = 25, v(13) = 30, v(23) = 35 y v(123)
= 40. Comprueba que este juego es superaditivo
(satisface
la
propiedad
de
superaditividad), de suma constante y esencial.
Por el Teorema 1, no hay ninguna imputación
en núcleo. Porque para que la imputación (x,
x, x) esté en el núcleo deben satisfacerse a la
vez 7 condiciones: x  v(1) = 5; x  v(2) =
10; x  v(3) = 15; x + x  v(12) = 25; x + x
 v(13) = 30; x + x  v(23) = 35; y x + x +
x = v(123) = 40. Pero 40 – x = x + x  35
im-plica 5  x; y dado que x  5, se concluye
que, para que (x, x, x) esté en el núcleo, x
debe ser 5. Un argumento similar prueba que
x = 10 (utilizando x + x + x = 40, x + x 
30 y x  10) y x = 15 (utilizando x + x + x
= 40, x + x  25 y x  15). Así, para estar en
el núcleo, (x, x, x) ha de cumplir que x = 5,
x = 10 y x = 15. Sin embargo, el vector (x,
x, x) = (5, 10, 15) no es una imputación,
porque x + x + x  v(N) = 40. Esto significa
que ningún vector (x, x, x) cumple las 7
condiciones de pertenencia al núcleo.
Ejercicio 1. Calcula todas las imputaciones del
núcleo del juego v(1) = v(2) = v(3) = 5, v(12) =
v(13) = v(23) = 10 y v(123) = 15. ¿Es v
esencial? ¿De suma constante? ¿Superaditivo?.
Si el Teorema 1 identifica una clase de juegos
cuyo núcleo está vacío, el siguiente teorema
identifica condiciones necesarias y suficientes
para que un juego de 3 jugadores posea alguna
imputación en el núcleo.
Teorema 2. El núcleo de un juego en forma
coalicional con 3 jugadores es no vacío si, y
sólo si:
5.3. El valor de Shapley
El valor de Shapley es un concepto de solución
para juegos cooperativos que selecciona una
única imputación (, … , n) en cada juego.
Las imputaciones en el núcleo pueden entenderse como repartos de pagos que pueden tener
lugar. O, más bien, hay razones para descartar
que tenga lugar un reparto que no se
corresponda con una imputación que esté en el
núcleo: que alguna coalición tendrá incentivo a
no aceptar ese reparto. El valor de Shapley no
tiene ese carácter descriptivo de identificar lo
que puede ocurrir, sino que su carácter es más
bien normativo: establece una imputación
“justa” basada en pagos esperados. El valor de
Shapley establece pues un reparto de
referencia que se construye asignando a cada
jugador un pago “medio”.
Hay al menos dos maneras de entender ese
pago “medio” que un jugador espera obtener al
jugar v. Para simplificar, consideremos un
juego con 3 jugadores, i, j y k. La primera motivación del valor de Shapley es como sigue.
Tomemos al jugador i. Éste puede integrarse
en 3 tipos de coaliciones: las que no contienen
a ningún otro jugador, las que contienen un
solo jugador y las que contienen dos jugadores.
La definición del pago “medio” o “esperado”
de i se basa en dos hipótesis. Primera, que la
probabilidad que tiene i de incorporarse al
cualquiera de los 3 tipos de coaliciones es la
misma (en este caso, 1/3). Segunda, que el
pago que recibe i al integrarse en la coalición
ya formada S es lo que contribuye i a esa
coalición. La contribución de i a la coalición S
se define como lo que se obtiene cuando i se
añade a S (el valor v(S  {i})) menos lo que S
obtenía antes de que se incorporara i (el valor
v(S)). De modo que si, sin i, se obtenía v(S) y
con i se obtiene v(S  {i}), la contribución de i
es v(S  {i}) – v(S) y, en principio, sería “justo” que i recibiese lo que aporta a la coalición.
v(1) + v(2) + v(3)  v(N)
v(1) + v(23)  v(N)
v(2) + v(13)  v(N)
v(3) + v(12)  v(N)
v(12) + v(23) + v(13)  2  v(N).
