3. Los números reales. La recta real.

Aritmética y Algebra
Números reales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Los números racionales.
Los números irracionales.
Los números reales. La recta real.
Valor absoluto de un número real.
Radicales. Propiedades.
Notación científica.
Logaritmos. Propiedades.
Objetivos Mínimos
- Distiguir los distintos tipos de números reales.
- Saber colocar los distintos tipos de números en la recta real.
Conocer con precisión el significado de los distintos tipos de intervalos
numéricos y semirrectas.
- Comprender el concepto de valor absoluto de un número real.
- Conocer el concepto de raíz de un número real. Aplicar con precisión las
propiedades de los radicales.
- Saber operar los números reales escritos en notación científica.
- Comprender el concepto de logaritmo de un número real y aplicar con
soltura las propiedades de los logaritmos.
Introducción.Los griegos (s V a.C.) creían que todo el universo se regía por los números
naturales y sus relaciones (fracciones numéricas).
Formaban una especie de secta místico-matemática, que tenía por símbolo la
estrella de cinco puntas (pentágono estrellado).
Cuando descubrieron que la relación que existe entre el lado del pentágono
estrellado y el lado del correspondiente pentágono convexo no se puede
expresar como cociente de dos números enteros, sufrieron una gran
conmoción en sus creencias místico-matemáticas.
Les pareció tan contrario a la lógica este resultado que al número
correspondiente le denominaron irracional (contrario a la razón).
Actualmente los irracionales son tan “razonables” como los racionales, y
ambos conjuntos numéricos conforman el conjunto de los números reales.
Cesáreo Rodríguez
-1-
Aritmética y Algebra
1. Los números racionales.
Los números racionales se caracterizan porque pueden expresarse como
cociente de dos números enteros. Es decir:
x  Q   a, b  Z
(b  0) / x 
a
b
También, los números racionales, se caracterizan por su expresión decimal:
 x es entero

x  Q  ó
 x tiene una Expresión Decim al Periódica

2. Los números irracionales.
Ya conocemos, de los cursos de ESO, que hay números que no se pueden
poner como cociente de dos enteros, es decir, hay números no racionales.
Así, por ejemplo, 2 no se puede escribir como cociente de dos enteros:
Demostración (reducción al absurdo)
Supongamos que sí se puede y llegaremos a una contradicción.
a elevando
a 2 operando
cuadrado
2   
 2  2  
 2b 2  a 2
b
b
2
Como b es un cuadrado perfecto, contiene el factor (2) un número par de
veces. Por tanto 2b 2 contendrá el factor (2) un número impar de veces, lo
cual es imposible pues 2b 2  a 2 y a 2 es un cuadrado perfecto.
Los números no racionales se les llaman Irracionales.
Acabamos de ver que 2 es irracional y en general:
Si p  Z
y
n
p  Z  n p es Irracional
Ejemplo.
Son irracionales: 3 6; 3; 5; 4 12; 3 127; 3  9...
Sin embargo son racionales: 3 27; 9; 3  8; 4 81
De este modo, como vemos, podemos obtener un número no finito de
números irracionales. Ahora bien también conocemos de cursos anteriores
otros números (con una denominación específica por su importancia) que son
también irracionales. Quizá el más famoso de éstos sea el número:  que es
L
la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro:  
2r
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Otro número irracional (importante) es el llamado  (número áureo).
Observa que en el rectángulo ABCD si
suprimimos el cuadrado AMCN (rojo)
obtenemos el rectángulo MBND que es
semejante al rectángulo ABCD.
Si la longitud de AB es l ( l  AB ) y el
lado del cuadrado AMCN es 1 ( AC  1 )
entonces de la semejanza de los
rectángulos ABCD y MBND tenemos:
AB
BD
l
1

 
 l 2  l 1  0
AC BM
1 l 1
Al resolver esta ecuación de segundo grado tenemos como solución positiva:
l
5 1
 1,61803.....
2
Al número anterior se le denomina número áureo y se escribe  
Cuando la relación entre los lados del rectángulo ABCD es
o sea si
5 1
2
AB l
5 1
 l 
AC 1
2
AB
  , se dice que el rectángulo ABCD es un rectángulo áureo.
AC
Otro número irracional importante es el llamado número (e), en honor al
insigne matemático (L. Euler).
Es quizá el número más importante en matemáticas superiores, aparece en
numerosos procesos de crecimiento (bacteriano, de una masa forestal,…),
aparece también en los procesos físicos de la desintegración radiactiva, en
la descripción de la curva catenaria (curva que describe una cadena), y en
otras muchas curvas como la que describe la distribución del carácter
“talla” de una población estadística (llamada distribución Normal).
En el tema de sucesiones veremos que el número (e) se obtiene como límite
n
n
 1
 1
de la sucesión: an  1   o sea: e  lím 1  
n
 n
n 
El valor decimal aproximado de este número es: e  2.718281 ......
Los números irracionales se caracterizan por su expresión decimal diciendo
que son decimales infinitos no periódicos.
Así podríamos determinar infinitos números irracionales. Por ejemplo:
a) 3.1211211121 1112 .......
b) 1.1234567891 0111213141 516 ......
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
3. Los números reales. La recta real
Al conjunto formado por los números racionales e irracionales se le
denomina conjunto de los números reales y se designa por  .
Podemos pues recordar en un diagrama, la relación entre los distintos tipos
de números que hemos estudiado a lo largo de estos cursos:


50



 Naturales( N ) : 0,1,5, 64, 5 ,..........

Enteros( Z )
Racionales(Q)
 Enteros Negativos: 4,  49 , 3  8 ,.......



7
:



2 5
,..........

Fraccionarios : 1.25, ,
3
7


Irracinales( I ) : 2 , 5 , 3 6 ,  , e, nº áureo........................

Actividades.- observa la siguiente lista de números reales y coloca
cada uno en el recuadro correspondiente (observa que puede estar un mismo
número en más de un recuadro):


3 5 84
11;0.11;0. 1;13;0.3; ; ; ;43;43.2;0.001;103 ;10 3 ; 2; 9; 3  8; 5
5 3 6
Naturales(N)
Enteros(Z)
Racionales(Q)
Irracionales(I)
La palabra: “ARITMÉTICA” se usa para definir la Ciencia que estudia los
números y las operaciones entre ellos. Es una palabra que deriva de la griega
“ARITMOS” que significa Número.
La palabra “CÁLCULO” es el conjunto de procedimientos matemáticos
encaminados a resolver un problema. Es una palabra que deriva del latín pues
los romanos utilizaban piedras pequeñas para realizar sus cuentas, a estas
piedras se les denomina en latín “CALCULUS”.
La importancia del conocimiento de los números se pone de manifiesto en
frases como la dicha por Filolao (pitagórico s. V a.C.)
Todo lo que se puede conocer tiene un número. Sin el número no conocemos
ni comprendemos nada.
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Representación de los números Reales sobre la recta.Sabemos que los números racionales se sitúan en la recta de tal manera que
en cada tramo de la misma, por pequeño que éste sea, hay infinitos.
Ahora bien, aunque parezca extraño, una vez colocado los racionales en la
recta quedan infinitos “huecos” que son ocupados por los irracionales.
Entre todos ellos llenamos la recta, es decir, cada punto de la recta se
corresponde con un número real; de ahí el nombre de Recta Real.
Para colocar los números reales sobre la recta se procede así:
 Se coloca el cero en un punto cualquiera de la recta.
 Se coloca el uno, en un punto arbitrario, a la derecha del cero.
 Ahora se coloca cualquier número natural de uno en uno, ordenados de
menor a mayor, a la misma distancia que entre cero y uno.
 Los enteros negativos se colocan a la izquierda del cero, empezando
por -1 y de uno en uno, a la misma distancia que entre cero y uno.
 Los infinitos huecos que quedan entre los enteros, serán ocupados por
los racionales e irracionales, que se podrán colocar de modo exacto
(usando métodos geométricos) o, aprovechando la expresión decimal
de los mismos, de modo aproximado (que es el más habitual).
Ejemplo.-Representa en la recta real los números:
a) de forma exacta:  2; 3,75;
5; 0,666....;
b) de forma aproximada:   1,618........
Sol.a) Expresamos en fracción los números decimales: 3,75 
15
2
; 0,666 
4
3
b)
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Intervalos y Semirrectas.Para designar algunos tramos de la Recta Real, existe una nomenclatura que
debemos aprender y trabajar con soltura.
NOMBRE
SÍMBOLO
Intervalo
Abierto
a, b 
Intervalo
Cerrado
Intervalo
Semiabierto
a, b
a, b
a, b 
 , a
 , a
Semirrecta
a,
a,
SIGNIFICADO
x / a  x  b
REPRESENTACIÓN
Números
comprendidos
entre a y b
x / a  x  b
Números
comprendidos
entre a y b
ambos incluidos
x / a  x  b
x / a  x  b
x / x  a
Números
menores que a
x / x  a
Números
menores que a y
el propio a
x / a  x
Números
mayores que a
x / a  x
Números
mayores que a y
el propio a
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
4. Valor absoluto de un número real.
El valor absoluto de un número real nos da su distancia al cero.
La definición matemática es:
a si a  0
a 
 a si a  0
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
5. Radicales. Propiedades.
Hasta ahora conocemos bien las raíces cuadradas (de índice dos).
A partir de ahora debemos conocer bien las raíces de cualquier índice y
tendremos que trabajar con ellas mediante su expresión decimal (exacto o
aproximado), o sin efectuar la raíz (conociendo las propiedades).
Llamamos raíz n-ésima de un número a, y se escribe
que cumple la siguiente condición:
n
n
a
a un número “b”
a  b si b n  a
“a” recibe el nombre de radicando y “n” de índice de la raíz.
Si
Si
a  0;
a  0;
n
n
a
a
existe cualquiera que sea el valor de “n”.
existe solamente en el caso de “n” impar.
Las raíces se pueden expresar como potencias. Efectivamente:
n
1
n
 a 1n   a n n  a 1  a
n
a)
, pues,
a a


n
b)
n
am  a
m
n
, pues,
 a m n   a m.n n  a m


Ejemplo.- Expresa en forma de potencia las raíces siguientes:
4;
5;
8;
3
3
27;
Sol.1
2
4  4 , efectivamente pues 4
1
2
3
5 ;
 
 22
a6
;
a3
2
a ;
1
2
2
2
2
3
3;
 21  2
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Propiedades de los Radicales.-
Los radicales tienen una serie de propiedades que debes conocer para
trabajar con ellos con soltura. Todas estas propiedades son consecuencia
inmediata de las propiedades de las potencias (compruébalo tú, al lado)
a  a efectivamente:
1.
n. p
2.
n
a.b  n a .n b
n
a na
n
b
b
3.
4.
5.
p
 a
n
n
p
n. p
a a
p
p
n. p
a
1
n
y
n
a a
1
n
 n ap
a  n.m a
n m
Hay otras dos propiedades importantes de los radicales que usarás con
mucha frecuencia:
6. Los radicales distintos solamente se pueden sumar obteniendo
(previamente) su expresión decimal aproximada.
2  5  1,41 2,24  3,65 ¡Ojo!
2 5 7
Observa como se pueden sumar radicales idénticos:
52 5 3 5
7. Generalmente conviene operar las fracciones sin raíces en los
denominadores, para ello hay que multiplicar denominador y numerador por
la expresión adecuada (esta operación recibe el nombre de Racionalización)
Ejemplo.
a)
b)
1
3
52

