intervalos de números reales

EL CONJUNTO .
Se llama conjunto de números reales al conjunto que es la unión del conjunto de los
números racionales
con el conjunto de los números irracionales .Es decir:
= 
Afirmamos:
x
x
x
* Si x  , entonces x se llama real racional.
* Si x  , entonces x se llama real irracional.
EL MÉTODO AXIOMÁTICO DEL SISTEMA
El conjunto de números reales es un conjunto
c,... etc,
no vacío cuyos elementos se denotan con a, b,
llamados números reales, en donde se establecen una relación de igualdad, dos
operaciones internas denotados con + y , además se definen las relaciones menor (<) y menor o
igual () que después éstas dan a
la estructura de campo ordenado provisto de la métrica del
valor absoluto.
Relación de igualdad en .
Si escribimos a = b en , significa que a y b son símbolos distintos que representan a un mismo
número real. Respecto a la igualdad de números reales, se cumple:
E1).  a  , a = a
(Reflexiva)
E2). a = b  b = a
(Antisimétrica)
E3). a = b  b = c  a = c
(Transitiva)
A continuación pasamos a usar el método axiomático para la construcción de Sistema
.
Adición y multiplicación en
Definición 1.- La adición en
es una operación denotada con +, tal que a cada par (a, b) de
x , se le hace corresponder el elemento a + b de
+:
x
llamado suma de los reales a y b. Es decir:

(a, b)  a + b
Definición 2.- La multiplicación en
de
es una operación denotada con , tal que a cada par (a, b)
x , se le hace corresponder el elemento a . b de
Es decir:
:
x

llamado producto de los reales a y b.
(a, b)  a . b
Axiomas de adición y multiplicación en
La adición y multiplicación en
.
satisface los siguientes axiomas:
A1). (a + b) + c = a + (b + c),  a, b, c 
(Axioma de Asociatividad)
A2). a + b = b + a,  a, b, 
(Axioma de Commutatividad)
A3). Existe 0 
(0 es neutro aditivo)
A4).
/ 0 + a = a + 0,  a 
Para cada a  , existe (-a) 
tal que a + (-a) = 0
(Opuesto aditivo)
m1). (a . b) . c = a . (b . c),  a, b, c 
(Asociatividad)
m2). a . b = b . a,  a, b 
(Commutatividad)
m3). Existe 1 en , 1  0 tal que 1 . a = a,  a 
(1 es neutro multiplicativo)
m4). Para cada a  0 en , existe a-1 
(Inverso multiplic.)
tal que a . a-1 = 1
Axiomas de distributividad
d1).
a (b + c) = a.b + ac
d2).
(b + c ) a = b.a + c.a, para cada a, b, c en
Definición.- Dados a y b en , la diferencia de a y b se denota con a – b y se define:
a – b = a + (-b)
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN EN
.
Teorema 1. (MONOTONÍA)
a = b y c
a  c  a  c  (A)
 (B)
 c.a  c.b
 
Demostración:
(A)
Sabemos a + c = a + c,  a + c en
Como a = b  a + c = b + c
(B)
c a = c a,  c a 

