Ecuaciones de segundo grado. Conceptos: GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.
Actividad nº: 10
Nivel: 2º ciclo.
Tema: Ecuaciones II.
Objetivos: O77-O88
Metodología: Aula, Individual.
Alumno: _____________________________________ Curso/Grupo: _____ Nº: ____
Ecuaciones de segundo grado.
Conceptos:
Ya vimos que las ecuaciones se clasifican por el número de variables y por el grado del
término de mayor grado (Una vez quitados los paréntesis, los denominadores y reducidos los términos semejantes).
 Una ecuación de segundo grado en una variable tiene por expresión
general:
 ax2  bx  c  0 , las letras a, b y c, es decir, los coeficientes de la misma,
tienen su significado y están relacionados con las soluciones, como veremos
más adelante, pero ya podemos adelantar que el término independiente, c,
tiene el mismo significado que en las ecuaciones de 1er grado, es decir, es la
ordenada en el origen, para su gráfica, además de otras connotaciones interesantes.
 CASOS PARTICULARES (Ecuaciones incompletas): Se nos pueden
presentar cuatro casos, según cómo sean los coeficientes de la ecuación. Así:
 Ecuaciones sin término en x2, es decir, con a = 0, no son más que
ecuaciones de primer grado, las cuales ya sabemos resolver.
 Ecuaciones sin término en x, es decir, con b = 0:
 Expresión general: ax2  c  0
 Solución de la ecuación: Despejar la variable, de modo que:
c
c
 x2 
x
 Hay dos soluciones, una con +
a
a
y otra con −. Ahora bien, para que sean reales –c ha de ser
positivo, y además a ≠ 0.
 Ecuaciones sin término independiente, es decir, con c = 0:
 Expresión general: ax2  bx  0
 Solución de la ecuación: Sacar factor común x, luego igualar ambos
factores, por separado, a cero, así:
Adaptaciones nivel 2
Página.- i
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS

ACTIVIDADES DE AULA
x 1  0

ax  bx  0  x  ax  b   0  
b 
ax

b

0

x

2

a

luego, de las dos soluciones, una siempre es x = 0, además
siempre son las dos reales.
2
 Ecuaciones solo con término en x2, es decir con b y c nulos:
 Expresión general: ax2  0
 Solución de la ecuación: ax 2  0  x 2 
0
 0  x  0 hay una
a
única solución, llamada raíz doble, x = 0.
 Ejemplos de los casos anteriores:
 E1.- Ver resolución de ecuaciones de 1er grado.
32
 16  x   16  4  Las
2
soluciones son las dos reales, x1 = 4 y x2 = -4.
 E3.- x 2  5  0  x2  5  x    5  No es un númeroreal  No tiene
solución en el campo real, que es en el que nos movemos.
 E4.x1  0
x  0

2
2x  3x  0  x  2x  3  0  

 3  Soluciones.
2x  3  0 x 2 
2

 E2.- 2x 2  32  0  2x 2  32  x 2 
 OTROS CASOS PARTICULARES:
 Ecuaciones factorizadas:
 Expresión general: x  a   x  b  0
x  a  0
 Solución de la ecuación: x  a   x  b  0  
es decir,
x  b  0
igualamos a cero por separado ambos factores y luego despejamos la
 x1   a
 son las soluciones, siempre reales.
variable: 
x 2   b
 Ecuaciones que se pueden factorizar fácilmente, son aquellas expresiones que coinciden con el desarrollo del cuadrado de una suma o una diferencia binómica, o con el producto de una suma con una diferencia, es decir,
aquellas que coinciden con un producto notable.
 Expresión general_1: x 2  2ax  a 2  0
 Solución de la ecuación: x 2  2ax  a 2  0  x  a 2  0  Un cuadrado de una suma es como el producto de la suma por sí misma, con lo
que  x  a , que es la única solución o raíz doble.
Adaptaciones nivel 2
Página.- ii
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
 Expresión general_2: x 2  2ax  a 2  0
 Solución de la ecuación: x 2  2ax  a 2  0  x  a 2  0  Un cuadrado de una diferencia es como el producto de la diferencia por sí misma, con lo que  x  a , que es la única solución o raíz doble.
 Expresión general_3: x 2  a 2  0
 Solución de la ecuación: x 2  a 2  0  x  a   x  a   0  Como
siempre que un producto de dos factores es igual a cero, uno de los dos,
x  a  0 x1  a
o ambos, debe ser nulo  

 x  a , ambas reax  a  0 x 2  a
les y opuestas la una de la otra.
 Ejemplos de los casos anteriores:
 E1.- x2  6x  9  0  x  32  0  x  3 , raíz doble.
2
9
3
3
 E2.- x  3x   0   x    0  x  , raíz doble.
4
2
2