1
5 3
1.3 5
3

5 2 .3 5


3
3
1. 5  3
5
53


5  3 5  3 

3
5
5
5 3
52 
 3
2

5 3 5 3

25  3
22
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
6. Notación científica.
Diremos que un número está escrito en notación científica cuando:
 Tiene una parte entera formada por una sola cifra que no es cero.
 El resto de las cifras significativas forman la parte decimal
 Una potencia de base 10 que nos da el orden de magnitud del número.
Si “n” es un exponente positivo, el número N es “grande”.
Si “n” es un exponente negativo, el número N es “pequeño”.
Para operar números en notación científica utilizaremos la calculadora en
modo científico (SCI). Ahora bien puede resultar conveniente operarlos
mentalmente para practicar las operaciones con potencias.
Ejemplo.a)(5,24.106 ).(6,3.108 )  (5,24.6,3).1068  33,012.1014  3,3012.1015
b)5,83.109  6,932.1012  (5,83  6932).109  6937,83.109  6,93783.1012
Calcula tú, en notación científica, las siguientes operaciones indicadas:
a )( 7,832 .10 5 ).(1,84 .10 13 ) 
b) 2,35 .10 8  1,43 .10 7 
Para designar órdenes de magnitud grande o pequeña existen algunos
prefijos que debemos conocer:
Giga Mega Kilo Hecto Deca deci centi mili
109
106
103 102
101
101 102
103
micro nano
106
109
Fíjate especialmente en los órdenes siguientes:
Giga (mil millones): 109
Mega (un millón): 106
Micro (una millonésima): 106
Nano (una milmillonésima): 109
Los demás órdenes de magnitud ya los conocemos por usarlos
habitualmente en el manejo del SMD.
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
7. Logaritmos. Propiedades.
Definimos “y”, logaritmo dun número “x” en base “a”, y escribimos
y  loga x
o sea:
como el número “y” al que hay que elevar “a” para obtener “x”,
a y  x .Resumiendo (de modo analítico):
y  log a x  a y  x
Ejemplo.log3 27  3  33  27; log3 3  1  31  3; log3 81  4  34  81
log10 100  2  102  100; log10 1000  3  103  1000; log10 0  1  100  1
El logaritmo en el que la base es diez se llama “decimal” y resulta ser el más
utilizado en matemáticas(aparece en el teclado de la calculadora como: log )
El logaritmo en el que la base es el número irracional(e) se denomina
“neperiano” (en honor al matemático que los inventó apellidado Neper), y
resultan ser enormemente importantes en matemáticas superiores.
En la calculadora aparece en la tecla: ln Así: loge e3  ln e3  3
 
 
PROPIEDADES
Los logaritmos de los números verifican unas propiedades interesantes
desde el punto de vista práctico:
 Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Es decir:
Si x1  x2  loga x1   loga x2 

El logaritmo de la base vale 1, es decir:
loga a   1

El logaritmo de 1 es cero cualquiera que sea la base, es decir:
loga 1  0
La demostración de las dos últimas propiedades es evidente a partir de la
definición de logaritmo, y las propiedades de las potencias de los números.
Cesáreo Rodríguez
- 11 -
Aritmética y Algebra

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los
logaritmos de los factores. Es decir:
loga x1.x2   loga x1   loga x2 
Demostración.
Si loga x1   y1  a y1  x1 y si loga x2   y2  a y2  x2
En consecuencia: x1 .x2  a y1 .a y2  a y1  y2 y por tanto:


loga x1.x2   loga a y1  y2  y1  y2  loga x1   loga x2 

El logaritmo de un cociente de dos números es igual a la resta del
logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
x 
loga  1   loga x1   loga x2 
 x2 
Demostración.
Si loga x1   y1  a y1  x1 y si loga x2   y2  a y2  x2
x1 a y1
En consecuencia:
 y2  a y1  y2 y por tanto:
x2 a
x 
loga  1   loga a y1  y2  y1  y 2  loga x1   loga x2 
 x2 



El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el
logaritmo de la base de la potencia.
 
loga x n  n. loga x
Demostración.
n
veces
Basta tener en cuenta que: x n  x.x.x. .... .x y aplicar la propiedad del
logaritmo de un producto.

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido
por el índice de la raíz.
loga
 x   logn x 
a
n
Demostración.
Basta tener en cuenta que: n x  x
de una potencia.
1
n
y aplicar la propiedad del logaritmo
Cesáreo Rodríguez
- 12 -
Aritmética y Algebra

Cambio de base. El logaritmo en base a de un número real x se
puede obtener a partir de logaritmos en otra base b mediante:
loga x 
logb x
logb a
Demostración.
Si loga x  y  a y  x ; logb x  z  b z  x ;
logb a  t  bt  a
Sustituyendo en la igualdad: a y  x las otras dos tenemos:
logb x
y
z
a y  x  b t  b z  b t . y  b z  t. y  z  y   loga x 
t
logb a
 
Ejemplo.Calcula usando la calculadora y el cambio de base (cuando sea necesario).
log5 125 
log5 0.04 
log2 128 
log2 1 
log5 300 
log7 532 
log3 100 
log8 0.004 
log2 740 
Ejercicio.
Ejercicio.
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Cesáreo Rodríguez
- 14 -
Aritmética y Algebra
Algebra
8. Polinomios. Fracciones algebraicas
9. Ecuaciones y sistemas.
10. Inecuaciones y sistemas.
Objetivos Mínimos
- Conocer la definición de polinomio en una indeterminada.
Operaciones con polinomios (suma, resta ,producto y cociente).
Regla de Ruffini y teorema del resto.
Raíces de un polinomio, divisibilidad y factorización de polinomios.
Definición de fracción algebraica. Operaciones con fracciones algebraicas.
- Repaso general de todo tipo de ecuaciones estudiadas en la ESO.
Aplicar las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones
exponenciales y logarítmicas.
Saber resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
mediante el método de Gauss.
Resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
-Conocer la definición de inecuación lineal con una incógnita e inecuación
cuadrática con una incógnita.Aprender a resolverlas.
Resolución de un sistema de dos inecuaciones lineales con una incógnita.
Introducción.El Álgebra es una parte de las matemáticas que inició su recorrido en
paralelo con la Aritmética y la Geometría. Los antiguos griegos intentaban
formular todos los problemas en lenguaje geométrico, y el Álgebra solo pudo
empezar a constituirse en disciplina autónoma, con la sustitución de los
números por las letras y la consideración de las ecuaciones desde el punto
de vista numérico (tradición babilónica-egipcia).
El Álgebra clásica se ocupó pues, de hallar fórmulas y métodos para
resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. La figura destacada del
período clásico es Diofanto de Alejandría (s. III). A partir del s. IX, los
matemáticos árabes aplican reglas formales en la resolución de las
ecuaciones. El Álgebra logra un nuevo impulso con matemáticos como
Descartes (s. XVII) y Gauss (s. XVIII) que dio una demostración del
famoso teorema fundamental del álgebra.
El nacimiento del Álgebra moderna se produce con el francés Galois (s. XIX)
que redujo el estudio de las ecuaciones algebraicas al de los grupos de
permutaciones de sus raíces.
Cesáreo Rodríguez
- 15 -
Aritmética y Algebra
8. Polinomios. Fracciones algebraicas.
Polinomios en una indeterminada. Operaciones con polinomios.-
Un Monomio es una expresión algebraica de un producto indicado de un
número por una letra (habitualmente se usa la letra “x”: “la indeterminada”).
Al número del monomio se le llama coeficiente.
Al resto de la expresión del monomio se le denomina parte literal.
Al exponente al que aparece elevada la letra “x” se le denomina grado.
Se define el valor numérico de un monomio (para un valor de la letra “x”)
como el número resultado de sustituir en “x” ese valor dado.
Ejemplo.- calcula el valor numérico de los monomios anteriores para x=-2.
3
3
Para el monomio 7 x el valor numérico es: vn  7.  2  7.(8)  56
 
Decimos que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte
3
y
2 x3
literal, así por ejemplo son monomios semejantes: 7 x
SUMA de Monomios.Para sumar dos o más monomios éstos han de ser semejantes, y en ese caso
la suma es otro monomio semejante que tiene por coeficiente la suma de los
coeficientes de los sumandos.
3
3
3
3
3
a) 2 x  5 x  3x  2  5  3 x  4 x

b)

1 2 2 2 5 2 1 2 5 2 4 2 2 2
x  x  x     x  x  x
2
3
6
6
3
 2 3 6
PRODUCTO de Monomios.El producto de dos monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el
producto de los coeficientes y de parte literal el producto de la parte
literal de los factores.
5x2  52  x3   5. 52  x23  105 x5  2x5
Cesáreo Rodríguez
- 16 -
Aritmética y Algebra
Un Polinomio es una suma indicada de dos o más monomios.
Cada uno de los monomios se le llama término.
Es posible que en un polinomio halla monomios semejantes, en ese caso es
conveniente operarlos y obtener el polinomio en su forma reducida.
Llamamos grado de un polinomio, escrito en su forma reducida, al mayor de
los grados de los monomios de ese polinomio.
Se define el valor numérico de un polinomio (para un valor de la letra “x”)
como el número resultado de sustituir en “x” ese valor dado.
Para no tener que escribir todos los monomios de un polinomio es frecuente
nombrar a dicho polinomio de la forma: p(x); q(x); r(x)……….
2
3
2
3
Ejemplo.- Dado p x  3x  2 x  5 x  3x  7  2 x .Escríbelo en su
 
forma reducida, indica el grado y calcula el valor numérico para x=-1.
2
3
2
3
2
p x   3 x  2 x  5 x  3 x  7  2 x 
Grado de
px  : 2;
valor numérico:
p x   8 x  3 x  7
p 1  8 12  3 1  7  18
Operaciones con polinomios.a) SUMA de polinomios.-
px   x 4  3x3  5x  3 qx   5x3  3x 2  11
i) px   qx  ii) px   qx 
Sean los polinomios:
Calcula
i) p x   qx   x 4   3  5x3  3x 2  5 x  3  11  x 4  2 x3  3x 2  5 x  8
ii) px   q x   x 4   3  5x3  3x 2  5 x  3  11  x 4  8 x3  3x 2  5 x  14
b) PRODUCTO de polinomios.Sean los polinomios:
Calcula
px .qx 
p x   2 x 3  4 x 2  1 q x   3 x  2
Cesáreo Rodríguez
- 17 -
Aritmética y Algebra
c) COCIENTE de dos polinomios.4
2
Sean los polinomios: p x  6 x  8 x
Calcula
p x  : q x 
 
 7 x  40 qx   2 x 2  4 x  5
Regla de Ruffini (para dividir un polinomio entre x-a).Es frecuente dividir un polinomio entre una expresión del tipo: x-a.
Podríamos efectuar la división de la caja (como en el ejemplo anterior) pero
el método de Ruffini permite hacer estas divisiones más rápidamente.
4
3
Sean los polinomios: p x  7 x  11x  94 x  7 q x  x  3
 
 
En este caso a =3. (¡Ojo!, En x+2 a=-2, en x-5 a=5)
cx   7 x3  10 x 2  30 x  4
El resto de la división es: r  5
El cociente de esta división es:
Cesáreo Rodríguez
- 18 -
Aritmética y Algebra
Teorema del Resto.-
px  cuando x=a ( pa ), coincide con el
resto(r) de dividir dicho polinomio p x  entre x-a, o sea, pa  =r.
El valor numérico de un polinomio
En efecto, sabemos que se cumple la siguiente igualdad en cualquier división:
“Dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el resto”
px   x  a  cx   r  pa   a  a  ca   r  pa   r
Ejemplo.- Calcula el valor numérico de
px   7 x 4  11x3  94 x  7
para
x= 3 utilizando la regla de Ruffini.
Raíces de un Polinomio.-
px  si pa   0 .
Las raíces de un polinomio son pues las soluciones de la ecuación: p x   0
3
2
Ejemplo.-Sea el polinomio p x   x  3x  4 x  12
Decimos que el número “a” es Raíz de un polinomio
Comprueba que a=2, a=-3 y a=-2 son raíces del polinomio.
3
2
p2  2  3.2  4.2  12  8  12  8  12  0
p 3   33  3. 32  4. 3  12  27  27  12  12  0
p 2   23  3. 22  4. 2  12  8  12  8  12  0
Un resultado muy importante en relación con las Raíces de un polinomio dice:
El número de Raíces reales distintas de un polinomio es a lo sumo igual al
grado de dicho polinomio.
3
2
En el ejemplo anterior p x  x  3x  4 x  12 es de grado 3 y tiene
 