(por el principio de sustitución P.S)
ca=cb
(por P.S)
Teorema 2. (CANCELACIÓN)
(A)
a + c = :b + c,  a = b
(B)
c a = c b, c  0 a = b
Demostración:
a.
a+c=b+c
 (a + c ) + (-c) = (b + c) + (-c)
(por A 1 de teorema 1)
 a + (c + (-c)) = b + (c + (-c))
(por Axioma 1)
a+0=b+0
(por Axioma 4)
2
a=b
b.
(por Axioma 3)
Como c  0 en , existe c-1 en
tal que c-1.c = 1, entonces:
c a = c b  c-1 (c a) = c-1 (c b)
(por B del Teorema 1)
(c-1.c) a = (c-1.c) b
(por m1)
1a=1b
(por m4)
a=b
(por m3)
Propiedades adicionales:.
1. Para cada a 
y 0  , se cumple:
0 = -0
a0=0
2. El neutro aditivo 0 de R, es único
3. Si a  , entonces (-a) 
es único
4. Para todo a, b  , se cumple: a (-b) = - (a b)
RELACIÓN MENOR EN
En
se puede establecer una relación menor (<) sujetos a los siguientes axiomas y definiciones:
1. Existen elementos positivos en .
2. Si a  , entonces se cumple una y sólo una de las proposiciones siguientes:
a = o, a es positivo, -a es positivo.
3. a positivo, b positivo  a + b positivo.
4. a positivo, b positivo  ab es positivo.
5. a < b  b < c  a < c
6. a < b  a + c < b + c
7. a < b y c positivo  ac < bc
8. si a, b en
, se cumple uno y sólo uno: a < b, a = b, b < a; este axioma se conoce con el
nombre de Ley de Tricotomía.
Definición 1.- Se dice que el número real a es menor que el real b, si y sólo si b – a es positivo. En
símbolos:
a< b, si y sólo si b – a es positivo
OBSERVACIONES:
1.
2.
Si a es menor que b, escribimos a < b. En caso contrario se escribe a<b.
si a < b, escribiremos b > a para indicar también que b es mayor que a.
3
Es decir: a < b  b > a.
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA RELACIÓN MENOR EN
TEOREMA 1. Si a es positivo, entonces a > 0.
Demostración:
Si a es positivo  a – 0 = a + (-0)
=a+0
(pues –0 = 0)
=a
con a positivo
Como a – 0 es positivo, entonces 0 < a, es decir a > 0.
TEOREMA 2.
Si a > 0, entonces a es positivo.
Demostración: Ejercicio para el lector.
RELACIÓN MENOR O IGUAL EN
Definición.- Se dice que a es menor o igual que b en , si y sólo si a<b o a = b. Es decir:
aba<b  a=b
NOTA:
1.
a  b, se lee: “ a es menor o igual que b”.
2.
Si a  b, se escribe b  a para indicar que b es mayor o igual que a.
Definición.- Se dice que un número real a es no negativo, si y sólo si a0.
Definición.- Se dice que un número real a es no positivo, si a  0.
TEOREMA
a  b, si y sólo si existe c  0 en , tal que a + c = b.
Demostración:
ab a<ba=b
 b – a es positivo  a = b
 b – a = c; c > 0 en  a = b + 0, c = 0
 b = a + c, c  0 en
  c  0 en , tal que a + c = b
TEOREMA
La relación  en , es de orden, es decir se verifica:
(1)
a ,aa
(Reflexiva)
(2)
abbaa=b
(Antisimétrica)
4
(3)
abbcac
(Transitiva)
NOTA:
Si a  b  b  c, entonces escribimos a  b  c.
INTERVALOS DE NÚMEROS REALES
Algunos subconjuntos de
son llamados intervalos.
El siguiente subconjunto de R: [a, b] = {x 
/ a  x  b}
Se denomina intervalo cerrado de extremos a y b.
Afirmamos:
x  [a, b]  x 
axb
* Ejercicio: Definir los otros tipos de intervalos en R.
VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS REALES
Si a  , el valor absoluto de a se denota con |a| y se define como sigue:
 a,
a 
 a,
si a  0
si a  0
Ejemplos
|5| = 5, pues 5  0
|-4| = - (-4) = 4, pues –4 < 0
Hallar los x en
que satisfacen la igualdad |x – 3| = 2
Solución:
Como x – 3 
x–30  x–3<0
x3 x <3
a.
Si x – 3  0  |x – 3| = | x – 3| = 2
x–3=2
x=5
b.
Si x – 3 < 0  |x – 3| = -(x – 3) = 2
 - (x – 3) = 2
 x – 3 = -2
x=1
Luego, el conjunto solución de esta igualdad es: S = {1, 5}
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EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
1.
Enuncie algunas propiedades básicas de:
* La relación menor en R
* La relación menor o igual en R
2.
Haga un comentario sobre las ecuaciones cuadráticas en R.
3.
Resuelva los siguientes ejercicios:
a. a x -3 = b x + 3, con a y b diferentes.
b. 4x + 3  8x –12
c. x2 -x  6
d. Considerando lo anterior, resolver cuándo la desigualdad se cambia con mayor o igual y
con menor o igual.
e. Si |3 x – 5| < 1  x  ] a, b[, hallar los valores de a y b.
f. Hallar en , el conjunto solución de: |3 x +1| = 1 +3 x, a  0, b  .
g. Hallar el conjunto solución en R de la siguiente desigualdad  x2 -x   1
4.
Haga un comentario sobre la importancia del estudio del valor absoluto en R.
5.
Hallar el conjunto solución en R de las siguientes desigualdades:
a) x2 + 2 x  8
b) x2 –x  ¾
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