42
49
14
49
 E3.- 9x 2  42 x  49  0  x 2   x   0  x 2   x   0 
9
9
3
9
2
2
7
7

  x    0  x   , raíz doble.
3
3

x  5  0 x1  5
Soluciones.

x  5  0 x 2  5
 E4.- x 2  25  0  x  5  x  5  0  
3

x 0

9
3
3

 E5.- 4x 2  9  0  4   x 2    0  4   x     x    0   2
4
2 
2


x  3  0

2
ya que 4 es indiscutiblemente no nulo, con lo que, definitivamente nos queda
3
que las soluciones son x   .
2
 MÉTODO DE COMPLITUD DE CUADRADOS:
 No todos los trinomios de segundo grado se corresponden con el cuadrado
de una suma o una diferencia, ni tampoco son necesariamente el producto de
dos binomios reales, pero el producto de dos binomios reales, de la forma
x  a   x  b , siempre da como resultado un trinomio de segundo grado; la
cuestión es qué dos binomios dan como resultado de su producto el trinomio que tenemos.
 Por ejemplo: ¿Qué dos binomios dan como resultado de su producto el trinomio x 2  5x  6 ?. Para contestar a la pregunta lo mejor es seguir los siguientes
pasos:
Adaptaciones nivel 2
Página.- iii
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
 1º.- Contestarse a la siguientes preguntas:
 ¿De qué número es 5, el coeficiente del término en x, su
5
doble?. Esta claro que  2  5 .
2
 ¿Cuál es el cuadrado de dicho número?. Esta claro que es
25
.
4
 ¿Existe dicho número en nuestra expresión trinómica?. Si
la respuesta es afirmativa entonces el trinomio es el desarrollo de un cuadrado perfecto, en caso contrario procederemos a realizar los siguientes pasos.
 2º.- Rescribir el trinomio poniendo al principio los término que contienen la variable, a continuación sumamos y restamos el cuadrado del
número que nos salió como respuesta a la primera pregunta, y por último pondremos el término independiente que ya teníamos.
25 25
25  25

 x 2  5x  6  x 2  5 x 

 6   x 2  5x   
 6.
4
4
4 4

 Es evidente ahora que el trinomio encerrado entre paréntesis resulta ser
2
25  
5

el desarrollo de un cuadrado  x 2  5x     x   , con lo que si
4 
2

realizamos la operación de fuera del paréntesis, reducimos términos, y
escribimos éste como el cuadrado de la diferencia, obtendríamos
2
2
5 1 
5 1 
5 1

 x        x      x      x  2    x  3 .
2 2 
2 2 
2 2

 Si el trinomio original se correspondiera con una ecuación de segundo
grado, tendríamos en resumen:
25 25

60.
 x 2  5x  6  0  x 2  5x 
4
4
2


25  25
5
1
 2

 x  5x     6  0   x     0 .
4 4
2
4


La última expresión es de la forma ax2  c  0 , ecuación
incompleta de segundo grado que ya sabemos resolver.
2


2
5
1
5
1
5
1


.
x     0  x     x   
2
4
2
4
2
4


Esta última expresión no es más que dos ecuaciones de
5 1
6


x  2  2
x 1  2  3

 soluciones.
primer grado, 
x  5   1
x  4  2

 2 2
2
2
CONCLUSIÓN: Hemos logrado resolver una ecuación de segundo grado completa, al proceso seguido se le conoce como Método de Complitud de Cuadrados.
Adaptaciones nivel 2
Página.- iv
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
NOTA: Para poder aplicar el método de seguido es necesario que el coeficiente de x2
sea la unidad, caso de no ser así habría que sacar antes dicho coeficiente como
factor común de toda la expresión, o lo que es lo mismo, dividir ambos miembros de la ecuación por dicho valor antes de aplicar el método.
Ejemplo:
3
1
3
9
9 1
 x   0  x2   x     0 
2
2
2
16 16 2
x1  1
2
3
1
3
1
3
1


 x     0  x   
x  
 1  Soluciones.
4  16
4
16
4
4
x2 


2

2x 2  3x  1  0  x 2 
 Aplicándolo al caso general de una ecuación de 2º grado:
b
a
c
a
b
a
 ax 2  bx  c  0  x 2   x   0  x 2   x 
b2
b2 c

