NÚMEROS COMPLEJOS Los conjuntos numéricos surgen por la necesidad de resolver determinadas situaciones que no eran posibles de ser resueltas con el conjunto numérico conocido hasta ese momento. Actividad grupal 1: Reunidos en pequeños grupos, resuelvan las siguientes ecuaciones e indiquen a qué conjunto numérico corresponde la solución: a) x + 2 = 5 b) x + 5 = 2 c) -5x = 2 d) x2 = 2 e) x2 + 1 = 0 Haciendo un recorrido por distintas situaciones, buscaremos soluciones que nos permitan entender la necesidad de crear un nuevo conjunto numérico. Si tenemos una ecuación como la siguiente, x + 2 = 5 su solución es x = 3, que corresponde al conjunto de los números naturales (IN). Este conjunto numérico, ¿puede dar solución a la siguiente ecuación? x + 5 = 2 , como podemos ver su solución es x = -3, y -3 no pertenece al conjunto de los números naturales, así surge la necesidad de ampliar el conjunto numérico incorporando los números negativos, que recibe el nombre de conjunto de los números enteros( Z). Ahora pensemos en la siguiente ecuación, -5x = 2 al resolverla su solución es 2 x = , que corresponde al conjunto de los números racionales (Q).Este conjunto 5 esta formado por las fracciones positivas y negativas. Así concluimos, que este nuevo conjunto incluye a los números enteros, ya que todo entero puede ser escrito como fracción con denominador unitario. Si continuamos con x2 = 2, su solución es x = 2 o x = 2 , que corresponde al conjunto de los números irracionales (I), que con los números racionales forman el conjunto de los números reales (IR). -1- En símbolos: Q I = IR Siguiendo la secuencia se podría plantear la siguiente ecuación x2 + 1 = 0. ¿Cuál será su solución? Esta ecuación, como ya habrás comprobado, no tiene solución ni en IN, ni en Z, ni en Q, ni en IR. Los matemáticos del siglo XVII comenzaron a explorar nuevas posibilidades para poder resolverlas. Pensaron que una solución podría consistir en asignarle a x el valor 1 , pero ya sabemos que esto no es posible, porque la operación radicación no permite tomar radicandos negativos si el índice es par. Sin embargo el interés práctico para resolver los cálculos impulsó el uso de 1 , aunque ello no fue aceptado conceptualmente. A lo largo de los siglos XVII y XVIII, los matemáticos de todo el mundo continuaron descubriendo nuevas aplicaciones de las raíces cuadradas de los números negativos. Fue Euler quien en el siglo XVIII introdujo el símbolo i (inicial de la palabra imaginarius) para nombrar la 1 . Una afirmación muy clara, atribuida a este matemático, señala que “tales raíces no son nada en absoluto, nada más ni nada menos que nada, son estrictamente imaginarias o imposibles”. No debemos preocuparnos entonces por saber si los números imaginarios son efectivamente imaginarios o si son verdaderamente números, tomemos tal expresión con el nombre arbitrariamente dado a una idea matemática.1 Como mencionamos anteriormente, en IR no podemos resolver raíces cuadradas de números negativos, como 1 , ya que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a -1. Se utiliza el símbolo i para indicar un número imaginario tal que i2 = -1. Teniendo en cuenta dicha igualdad, y que este número no es real, podemos utilizarlo para expresar las soluciones que no son reales, de algunas ecuaciones. Veamos los siguientes ejemplos: x2 + 1 = 0 x2 = -1 x1 = i 1 x2 = -i Etchegoyen, Susana y otros. Matemática 1. Kapelusz. 