Sólo hay una coalición del primer tipo, la
coalición vacía . Si i se incorpora a esta coalición contribuye en v(i) – v(). Como v() =
0, su contribución es v(i). De modo que su
contribución esperada al primer grupo de
coaliciones es (1/3)v(i).
Por consiguiente, si se cumplen estas condiciones, el núcleo no está vacío; y si el núcleo no
está vacío, se cumplen estas condiciones.
Hay dos coaliciones del segundo tipo: una
formada por {j} y otra por {k}. La probabilidad de incorporarse a alguna coalición de un
cierto tipo se distribuye igualitariamente entre
todas las coaliciones de ese tipo. En este caso,
la probabilidad 1/3 de incorporarse a una
Ejercicio 2. Comprueba si el núcleo del
siguiente juego está o no vacío: v(i) = 0, v(12)
= v(13) = v(23) = 3 y v(123) = 5.
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coalición con 1 miembro se reparte igualitariamente entre todas las coaliciones que tengan
un miembro, por lo que la probabilidad de que
i se incorpore a la coalición {j} es la misma de
que se incorpore a {k}, 1/3 multiplicado por
1/2. Si i se incorpora a la coalición {j}, lo cual
hace con probabilidad 1/6, contribuye con v(ij)
– v(j). Si i se incorpora a la coalición {k}, lo
cual hace también con probabilidad 1/6,
contribuye con v(ik) – v(k). Su contribución
esperada es, en este segundo tipo, (1/6)(v(ij) –
v(j)) + (1/6)(v(ik) – v(k)).
Por último, hay una única coalición del tercer
tipo, {j, k}. La contribución de i a esta coalición es v(ijk) – v(jk) y su contribución esperada
es (1/3)(v(ijk) – v(jk)).
En total, la contribución esperada de i a una
coalición es
(1/3)v(i) + (1/6)(v(ij) – v(j)) +
(1/6)(v(ik) – v(k)) + (1/3)(v(ijk) – v(jk)). (1)
Éste es el valor de Shapley para el jugador i en
el juego v: su contribución media a cada
coalición cuando (i) la probabilidad de incorporarse a una coalición de un cierto tamaño es
siempre la misma y (ii) dentro del conjunto de
coaliciones con un mismo tamaño, la probabilidad de incorporarse a una de ellas es también
siempre la misma.
Definición 2. El valor de Shapley de un juego
v con n jugadores es la imputación (, … , n)
tal que i = S  N con i  S [(n – s)! (s – 1)!/ n!]
[v(S) – v(S\{i})], donde s es el número de
miembros de la coalición S y, para el número
natural k, k! (léase “ca factorial”) = k  (k – 1) 
(k – 2)  …  3  2  1, con 0! = 1 por definición.
Por ejemplo, si n = 3, el valor de Shapley del
jugador i se calcularía considerando todas las
coaliciones S que continene a i. Son 4: {i}, {i,
j}, {i, k} e {i, j, k}. Así que i es el sumatorio
de cuatro miembros. El primero resulta de
tomar S = {i}. En este caso, (n – s)! = (3 – 1)!
= 2! = 2, (s – 1)! = (1- 1)! = 1, n! = 3! = 6 y
v(S) – v(S\{i}) = v({i}) – v() = v({i}). En
resumen, el primer componente es (2/6)v(i) =
(1/3)v(i).
El segundo miembro resulta de tomar S = {i,
j}. En este caso s = 2, con lo que [(n – s)! (s –
1)!/ n!] [v(S) – v(S\{i})] = (1/6) (v(ij) – v(j)). El
tercer miembro resulta de tomar S = {i, k}.
Como s = 2, [(n – s)! (s – 1)!/ n!] [v(S) –
v(S\{i})] = (1/6) (v(ik) – v(k)). El último
miembro resulta de tomar S = N = {i, j, k}.
Ahora s = 3 y [(n – s)! (s – 1)!/ n!] [v(S) –
v(S\{i})] = (2/6) (v(ijk) – v(jk)). De modo que
i coincide con (1).