 0
4a 2 4a 2 a
2
b  b2  4ac
b 
b2  4ac


 x   

0

x






2a 
2a 
4a 2
4a 2


b
b 2  4ac
b
b 2  4ac
 b  b 2  4ac

x

x
, que
2a
2a
2a
2a
4a 2
es la solución general de una ecuación de 2º grado.
x
 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO COMPLETA:
 Expresión general: ax2  bx  c  0
 Solución de la ecuación: x 
 Ejemplos:
 b  b 2  4ac
2a
 (8)  (8)2  4  1  15 8  64  60


2 1
2
8  2 10

x1 

5

8 4 82 
2
2



 Son las dos reales y positivas.
8

2
6
2
2
x 
 3
 2
2
2
E1.- x 2  8x  15  0  x 
E2.- 3x 2  6x  12  0  x 

 (6)  (6)2  4  3  (12) 6  36  144


23
6

6  180 6  6  5
x  1  5

 1 5   1
 Son las dos reales y de signos opuestos.
6
6

x

1

5
 2
E3.- 4x 2  12x  9  0  x 
Adaptaciones nivel 2
 (12)  (12)2  4  4  9 12  144  144


24
8
Página.- v
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS

ACTIVIDADES DE AULA
12  0 12 3

  Solución única, raíz real doble.
8
8 2
E4.- x 2  8x  25  0  x 
 (8)  (8)2  4  1  25 8  64  100


2 1
2
8   36
 No hay solucionesreales, ya que el radicandoes negativo.
2
En este caso se dice que las soluciones son complejas, y serían:

x
8  6i x1  4  3i

 Como ya vereis,se tratade dos complejosconjugados.
2
x 2  4  3i
 DISCRIMINANTE DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO:
 Definición: se define como el valor de la expresión b2  4  a  c , y se representa por la letra griega , así:   b2  4  a  c
 Aplicación: como ves se trata del valor del radicando en la solución general de una ecuación de 2º grado, y como vimos en los ejemplos anteriores pueden ocurrir tres cosas:
 Que sea nulo (E3.-), es decir, que  = 0, en cuyo caso la solución es
una raíz doble.
 Que sea negativo (E4.-), es decir, que  < 0, en cuyo caso no hay soluciones reales.
 Que sea positivo (E1.- y E2.-), es decir, que  > 0, en cuyo caso hay
dos soluciones reales.
 DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE 2º
GRADO:
 0  Raíz real doble

 Por el signo del discriminante: si   0  No hay solucionesreales
 0  Hay dos solucionesreales

 Por el signo del término independiente:
  0 y c  0  Las dos solucionesson reales y del mismosigno.
  0 y c  0  Las dos solucionesson reales y de signos opuestos.
 si 
 si  > 0 y c < 0, si además b > 0, entonces la negativa es mayor en valor absoluto que la positiva, y si b < 0, entonces al revés.
 si  > 0 y c > 0, si además b > 0, en ese caso son las dos negativas, y si
b < 0 entonces son las dos positivas.
 Ejemplos:
  (5) 2  4  1  6  25  24  1  0

c  6  0
2
E1.- x  5x  6  0  
Comprobarlo.
b  5  0
Soluciones: x  2 y x  3
1
2

Adaptaciones nivel 2
Página.- vi
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
  4 2  4  1  3  16  12  4  0

c  3  0
E2.- x 2  4x  3  0  
Comprobarlo.
b

4

0

Soluciones: x  1 y x  3
1
2

  2 2  4  (3)  1  4  12  16  0

c  3  0
E3.- x 2  2x  3  0  
Comprobarlo.
b

2

0

Soluciones: x  3 y x  1
1
2

  12  4  (6)  1  1  24  25  0

c  6  0
E4.- x 2  x  6  0  
Comprobarlo.
b

1

0

Soluciones : x  2 y x  3
1
2

Como has podido comprobar con los ejemplos anteriores, efectivamente se cumplen las
condiciones de la discusión previa.
Pero aún hay más, como el ¿Porqué esto es así?.
Si nos fijamos en los distintos pasos del Método de Complitud de Cuadrados, cuando
lo aplicamos al caso del ejemplo del apartado correspondiente de la página 5, tenemos,
en el segundo renglón:
2
3
1

 x     0 , pero esto no es más que una diferencia de cuadrados, que pode4  16

3 1 
3 1
1


mos escribir como:  x      x     x  1   x  
4 4 
4 4
2


Si además nos fijamos en las soluciones que nos dan, eso no es más que:
x  (1)   x  ( 1 )  , o lo que es lo mismo, x  x1   x  x 2 
2 