2000. -2- Verificación: Si x = i i2 + 1 = 0 -1 + 1 = 0 Si x = -i (-i2) + 1 = 0 (-1)2.i2 + 1 = 0 -1+ 1 = 0 x2 + 3 = 0 x2 = -3 x2 = 3. (-1) x1 = 3 i x2 = 3 i Ejercicio 1: Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x2 + 4 = 0 b) x2 + 5 = 0 e) 9x2 + 25 = 0 f) (x + 5)2 = 10x 1 1 3 g) 2 2 x 1 x2 3 4 h) 2 1 1 x 4 c) –x2 – 9 = 0 d) x2 – 10 = 2x2 Veamos ahora el siguiente ejemplo: x 2 12 x 40 0 Para resolverladebemos utilizarla fórmula resolvente, o sea : 12 (-12)2 4.1.40 2 .1 12 144 160 x 2 12 16 x 2 Siguiendoel razonamiento empleadohasta el momento podemos concluirque dichaecuacióntienedos soluciones: x 12 4i 2 x 6 2i x y y 12 4 i 2 x 6 2i x Verifica las soluciones halladas. -3- Llamamos números complejos a los números de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. Por convención se lo expresa z = a + bi, llamada forma binómica Como se puede observar en la definición, en el número complejo se reconocen de dos partes. Partes de un número complejo Si z = a + bi, entonces: z = a + bi b es la parte imaginaria de z La expresamos Im(z) a es la parte real de z La expresamos Re(z) Por ejemplo: El número complejo z = 3 + 2i tiene a 3 como parte real y a 2 como parte imaginaria. El número complejo z = -4i tiene a 0 como parte real y a -4 como parte imaginaria, se lo llama imaginario puro. El número complejo z = 9 tiene a 9 como parte real y a 0 como parte imaginaria. Al conjunto de los números complejos se lo simboliza con la letra C. Por los ejemplos vistos podemos concluir que los números reales están incluidos en el conjunto de los números complejos. En símbolos: IR C Para ver si entendiste 1: Indica la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos. a) z = 5 – 4i b) z = -6i c) z = 3 – i d) z = 4 -4- Seguimos avanzando… Existen dentro del conjunto de números complejos, números que por sus características se le asignan nombres especiales. Estos nombres nos permitirán reconocerlos, aún cuando no estén escritos. El conjugado y el opuesto de un número complejo A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes: El conjugado de z es opuesta). z = a – bi (la parte real es igual, la parte imaginaria es En símbolos: El conjugado de z se expresa z El opuesto de z es –z = -a – bi (la parte real y la parte imaginaria son opuestas). En símbolos: El opuesto de z se expresa - z Veamos los siguientes ejemplos: z1 = -2 – 3i z1 = -2 + 3i -z1 = 2 + 3i z2 = 5i z2 = -5i -z2 = -5i z3 = 4 z2 = 4 -z2 = -4 Para ver si entendiste 2: Indica el opuesto y el conjugado de los números complejos que aparecen en Para ver si entendiste 1. Ejercicio 2: Analiza si cada una de las siguientes afirmaciones es V(Verdadera) o F(Falsa). Justifica la respuesta. a) Ningún número complejo es igual a su conjugado. b) Ningún número complejo es igual a su opuesto. c) Todo número real es un número complejo Así como operamos con el conjunto de números reales, también lo podemos hacer con el conjunto de los números complejos, solo que con estos debemos cumplir con algunas condiciones por las características de estos números. -5- Operaciones con números complejos Los matemáticos del siglo XVIII, seguros de que la base del concepto de nuevos números está tanto en su descubrimiento como en conocer sus operaciones y sus propiedades elaboraron las reglas para trabajar con los números complejos, pero antes de llegar a estas, vamos a utilizar conocimientos previos que nos permitirán arribar a las reglas que usaremos sólo si es necesario. Actividad grupal 2: Dados los siguientes números complejos z1 = 2 + 3i y z2 =-1 + 4i Resuelve las siguientes operaciones: d) z1 + z2 e) z1 - z2 f) z1. z2 ¿Qué propiedades utilizaron en la suma y en la resta? ¿Y en la multiplicación? Luego de realizar la puesta en común lo expresamos de la siguiente forma Adición: z1 + z2 = (2 + 3i ) + (-1 + 4i) = (2 - 1) + (3 + 4)i = 1 + 7i Agrupamos los términos semejantes, es decir, las partes reales y las imaginarias entre sí. Sustracción: z1 - z2 = (2 + 3i ) - (-1 + 4i) = (2 + 1) + (3 - 4)i =3 – i Propiedad Distributiva Multiplicación: z1 . z2 = (2 + 3i ) . (-1 + 4i) = 2.(-1) + 2.4i + 3i.(-1) + (3i).(4i) = = -2 + 8i – 3i + 12i2 = -2 + 5i + 12.