La segunda motivación y construcción del
valor de Shapley se basa en suponer que el
juego se juega como sigue. Los jugadores forman la gran coalición escogiendo aleatoriamente un orden de incorporación de manera
que todos las ordenaciones de los jugadores
son igualmente probables. El primer jugador i
del orden seleccionado obtiene v(i); el segundo
jugador j en el orden obtiene v(ij) – v(i); y, en
general, el jugador k obtiene v(S  {k}) – v(S),
donde S es el conjunto de todos los jugadores
que preceden a k en el orden en que se forma la
gran coalición. En ese caso, el pago esperado
de un jugador i cualquiera es
i = S  N con i  S [(n – s)! (s – 1)!/ n!] [v(S) –
v(S\{i})],
es decir, su valor de Shapley. La razón es que
la probabilidad de que s jugadores dados
entren en la gran coalición antes de los
restantes n – s jugadores es (n – s)! s! / n!. Y la
probabilidad de que, entre esos s jugadores, un
cierto jugador i sea el último en incorporarse a
la gran coalición es 1/s. El producto de estas
dos probabilidades es (n – s)! (s – 1)! / n!, que
determina la probabilidad de que i obtenga el
pago v(S) – v(S\{i}). De aquí que i sea el pago
esperado de i cuando el juego se juega de la
forma descrita.
Ejemplo. El juego v(1) = 5, v(2) = 10, v(3) 15,
v(12) = 25, v(13) = 30, v(23) = 35 y v(123) =
40 no tiene núcleo. Vamos a calcular el valor
de Shapley siguiendo la segunda forma de
motivarlo. Al haber tres jugadores, hay tres
maneras de construir la gran coalición: según
los órdenes de incorporación (1, 2, 3), (1, 3, 2),
(2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1). La
hipótesis es que todos los órdenes tienen la
misma probabilidad de ser seleccionados.
Consideremos al jugador 1. Si se llegara a
formar N en el orden (1, 2, 3), a 1 le
correspondería el pago v(1), por ser el primero.
Lo mismo recibiría si el orden fuese (1, 3, 2).
Si el orden fuese (2, 1, 3), a 1 le correspondería
v(12) – v(2). Si fuese (2, 3, 1), v(123) – v(23).
Si fuese (3, 1, 2), v(13) – v(3). Y si fuese (3, 2,
1), v(123) – v(23). Al ser todas las contribuciones igualmente probables, la contribución
esperado coincide con la contribución media:
[v(1) + v(1) + (v(12) – v(1)) + (v(123) – v(23))
+ (v(13) – v(3)) + (v(123) – v(23))]/6. Este
valor coincide con . El mismo procedimiento determina que la contribución media del
jugador 2 sea  y la del 3, . Así que la
contribución media de cada jugador cuando el
juego es jugado de la forma indicada es su
valor de Shapley.
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Uno de los atractivos del valor de Shapley es
que siempre está definido y es único.
Observación. El índice i coincide con el valor
de Shapley de i en el juego v.
Teorema 3. Todo juego tiene un único valor
de Shapley.
El índice i expresa la probabilidad de que el
jugador i sea decisivo, es decir, de que su
incorporación a una coalición perdedora la
transforme en ganadora. El “poder” de i se
mide mediante la probabilidad de que sea un
miembro pivote de una coalición ganadora (de
que su salida de la coalición la transforme en
perdedora).
El problema es que el valor de Shapley puede
no pertenecer al núcleo, por lo que el reparto
que establece el valor de Shapley no sería
inmune a objeciones de alguna coalición.
Ejercicio 3. Comprueba que (2/3, 1/6, 1/6) es
el valor de Shapley del juego v(i) = v(23) = 0,
v(12) = v(13) = v(123) = 10. Comprueba que la
única imputación que esta en el núcleo del
juego es (10, 0, 0).
Sería pues interesante y útil identificar tipos de
juegos en los que el valor de Shapley disfrutara
de las propiedades de estabilidad de las imputaciones que pertenecen al núcleo.