Si nos vamos al caso general, tenemos:
2
b
b 2  4ac

 0 , que como en el caso anterior, se trata de una diferencia de
x   
2a 
4a 2

2
2

b   b 2  4ac 
b
 
b


x 
  (ya que
  x 


cuadrados, así:  x   



2a  
2a
2a 2a  
2a 2a 




el radicando hemos visto que era el discriminante de la ecuación, de ahí que hayamos

 b    
 b   
   x  

cambiado la expresión)=  x  
 
 2a   , donde los segundos térmi
2
a

 



nos encerrados entre paréntesis no son otra cosa que las soluciones de la ecuación.
Adaptaciones nivel 2
Página.- vii
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
CONCLUSIÓN:
 Si conocemos las raíces o soluciones de una ecuación de 2º grado, x 1
y x2, entonces, para obtener su expresión general basta con realizar
el producto, x  x1   x  x 2 
Ejemplo: ¿Cuál es la expresión general de la ecuación de 2º grado que tiene por
3
7
y x2  ?.
soluciones x1 
4
5

7 
3 
7
7
3
3 7
  3  
2
Solución:  x  
    x     x     x    x   x   x   
5 
4 
5
5
4
4 5
 4  

15  28
21
13
21
 x2 
x 
 x2 
x 
 0.
20
20
20
20
2
  13 
  13 
  21 13
169 21

 
  4 1 



20
20
20





 20
400 5 
Comprobación: x 

2 1
2
13  43 7
13
169  1680 13
1849 13 43

x1 





13  43 
40
5
20
400
20
400
20
20





, c.q.d.
2
2
2
40
x  13  43   3
2

40
4

Si desarrollamos el producto x  x1   x  x 2  , tenemos:
x  x1   x  x 2   x 2  x1  x  x 2  x  x1  x 2  x 2  x1  x 2   x  x1  x 2
Fijándonos bien en detalle, podemos sacar las siguientes nuevas conclusiones:
b

x 1  x 2  a
 x  x1   x  x 2   ax 2  bx  c  
, que es la relación que hay
x  x  c
 1 2 a
entre los coeficientes de la ecuación general y las soluciones de la ecuación. Se
conocen como relaciones de Cardano-Vieta.
 Podemos escribir la ecuación en la forma x2  sx  p  0 , donde s representa la
suma de las soluciones y p el producto de las mismas, se conoce como forma
canónica de la ecuación, de ahí lo visto antes:
 Como c equivale al producto, para que el producto de dos números reales
sea positivo, ambos han de tener el mismo signo, o lo que es lo mismo, las soluciones de la ecuación tienen el mismo signo. Si fuese negativo los números
deben tener signos opuestos.
 Como b equivale a la suma cambiada de signo, para que la suma sea negativa, es decir, que b sea positivo, ambos números deben ser negativos o bien
uno positivo y otro negativo, pero además éste último ha de ser mayor en
valor absoluto al positivo.
Adaptaciones nivel 2
Página.- viii
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
 Ejemplos de todo lo visto anteriormente:
 E1.- Encontrar la expresión general de la ecuación de segundo grado que tiene
por soluciones x1 = −5 y x2 = 3.
 Solución:
 Una: suma de las soluciones: s = −2
producto de las mismas: p = −15
Ecuación: x 2  (2)x  (15)  x 2  2x  15  0
 Otra: x  (5)  x  3  x  5  x  3 
 x 2  5x  3x  5  3  x 2  2x  15  0
b
b b


5

3


a



a
2 2
 , para el caso parti Otra más: 
c
c
(5)  3   a 

a
 15
cular en que a = 1, nos quedaría: b  2 y c  15 , con lo que la
ecuación sería: x 2  2x  15  0
OBSERVACIÓN: Si no nos ponen más restricciones que las del enunciado, las soluciones son las expuestas y muchas más, hay infinitas, dependen todas ellas del valor de a, ya que en todas ellas hemos tomado ese
valor como la unidad, si hubiéramos tomado otros valores habríamos obtenido otras ecuaciones equivalentes, es decir, con las
mismas soluciones pero distinta expresión general, así:
 Valor de a 3: ecuación 3x 2  6x  45  0 .
3
6
 Valor de a 3/5: ecuación x 2   x  9  0 .
5
5
 etc. .... comprueba, aplicando la expresión de la solución general, que
efectivamente salen las mismas soluciones.
 E2.- Encontrar la expresión general de la ecuación de 2º grado de la que se
sabe que la suma de sus soluciones es 12 y su producto vale 27.
 Solución:
 Una: x 2  12x  27  0
 Otra: suponiendo a = 1,
12  b  b  12
 x 2  12x  27  0