(como mucho) 3 raíces reales distintas (no tiene más que esas tres: 2;-3;-2)
Ejemplo.- Sea el polinomio
p x   x 3  4 x 2  5 x  2
Comprueba que a=-1
y a=-2 son raíces del polinomio. Tiene sólo dos raíces reales (grado
px  =3
Cesáreo Rodríguez
- 19 -
Aritmética y Algebra
Divisibilidad de polinomios.La divisibilidad entre polinomios se comporta de modo similar a la
divisibilidad entre números enteros.
d x  es divisor de otro px  si la división
px  : d x es exacta. En tal caso también se dice que px  es múltiplo de
d x  ya que: px   d x .qx 
Decimos que un polinomio
Ejemplo.- El polinomio
px   x3  3x 2  4 x  12
d x   x  3 porque si qx   x 2  4
x3  3x 2  4 x  12  x  3. x 2  4

es múltiplo de
entonces se cumple que:
 O sea: px  d x.qx
Factorizar un polinomio consiste en descomponerlo en producto de
polinomios (factores) del menor grado posible.
Pues bien, la Regla de Ruffini nos va a permitir factorizar polinomios con
coeficientes y raíces enteros.
px  (por el teorema
del resto), el resto de dividir p x  entre d  x   x  a es cero (división
exacta) y por tanto se cumple que: p x   d  x .q x 
Efectivamente, si “a” es una raíz entera del polinomio
Hemos visto (con algunos ejemplos), que al aplicar el Método de Ruffini de
división de un polinomio
px  entre otro de la forma x  a , el número “a”
ha de ser necesariamente un divisor del término independiente del polinomio
px  para que la división sea exacta.
Por tanto, los factores de la forma:
xa
de un polinomio
px  se
encuentran tomando “a” entre los divisores del término independiente del
polinomio
p x 
Ejemplo.- Usa Ruffini para factorizar
px   x3  3x 2  4 x  12 .
Según hemos visto, para factorizar el polinomio tenemos que “buscar” las
raíces del polinomio entre los divisores de 12(término independiente)
Divisores de 12   1;2;3;4;6;12.
Ahora procedemos, mediante el método de Ruffini, a la factorización:
Cesáreo Rodríguez
- 20 -
Aritmética y Algebra
¡Observación! Si un polinomio tiene más de dos raíces no enteras, entonces
aunque pueda factorizarse, nosotros no podremos hacerlo utilizando el
método de Ruffini y por tanto no sabríamos factorizarlo.
Decimos que un polinomio es Irreducible cuando no tiene ningún divisor de
grado inferior al suyo.
x  2 x 2  3x  3
Así por ejemplo son Irreducibles 5.x
También es irreducible 2 x  4 pues aunque es divisible por x  2 ambos
son del mismo grado.
Los polinomios Irreducibles desempeñan el mismo papel que los números
primos en la divisibilidad numérica.
MCD y mcm de dos polinomios.Un polinomio
D x  es el Máximo Común Divisor de dos polinomios
Px y Qx  si es divisor común de ambos y no hay otro divisor común de
ambos con mayor grado. Se escribe: D x  = MCD [ P x  , Q x  ]
Un polinomio M x  es el mínimo común múltiplo de dos polinomios
Px y Qx  si es múltiplo común de ambos y no hay otro múltiplo común de
ambos con menor grado. Se escribe: M x  = mcm [ P x  , Q x  ]
Para calcular el MCD y el mcm de dos polinomios se procede de modo similar
que en el caso de la divisibilidad numérica.
Veámoslo con un ejemplo.2
2
Sean los polinomios p x  x  9 y q x  x  6 x  9
 
 
Calcula el MCD y el mcm de ambos.
Cesáreo Rodríguez
- 21 -
Aritmética y Algebra
Factorizamos el polinomio:
p x 
Factorizamos ahora el polinomio:
q x 
Ahora para calcular el mínimo común múltiplo de ambos tomamos los
factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente:
2
mcm px , qx   x  3 x  3
Para determinar el Máximo Común Divisor tomamos los factores que
coinciden en ambos polinomios (elevados al menor exponente).
MCD px , qx   x  3
Ejercicio.- Determina tú el MCD y el mcm de los polinomios:
2
3
2
p x   x  x  2
q x   x  x  4 x  4
Cesáreo Rodríguez
- 22 -
Aritmética y Algebra
Fracciones Algebraicas.Las fracciones entre polinomios se comportan de manera semejante a las
fracciones numéricas.
Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios.
p x 
q x 
Por ejemplo son fracciones algebraicas:
1
3x  2
2 x3  17 x  3
y
y
2
x5
7
3x  5 x  12
y
x4
x 2  x  12
Simplificación de Fracciones Algebraicas.Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica son divisibles
por un mismo polinomio (de grado mayor o igual a uno), al hacerlo se
simplifica la fracción.
Si dividimos numerador y denominador por el Máximo Común Divisor de
ambos entonces la fracción resultante es irreducible.
2 x3  17 x  3
Ejemplo 1.- Simplifica la fracción:
a su irreducible:
2
3x  5 x  12

2 x 3  17 x  3
x  3 2 x 2  6 x  1 2 x 2  6 x  1


 x  33x  4
3x  4
3 x 2  5 x  12
x4
Ejemplo 2.- Simplifica la fracción:
a su irreducible:
x 2  x  12

x4
x 2  x  12


x4
1

x  4x  3 x  3
Ejercicio.- Simplifica tú la fracción:
x2  9
x2  6x  9
Cesáreo Rodríguez
- 23 -
Aritmética y Algebra
Dos fracciones algebraicas se dicen equivalentes si:
 Una de ellas se obtiene simplificando la otra.
 Al simplificar ambas obtenemos la misma fracción.
Son por ejemplo equivalentes las fracciones:
Comprueba que
2x  5
2 x 2  x  15
y
x4
x 2  x  12
1
al simplificar ambas obtenemos la fracción:
x3
Operaciones con Fracciones Algebraicas.1.- SUMA/RESTA de Fracciones Algebraicas.Para (sumar/restar) dos o más fracciones algebraicas tienen que tener el
mismo denominador, en ese caso, la fracción resultante es la que tiene por
denominador el mismo que el de las fracciones a (sumar/restar) y por
numerador la (suma/resta) de los numeradores.
Si tuviesen distinto denominador habría que reducirlas previamente a
común denominador (es decir, obtener otras fracciones equivalentes a las
dadas pero con el mismo denominador) y a continuación al tener las
fracciones el mismo denominador proceder como se explicó más arriba.
2.- El producto de dos fracciones algebraicas es otra que tiene por
numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto
de los denominadores de las fracciones a multiplicar.
3.- El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador
el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y
por denominador el producto del denominador de la primera por el
numerador de la segunda.
 3x
3  1

  x  22 x  2  : x  2


 3x  3 x  2   1
3  1

:

:


x  2  x  2   x  22  x  2
Ejemplo.- Efectúa y simplifica: 
 3x

  x  22

6
1
6 x  2
6
:


 x  22 x  2 x  22 x  2
Cesáreo Rodríguez
- 24 -
Aritmética y Algebra
Ejemplos de operaciones con fracciones algebraicas.-
2
 3 x   1 1   9  x   3  x  3x 3  x 3  x 
a)    :    
:
 3 x






x
3
x
3
3
x
3
x
3
x
3

x

 
 

 
b)
c)
d)
e)
f)
x 2  1  x  1 x  1 x  1  x  12
.


2



x  1x
x
x

1
x

1
x
x  1
x 1
 x 2  1   x 2  1 
1 
1 


 

 x  x  :  x  x . x  1   x  :  x . x  1 



 







 x2  1 x 
x2  1
x2  1
x  1 
 2
  x  1 



x

1
x

1
x 1
 x 1 x 
2  1 1  2  x 1 2x  2
 :
 

x  x x 1 x  x 
x2
5  2   x  1 x  4   3 x x  4   5 x 2  2
 x 1 3
 2  
2 x  
2
2 x 
x x  4


 x
x
x

4


  x 2  17 x  4  2  2 x 2  34 x  8


 x 2  x  4  2 x 
x4


2
2
 x 1 x
 x   x  1  x
1  
1 
1 


x
x

3
x
x

3




2
x
x   x  3  3
1 x
1 
1 

 
x3
x3
x3
 x x3
Cesáreo Rodríguez
- 25 -
Aritmética y Algebra
9. Ecuaciones y sistemas.
Ecuaciones.-
Una ecuación con una incógnita es una igualdad algebraica que solamente se
cumple para algunos valores de la incógnita.
Por ejemplo la ecuación: x  5  8 solamente es cierta cuando la x  3 .
2
La ecuación: x  5 x  6  0 solamente es cierta para x  3 y x  2
En este sentido, se puede afirmar que una ecuación con una incógnita es una
propuesta de igualdad en la que interviene una letra (que es la incógnita).
Incógnita: significa desconocida, es una palabra que procede del latín
“in”: no y “cognoscere”: conocer.
La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita que hacen
cierta la igualdad.
Resolver una ecuación es determinar su solución o llegar a la conclusión de
que no la tiene.
Hemos de saber que una ecuación puede tener más de una incógnita, así por
ejemplo la ecuación: x  y  1 es una ecuación con dos incógnitas, y en este
caso además tiene por solución infinitos valores para “x” e infinitos valores
para “y” (x=2 e y=-1; x=-1,5 e y=2,5; x=0 e y=1; x=-2 e y=3 etc.)
A lo largo de esta unidad vamos a trabajar distintos tipos de ecuaciones:

Polinómicas: en estas ecuaciones la incógnita aparece solamente en
2
expresiones polinómicas. Así: a)3x  5  8 b)3x  5 x  2

Con la incógnita en el denominador: en estas, como su nombre indica,
la incógnita aparece en el denominador de una fracción.
Así: a)

1
1
3
x 1
x 1


b) 2

2
x x  3 10
x
x  2x
Con Radicales: en estas ecuaciones la incógnita aparece bajo un signo
radical. Así:

a ) x  2  x b) x  4  6  x  2
Con la incógnita en el exponente: en estas ecuaciones la incógnita
aparece en algún exponente de los términos de la ecuación. Así:
x
2 x 5
a)2  64 b)3
 2187
En este curso vamos a trabajar con las ecuaciones de los tres primeros
tipos, dejaremos para el próximo las últimas (ecuaciones exponenciales) por
resultar algo más complejo su resolución.
Cesáreo Rodríguez
- 26 -
Aritmética y Algebra
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.Son aquellas ecuaciones polinómicas que se pueden reducir a la forma:
ax  b  0
a0
siendo
Tiene una única solución: x

b
a
Ejemplo.- Resuelve y comprueba la solución de la ecuación:
3 x  1 2 x  3 4 x  2


