MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO “DAVID AUSUBEL” SEMIPRESENCIAL TECNOLOGÍA EN: CONTABILIDAD Y AUDITORIA MATEMÁTICA APLICADA GUÍA DIDÁCTICA AUTOR DEL MÓDULO NIVEL ING. MYRIAM MONTEROS 2 do. NIVEL QUITO - ECUADOR ING. MYRIAM MONTEROS 1 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO INTRODUCCIÓN La Matemática Aplicada es una rama de la Matemática muy utilizada para la resolución de problemas prácticos que se presentan con frecuencia en la vida cotidiana. Es indispensable que los interesados en incursionar en este estudio tengan las nociones fundamentales del algebra, geometría analítica y trigonometría. Por otro lado es necesario que el alumno este familiarizado con el manejo de los números reales y haya adquirido cierta práctica en la realización de operaciones elementales tanto de igualdad como de desigualdad. Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que se le dedique el tiempo necesario todos los días, para que exista una asimilación correcta de los contenidos. La guía está estructurada en cuatro capítulos que permitirán una mejor compresión de los conceptos necesarios para dominar la asignatura. ING. MYRIAM MONTEROS 2 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO CONTENIDOS Capitulo I: CONTINUIDAD 1.1 Definición 1.2 Continuidad 1.3 Teoremas sobre continuidad 1.4 Continuidad uniforme 1.5 Funciones casi continuas Capitulo II: DERIVADAS 2.1 Definiciones básicas 2.2 Interpretación geométrica 2.3 Regla general para derivar funciones 2.4 Derivadas de funciones algebraicas 2.5 Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales 2.6 Derivadas de funciones compuestas 2.7 Derivadas de funciones inversas Capitulo III: INTEGRAL INDEFINIDA 3.1 Definición 3.2 Reglas para integrar funciones elementales e integración de potencias 3.3 Potencia 3.4 Propiedades de integración Capitulo IV: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 4.1 Integración por sustitución 4.2 Integración por partes ING. MYRIAM MONTEROS 3 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO COMPETENCIAS COMPETENCIAS GENERALES Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la determinación del la continuidad de una función. Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciación de funciones. Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la determinación del la integración de funciones. Utilizar y aplicar la integración de una función en la resolución de problemas prácticos. Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al conocimiento de las matemáticas. COMPETENCIAS POR UNIDADES Determinar la continuidad o discontinuidad de una función. Resolver problemas relativos a la pendiente, recta tangente, diferenciabilidad y continuidad de una función. Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas en la resolución de problemas prácticos. Calcular las derivadas de funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales y funciones compuestas. Determinar la integración de funciones con potencias. Integrar funciones por diferentes métodos. Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos matemáticos. Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de las matemáticas. ING. MYRIAM MONTEROS 4 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad para receptar y practicar problemas. ORIENTACIONES DE ESTUDIO NOTA: En este texto guía se encuentra desarrollados los temas que corresponden a este módulo, y las tareas que usted debe desarrollar; con la ayuda del tutor usted llegará a dominar el conocimiento. 1. El estudiante tiene las oportunidades que sean necesarias para aclarar los temas que no comprenda mediante la explicación del tutor ya sea de manera presencial o mediante el correo electrónico. 2. Las tareas serán enviadas por el tutor, de acuerdo a las fechas del calendario y de acuerdo al desarrollo del módulo. 3. Es obligación del estudiante asistir a cada una de las tutorías presenciales programadas en el calendario de actividades. 4. Todo trabajo del estudiante será evaluado cuantitativamente. 5. Al final el tutor evaluara el módulo en su totalidad. 