27

c

Adaptaciones nivel 2
Página.- ix
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
 Problemas con restricciones:
 Tener en cuenta que:
 Una ecuación de 2º grado no es más que un trinomio de segundo grado igualado a cero.
 La expresión general del trinomio es:
A  x  x1   x  x2   Ax2  A  x1  x2   x  A  x1  x2 dependiendo
del valor de A obtendríamos distintas expresiones para el mismo, pero
todos ellos tendrán por soluciones, raíces o ceros del polinomio, los
mismos números reales x1 y x2.
 Las soluciones de la correspondiente ecuación de 2º grado no son
más que los valores reales para los cuales el valor numérico
del trinomio es nulo (cero).
 Ejemplos:
 E1.- Hallar la expresión general del polinomio de 2º grado que tiene
por soluciones 2 y –5, y que además para x = 1 toma el valor –30.
 Solución: de la expresión general P2 (x)  A  x  2  x  5 , y de
la segunda condición, P2 (1)  A  1  2  1  5  30  A  5
Con lo que su expresión general será P2 (x)  5x 2  15x  50 .
 E2.- Hallar la expresión general del polinomio de 2º grado que se anula
para x = −3 y toma el valor 10 para x = 2, además el coeficiente de x2 es
uno.
 Solución: como el coeficiente del término cuadrado es 1, entonces
A = 1. Por otro lado si se anula para x = −3, entonces esa es una
raíz o solución del mismo, de modo que P2 (x)  x  3  x  a  . Si
aplicamos la última condición P2 (2)  2  3  2  a   10 , de donde 2  a  2  a  0 . El polinomio pedido será P2 (x)  x 2  3x .
 E3.- Halla el valor de k para que las dos raíces de la ecuación
3x 2  8x  3k  0 sean iguales.
 Solución: para que halla raíz doble la condición es que el discri 16
minante sea nulo  (8) 2  4  3  (3k )  0  k 
.
9
 E4.- Encuentra las soluciones de una ecuación de 2º grado sabiendo
1
2
que suman
, y que su producto vale
.
15
5
 Solución: sean a y b las soluciones, entonces tenemos el siguiente
1
1

a  b  15  b  15  a
1
 2
 a   a 

sistema: 

2
15
5


a  b 

5
a 2
operando, a 2    0 que es la misma expresión que obten15 5
dríamos aplicando directamente la expresión de la ecuación para la
suma y el producto de las soluciones, y resolviéndola, nos quedará:
Adaptaciones nivel 2
Página.- x
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
2
 1
 1
2
2
1 19 
       4 1 

a1 


 15 
 15 
 5  15 15 
3
a


una es
2
2
a   3
 2
5
la solución para a y la otra para b, ambas lo son de la ecuación.
 RESOLUCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE SE
REDUCEN A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
 Debemos seguir los mismos pasos que para las ecuaciones de
primer grado con una incógnita.
 Para resolver una ecuación de segundo grado, lo primero que hay que
hacer es llegar a obtener la expresión general de una ecuación de 2º grado del
apartado anterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos
del cálculo en general:

Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad
distributiva del producto respecto a la suma.
Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos
miembros a común denominador.
Reducir términos semejantes en ambos miembros.
Transponer términos, pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la contengan, y volver a reducir
términos. (Aplicar los principios de equivalencia de ecuaciones)
Agrupar en un solo miembro todos los términos. (Volver a aplicar
los principios de equivalencia de modo que la expresión quede
igualada a cero)




 Ejemplo:
x - 1  x  1  x  5  2  x  1  x 2  1  x  5  2x  2 
2
6
3
2
6
3
x  2
3x 2  3  x  5 4x  4
5  25  24  1
2