 5; mcm (20;5;15)  60
20
5
15
33 x  1  12.2 x  3  44 x  2   5.60
9 x  3  24 x  72  16 x  8  300
9 x  24 x  16 x  8  300  3  72
 31x  217
 217
 31
x7
x
Comprobaci ón :
3.7  1 27  3 4.7  2


5
20
5
15
1 4  2  5
 3  3
Ejercicio.- Resuelve y comprueba tú estas ecuaciones:
x
2x
x x  1 x  13
x
 10 sol : x  15 b) 

15
5
3
2
9
21  x 2 x  7
5x  5

8
sol : x  11
c)
5
15
10

2 x  42 xx  1
6
d)

 5 sol : x 
8
2
5
3 x  4 
 x  x  3 sol : x  0
e)
4

x  1x  1 2 x 2  1
2
f)

 x sol : x 
3
6
3
a)

sol : x  7

Cesáreo Rodríguez
- 27 -
Aritmética y Algebra
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión que se
puede reducir a la forma:
a.x  b.x  c  0 a  0
2
su solución es
 b  b 2  4.a.c
x
2.a
¡Observación! En las ecuaciones de segundo grado es importante tener en
2
cuenta el valor numérico de la expresión: b  4.a.c (discriminante)
2


Si
Si
b 2  4.a.c  0  hay dos soluciones:
x1 
 b  b  4.a.c
2.a
 b  b 2  4.a.c
x2 
2.a
b
b 2  4.a.c  0  hay una única solución: x 
2.a
2
b  4.a.c  0  no hay solución real
Si
(La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real).
2
Ejemplo.- Resuelve la ecuación de segundo grado: 3 x  5 x  2
2
Sol. Si la escribimos de modo estándar es: 3 x  5 x  2  0
Por tanto: a  3; b  5; c  2 si calculamos el discriminante:
b 2  4.a.c   5 2  4.3.  2  25  24  49  0 Hay pues dos

 
soluciones reales:
Comprobación.-
 
 b  b 2  4.a.c 5  49 12
x1 

 2
2.a
2.3
6
 b  b 2  4.a.c 5  49  2  1
x2 



2.a
2.3
6
3
32   52   2
2
12  10  2
2
 1
  1
3   5   2
 3 
 3 
3 5
18
 2
2
9 3
9
Cesáreo Rodríguez
- 28 -
Aritmética y Algebra
En el caso de que las ecuaciones de segundo grado sean incompletas, para su
resolución aplicaremos la misma fórmula que en las completas aunque,
también es posible resolverlas de un modo más sencillo.
Ejemplo.-Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas:
Tipo I
2
Tipo II
a )3 x  48  0
b )7 x 2  5 x  0
x7 x  5  0
3 x 2  48
48
3
x   16
 x1  0


5
7
x

5

0

x

2
 2
7
x2 
 x1  4

 x 2  4
Si resolviésemos las anteriores ecuaciones incompletas usando la fórmula
general obtendríamos la misma solución. Compruébalo tú.
Ejercicio.- Resuelve estas ecuaciones de segundo grado:
a)3x 2  2 x  5  x  3 2  19 sol  x1  0; x2  4



 

5 2
5 2
; x2 
2
2
 17
c)5 x  42 x  3  5 sol  x1 
; x2  1
10
x 2  3x
x  20
7
d)
5 
sol  x1  0; x2 
2
4
2
e)5 x 2  7 x  3 sol  no tiene
1
f )9 x 2  6 x  1  0 sol  x 
3
xx  3 xx  2 3x  22
2
h)


 1 sol  x1  ; x2  2
2
4
8
3
b)3 x 2  5  x 2  40 sol  x1 
Cesáreo Rodríguez
- 29 -
Aritmética y Algebra
Hay ecuaciones que, sin ser de primero y segundo grado, se pueden resolver
utilizando los recursos que ya tenemos. Veamos las más frecuentes:
Ecuaciones Bicuadradas.-
Las ecuaciones polinómicas de grado cuatro en las que los coeficientes de
grado impar son todos cero se denominan bicuadradas. Son de la forma:
4
2
ax  bx  c  0 a  0
Para resolver estas ecuaciones utilizamos una estrategia matemática
conocida por “cambio de variable”. Si llamamos:
2
zx
2
4
Ahora tendremos que: z  x y la ecuación bicuadrada en “x” se
transforma en una ecuación de segundo grado en “z”, la resolveremos para
“z” y, posteriormente, hallamos “x” teniendo en cuenta que: x   z
¡Observación! Las ecuaciones bicuadradas pueden tener hasta cuatro
soluciones reales distintas, dos valores de “x” por cada uno de “z”.
Ejemplo.- Resuelve y comprueba la solución de la ecuación bicuadrada:
z  x2
x  13x  36  0  z 2  13z  36  0
4
2
b 2  4ac  25  0  

dos sol

 x1  
 x   z1  
 x2  

x z 
 x3  

 x   z2  
 x4  

13  25 18

9
2
2
13  25 8
z2 
 4
2
2
z1 
9  3
9  3
4  2
4  2
Vemos pues como esta ecuación bicuadrada en “x” tiene cuatro soluciones
reales distintas. Comprueba tú, en la ecuación bicuadrada, la solución.
Cesáreo Rodríguez
- 30 -
Aritmética y Algebra
Ecuaciones con “x” en el denominador.Los denominadores algebraicos se suprimen multiplicando los dos miembros
de la ecuación por el mcm de los denominadores. La ecuación a la que se llega
puede ser de las que ya sabemos resolver.
¡Observación! El proceso de multiplicar los dos miembros de la ecuación por
expresiones polinómicas puede introducir soluciones no válidas para la
ecuación inicial. Por lo tanto debemos comprobar, obligatoriamente,
todas las soluciones obtenidas.
Ejemplo.- Resuelve (y comprueba la solución) de la siguiente ecuación:
1
1
3

 m
cm
 10 x  3  10 x  3x x  3
10x  x  3
x x  3 10
10 x  30  10 x  3x 2  9 x
x 2  3x  10  0

 3  49 4
x

 2
1

2
2
ecuación de 2º grado en " x ": 
 x   3  49   10  5
 2
2
2
Comprobación.-Ambas son solución ya que verifican la ecuación inicial:
x  2
1 1 3
 
2 5 10
52 3

10 10
x  5
1
1
3


 5  2 10
25 3

10
10
Ejercicio.- Resuelve tú estas ecuaciones:
x 1 1 x 5
 34

  sol : x1  3; x2 
x5 x4 2
5
x  7 x 2  3x  6
b)

 1  sol : no tiene solución real .
x  3 x2  2x  3
1 1 3
2
c)  2   sol : x1  2; x2 
x x
4
3
a)
Cesáreo Rodríguez
- 31 -
Aritmética y Algebra
Ecuaciones con radicales.Las ecuaciones en las que la incógnita aparece bajo un signo radical
cuadrático se resuelven aislando el radical en un miembro de la ecuación, y a
continuación elevando los dos miembros al cuadrado.
En este proceso, aunque se conserva la solución de la ecuación inicial, se
pueden introducir alguna nueva solución que hay que rechazar, por eso es
fundamental comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación radical.
Ejemplo.- Resuelve (y comprueba la solución) la ecuación radical:
2
aislam os
elevam os
2
a) x  2  x
 
 x  2
  x  x  2   x
ordenam os
x  x 2  4 x  4   
 x 2  5 x  4  0

5 9
 x1  2  4
resolvemos ecuac.2º grado : 
 x  5  9  1
 2
2
Comprobación.-
x1  4
Es solución pues cumple la ecuación radical:
x2  1No es solución, no cumple la ecuación radical
424
22 4
1 2  4
1 2  4
Cuando hay dos radicales en la ecuación, el proceso requiere aislar uno de
ellos en un miembro de la ecuación y el segundo radical en el otro miembro.
Elevamos los dos miembros al cuadrado y obtenemos una nueva ecuación
radical, pero ahora tenemos un único radical en la ecuación y podremos
resolverla repitiendo el proceso del principio.
Ejemplo.- Resuelve la ecuación radical:
Aislamos un radical en cada miembro:
x4  6 x  2
x4  6 x 2

2 
x4  6 x 2
Obtenemos la ecuación radical: x  4  6  x  4  4 6  x
Simplificamos y obtenemos la ecuación radical: x  3  2 6  x
Elevamos al cuadrado los dos miembros:
Ahora elevamos al cuadrado los dos miembros:
2
Obtenemos la ecuación. x  2 x  15  0
x  32  2
Que tiene dos soluciones x1  5; x2  3
La única solución válida para la ecuación radical es
2
6 x
2
x  5 .Compruébalo!
Cesáreo Rodríguez
- 32 -
Aritmética y Algebra
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.A) Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita está en el
exponente. Por ejemplo, son exponenciales las ecuaciones:
a) 31 x 
2
2
2
1
; b) 5 x 5 x  6  1; c) 31 x  2; d ) 2 x  2 x 1  12
27
Para resolver las ecuaciones exponenciales de tipo a) y b) hay que expresar
el segundo miembro como una potencia de la misma base que el primero.
La ecuación exponencial tipo c) no se puede aplicar el anterior criterio, y se
resuelve tomando logaritmos en los dos miembros de la ecuación.
La de tipo d) se resuelve realizando un cambio de variable.
Veamos en la práctica como se procede:
a ) 31 x 
2
b) 5 x
2
1
1
 3 3
expresamos el 2º miembro como potencia de 3:
27
27
2
2
 x1  2
1
31 x 
 31 x  33  1  x 2  3  x 2  4  
27
 x2  2
5 x 6
 1 expresamos el 2º miembro como potencia de 5: 1  50
2
2
 x1  2
5 x 5 x  6  1  5 x 5 x  6  5 0  x 2  5 x  6  0  
 x2  3
c) 31x  2 el 2º miembro no se puede poner como potencia entera de base
(3), tenemos que tomar logaritmos (decimales) en ambos miembros:
2
log(2)
log(2)
log( 31 x )  log(2)  (1  x 2 ) log(3)  log(2)  1  x 2 
 x2  1

log(3)
log(3)
2
 x  0,6075
x 2  1  0,6309298 0,3690702  1
 x 2  0,6075
d ) 2 x  2 x1  12 para resolverla efectuamos el cambio de variable: 2 x  y
2 x  2 x1  12  2 x  2 x.2  12  y  y.2  12  3 y  12  y  4
Ahora teniendo en cuenta el cambio de variable resolvemos en (x):
2 x  y  2 x  4  2 x  22  x  2
Cesáreo Rodríguez
- 33 -
Aritmética y Algebra
B) Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita está en una
expresión afectada por un logaritmo. Por ejemplo, son logarítmicas:
a) log x  log50  3; b) 5 log2 x  3  log2 (32); c) 2 log x  log10  3x
Se resuelven teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos.
Es conveniente comprobar las soluciones sobre la ecuación inicial, teniendo
en cuenta que solo existe el logaritmo de números positivos.
Veamos como se procede en la práctica:
a) log x  log 50  3  log 50.x   log 1000   50 x  1000  x 
1000
 20
50
b) 5 log2 x  3  log2 (32)  log2 x  3  log2 (2) 5  x  3  2  x  1
Comprobamos sobre la ecuación inicial que la solución x  1 es válida
5. log2 (1  3)  log2 (32)  5 log2  log32 efectivamente!
5
c) 2 log x  log10  3 x   log x 2  log10  3 x   x 2  10  3x  x 2  3x  10  0 
 x1  2

 x 2  5
La solución x  5 no es válida, pues en la ecuación inicial aparece log x y no
podemos hallar un logaritmo de un número negativo. La solución válida, en
este caso, es x  2
Si la ecuación de partida fuese: log x 2  log10  3x las dos soluciones
obtenidas hubiesen sido válidas.
Ejercicio.
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:
2
1
4 x 1
31
a)34 x 
b) x  2  186 c)3 x  3 x  2  30 d )5 x 1  5 x  5 x 1 
9
5
2
e)2 log x  logx  6  3 log 2


f )4 log2 x 2  1  log2 625
Cesáreo Rodríguez
- 34 -
Aritmética y Algebra
Sistemas de dos ecuaciones Lineales con dos incógnitas.Una ecuación polinómica de primer grado con dos incógnitas es de la forma:
ax  by  c a, b, c son números reales.
Esta ecuación tienen infinitas soluciones reales para “x” y para “y”.
Dos ecuaciones de este tipo forman lo que llamamos un sistema lineal:
ax  by  c

ax  by  c
Llamamos solución del sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas a
toda solución común a ambas ecuaciones.
x  y  3
es:
3
x