6. De requerir cualquier información dirigirse al correo de la dirección académica y será atendido inmediatamente en su consulta. GRACIAS. ING. MYRIAM MONTEROS 5 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO REPASO SOBRE LÌMITES El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. LIMITES DE FUNCIONES Definición rigurosa Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe: Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Ejemplos: 1. Determine lim ( 4 x 5) x 3 lim ( 4(3) 5) x 3 12 5 7 x2 x 6 x 3 x 3 2. Encuentre lim ( x 3)( x 2) x 3 x 3 lim ( x 2) lim x 3 lim (3 2) x 3 5 Teoremas principales sobre los límites ING. MYRIAM MONTEROS 6 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO lim k k x c lim x c x c lim kf ( x ) k lim f ( x ) x c x c lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) x c x c x c x c x c x c x c x c lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) lim x c lim f ( x ) f (x ) x c g(x ) lim g ( x ) x c lim f ( x )n lim f ( x ) x c x c lim x c x c n f (x ) n n lim f ( x ) x c Teorema de sustitución. Sea f una función polinomial o una función racional entonces lim f ( x ) f (c ) x c Límites infinitos. Para calcular límites al infinito es necesario dividir cada término de la 1 1 0 y . expresión para el x con el mayor exponente y recordar que 0 Ejemplos: Calcular cada uno de los siguientes límites. ING. MYRIAM MONTEROS 7 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO x 2 10x 25 a ) lim x 2 4x 5 x 5 5 2 10(5) 25 lim 5 2 4( 5) 5 x 5 5 2 10(5) 25 lim x 5 5 2 4( 5) 5 0 10 lim x 2 10x 25 x 5 lim x 2 4x 5 0 x 2 4 x 21 x 2 49 x 1 lim ( 1) 2 4( 1) 21 ( 1) 2 49 x 1 26 48 lim x 2 4 x 21 2 x 49 x 1 c ) lim x 13 24 6x 2 x 8 x 2 4x 6x 2 lim x 2 x x2 x 2 x x 2 8 x2 4x x2 1 0 0 1 0 lim x 6x 2 x 8 x 2 4x 1 ING. MYRIAM MONTEROS 8 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO CAPITULO I CONTINUIDAD Definición: Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c. Decimos que f es continua en c si: lim f ( x ) f (c ) x c TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD A. Continuidad de funciones polinomiales y racionales Una función polinomial es continua en todo número real c. Una función racional es continua en todo número real c en su dominio, esto es, en todas partes excepto en donde el denominador es cero. B. Continuidad de las funciones valor absoluto y raíz n-ésima La función valor absoluto es continua en todo valor real c. Si n es impar la función raíz n-ésima es continua en todo valor real c; si n es par, la raíz n-ésima es continua en todo valor positivo real c. C. Continuidad de funciones trigonométricas Las funciones seno y coseno son continuas en todo número real c. Las funciones tan, ctan, csc, sec, son continuas en todo número real c en sus dominio. D. Teorema del valor medio Si f es una función definida en un intervalo [ a , b ] y sea W un número entre f(a) y f(b). Si f es continua en [ a , b ], entonces existe al menos un número c entre a y b tal que f(c) = W Ejemplos: Determinar la continuidad de las siguientes funciones: ING. MYRIAM MONTEROS 9 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO a. f ( x ) x 2 2x 5 Por ser polinomial es continua en todos los números reales. b. f ( x ) 1 x 1 Como se trata de una función racional se puede notar que si x = 1 el denominador se hace cero y por lo tanto existiría una indeterminación, entonces es continua en todos los números reales excepto en 1. x 2 2x 3 c. f ( x ) x 3 Como podemos observar si x = -3 en el denominador la función no existe, por lo tanto podríamos decir que la función es discontinua todos los números reales excepto en -3; pero si facturamos el numerador y simplificamos. f (x ) ( x 3)( x 1) x 1 x 3 Podemos concluir que la función es polinomial y por lo tanto es continua en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones polinomiales) CONTINUIDAD UNIFORME Las funciones polinomiales, valor absoluto, sen (x) y cos (x), son continuas de forma uniforme. FUNCIONES CASI CONTINUAS Cualquier otra función que no sean las nombradas anteriormente son casi continuas, ya que tienen por lo meno un número real donde la función no existe. ING. MYRIAM MONTEROS 10 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO EJERCICIOS Determinar la continuidad de las siguientes funciones: a. f ( x ) 3x 2 6x 52 b. f ( x ) x3 x 4 c. f ( x ) x 5 d. f ( x ) 5 x 4 e. f ( x ) ( x 2 4) ( x 2) f. f ( x ) x 2 4x 4 x 2 ( x 2 5x 6) g. f ( x ) x 3 ING. MYRIAM MONTEROS 11 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO CAPITULO II DERIVADAS DEFINICIÓN BÁSICA E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA En matemática, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente. La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en el punto dado; dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente. Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita), una discontinuidad o bien un pico. La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos. Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. ING. MYRIAM MONTEROS 12 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0). REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente. Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h)) es: Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente: Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x. Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones poli nómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las funciones descritas; ver abajo. Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente: Ejemplo: ING. MYRIAM MONTEROS 13 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO 1. Consideremos la siguiente función: Entonces: Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero no lo toca. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva. 2. Consideremos la gráfica de . Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5: Entonces: El valor de la función derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma. 3. Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos que: ING. MYRIAM MONTEROS 14 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO Entonces: Para cualquier punto x, la pendiente de la función es . NOTACIÓN La notación más simple para la diferenciación que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apóstrofo o comilla: ′. De esta manera se expresan las derivadas de la función f(x) en el punto x = a, se escribe: Para la primera derivada, Para la segunda derivada, Para la tercera derivada, y luego de forma general, Para la n-ésima derivada (donde normalmente se da que n > 3). Para la función cuyo valor en cada x es la derivada de , se escribe . De forma similar, para la segunda derivada de f se escribe sucesivamente. , y así La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz. función cuyo valor en x es la derivada de f en x, se escribe: Para la Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas: ING. MYRIAM MONTEROS 15 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si y=f(x), se puede escribir la derivada como: La notación de Newton para la diferenciación consiste en poner un punto sobre el nombre de la función: y así sucesivamente. La notación de Newton se utiliza principalmente en la mecánica, normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleración y en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Normalmente sólo se utilizan para la primera y segunda derivadas. Otra notación consiste en colocar una letra 'D' mayúscula para indicar la operación de diferenciación con un subíndice que indica la variable sobre la que se derivará: Dxf, que es equivalente a la expresión: En ese contexto se considera a la diferenciación como una operación sobre funciones, de modo que los símbolos diferenciales. y Dx son llamados operadores DERIVADAS DE FUNCIONES NOMBRE FUNCIÓN DERIVADA ING. MYRIAM MONTEROS 16 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO CONSTANTE f (x ) k f ' (x) 1 ALGEBRAICA f (x ) x n f ' ( x ) nx n1 f ( x ) loga x f ' (x ) 1 x ln(a ) f ( x ) ln x f ' (x ) 1 x f (x ) a x f ' ( x ) a x ln(a) f (x ) e x f ' (x) e x f ( x ) sin x f ' ( x ) cos x f ( x ) cos x f ' ( x ) sinx f ( x ) tan x f ' ( x ) sec2 x f ( x ) sec x f ' (x ) sec x tan x f ( x ) cot x f ' (x ) csc2 x f ( x ) cscx f ' (x ) cscx cot x LOGARÍTMICA EXPONENCIAL TRIGONOMÉTRICAS NOMBRE SUMA o DIFERENCIA FUNCIONES COMPUESTAS FUNCIÓN DERIVADA f ( x ) g ( x ) h( x ) PRODUCTO f ( x ) g ( x ) h( x ) COCIENTE f (x ) g(x ) h( x ) f ' (x) g ' (x) h ' (x) g (x ) h(x ) g(x )h (x ) f (x) f ' (x ) g ' (x ) h(x ) g(x )h ' (x ) ' ' ' h 2 (x) FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS f (x ) sin1 x f ' (x ) f ( x ) cos1 x f ' (x ) f (x ) tan1 x f ' (x ) 1 1 x 2 1 1 x 2 1 1 x 2 Ejemplos: ING. MYRIAM MONTEROS 17 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO Derivar las siguientes funciones: a. f ( x ) 3x 2 1 f ' ( x ) (2)(3) x 1 f ' ( x ) 6x 1 4 3 b. f ( x ) 2x 4 x x f ' ( x ) 8x 3 12x 2 1 c. f ( x ) f ' (x ) x 1 3x x 2 (1)(3x x 2 ) (3 2x )( x 1) (3x x 2 ) 2 x 2 2x (3x x 2 ) 2 NOTA: El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante. ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones: 1. f (x ) 3x 5 5x 2 4 2. f (x ) 4x 2 6x 4 4x 3. f ( x ) ( x 2 x )(x 3 1) (es un producto) 3x 2 4. f ( x ) x 3 5. f ( x ) log3 x 6. f ( x ) e x 7. f ( x ) 12x DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN Regla de la cadena Definición: Sea y = f(u), u = g(x). si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x), entonces la función compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y: df g x f ' g ( x ) * g ' ( x ) dx ING. MYRIAM MONTEROS 18 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO En palabras decimos que: La derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interna por la derivada de la función interna. DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante, consisten en derivar la función inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario. ó para la n-ésima derivada de f(x) o y respectivamente. Históricamente, esto proviene del hecho de que, por ejemplo, la tercera derivada es: que se puede escribir sin mucho rigor como: Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba. ING. MYRIAM MONTEROS 19 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO CAPITULO III INTEGRAL INDEFINIDA Definición: Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) = f(x) en I, esto es si F´(x) = f(x) para todo x en I. Teorema 1: Regla de la potencia Si r es cualquier número racional excepto -1, entonces: r x dx x r 1 C r 1 Corolario: Regla generalizada de la potencia g ( x )r 1 C g ( x ) g ( x )dx r r 1 Teorema 2: La integral definida es un operador lineal. Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante. Entonces: a. kf ( x )dx k f ( x )dx b. f ( x ) g ( x )dx f ( x )dx g ( x )dx c. f ( x ) g ( x )dx f ( x )dx g ( x )dx PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIÓN Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral. ING. MYRIAM MONTEROS 20 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO ING. MYRIAM MONTEROS 21 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO ING. MYRIAM MONTEROS 22 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO CAPITULO IV MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Teorema 1: Regla de sustitución Sea g una función derivable y suponga que F es una antiderivada de f. Entonces u = g(x) f g ( x )g x dx f (u )du F (u ) C F (g ( x )) C Teorema 2: Integración por partes u( x )v ( x ) u ( x )v ( x ) v ( x )u ( x )dx Teorema 3: Integraciones trigonométricas Ejercicios resueltos Efectúe las operaciones de antidiferenciación que se indican, aplicando las propiedades correspondientes en cada caso: ING. MYRIAM MONTEROS 23 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO Soluciones 1. Solución: 2. Solución: 3. Solución: ING. MYRIAM MONTEROS 24 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO 4. Solución: 5. Solución: 6. Solución: ING. MYRIAM MONTEROS 25 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO 7. Solución: ING. MYRIAM MONTEROS 26 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO ING. MYRIAM MONTEROS 27 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO AUTOEVALUACIÓN PARA CAPÍTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas: 5 a ) x 5 dx 5 b ) x x 5 dx g ) x cos xdx c ) x 1 x 2 dx h ) xe dx d ) 5 2t 1 dt 2 3x 2x e) x 1 tan x f ) dx cos2 x 5x i ) x 1 x dx j ) ln t t dt k ) csc2 xdx Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios: a ) x 3 x 2dx b) dx 9 16x 2 c ) x 2 3 5 x 2 dx d ) e) x 2 2x 3 dx x 1 dt t 2 2t 3 TABLA DE INTEGRALES ING. MYRIAM MONTEROS 28 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO ING. MYRIAM MONTEROS 29 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO ING. MYRIAM MONTEROS 30 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO BIBLIOBRAFÍA PURCELL, VARBERG, RIGDON, 2003, Cálculo Diferencial e Integral, Pearson Prentice Hall, Ecuador. ING. MYRIAM MONTEROS 31 MATEMÀTICA APLICADA MÒDULO GRANVILLE, SMITH, LONGLEY, 1974, Cálculo Diferencial e Integral, Uteha, México. ING. MYRIAM MONTEROS 32