(-1) = -2 + 5i -12 = -14 + 5i Reemplazo i2 por -1 -6- A continuación aparecen en lenguaje simbólico algunas de estas reglas. Si z1 = a + bi y z2 = c + di, se definen: Suma Resta Producto z1 + z2 = (a+ c) + (b + d)i z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i z1 . z2 = (a. c – b.d) + (a.d + b.c)i Ejercicio 3: Dados z1 = 1 – 2i; z2 = 1 1 i y z3 = i . Calcula: 2 3 a) z1 + z2 + z3 d) z1 - z2 +z3 1 e) z1 z2 2 f) z3 z2 b) z2 – z1 c) 2z2 – z3 Ejercicio 4: Dados z1 = 1 – 2i; z2 = a) z1 – 2z2 + z3 1 1 i y z3 = i . Calcula: 3 2 z1 d) z2 z1 z3 2 z2 z 1 f) 2 3 z1 z1 b) z2 . z1 e) c) z2 (z1 – z3) Ejercicio 5: Dados z1 = -1 + 3i y z2 = 1 - 5i. Calcula: 2 a) z1. z1 b) c) z2. z2 Escribe una conclusión, en base a los resultados de los incisos a) y b) El producto de un número complejo y su conjugado da por resultado un número real. a) En símbolos: b) Si z = a + bi entonces z. z = a2 + b2 -7- Siguiendo con las operaciones, Actividad grupal 3: Dados los siguientes números complejos z1 = 2 + 3i ; z2 =-1 + 4i y z3 = 6 Reunidos en pequeños grupos, resuelvan las siguientes operaciones: z1 a) z3 z2 b) z3 z1 c) z2 Expresen el número complejo en forma binómica. Luego de realizar la puesta en común, se puede observar que los dos primeros incisos no ofrecen dificultades para expresar el resultado en forma binómica, sin embargo el inciso c) requiere de un procedimiento particular. En el caso que en el denominador aparezca la unidad imaginaria, es necesario multiplicar numerador y denominador, por el conjugado del número complejo que aparece en el denominador. Este procedimiento permite que el denominador se transforme en un número real, y así poder expresarlo en forma binómica, como se puede observar en el ejemplo: Multiplico por el conjugado de z2 z1 z z ( 2 3 i ) ( 1 4 i ) 2.( 1 ) 2.( 4 i ) 3 i .( 1 ) 3 i .( 4 i ) 1. 2 . z 2 z 2 z 2 ( 1 4 i ) ( 1 4 i ) ( 1 ).( 1 ) ( 1 ).( 4 i ) 4 i .( 1 ) 4 i .( 4 i ) 2 8 i 3 i 12 10 11i 10 11i 10 11i 10 11 i 2 1 4 i 4 i 16i 1 16.( 1 ) 1 16 17 17 17 A continuación aparece en lenguaje simbólico el procedimiento empleado: -8- Si z1 = a + bi y z2 = c + di, se define: Cociente z1 z z a bi c di ac a.di b.ci b.d 1. 2 z2 z2 z2 c di c di c2 d 2 Ejercicio 6: Dados z1 = 1 – 2i; z2 = d) z1 – 2z2 + z3 e) z2 . z1 f) z2 (z1 – z3) 1 1 i y z3 = i . Calcula: 3 2 z d) 1 z2 z1 z3 2 z2 z 1 f) 2 3 z1 z1 e) Ejercicio 7: Resuelve las operaciones indicadas para los siguientes números complejos: z1 = -3i + 2; z2 = 2 + 2i; z3 = 5 + i; z4 = 4i y z5 = -3 a) z1 +z2 – z3 b) z1.z2 – z4.z5 c) z1 .z2 .z4 z3 d) z12 e) z1 .z3 z5 Ejercicio 8: Siendo z = 4 – 2i a) z.z b) w w c) z.w d) z w e) w .z f) z z g) w w h) z w i) w .w y w = -2 + 3i, calcula y extrae conclusiones: -9- Opcional 1: Verifica reemplazando z = a + bi y w = c + di, que se cumplen las siguientes propiedades: a) z.w w .z b) z.z a 2 b 2 c) z z 2 Re( z ) d) z z 2 Im( z ) e) z w z w f) z w z w Como pudimos ver, al principio de esta unidad, i2 = -1, esto quiere decir que si operamos con potencias de i iremos obteniendo distinto resultados. Potencias de i Calculamos algunas potencias de i, para observar si aparece alguna regularidad: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2.i = (-1).i= -i i4 = i2.i2 = (-1).(-1) = 1 i5 = i4.i = 1.i = i i6 = i5.i = i.i = i2 = -1 i7 = i6.i = (-1).i = -i i8 = i7.i = (-i).i = -i2 = 1??? ¿Qué pasaría si quisiéramos calcular i 25? Busquemos una solución más práctica o “económica”. Si prestamos atención vemos que entre i 0 e i 3 los resultados son, 1, i; -1 y –i; y entre i 4 e i 7 se vuelven a repetir los resultados 1, i; -1 y –i. Si continuamos calculando las potencias de i, podremos comprobar que, los resultados posibles son 4 y estos se repiten cada 4 potencias consecutivas. El procedimiento para calcular cualquier potencia de i, consiste en dividir el exponente por cuatro y luego i elevarlo al resto de la división y ver cual es el resultado dentro de los