2
y

16

Ejemplo.-La solución del siguiente sistema: 
x  2

y  5
Dos sistemas se dicen equivalentes cuando ambos tienen la misma solución.
x  y  3
3x  2 y  16
3x  y  1

2 x  y  9
x  2
son equivalentes pues ambos tienen la misma solución: 
y  5
Ejemplo.-Los siguientes sistemas: 
y
Para resolver un sistema vamos pasando a otros equivalentes al primero y
cada uno más sencillo que el anterior hasta llegar a uno de la forma:
x  m

y  n
que es la solución del sistema inicial.
Hay tres modos de pasar de un sistema de la forma:
a otro de la forma:
x  m

y  n
ax  by  c

ax  by  c
A) Sustitución. B) Igualación. C) Reducción.
En los ejemplos veremos como se aplican estos métodos de resolución.
En función del número de soluciones un sistema puede ser:
A) Incompatible: el sistema no tiene solución.
B) Compatible: el sistema tiene solución. En este caso puede ocurrir:
 Que tenga una única solución: compatible determinado.
 Que tenga infinitas soluciones: compatible indeterminado.
Cesáreo Rodríguez
- 35 -
Aritmética y Algebra
Ejemplo.-Resuelve por los tres métodos el sistema:
A) Sustitución.
3x  2 y  7

4 x  3 y  15

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones: x

Sustituimos esta expresión en la otra ecuación:
 15  3 y 
3
  2y  7
 4 

15  3 y
4
y  1

Resolvemos esta ecuación, que tiene por solución:

Sustituimos este valor obtenido de “y” en la expresión despejada de
15  3 y 15  3

3
4
4
x  3
Comprobamos la solución: 
en el sistema:
y


1

3.3  2(1)  7

4.3  3(1)  15
“x”:

x
3x  2 y  7

4 x  3 y  15
B) Igualación.

7  2y

x


3
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones: 
 x  15  3 y

4
7  2 y 15  3 y

Igualamos ambas expresiones:
3
4
Resolvemos esta ecuación en “y”, que tiene por solución: y  1

Sustituimos este valor de “y” en la expresión de “x”:


x

7  2y 7  2

3
3
3
x  3
en el sistema:
y


1

Comprobamos la solución: 
3.3  2(1)  7

4.3  3(1)  15
3x  2 y  7

4 x  3 y  15
Cesáreo Rodríguez
- 36 -
Aritmética y Algebra
C) Reducción.
 Se preparan las dos ecuaciones del sistema dado
(multiplicándolas por los números convenientes):
ultiplico por 4
3x  2 y  7 m
   12 x  8 y  28

ultiplico por 3
4 x  3 y  15 m
   12 x  9 y  45

Restamos ambas ecuaciones miembro a miembro obteniendo una
ecuación con una única incógnita (en este caso “y”):
17 y  17
y  1

Resolvemos la ecuación resultante:

Preparamos nuevamente las ecuaciones como en el primer paso
(multiplicándolas por los números convenientes):
m ultiplico por 3

3x  2 y  7     9 x  6 y  21

m ultiplico por 2

4 x  3 y  15     8 x  6 y  30

Sumamos ambas ecuaciones miembro a miembro obteniendo una
ecuación con una única incógnita (en esta caso “x”):
17 x  51

Resolvemos la ecuación resultante:

Comprobamos la solución: 
3.3  2(1)  7

4.3  3(1)  15
x3
x  3
en el sistema:
y


1

3x  2 y  7

4 x  3 y  15
Observa como obtuvimos la misma solución aplicando cualquiera de los tres
métodos para resolver sistemas lineales.
Con la práctica aprenderás a determinar, en función de la rapidez con que
puedas resolverlo, cual de ellos es el más apropiado en cada caso.
Cesáreo Rodríguez
- 37 -
Aritmética y Algebra
Sistemas de ecuaciones no lineales.Los métodos aprendidos para resolver sistemas lineales junto con lo que
sabemos de resolución de ecuaciones no lineales, nos va permitir resolver
sistemas de ecuaciones de muy diversos tipos.
Ejemplo.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
2
 2
y  x 1
a) 2
2
x  y  5
x  2 y  1
c)
 x y  x y 2
 x  y  58
b) 
 x 2  y 2  40
1
1 1
   1
x. y
d ) x y
 x. y  6

Sol.-
y  x 1
Utilizamos el método de sustitución: y  x  1 lo
a) 2
2
x  y  5
sustituimos en la segunda ecuación: x
2
  x  12  5 Operando
convenientemente obtenemos la ecuación: 2 x
solución:
x1  1; x2  2
2
 2 x  4  0 que tiene por
sustituyendo estos valores de “x” en la expresión
de “y” despejada obtenemos las soluciones del sistema inicial:
 x1  1  y1  2

 x 2  2  y 2   1
 x 2  y 2  58
utilizando el método de reducción llegamos a:
b) 
 x 2  y 2  40
2 x 2  98 que tiene de solución: x1  7; x2  7 preparo el sistema:
m ultiplico por 1
2
2
2
2

 x  y  58     x  y  58 otra reducción:
 2
m ultiplico por 1
2

  x 2  y 2  40
 x  y  40     
2 y 2  18 que tiene de solución: y1  3; y2  3
Las soluciones del sistema inicial son:
 x1  7; y1  3
 x  7; y  3
 1
2
¡Compruébalo!

 x2  7; y1  3
 x2  7; y2  3
Cesáreo Rodríguez
- 38 -
Aritmética y Algebra
x  2 y  1
utilizaremos sustitución (1ª ecuación en 2ª):
c)
x

y

x

y

2

2 y 1  y  2 y 1  y  2
operamos y resolvemos la ecuación
radical resultante (con dos radicales) obteniendo por solución:
 x1  1; y1  0

 x2  17; y2  8
Comprobamos estas posibles soluciones sobre el sistema inicial de
ecuaciones no lineales.
x1  1; y1  0 cumplen la primera ecuación pero no la segunda.
x2  17; y2  8 cumplen las dos ecuaciones del sistema inicial.
Por tanto la única solución del sistema inicial es:
x2  17; y2  8
1
1 1
   1
x. y operando la primera ecuación del sistema lo
d ) x y
 x. y  6

 y  x  x. y  1
transformamos en: 
sustituyendo el valor despejado de
x
.
y

6

“x.y” de la segunda ecuación en la primera obtenemos: y
 5 x
Sustituyendo esta expresión de “y” en la segunda ecuación del sistema:
x5  x   6 obtenemos la ecuación de 2º grado: x 2  5 x  6  0
Las soluciones de esta ecuación son: x1  3; x2  2
Sustituyendo estos valores de “x” en la expresión de “y” despejada:
 x1  3  y1  2

 x2  2  y 2  3
Puedes comprobar que son soluciones del sistema no lineal inicial pues
cumplen las dos ecuaciones del mismo.
Cesáreo Rodríguez
- 39 -
Aritmética y Algebra
Método de Gauss para sistemas de ecuaciones lineales.-
Una interesante generalización del método de reducción para sistemas
lineales de más de dos ecuaciones e incógnitas es el método de Gauss.
Lo vemos, en este curso, para sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas.
Sistemas graduados.
Los siguientes sistemas se dicen graduados:
x  3 y  2z  7 
2 x  3 y  14 


A)
 B)  5 y  z  6 
  5 y  10 

 3 z  12

De abajo arriba, vamos obteniendo el valor de cada incógnita que, en un
paso posterior sustituimos en las ecuaciones anteriores y permite seguir el
proceso hasta obtener la solución (o soluciones) del sistema.
Así, los anteriores sistemas son compatibles determinados:
x  3 y  2z  7 
2 x  3 y  14 


A)
 B)  5 y  z  6 
  5 y  10 

 3z  12

z  4
y  2

sol A) 
solB )  y  2
x  4
x  5

Aunque es menos evidente el siguiente sistema también es graduado:
3 x  5 y  11

  2 y  4 despejamos “y” en la 2ª;”x” en la 1ª; “z” en la 3ª.
 x  y  z  14

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se dice graduado si en
una ecuación solo aparece una incógnita, en otra ecuación aparecen dos
incógnitas y en la tercera aparecen las tres incógnitas.
Vamos a ver un método, llamado de Gauss, que permite transformar un
sistema cualquiera en otro equivalente graduado, y que como hemos visto en
los ejemplos anteriores resultan sistemas de muy fácil resolución.
Cesáreo Rodríguez
- 40 -
Aritmética y Algebra
Método de Gauss.El procedimiento para transformar un sistema cualquiera en otro
equivalente graduado se denomina Método de Gauss.
Para que el sistema inicial tome la fisonomía del graduado equivalente se van
“haciendo ceros” sometiendo a las ecuaciones a dos transformaciones:
 Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero.
 Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número.
Este proceso se realiza de modo muy ágil cuando prescindimos de las
incógnitas del sistema, y utilizamos sólamente los coeficientes de las
ecuaciones estructurados en lo que llamaremos matrices numéricas.
Ejemplo.a)Resuelve mediante Gauss el sistema:
2 x  5 y  3 z  4

 x  2 y  z  3 escribimos el sistema en forma matricial y “hacemos ceros”
5 x  y  7 z  11

 2  5 3 4  ((12ªª)) 2 ( 2 ª )  0  1 1 2  ((12ªª))
0 1 1  2

 ( 3)ª 5( 2 ª ) 
 ( 3ª 9 2 (1ª ) 

 1  2 1 3    1  2 1 3    1  2 1 3 
 5 1 7 11
 0 11 2  4 
 0 13 0 0 






El sistema graduado obtenido es equivalente al inicial y con incógnitas es:
  1 y  1z  2 compatible
y  0


determinado
 z  2 .
 x  2 y  z  3   
  13y  0
x  5


b)Resuelve mediante Gauss el sistema:
x  3 y  2z  7

2 x  y  15z  3 escribimos el sistema en forma matricial y “hacemos ceros”
 x  8 y  21z  11

7  ((12ªª))
 1  3  2 7  ((12ªª))  2 (1ª )  1  3  2
1  3  2 7 

 (3)ª  (1ª ) 
 (3ª)( 2 ª) 

19  11  
 0 5 19  11
 2  1 15 3    0 5
 1  8  21 11
 0  5  19 4 
0 0
0  7 





El sistema graduado obtenido es equivalente al inicial y con incógnitas es:
x  3 y  2z  7

 5 y  19z  11 la última ecuación es imposible; sistema incompatible.
0 x  0 y  0 z  7