Teorema 4. Si un juego es convexo, entonces
su valor de Shapley pertenece al núcleo del
juego.
Del Teorema 4 se deduce que el núcleo de un
juego convexo es no vacío.
Definición 4. Juegos de votación con pesos y
cuota. Dados los números [q; p, … , pn], el
juego de votación con cuota q y n jugadores
con pesos p, … , pn viene definido por la
función característica v tal que v(S) = 1 si la
suma de los pesos de los miembros de S es
mayor o igual a la cuota y v(S) = 0 en otro
caso. Si v(S) = 1 se interpreta que S es una
coalición ganadora y si v(S) = 0, que es
perdedora.
Ejemplo. [2; 1, 1, 1] representa el juego de
votación con 3 jugadores, en el que cada
jugador tiene un voto y la cuota está en 2
votos: v(1) = v(2) = v(3) = 0 y v(12) = v(13) =
v(23) = v(123) = 1. En otras palabras, [2; 1, 1,
1] representa la votación por mayoría simple
con 3 votantes.
Como ilustración, consideremos el juego [2; 1,
1, 1]. El jugador 1 sólo es decisivo cuando se
incorpora a la coalición {2} o a la {3}. Por
tanto, sólo en 2 ocasiones es pivote. Pero (por
simetría del juego) lo mismo ocurre con el 2 y
el 3: el 2 sólo es decisivo al incorporarse a {1}
o a {3}, y el 3 sólo al incorporarse a {1} o {2}.
De modo que todos son igualmente “poderosos” o decisivos. O, más exactamente, la probabilidad de que uno cualquiera de ellos sea
decisivo es la misma de que lo sea cualquier
otro. Capturando esta intuición,  =  =  =
1/3.
El índice de poder representado por el valor de
Shapley permite evaluar la “bondad” de
determinados métodos de votación. Por
ejemplo, en el Ejercicio 16 se muestra que un
método de votación con ponderaciones 49, 37,
14 y que exige cuota 51 opera, en la práctica,
como si no hubiera ponderaciones: todos los
jugadores tienen el mismo índice de poder.
Por último, el Ejercicio 13 representa un parlamento con 6 grupos parlamentarios en el que
las decisiones se toman por mayoría simple y
en donde dos de los grupos son los mayoritarios y el resto son partidos minoritarios. Así,
1/3 indica que cada uno de los dos primeros
grupos dispone de 1/3 de los escaños y que
cada uno de los cuatro restantes partidos posee
1/12 de los escaños. La medida de poder de
cada grupo reflejada en el valor de Shapley
indica que, en conjunto, los partidos minoritarios tienen más poder de lo que la suma de sus
escaños parece sugerir.
El valor de Shapley permite definir un índice
de poder en juegos de votación. Sea G el
conjunto de las coaliciones más pequeñas que
son ganadoras. Es decir, S  G si, y sólo si,
v(S) = 1 y, para cualquier subconjunto T de S
diferente de S, v(T) = 0.
Definición 5. El índice de poder i del jugador
i en v es i = S  G con i  S (n – s)! (s – 1)!/
n!, donde s es el número de elementos de S.
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Ejercicios adicionales
Ejercicio 4 (Harsanyi (1977, p. 218)). Calcula
el valor de Shapley (v) del juego en forma
coalicional con función característica v(1) =
10, v(2) = 20, v(3) = 30, v(12) = 40, v(13) = 40,
v(23) = 80 y v(123) = 160. Solución: (v) =
(35, 60, 65).
Ejercicio 5 (Harsanyi (1977, p. 220)). Calcula
el valor de Shapley (v) del juego en forma
coalicional cuya función característica
coincide con la del juego del Ejercicio 1
excepto en {1, 2, 3}, cuyo valor es 91.
Solución: (v) = (12, 37, 42).
Ejercicio 6 (Harsanyi (1977, p. 233)). Calcula
el valor de Shapley (v) del juego en forma
coalicional con función característica v(i) = 0,
v(12) = v(13) = v(23) = 42 y v(123) = 90.