cuatro posibles. - 10 - Veamos los siguientes ejemplos: I25 = i1 = i 25 1 4 6 resto i67 = i3 = - i 67 4 27 16 3 resto Para ver si entendiste 3: Calcula las siguientes potencias: a) i45 d) i2510 563 b) i e) i64 77 c) i f) i89 Ejercicio 9: Realiza las siguientes operaciones: a) i68 – i72 + i76 – i80 b) i71 – i49 i 726 ( 1 i ) 2 c) 3 2i d) 2 3i e) I2022:i3 2 2 2 2 f) 1i 2 i 2 - 11 - Ejercicio 10: Dados los siguientes números complejos, decir cuáles son complejos, cuáles son reales y cuáles son imaginarios puros. a) –i6 + 3i8 b) -2i5 + i12 c) 5i7 + 2i3 2 d) i 10 3i 4 3 Seguimos avanzando…. Sabemos que todo número real es posible representarlo gráficamente sobre la recta real, pero esta no alcanza para representar un número complejo, ya que estos están formados por dos partes, una real y otra imaginaria. Por lo tanto, para representarlos gráficamente vamos a necesitar los ejes cartesianos. Representación gráfica de los números complejos En el sistema de ejes cartesianos, sobre el eje de abscisas se representa la parte real a del número complejo y sobre el eje de ordenadas la parte imaginaria b. El número complejo a+bi queda representado por el punto P(a, b) del plano de coordenadas. Si consideramos el número complejo z = -3+2i, este está representado por el punto de coordenadas (-3,2). A cada número complejo a+bi corresponde un punto P(a, b) que se llama su afijo, y recíprocamente, a cada punto corresponde un número complejo. - 12 - Cuando el número complejo aparezca de la forma z = (a, b), diremos que está en forma cartesiana. El origen de coordenadas O y el punto P determinan un vector OP que se puede considerar la representación vectorial del número complejo (a, b). La longitud r del vector OP se llama módulo del número complejo a + bi y su expresión es r = . ¿De donde te parece que surge r = ? Ejercicio 11: Dados: z = 4 + 3i y w = -2 + i. a) Representar gráficamente z, z , w, w , i.z, i.w. b) ¿Qué relación encuentras entre los vectores z y z ? ¿Y entre z y i.z? Ejercicio 12: Dados z = 2 – 3i y w = 2 + i, expresa en forma binómica y en forma cartesiana: 1 a) z w b) z c) z . w . z i d) z Para el próximo ejercicio es necesario que utilices la propiedad siguiente: Un número complejo z = a + bi es igual a otro w = c + di si y sólo si sus partes reales son iguales entre si y sus partes imaginarias también. O sea: a=c y b=d - 13 - Ejercicio 13: Calcula x e y de modo que se satisfagan las siguientes igualdades: a) 3 x 7 yi 2 x 1 i 8 y 12 4 b )3 x 2 yi 6 i 5 2x 3y x 7 y i 5 6 i a b a b x 2y d) i 1 2i 2 3 c) Ejercicio 14: Halla el complejo z en cada uno de los siguientes casos: a )3 1 i z i b )z 11 i c )z i 1 i 2 d )iz 1 i 1 i e )z 2 3i 1 3 f )z 2 2 2 i 6i 3 Ejercicio 15: Dados los números complejos: u 3 i v 3 3i w 2 2 3i Calcula: 2u v 2 u v w Ejercicio 16: - 14 - Dados los siguientes complejos: z1 = 2 + 3.i; z2 = i; z3 = 1 - 2.i; z4 = 5 + 3.i y z5 = -3 - 3.i Resuelve a) z1 z 2 z3 z4 b) z1 z 2 z 3 z5 85 c) d) z1 .z2 2 z2 3 z 4 z1 2 z 2 z 4 z5 z5 4 Existen varias formas de escribir un número complejo, que se utilizan según las necesidades de la situación. Hasta ahora hemos visto dos formas, la forma binómica z = a + bi y la forma cartesiana o de par ordenado z = (a,b). Ahora veremos la forma polar. La forma polar. Módulo y argumento. Si consideramos el número complejo z = 6 + 8i y lo representamos en forma vectorial, sabemos que el vector se puede expresar a través de un módulo y un ángulo. Para calcular el módulo de z usamos la expresión r = a 2 b 2 , si remplazamos por los valores correspondientes nos quedaría r 2 2 = 6 8 , r = 36 64 100 10 Y z = 6 + 8i 8 α O 6 X Para hallar el ángulo, debemos utilizar razones trigonométricas, al tener de datos los dos catetos del triángulo rectángulo, podemos emplear la tangente. Luego 8 8 luego α arctg α 53,13º 6 6 El vector tiene por