Cesáreo Rodríguez
- 41 -
Aritmética y Algebra
10. Inecuaciones y sistemas.
En muchos enunciados matemáticos aparecen expresiones algebraicas que
no dicen “es igual a” sino “es mayor que” o “es menor que”. Por ejemplo:
Manuel tiene 47 años. La edad de su hijo es tal que multiplicada por 5
no alcanza la edad de su padre. ¿Cuál es la edad máxima que puede
tener el hijo de Manuel?
Si le llamamos “x” a la edad del hijo tendremos que:
5 x  47
Por tanto, como mucho, el hijo tiene 10 años
Esta expresión se denomina inecuación
Definimos pues una inecuación como una propuesta de desigualdad que
responde a preguntas como: ¿para qué valores es cierto que 5 x  47 ?
Las respuestas a esta pregunta son las soluciones de esta inecuación.
Inecuaciones de primer grado con una incógnita.-
Antes de pasar a explicar el proceso, fíjate en lo siguiente:
3  5 si multiplicamos la desigualdad por  2 obtenemos: 6  10
3  5 si multiplicamos la desigualdad por  2 obtenemos:  6  10
4  6 si dividimos la desigualdad por  2 obtenemos: 2  3
4  6 si dividimos la desigualdad por  2
obtenemos:  2  3
¡Observación!
Al multiplicar o dividir los miembros de una desigualdad por un mismo
número positivo ésta no cambia.
Al multiplicar o dividir los miembros de una desigualdad por un mismo
número negativo cambia el signo de la desigualdad.
Estas inecuaciones son del tipo:
a ) 2 x  4  0 b)  2 x  7 
x
3
2
Para resolverlas algebraicamente se procede como en el caso de las
ecuaciones de primer grado con una incógnita pero, teniendo en cuenta lo
dicho más arriba, tendremos la siguiente excepción:
“si multiplicamos o dividimos por un número negativo los dos miembros
de una inecuación, la desigualdad cambia de signo”
Cesáreo Rodríguez
- 42 -
Aritmética y Algebra
Ejemplo.- Resuelve las inecuaciones siguientes:
4
2
a)2x  4  0 restamos

 2x  4 divi
dim
os

 x  2
La solución de esta inecuación corresponde a todos los números reales
mayores que
 2 , es decir, intervalo  2,
quitamos
agrupamos
x
min adores
 3 deno

 4 x  14  x  6 tér
min
os

2
5
 5 x  20 divi
dim
ospor

x  4
b)  2 x  7 
La solución de esta inecuación es el intervalo
 ,4
Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.-
Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a
todas las inecuaciones que forman el sistema.
Ejemplo.-Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
3
 x  3  0 sumamos

 x  3

a)
divi dim os
restamos 2
por 2

2

2
x

0






2
x


2


 x  1

Fíjate en el gráfico superior, teniendo en cuenta que la solución común de
ambas inecuaciones es el intervalo:
1,3 ésta es también la solución del
sistema dado inicialmente.
Resuelve tú el siguiente sistema, fíjate en las inecuaciones dadas:
2 x  4  0

b) 
x
 2 x  7  2  3
Cesáreo Rodríguez
- 43 -
Aritmética y Algebra
Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.-
Estas inecuaciones son del tipo: a)ax2  bx  c  0 o b)ax2  bx  c  0
Para resolverlas algebraicamente se procede así:
 Determinamos los valores de la incógnita que hacen cero la ecuación
de segundo grado: ax2  bx  c  0
Colocamos estos valores sobre la recta real y señalamos los intervalos
y semirrectas que determinan.
 Comprobamos, sobre la inecuación dada, con un valor de “x” de cada
uno de los conjuntos numéricos anteriores, los que la cumplen y los
que no la cumplen. Aquellos conjuntos numéricos que la cumplan
constituyen las soluciones de la inecuación dada.
Ejemplo.
Resuelve las siguientes inecuaciones de 2º grado:
a) x 2  5x  4  0 b) x 2  5x  4  0 c) x 2  5x  4  0
a) x 2  5x  4  0 Resolvemos previamente la ecuación de 2º grado:

 x1  1
x 2  5x  4  0  
 x2  4
Situamos en la recta real los valores hallados y valoramos sobre la
inecuación de partida los conjuntos numéricos determinados:
La solución de la inecuación es el intervalo cerrado: 1,4
b) x 2  5x  4  0 En este caso, basta observar que sólo cambia la desigualdad,
y como ya hemos estudiado el caso anterior a), tendremos ahora que:
La solución de la inecuación b) es el intervalo abierto: 1,4
c) x 2  5x  4  0 En este caso, igual que antes, solo cambia la desigualdad y
observando el caso a) podemos decir que:
La solución de la inecuación c) es:  ,1  4,
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Sistemas de inecuaciones con una incógnita.Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a
todas las inecuaciones que forman el sistema.
Ejemplo.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
x 2  5x  4  0

3 x  9  0
Este sistema está formado por una inecuación de 2º grado y otra inecuación
de 1º grado.
Las resolvemos cada una por separado, si comparten soluciones en común
también serán soluciones del sistema de partida.
Para la inecuación de 2º grado, que ya la hemos resuelto en un ejemplo
anterior tenemos que:
La solución de la inecuación de 2º grado es el intervalo cerrado: 1,4
Para la inecuación de 1º grado tenemos:
La inecuación de 1º grado tiene por solución la semirrecta:  ,3
Como ambas inecuaciones comparten como solución los valores del intervalo
semiabierto: 1,3 decimos que es también la solución del sistema.
Ejercicio.
Resuelve los sistemas de inecuaciones dados:
 x 2  3x  4  0
x 2  4  0
a)
b) 
2 x  7  5
x  4  1
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Sucesións Numéricas
11.
12.
13.
Concepto de sucesión. Terminoloxía.
Progresións aritméticas e xeométricas.
Límite dunha sucesión. Algúns límites importantes.
Obxectivos Mínimos
- Coñecer o concepto de sucesión numérica e a terminoloxía que acompaña a
este concepto matemático.
- Traballar con dous tipos de sucesións enormemente importantes polas
múltiples aplicacións que delas se derivan: as progresions aritméticas e as
progresións xeométricas.
- Coñecer o concepto de límite dunha sucesión numérica, e traballar con
algúns límites importantes na matemática superior como é o límite da
 1
sucesión: an  1  
 n
n
Introducción.As sucesións numéricas son tan antigas como os propios números naturais.
Nas civilizacións de Exipto e Mesopotamia xa se atoparon problemas nos
que se suman uns poucos termos dalgunhas sucesións.
No século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci),
plantexoú o seguinte problema:
¿Cántas parellas de coellos se producirán nun ano, comezando cunha única
parella, se cada mes calquera parella xera outra parella, que se reproducirá
á súa vez dende o segundo mes de ter nacido?
O número de parellas mes a mes é: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,......
Ésta é a chamada sucesión de Fibonacci, é unha sucesión que se dí
recorrente pois cada termo se obtén como suma dos dous anteriores.
O principal interés que alberga tanto o concepto como o cálculo de límites
reside no seu carácter de ferramenta básica para a Análise.
O cálculo infinitesimal do século XVII seguiú baseado en ideas pouco
precisas dos límites. Non foi ata o século XIX cando matemáticos como
Cauchy ou Weierstrass perfilaron a noción de límite de maneira rigorosa.
Deste modo conseguiuse para a Análise matemática altas cotas de precisión,
eficacia e sinxeleza.
Cesáreo Rodríguez
- 46 -
Aritmética y Algebra
11. Concepto de sucesión Terminoloxía.
As sucesións numéricas son conxuntos de números dados
ordenadamente de modo que se poidan numerar: primeiro, segundo,.........
Por exemplo:
a) 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25……………………
b) 2, 4, 8, 16, 32, 64,…………………
c) 1, 4, 9, 16, 25 36,………………….
d) 1,-3, 9,-27 81,-243,…………
e) 4, 1,-2,-5,-8,-11,…………..
f) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,............
Os elementos da sucesión chámanse termos e adoitan designarse mediante
unha letra cos subíndices correspondentes aos lugares que ocupan na
sucesión: s1 , s2 , s3 .........
Así por exemplo na sucesión a) o primeiro termo é s1  1 o segundo termo é
s2  5 o sexto termo é s6  21.
Cada unha das sucesións dos exemplos anteriores constrúese seguindo un
certo criterio.
Algúns destes criterios son evidentes:
 Sumar sempre unha mesma cantidade a cada termo para obter o
seguinte(casos a) ,e))
 Multiplicar sempre pola mesma cantidade a cada termo para obter o
seguinte(casos b), d)).
Outros son menos evidentes:
 Cada termo se obtén sumando os duos anteriores(caso f)).
 Cada termo é o cadrado do número natural que ocupa o seu lugar(c)).
Moitas veces podemos atopar unha expresión que sirva para obter un termo
calquera da sucesión con só saber o lugar que éste ocupa na sucesión.
Por exemplo na sucesión a) a expresión: sn  4n  3 serve para obter tódolos
termos da mesma, así se sustituimos nesa expresión o lugar de cada termo
na letra “n” obteríamos: s1  4.1  3  4  3  1
s6  4.6  3  24  3  21
A esta expresión chámaselle termo xeral dunha sucesión.
As sucesións nas que os termos se obteñen a partir dos anteriores, dise que
están dadas de forma recorrente(o caso f) é un deles, así obteriamos un
termo calqueira da sucesión f) do seguinte modo: sn  sn1  sn2 , n  N
Tamén o caso a) ven dada de forma recorrente e un termo calqueira viría
dado por: sn  sn1  4, n  N .
No caso b) tamén teriamos un caso de sucesión dada de forma recorrente
na que calqueira termo ven dado por: sn  2.sn1 , n  N
Cesáreo Rodríguez
- 47 -
Aritmética y Algebra
Exercicio 1.-Determina unha sucesión que se corresponda cos elementos da
seguinte torre.
Exercicio 2.- Dadas as sucesións :
a) 1, 4, 9, 16, 25,........ b) 2, 4, 8, 16, 32,......... c) 1,-3, 9, -27, 81,-243,.......
comproba, calculando os dez primeiros termos de cada unha delas, que os
termos xerais son respectivamente:
an  n 2
bn  2n
cn   3
n 1
Exercicio 3.- Constrúe unha sucesión cunha lei de recorrencia que sexa:
sn  sn1  n
Solución.- si o primeiro termo é s1  3 teriamos a seguinte sucesión:
3, 5, 8, 12,....... continúa tí ata o termo 10.
Si o primeiro termo fose: s1  2 ¿cal serían ahora os dez primeiros?
Exercicio 4.- Escrebe os dez primeiros termos das sucesións:
a) o primeiro é -3, e cada termo se obtén sumando 5 o anterior.
b) o primeiro é 64 o segundo 36,os seguintes obteremolos mediante a
semisuma dos dous anteriores.
c) o primeiro é 5, e cada un dos seguintes se obtén facendo o inverso
do anterior.
d) o primeiro é 100 e os demais obtéñense multiplicando o anterior
por 1 .
2
Exercicio 5.- Descobre a lei de recorrencia das seguintes sucesións:
a) 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37,............................. an  an1  an2  an3 n  4
b)1,-4, 5,-9, 14,-23, 37,............................ an  an2  an1 n  3
a
c)1, 2, 2, 1, ½, ½,1, 2,2, 1.......................... a n  n1 n  3
an2
Cesáreo Rodríguez
- 48 -
Aritmética y Algebra
12. Progresións aritméticas e xeométricas.
Progresións Aritméticas.Unha progresión aritmética é unha sucesión numérica na que se pasa
de cada termo ó seguinte sumando un mesmo número ,d, (positivo ou
negativo) ó que se lle chama diferencia da progresión.
Por exemplo:
a) 3,5,7,9,11, 13, 15,.............................. d=2
b) 1, 5, 9,13,17,.......................................d=4
c) 4, 1,-2,-5,-8,-11,……………………………..d=-3
d) 1300, 1250, 1200, 1150,………………..d=-50
e) 1, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 .......... ........d  1
2
2
2
2
2
2
Imos ver agora que o termo xeral dunha progresión arirmética só depende
do primeiro termo e a diferencia.
En efecto, na progresión aritmética a) o primeiro termo é : a1  3 , a
diferencia é: d  2 e para pasar do primeiro termo ao quinto, por exmplo,
necesitamos dar catro pasos, cada paso supón dúas unidades de aumento
( d  2 ), polo tanto para pasar de a1  3 ao quinto termo aumentamos: 4.2=8
unidades, é dicir: a5  a1  8  3  8  11 .
Para pasar do primeiro termo ao 100 daremos 99 pasos de lonxitude de
paso:2, é dicir: a100  a1  99.2  3  99.2  3  198  201.
En xeral, teremos que para pasar do primeiro termo ao termo “n”
necesitamos dar “n-1” pasos, de lonxitude de paso: d(a diferencia), e por
tanto :
an  a1  (n  1).d
Para a progresión aritmética do exemplo a), que estivemos a ver, teremos
que o termo xeral ten a seguinte expresión:
an  a1  (n  1).d  3  (n  1).2  3  2n  2  1  2n , ou sexa: an  1 2n
Calcula tí o termo xeral de cada unha das progresións aritméticas b),c),d),e)
Suma dos termos dunha progresión aritmética.-
Para calcula la suma dos dez primeiros termos dunha progresión
aritmética basta con ir sumando un a un os dez termos de dita progresión.
Se en lugar dos dez primeiros tivésemos que sumar os mil primeiros tamén
poderíamos proceder do mesmo xeito pero resultaría pouco operativo.
É por iso que imos ver un modo de calcula-la suma dos “n” primeiros termos
dunha progresión aritmética, sen mais que coñecer o valor do primeiro
termo( a1 ), o termo n-ésimo( an , que é o último para sumar) e o número total
de termos que temos que sumar(son “n”).
Cesáreo Rodríguez
- 49 -
Aritmética y Algebra
Procedamos primeiramente cun exemplo cocreto, así se na progresión a)
,do apartado anterior, sumásemos os dez primeiros termos saberíamos
que en total suman 120, en efecto:
Se chamamos S10 á suma dos dez primeiros termos da progresión
10
S10  a1  a2  ..........  a9  a10   ai 
i 1
 3  5  7  9  11  13  15  17  19  21  120.
imos a xustificar agora, que tamén poderiamos calcula-la suma anterior
mediante a seguinte fórmula:
S10 
a
1
 a10 10 3  2110