 3x  5x  2  0  x 

1 ,
6
6
6
x

2

3

que son las soluciones de la ecuación, comprobarlo sustituyendo esos valores
en la ecuación original.
 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ENUNCIADO.
 Seguir los mismos pasos que para los de ecuaciones de primer
grado.
 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS DE 2º
GRADO.
 Encontrar las soluciones de la ecuación correspondiente.
 Tener en cuenta que el coeficiente de x2 debe multiplicar a todo.
Adaptaciones nivel 2
Página.- xi
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
 Si x1 y x2 son las soluciones encontradas, la descomposición del polinomio
será: ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x 2 
 Ejemplo:  5x 2  5x  30  5  x  2  x  3 , es muy importante tener presente lo del coeficiente de x2.
 ECUACIONES TRINÓMICAS.
 Expresión general: ax2n  bx n  c  0 , donde n es un contador natural,
n = 1, 2, 3, etc. ...
 Casos particulares:
 Para n = 1 obtenemos una ecuación de 2º grado.
 Para n = 2 obtenemos una ecuación bicuadrada, ax4  bx 2  c  0
 Resolución: en todos los casos se resuelven mediante un método denominado cambio de variable.
 Desarrollo del método de cambio de variable:
 Pasos a seguir:
 1º cambiar xn por y, con lo que x2n se cambia a y2, y nos quedaría la nueva ecuación ay2  by  c  0 , la cual es una ecuación de
2º grado en la variable y, la cual ya sabemos resolver.
 2º resolver la nueva ecuación, y obtendríamos dos soluciones y1
e y2.
 3º deshacemos el cambio, es decir, hacemos xn = y1, y luego xn =
y2, que son dos ecuaciones binómicas normales.
 4º, y último, resolvemos las ecuaciones binómicas del cambio.
 Ejemplos:

E1.2

x  y
2x  10x  8  0  
 2 y 2  10y  8  0 
2
4
2

 y2
x  x
10  100 64 10  6 1
y

   solucionesen y  desha4
4
4
x 1  1
x  1
2
x   1
x  1
 2


ciendo el cambio   2
, que son
x  4 x   4
x 3  2
x 4  2
las soluciones en la variable original. Vemos que, en este caso, hemos obtenido cuatro soluciones, y las cuatro válidas, reales, para
nuestra ecuación trinómica bicuadrada.
4
Adaptaciones nivel 2
2
 
Página.- xii
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS

ACTIVIDADES DE AULA
E2.x 4  5x 2  36  0  x 2  y  x 4  y2  y2  5y  36  0 
5  25  144 5  13 9

   solucionesen y  desha2
2
 4
 x1  3
x  3
2
x   9
x  9
 2


ciendo el cambio  2
, que son
x  4
x    4
x 3  2i
x 4  2i
y
las soluciones en la variable original. Vemos en este caso que solo
hay dos soluciones reales, la 3ª y 4ª son complejas. Las soluciones
que daríamos serían las reales.

E3.8x 6  63x 3  8  0  x 3  y  x 6  y2  8y2  63y  8  0 
8
63  3969 256 63  65 
y

   1  solucionesen y 
16
16

8
x  3 8
x 3  8
x  2




 deshaciendo el cambio   3  1  
1 ,

1
x
x 
x  3

2

8

8

que son las soluciones en la variable original.
 ECUACIONES IRRACIONALES.
 Son aquellas en las que alguna de las incógnitas figura bajo el
signo radical, ejemplo: x  3  x
 Resolución: solo veremos los casos en los que los radicales sean raíces
cuadradas y en esos casos:
 Pasos a seguir:
 1º aislar uno de los radicales, si hubiera más de uno, en uno de





Adaptaciones nivel 2
los dos miembros y el resto de los términos se pasan al otro.
2º se reducen términos semejantes, si los hubiera.
3º se elevan al cuadrado ambos miembros independientemente,
aplicando las propiedades del cuadrado de una suma y de potencia
de una potencia.
4º repetir todos estos pasos hasta que no queden raíces en la
ecuación.
5º resolver la ecuación que resulte.
6º, y muy importante, comprobar que las soluciones
cumplen las condiciones de la ecuación original.
Página.- xiii
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
 Ejemplo: 4x  1  3x  2  1
2
2
4x  1  1  3x  2   4x  1   1  3x  2  

 4x  1  1  3x  2  2  3x  2  4x  3x  1  1  2  2  3x  2
x  2  2  3x  2  x  22  22 

3x  2

2
 x 2  4x  4 
 4  3x  2  x2  4x  12x  4  8  0  x2  8x  12  0
8  64  48 8  4 x1  6
 x 2  8x  12  0  x 
, ¿Solucio

x

2
2
2
 2
nes?.
 4  6  1  3  6  2  1  5  4  1  Sí .
 Comprobamos: 
en

4

2

1

3

2

2

1

3

2

1

Sí
.