módulo 10 entonces diremos que el módulo del número complejo z es 10. tgα - 15 - El vector forma un ángulo de 53,13º con la dirección positiva del eje OX (el eje real). El número complejo z queda completamente definido por su módulo y el ángulo que forma con el eje positivo de las abscisas, al que llamamos su argumento. Por lo tanto: El módulo del número complejo z = a + bi es el módulo del vector oz . z oz r a 2 b 2 El argumento de un número complejo z = a + bi es el ángulo que forma el vector oz con la semirrecta positiva del eje real. b tgα luego arg( z ) α a Veamos otro ejemplo: Vamos a calcular el módulo y el argumento de z = -1 + Para calcular el módulo, 3 i. z oz r ( 1 )2 ( 3 )2 1 3 4 2 Para calcular el argumento, tgα 3 1 luego arg( z ) α 60º Pero debemos tener en cuenta que el argumento debe coincidir con la representación gráfica del número complejo, que en este caso se encuentra en el segundo cuadrante. z = -1 + 3i 3 -1 - 16 - El ángulo que estamos buscando surge de realizar 180º - 60º = 120º. La forma polar de un número complejo, se obtiene calculando el módulo de z y el argumento de z y se expresa: z = r α . Considerando α α un ángulo positivo entre 0º y 360º, lo llamamos argumento principal. En nuestros ejemplos sería: Si z = 6 + 8i entonces en forma polar quedaría z = 1053,13º. z = 1053,13º. Si z = -1 + 3 i entonces en forma polar quedaría z = 2120º. Actividad grupal 4: Reunidos en pequeños grupos, resuelvan la siguiente situación: Pasar los siguientes números complejos a la forma polar considerando el argumento principal: a) b) c) d) e) f) g) h) z = 2 + 3.i z = -2 + 2i z = -1 – 3i z=1-i z = 1 + 4i z = -3 + 5i z = -2 – 4i z = 4 – 3i Ejercicio 17: Escribe en forma polar los siguientes números complejos: a) z = i b) z = -2 c) z = -3i d) z = 4 e) z = - 3 -i f) z = 2 - 5i - 17 - Actividad grupal 5: Reunidos en pequeños grupos, resuelvan la siguiente situación: Pasar los siguientes números complejos a la forma binómica a) b) c) d) e) f) g) z = 245º z = 4120º z = 7225º z = 3330º z = 5180º z = 6270º z = 890º Como se pudo ver en la actividad anterior para expresar el número complejo, dado en forma polar, en forma binómica fue necesario utilizar razones trigonométricas. Se tenemos un número complejo expresado en forma polar, podemos pasarlo a la forma binómica empleando las siguientes fórmulas, que surgen de aplicar razones trigonométricas en el triángulo rectángulo que forma el vector con el semieje positivo de las X. Y z = a + bi b r α a O X Calculando: b r a cos r sen entonces b rsen entonces a r cos Luego: a + b.i = (r.cos α) + (r.sen α).i = r.(cos α + i.sen α) La expresión r.(cos α + i.sen α) se llama forma trigonométrica del número complejo a + b.i y las magnitudes r y α se expresan en función de a y b mediante las fórmulas: r= a2 b2 tg α = b a α =arctg - 18 - b a En síntesis, un número complejo puede expresarse de cuatro formas diferentes Forma binómica a + bi Forma cartesiana Forma trigonométrica r( cos α isenα ) (a , b) Forma Polar rα Ejercicio 18: Escribe en forma trigonométrica y polar los siguientes números: a) z = -i b) z = 1 - 3 i c) z = 3 – 4i d) z = 3 +3i Ejercicio 19: Sabiendo que x es un número real y que z = 2 + xi, calcula el valor de x para que z2 sea: a) Imaginario puro. b) Real. Ejercicio 20: Expresa los siguientes números en forma binómica: a) z = 330º b) z = 260º c) z = 5135º Ejercicio 21: Marca la opción correcta: 1. Los números complejos z1 = - 6 + 6i y z2 = 6 2 315º : a) Son opuestos. b) Son conjugados. c) Son iguales. d) Tienen distinto módulo. 2. a) b) c) d) El opuesto del conjugado de 3 + 2i es: -3 – 2i 3 + 2i -3 + 2i 3 – 2i - 19 - Opcional 2: Dado el número complejo z 2i calcula el valor de a para que el afijo de z a 6i se encuentre: a) En la bisectriz del primer cuadrante. b) En la bisectriz del segundo cuadrante. - 20 -