 120
2
2
En efecto, sabemos que a suma dos dez primeiros termos podemos escribila
destes dous modos :
S10  a1  a2  .......... .......... ..  a9  a10
S10  a10  a9  .......... .......... ...  a2  a1
Sumando as dúas expresións membro a membro temos:
(*) 2S10  a1  a10   a2  a9   .......... .......... ....  a2  a9   a1  a10 
Agora só nos convén observar que tódolos termos, neste exemplo son dez en
total,que aparecen no segundo membro da expresión suman todos igual,
a1  a1

  a1  a10   2a1  9d
a10  a1  9d 
en efecto:
a2  a1  1d 
  a2  a9   2a1 9d
a9  a1  8d 
Como os dez termos do segundo membro da expresión (*)suman igual
podemos considerar que todos son: a1  a10  , en consecuencia:
(*) 2S10  a1  a10 .10
e finalmente teremos:
S10 
a
1
 a10 10
2
En xeral se en lugar de dez termos tivesemos “n” a fórmula quedaría do
seguinte xeito:
Sn 
a
1
 an .n
2
Cesáreo Rodríguez
- 50 -
Aritmética y Algebra
Progresións Xeométricas.Unha progresión xeométrica é unha sucesión numérica na que se pasa
de cada termo ó seguinte multiplicando por un mesmo número fixo ,r, ó que
se lle chama razón da progresión.
Por exemplo:
a) 2, 4, 8, 16, 32, 64,………………… r=2
b) 3, 30, 300, 3000, 30000,……..r=10
c) 1,-3, 9,-27 81,-243,………………. r=-3
d) 80, 40, 20, 10, 5, 5 …………... r  1
2
2
Observa como no caso de que a razón sexa maior que 1 fai que os termos da
progresión xeométrica crezan de forma sorprendentemente rápida (a) e b))
Igual que no caso das Aritméticas, imos ver agora que o termo xeral dunha
progresión xeométrica só depende do primeiro termo e a razón.
En efecto, na progresión xeométrica b) o primeiro termo é : a1  3 , a razón
é: r  10 e para pasar do primeiro termo ao quinto, por exemplo,
necesitamos dar catro pasos, cada paso supón multiplicar por 10 e polo tanto
para pasar de a1  3 ao quinto termo debemos multiplicar catro veces por
10, é dicir por 10 , e así teremos que: a5  a1.10  3.10000  30000
4
4
En xeral, teremos que para pasar do primeiro termo ao termo “n”
necesitamos dar “n-1” pasos. Como cada paso consiste en multiplicar por “r”,
ó final teremos que:
an  a1.r n1
Para a progresión xeométrica b) teremos que o termo xeral ven dado por:
an  3.10n1
Calcula tí para o resto das progresións xeométricas o termo xeral.
Suma dos termos dunha progresión xeométrica.-
Para calcula-la suma dos dez primeiros termos dunha progresión
xeométrica basta con ir sumando un a un os dez termos de dita progresión.
Se en lugar dos dez primeiros tivésemos que sumar os cen primeiros tamén
poderíamos proceder do mesmo xeito pero resultaría pouco operativo.
É por iso que imos ver un modo de calcula-la suma dos “n” primeiros termos
dunha progresión xeométrica, sen mais que coñecer o valor do primeiro
termo( a1 ), e a razón,r, de dita progresión.
Cesáreo Rodríguez
- 51 -
Aritmética y Algebra
Procedamos primeiramente cun exemplo concreto, así se na progresión a)
,do apartado anterior, sumásemos os dez primeiros termos saberíamos
que en total suman 2046, en efecto:
10
S10  a1  a2  ..........  a9  a10   ai 
i 1
 2  4  8  16  32  64  128  256  512  1024  2046 .
imos a xustificar agora, que tamén poderiamos calcula-la suma anterior
mediante a seguinte fórmula:
a1 .r 10  a1 2.210  2 2048  2
S10 


 2046
r 1
2 1
1
Se multiplicamos a expresión da suma dos dez primeiros
(*) S10  a1  a2  .......... .......... ..  a9  a10
pola razón, r=2, teremos:
(**)
2.S10  2.a1  2.a2  .......... .......... ..  2.a9  2.a10
2S10  a2  a 3 .......... .......... ..........  a10  a11
Restando a expresión(**) da expresión (*) teremos:
2S10  S10  (a2  a 3 ..........  a11 )  (a1  a2  a3  .......  a10 )
 a2  a3  .........  a10  a11  a1  a2  a3  .........  a10  a11  a1
Ou sexa:
2S10  S10  a11  a1
Se na primeira parte desta expresión sacamos factor común S10 ,temos:
S10 (2  1)  a11  a1
a11  a1 a1 .210  a1
S10 