este caso ambas son soluciones de la ecuación irracional original,
pero puede darse el caso de que solo lo sea una, o cuatro,
o ninguna.
Actividades de aplicación.
P1.- Hallar la solución, o soluciones, de las siguientes ecuaciones:
a) x  52  4
d)
 2x  3
2
4
b) 6  x  1  3x  1  0
c)
 x  12    2x  1  0
e) 2x  3  x  1  2x  3  x  4  0
f ) 7x  21x2
g) 3x2  27x  0
h) 7x2  21x  0
i) 2x2  1  1
j) 3x2  108  0
k) 7x2  42x  0
P2.- Resolver las siguientes ecuaciones por el Método de Complitud de Cuadrados:
a) x2  2x  1  0
c) x2  10x  21  0
b) x2  9x  14  0
d) x2  7x  18  0
e) x2  10x  21  0
f ) 12x2  x  1  0
g) 2x2  5x  2  0
h) 6x2  5x  1  0
i) 25x2  20x  4  0
P3.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) x2  5x  4  0
b) 3x2  10x  3  0
c) 25x2  20x  4  0
d) 12x2  x  1  0
e) 3x2  10x  3  0
f ) 6x2  5x  1  0
g) x2  x  1  0
h) 4x2  12x  9  0
i) 2x2  x  45  0
Adaptaciones nivel 2
Página.- xiv
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
P4.- Resolver las siguientes ecuaciones:
x  6 x  6 17
2  2x  1 3  2x  1
a)



b)

5  0 
x -6 x 6 4
2x  1
2x  1
5
3
1
x 3 x 3 x 2
3x  4
4x  1
c)



d)


e)
 2  
2
x 3 x 3 x 3
5x  16 6x  11
3
4x
6x
x
x  1 13
2x  1 x  7
3x  1
x 5
5
f)



g)

 4

h)


x 1 x 1
x2
2
x2
x 1
x
6
1
i)
 2x  16 x  5 
j) 2x  32  x  1  3x  
x 1
l) 2x - 1  x  1  x  1  x  7 
k) x3  x  1  x  2  x  3 
P5.- Encontrar la ecuación de 2º grado que tiene por soluciones las que se dan en cada
caso:
1
3
a) x 1  ; x 2  2
b) x 1  2 ; x 2 
c) x1  1  3 ; x 2  1  3
2
2
3
7
; x2 
d) x1  3 ; x 2  5
e) x1  1 ; x 2  4
f) x 1 
4
5
P6.- Encontrar la ecuación de 2º grado de la que se conocen la suma y el producto de
sus soluciones:
a) s  5 ; p  6
b) s  5 ; p  6
c) s  2 ; p  15
5
1
3
1
1
1
d) s   ; p 
e) s  ; p 
f) s  ; p 
6
6
2
2
2
9
P7.- Sin hallar la solución de las siguientes ecuaciones, determina el valor de la suma y
del producto de las soluciones:
Suma :
Suma :
a) 3x 2  10x  3  0  
b) 3x 2  2x  5  0  
Producto :
Producto :
Suma :
Suma :
c) x  2x 2  5  0  
d) 3  x 2  2x  
Producto :
Producto :
Suma :
Suma :
e) 4x 2  17x  4  0  
f) 3x 2  6x  12  0  
Producto :
Producto :
Suma :
Suma :
g) 2x 2  19x  9  0  
h) 3x 2  10x  3  0  
Producto :
Producto :
Suma :
Suma :
i) 25x 2  20x  4  0  
j) 12x 2  7x  1  0  
Producto :
Producto :
P8.- Descomponer factorialmente los siguientes trinomios:
a) P2 (x)  3x2  10x  3 
b) P2 (x)  2x 2  5x  3 
c) P2 (x)  x3  x2  12x 
d) P2 (x)  12x2  17x  6 
e) P2 (x)  10x2  3x  1 
f) P2 (x)  15x 2  12x  3 
g) P2 (x)  3x 2  4x  1 
h) P2 (x)  2x 2  8x  2 
Adaptaciones nivel 2
Página.- xv
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
P9.- Completa la siguiente tabla de ecuaciones respondiendo, sin resolverlas, y con las
siguientes claves:



Positivas


Ambas de igual signo

 Negativas


dist
int
as



De signos opuestosSigno de la mayoren valorabsolutoPositiva
Re ales



Soluciones
 Negativa






iguales (raíz doble)Positiva


 Negativa

Complejas
Ecuación
Soluciones
Iguales/distintas
reales/complejas
Signo
igual/dist
Signo de la
mayor
x 2  5x  6  0
2x 2  7x  41  0
2x 2  6x  8  0
3x 2  x  5  0
 6x 2  x  43  0
x 2  3x  8  0
 2x 2  x  7  0
3x 2  10x  3  0
P10.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) x 4  10x 2  25  0
b) 2x 4  8x 2  6  0
d) 2t 4  8t 2  2  0
e) x 4  29x 2  100  0
g) 9x 4  16  40x 2
h) 34  x 2 
225
x2
c) x 4  x 2  3  0
5
1
f) x 4  x 2   0
4
4
12
i) x 2  2
x 1
P11.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 3  6x  1  5  2x 
b) 2x  1  x  4  6  c) 2  x  4  5x  4 
d)
x2  x  2  2x  4 
g)
x  x 1
1
x 1
2
e)
4x  x2 
h) 2t  2t  1  1 
f)  4  x  x  2 
i)
x  1 x  1 
P12.- Calcula las dimensiones de un rectángulo de 21 m de perímetro y 26 m2 de área.
P13.- Averigua para qué valores de m existen soluciones para la ecuación de segundo
grado x 2  2x  m  0 .
P14.- Sabemos que 1 2 es solución o raíz de la ecuación x 2  bx  1  0 . Calcula el
valor que tiene que tener b y encuentra la otra raíz.
Adaptaciones nivel 2
Página.- xvi
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
P15.- Las dos raíces de la ecuación 2x 2  bx  18  0 , son opuestas, es decir que son
iguales y de signos contrarios. Calcula el valor de b para que esto sea así.
P16.- La diferencia entre un número y su inverso es 9/20. Calcula dicho número.
P17.- Halla dos números naturales consecutivos tales que la diferencia entre su producto
y su suma sea 305.
P18.- Busca dos enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 61.
P19.- ¿Existirá algún número tal que la suma de su cuadrado con el inverso del mismo
sea 6?.
P20.- Encuentra una ecuación de segundo grado con soluciones 5 y −3, de modo que:
a) El coeficiente de x2 sea 6
b) El coeficiente del término en x sea 6.
P21.- Determinar el valor del parámetro m de modo que la ecuación de segundo grado
x 2  1  m  x  2m  0 , tenga una raíz igual a 3.
P22.- Averiguar en cada caso el valor del parámetro m de modo que en la ecuación de
segundo grado x 2  x  m  0 se cumpla:
a) El producto de las raíces sea 6.
b) La suma de las raíces sea igual al producto.
c) La diferencia entre las raíces sea3.
d) Las raíces son iguales.
P23.- ¿Cuál debe ser la altura mínima que debe de tener un faro para que su luz sea
visible, una noche despejada y sin bruma, desde una distancia de 30 Km.?.
NOTA: toma el valor del radio de la tierra de 6360 Km.
30 Km
R
Adaptaciones nivel 2
h
Página.- xvii
Acti10-EcuacII.
DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
2
, y escribe otra que tenga por raíces o soluciox 1
nes los cuadrados de las soluciones o raíces de la ecuación dada.
P24.- Resuelve la ecuación x 
P25.- Halla el valor que ha de tener k para que las dos raíces o soluciones de la
ecuación 3x 2  8x  3k  0 sean iguales.
P26.- Calcula el valor de m en la ecuación x 2  30x  m  0 , sabiendo que una raíz
es cuádruplo de la otra.
P27.- Determina el valor de b en la ecuación x 2  bx  21  0 , teniendo en cuenta
que la diferencia de sus raíces es 4.
P28.- Escribe una ecuación de segundo grado, suponiendo que la media aritmética
de sus raíces o soluciones es –5, y que su medio proporcional es 4.
x  x2
x
m
Nota: media aritmética 1
, medio proporcional 1 
.
2
m x2
P29.- Calcula un número que sumado con el doble de su raíz cuadrada dé 24.
P30.- Un barquero sube por un río 1.800 m. Para bajar emplea 9 min. menos que
para subir, pues la corriente aumenta su velocidad en 100 m./min. respecto de
la velocidad que lleva al subir. ¿Cuánto tiempo emplea en subir?. ¿Y en bajar?.
P31.- Halla tres números impares consecutivos tales que sus cuadrados sumen 5051.
P32.- Dentro de 11 años la edad de Teresa será la mitad del cuadrado de la edad que
tenía hace 13 años, ¿Qué edad tiene Teresa?.
Adaptaciones nivel 2
Página.- xviii
Acti10-EcuacII.