Solución: (v) = (30, 30, 30). Comprueba que
el valor coincide con el del juego u(i) = 0,
u(12) = u(13) = u(23) = u(123) = 90.
Ejercicio 7 (Luce y Raiffa (1957, p. 251)).
Comprueba que los juegos u, v y w definidos a
continuación satisfacen: (a) w = u + v; y (b)
(w) = (u) + (v), con (w) = (½, 1, ½)
(u) = (0, ½, ½) y (v) = (½,½, 0). Los juegos
son: u(S) = 0 excepto u(123) = u(23) = 1; v(S)
= 0 excepto v(123) = v(12) = 1; y w(i) = w(13)
= 0, w(12) = w(23) = 1 y w(123) = 2.
Ejercicio 8 (Luce y Raiffa (1957, pp. 207 y
249)): mercado con un vendedor (jugador 1) y
dos compradores (jugadores 2 y 3). El jugador
1 desea vender un objeto indivisible que valora
en a €. El jugador 2 valora el bien en b € y el 3
en c €. Asumamos a < b  c. Razona por qué
esta situación puede representarse mediante el
juego en forma coalicional v(1) = a, v(2) = v(3)
= v(23) = 0, v(12) = b y v(13) = v(123) = c.
Comprueba que el núcleo de este juego
consiste en las imputaciones (x, x, x) tales
que b  x  c, x = 0 y  x = c – x. Interpreta
el resultado. Comprueba que (v) = (a/3 + b/6
+ c/2, –a/6 + b/6, –a/6 – b/3 + c/2).
Ejercicio 9. Comprueba que [5; 2, 3, 4] y [2;
1, 1, 1] definen el mismo juego en forma
coalicional. Muestra que el valor de Shapley
de este juego es (1/3, 1/3, 1/3) y que esta
imputación no pertenece al núcleo.
6 miembros y operaba en 1964 con voto
ponderado y cuota [58; 31, 31, 28, 21, 2, 2]. La
equivalencia anterior muestra que tres de los
miembros no tenían ninguna influencia en las
decisiones.
Ejercicio 11. Comprueba que (1/2, 1/6, 1/6,
1/6) es el valor de Shapley del juego
representado por [3; 2, 1, 1, 1].
Ejercicio 12. Comprueba que (2/3, 1/6, 1/6) es
el valor de Shapley del juego representado por
[3; 2, 1, 1]. Comprueba que la única
imputación que esta en el núcleo del juego es
(1, 0, 0).
Ejercicio 13 (Robert Aumann): el precio
competitivo de un voto. Calcula el valor de
Shapley del juego representado por [1/2; 1/3,
1/3, 1/12, 1/12, 1/12, 1/12]. Interpreta el
resultado.
Ejercicio 14 (Ordeshook (1986), pp. 463-464).
Comprueba que (2, 3’5, 5’5) es el valor de
Shapley del juego v(1) = 0, v(2) = 2, v(3) = 3,
v(12) = 3, v(13) = 6, v(23) = 7, v(123) = 11.
Ejercicio 15. Comprueba que (¼, ¼, ¼, ¼) es
el vector de índices de poder del juego
representado por [3; 1, 1, 1, 1].
Ejercicio 16 (Ordeshook (1986), pp. 466-467).
Comprueba que (1/3, 1/3, 1/3) es el vector de
índices de poder del juego representado por
[51; 49, 37, 14]. Muestra que este juego es
equivalente a [2; 1, 1, 1].
Referencias
 Harsanyi, John C. (1977): Rational behavior
and bargaining equilibrium in games and
social situations. Cambridge: Cambridge
University Press.
 Luce, Duncan y Raiffa, Howard (1957):
Games and decisions. Nueva York: John
Wiley.
 Ordeshook, Peter C. (1986): Game theory
and political theory. Cambridge: Cambridge
University Press.
Ejercicio 10 (W. Lucas). Comprueba que [58;
31, 31, 28, 21, 2, 2] y [2; 1, 1, 1, 0, 0, 0]
definen el mismo juego en forma coalicional.
El Board of Supervisors del condado de
Nassau (Long Island, NY) estaba formado por
12enero2002