 2046
2 1
2 1
En xeral se en lugar de dez termos tivesemos “n” a fórmula quedaría do
seguinte xeito:
a1 .r n  a1
Sn 
r 1
rn 1
S n  a1
r 1
ou
Cesáreo Rodríguez
- 52 -
Aritmética y Algebra
Producto de n termos dunha progresión xeométrica .Dada a progresión xeométrica: 2,4,8,16,32,64,128........... de r=2 imos
calcular o valor do producto dos seis primeiros termos da mesma.
Poderiamos facer, como no caso das sumas, o producto desos seis termos e
averiguar así o resultado, pero se tivesemos que facer o producto de moitos
mais termos este proceder resultaría pouco operativo.
É por iso que imos obter unha fórmula, válida para todos os casos, que
determine o valor dos productos que queremos calcular.
Fixémonos como para o exemplo posto mais arriba, o producto dos seis
primeiros termos valería: P6  2.4.8.16.32.64  2097152.
Para detreminar a fórmula que permita facer o cálculo dos productos dos
termos da progresión xeométrica, imos a proceder como no caso das sumas
dos termos nunha progresión aritmética, e dicir:
Sabemos que o producto dos seis primeiros termos podemos escribilo
destes dous modos :
P 6  a1 .a2 .a 3 .a4 .a5 .a6
P6 a 6 .a5 .a 4 .a3 .a2 .a1
O motivo de escribilo detes dous xeitos é porque nas progresións
xeométricas cúmprese que o producto de termos equidistantes dos
extremos é o mesmo que o producto dos extremos, e dicir,
a1.a6  a2 .a5  a3 .a4  128
Multiplicando as dúas expresións membro a membro temos:
(*) P6 .P6  a1.a6 
. a2 .a5 
. a3 .a4 
. a3 .a4 
. a2 .a5 
. a1.a6  ou sexa:
Como todos os productos do segundo membro son iguais a a1.a6  ,e en total
temos seis, ao final nos queda a expresión:
* P6  a1 .a6 
2
6
No noso exemplo será pois:
P6  a1 .a6 
2
6
P6  2.64   128 
2
P6 
6
128
6
6
 2 42  2 21  2097152
Cesáreo Rodríguez
- 53 -
Aritmética y Algebra
En xeral se en lugar de seis termos tivesemos “n” a fórmula quedaría do
seguinte xeito:
* Pn  a1 .an 
2
n
Exercicio .- Calcula o producto dos catro primeiros termos da progresión
xeométrica de primeiro termo 3 e razón r=5.
Solución.n1
3
Calculamos previamente o termo 4: a4 a1 .r  3.5  3.125  375
Agora xa podemos proceder aplicando a fórmula directamente:
P4  a1 .a 4   3.375   1125 
2
P4 
4
4
1125 
4
4
 1265625
Exercicios resoltos de sucesións e progresións aritméticas e xeométricas.
Exercicio 1.- Determina a diferencia(d), escrebe o termo xeral e calcula a
suma dos 20 primeiros termos das seguintes progresións aritméticas:
a)1;1,5;2;2,5;3;3,5;4;4,5;......................... d  0,5 an  0,5n  0,5 S 20  115
b)5,3,1,-1,-3,-5,.......................................... d  2 bn  2n  7 S 20  280
Exercicio 2.- Determina a razón(r), escrebe o termo xeral e calcula a suma
dos 10 primeiros termos das seguintes progresións xeométricas:
a)0,25;0,75;2,25;6,75;................. r  3 an  0,25.3n1 S10  7381
b)3,-6,12,-24,.................................. r  2 bn  3.(2) n1 S10  1023
Exercicio 3.-Busca unha lei de recorrencia para as seguintes sucesións:
a) 5,6,1,-5,-6,-1,............. a1  5 a2  6 an  an1  an2 n  2
3 1 1
2 2 3
b) 2,3, , , ,......... .... a1  2
a2  3 an 
a n 1
an2
n2
Exercicio 4.- Escrebe o termo 63 da sucesión: 1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,.........?
Exercicio 5.- Nunha progresión aritmética o termo a8  4 e a diferencia
d=-5. Calcula o primeiro termo e a suma dos 25 primeiros.
Solución.- a1  39 S25  525
Cesáreo Rodríguez
- 54 -
Aritmética y Algebra
Exercicio 6.- Relaciona cada sucesión co seu termo xeral:
an  39  7n
bn  3n  10
en  n 2  1
fn 
n
n 1
c n  2 n 5
d n  2n
g n  0,2.0,1
n 1
hn  8,8  1,1.n
Exercicio 7.- Nunha progresión xeométrica, a1  1000 e a4  8 . Calcula a
suma dos cinco primeiros termos.
Solución.S5  1249,6
Exercicio 8.- Os ángulos dun triángulo están en progresión aritmética e o
menor mide 36º. ¿Cánto meden os outros dous ángulos?
Solución.- 60º e 84º
Exercicio 9.- Nunha sala de cine, a primeira fila dista da pantalla 5,5
metros, e a sexta fila dista 8,75 metros.¿En que fila está unha persona se a
súa a distancia á pantalla é de 13,3 metros?
Solución.- está na fila n=13
Exercicio 10.- Considera a sucesión de números impares.
a) Determina a suma dos números impares menores ca 100. S  2500
b) Determina a suma dos números impares menores ca 500. S  62500
Exercicio 11.- Nunha aldea suiza, conta a tradición, que calqueira neno para o
seu cumpreanos pode levar moedas de chocolate de 20 gramos feitas na
fábrica do lugar tendo en conta as seguintes condicións:
i) o primeiro día só pode levar 1, o segundo só pode levar 2 e así
sucesivamente cada día duplicará o do anterior.
ii) cada día o peso total das mesmas que pode levar é como máximo
de 1 tonelada.
a) ¿Cántos días estivo un neno carretando moedas ata o máximo permitido?
b) ¿Cánto pesan as moedas que leva na última carretada?
c) ¿Cántas moedas levoú en total por tódolos días que estivo carretando?
Solución.- a) n  16 b) 655360 gramos c) 65535 moedas
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Exercicio 12.- O inventor do xogo do xadrez pediúlle ao rei un grao de trigo
pola primeira casa do taboleiro, dous graos de trigo pola segunda casa, catro
graos de trigo pola terceira casa e asi sucesivamente o dobre de graos en
cada casa que os que hai na anterior.¿Cántos graos lle pediú en total?
Solución 18 446 744 073 709 551 615
Exercicio 13.- ¿Poderías determinar cánto suman os seguintes números sen
facer a suma un a un?
a) 1+3+9+27+81+243
S= 364
b) 3+6+12+24+48+96+192+384
S= 765
(observación: ademáis de aplicar a fórmula correspondente, usa o
procedemento xeral teórico de suma de “n” termos para p. Xeométricas)
Exercicio 14.- Un vendedor de coches cobra ó mes un tanto fixo máis unha
comisión por cada coche que venda. En Xaneiro vendeu 14 coches e cobrou
2 460€. En Febreiro vendeu 23 coches e cobrou 3 630€. ¿Cántro cobrará
en Marzo se vendeu 17 coches?
Solución.- 2 850€
Exercicio 15.- Unha bacteria reprodúcese por bipartición cada 10 minutos.
a)¿Cántas bacterias haberá despois de 1 hora?
b)¿Cántas bacterias haberá despois de 8 horas?
Solución.- a) 26  64 bacterias b)248  2,81.1014 bacterias
Exercicio 16.- Calcula a razón dunha progresión xeométrica con a1  1 e o
producto dos cinco primeiros termos vale: P5  1024
Solución.- r  2
Exercicio 17.-Observa os diferentes cadrados que hai na figura.
Obtivéronse unindo os puntos medios de dous lados contiguos.
a) Determina-lo área dos seis primeiros
cadrados desta sucesión.¿Cal é o termo xeral?
b)Escribe a sucesión formada polas lonxitudes
dos lados.
Solución.1
a )64,32,16,....a n  64. 
2
n 1
 2 7n
b) 64, 32, 16,...........
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Aritmética y Algebra
Outras sucesións importantes.
A) Sucesións de potencias.
Frecuentemente nos encontramos con sucesións do tipo:
1m ,2 m ,3m ,..............,n m ,.............
Para (m=2) e (m=3) temos as sucesións dos cadrados e a dos cubos dos
números naturais respectivamente.
Para estas sucesións son especialmente importantes as seguintes fórmulas
que suman os “n” primeiros termos:
n.n  1
. 2n  1
A) 12  2 2  3 2  ............  n 2 
6
2
2
n .n  1
B) 13  2 3  33  ............  n 3 
4
A demostración de A) resulta algo complexa e no na damos.
A demostración de B) é algo máis sinxela:
Chamamos: S n  13  23  33  ............  n3 experimentando observamos que:
S1  13  1
S 2  13  23  9
S3  13  23  33  36
Todas as sumas son cadrados perfectos, e dicir,
S1  13  1  12
S 2  13  23  9  1  2
2
S3  13  23  33  36  1  2  3
2
En xeral, por inducción en “n” teremos que:
S n  13  2 3  33  ....  n 3  1  2  3  ....  n 
2
progresión
aritmética
diferencia1

n 2 .n  1
 1  n .n 

 
4
 2 
2
2
Exemplo.
Calcula a suma seguinte: 202  212  222  ............  502
Sol
202  212  222  ............  502  (12  2 2  ....  502 )  (12  2 2  ..... 192 ) 
50.51.101 19.20.39

 42925 2 470  40 455
6
6
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Aritmética y Algebra
B) Sucesión de Fibonacci.
Como xa plantexamos nas páxinas iniciais chamamos así á sucesión:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,..........
Cada termo, a partires do terceiro, se obtén sumando os dous anteriores.
E pois unha sucesión recorrente: a1  1 a2  1 an  an2  an1 n  3
O termo xeral desta sucesión ten unha expresión complexa que é:
n
n
1  1  5   1  5  
 
 

an 
5  2   2  


Podemos calcular coa axuda da calculadora calqueira termo, por exemplo:
a6  8 o a8  21 etc.
Calcula tí algúns termos mais desta sucesión empregando a fórmula do
termo xeral.
n
1 5 
 toma valores moi
Observa que o sustraendo do termo xeral: 

 2 
próximos a cero para valores de (n) un pouco grandes.
Isto nos permite obter un valor aproximado de an mediante a expresión:
n
1  1  5  
 

an 

 
2

5 
 

Así por exemplo para a7  12.98
Este valor é practicamente o mesmo que o obtido da fórmula do termo xeral
da sucesión de Fibonacci que é: a7  13
Calcula tí para valores de n  10 os correspondentes termos empregando a
fórmula de aproximación, e comproba que son prácticamente os mesmos que
os calculados coa fórmula do termo xeral.
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
13 Límite dunha sucesión. Algúns límites importantes.
Antes de definir o concepto de límite dunha sucesión numérica, fíxate na
representación gráfica dos termos das sucesións seguintes:
5n
n2
A)a n 
B)bn 
 4n
n3
5
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
No caso A) observamos como os termos da sucesión se van achegando cada
vez máis a 5. Isto se expresa deste modo:
5n
a n  lím
5
lím
n 
n  n  3
No caso B), ainda que os termos da sucesión comezan decrecendo, a partires
dun deles empezan a crecer e fanse moi grandes, cada vez máis. Ou sexa:
 n2

  4n   
b

n
lím
lím
n 
n   5

O límite dunha sucesión numérica é o seu comportamento para termos moi
avanzados, cando “n” toma valores cada vez maiores.
Aproximación á idea de límite dunha sucesión.
Cando unha sucesión, an , ten un dos comportamentos que presentamos a
continuación, podemos atribuirlle un límite.
 Se se achega a un número l  dicimos que:
lím a   l
n

n
ou an  l
Se crece de modo que os seus valores acaban superando a calquera
número, dicimos que: lím an    ou an  
n

Se decrece, tomando valores menores que calquera número negativo
dicimos que: lím an    ou an  
n
Sucesións sen límite.
n1
Fíxate agora na seguinte sucesión: an   1 n cuios primeiros termos son:
1,2,3,4,5,6,.............
Non se achega a ningún número, nin os seus termos son cada vez maiores
(pois os termos pares son negativos) nin os seus termos son cada vez máis
pequenos (porque os termos impares son positivos).
Polo tanto dicimos que a sucesión anterior non ten límite.
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Exercicios.
Estuda o comportamento das seguintes sucesións para termos moi
avanzados e indica os seus límites:
Dí razonadamente, cal das seguintes sucesións teñen límite:
Estuda o comportamento das seguintes sucesións para termos moi
avanzados e indica os seus límites:
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Calcula o límite das seguintes sucesións:
Determina o termo xeral da sucesión: 2, 2, 3 2, 4 2, 5 2,...........
Estuda o seu límite.
Cesáreo Rodríguez
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Aritmética y Algebra
Algúns límites importantes
A) Suma dos termos dunha progresión xeométrica.
Lembremos que a expresión da suma de (n) termos dunha progresión
xeométrica de razón r  1 ven dada pola fórmula:
a1 .r n  a1
Sn 
r 1
rn 1
S n  a1
r 1
ou
Calculemos o valor do límite desta expresión segundo os valores de r :
 r  1 : Entón r n faise tan grande como queiramos e polo tanto se
a1  0 teremos que S n   e se a1  0 entón S n  

r  1 : Entón r n faise tan grande como queiramos pero neste caso
temos: e n é par r n é positivo e se n é impar r n é negativo.
En calqueira caso S n non ten límite.


 a1
r 1
r  1 : A progresión é: a1 , a1 , a1 ,....... e a suma é: Sn  n.a1 . Por tanto:
 1  r  1 : Entón r n  0 e en consecuencia: S n 
se a1  0 teremos que S n   e se a1  0 entón S n  

r  1 : A progresión é: a1 ,a1 , a1 ,....... e os valores da suma son:
a1 ,0,a1 ,0, a1 ,0,....... e por tanto
S n non ten límite.
Facendo un cuadro resumen dos resultados temos:
Progresións
Xeométricas
r  1
a1  0
Sn
a1  0
Non ten límite
1  r  1
Sn 
 a1
r 1
r 1
S n  
S n  
Cesáreo Rodríguez
- 63 -
Aritmética y Algebra
B) O número (e).
O número irracional (e), que xa usamos como base dos chamados logaritmos
n
 1
neperianos, se obtén como límite da sucesión: an  1  
 n
Se calculamos algún dos seus termos temos:
a1  2, a2  2.25, a3  2.37, a3  2.44, a5  2.49,........., a10  2.6,........,a100  2.718,.......
Se continuamos calculando termos desta sucesión, obteremos que cada vez
máis se van aproximando ó número: e  2.7182 ..........
C) O número áureo   .
Observa a composición feita de cadrados (numerados de 1 a 5):
O lado dos dous primeiros é 1. A partir do terceiro, o lado
de cada un é igual á suma dos lados dos dous anteriores.
Poderiamos seguir construindo deste xeito cadrados de
distinta lonxitude de lado, así o cadrado numerado co 6
tería de lonxitude de lado 8, o cadrado numerado co 7
tería de lonxitude de lado 13,e o cadrado numerado co 8
tería de lonxitude de lado 21..........
Observa agora no gráfico da dereita os
rectángulos que se forman sucesivamente:
Os cocientes entre as lonxitudes dos lados
dos rectángulos forma a sucesión:
1 2 3 5 8 13 21

 , , , , , , ,..........  1, 2, 1.5, 1.66, 1.6, 1.625, 1.619,........
1 1 2 3 5 8 13

1 5
Esta sucesión ten por límite o número áureo   1.618.... 
, ísto quere
2
decir que os rectángulos parécense cada vez máis a rectángulos áureos.
Se an é a sucesión de Fibonacci, a sucesión bn 
a
lím b   lím  a
n 1
n 
n
n 
n
an1
ten por límite  .
an

1 5
   
 1.618
2

Cesáreo Rodríguez
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