ARITMÉTICA

ARITMÉTICA
SISTEMA NUMÉRICO
ESQUEMATIZACIÓN DEL SISTEMA NUMÉRICO
(DIAGRAMA DE VENN-EULER)
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS
Visión general de los números, donde puede observarse que entre
número y número hay infinitos otros números (densidad).
NÚMEROS NATURALES (IN) Y EL CERO
IN*
IN* = IN U {0} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
El conjunto IN* que agrupa los naturales y el cero en algunos textos
se denomina Números Cardinales.
Este conjunto y los Naturales son infinitos.
Cada elemento que pertenece a IN o IN* tiene un sucesor y un
antecesor.
Para el caso particular del cero solo tiene sucesor.
NÚMEROS PARES (2n) P = {
0, 2, 4, 6, 8 ...} n IN*
NÚMEROS IMPARES (2n+1) I = {
1, 3, 5, 7 ...} n IN
ORDEN en el CAMPO IN*
Mayor que >
Desigualdades (Son
comparadores para
expresiones algebraicas)
Menor que <
Mayor o igual que
Menor o igual que
Igual =
Esta simbología es aplicable en aritmética y/o álgebra en general.
Permite comparar dos o más expresiones para concluir su
ordenamiento.
Ejemplo : 2 < 5 , 4 = 4 , 7 > 5 ...
NÚMEROS PRIMOS
 Son aquellos números reales solamente divisibles por 1 y por
si mismo, sin incluir el 1.
Algunos de ellos: {2, 3, 5, 7, 11, 13,...}
NÚMEROS COMPUESTOS
Números posibles de descomponer en factores de potencias de números
primos.
 Ejemplo:
MÚLTIPLOS Y FACTORES
 Los múltiplos de un determinado número se obtienen
multiplicando el número por cada uno de los números
naturales y el cero.
Ejemplo
M (6) = { 6·0 , 6·1 , 6·2 , 6·3 , 6·4, ... }
= { 0 , 6, 12 , 18 , 24 , ... }
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)
 El M.C.M. de dos o más números naturales es el menor de los
múltiplos comunes entre esos números, distintos de cero.
Ejemplo
Encontrar el M.C.M. de 6, 8 y 12.
M (6) = { 0 , 6 , 12 , 18, 24 , 30 , 36 , 48 , 54 , 60 , 66 , 72 ... }
M (8) = { 0 , 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , 56 , 64 , 72 , 80 ... }
M (12) = { 0 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 ...}
de aquí:
M (6)
M (8)
M (12) = { 0 , 24 , 48 , 72 ... }
luego el M.C.M. (6, 8 , 12) = 24.
Otro método.-
5.- DIVISIONES
 Estructura general de una división :
(divisor diferente de cero)
 Ejemplo
Ejemplo
 DIVISIÓN
EXACTA
 Aquella división donde el resto es
cero.
DIVISORES (d) y DIVISIBILIDAD de los NÚMEROS
Un número es divisor de otro, si al dividirlo el resto es cero.
Un número es divisible por:
2
Cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
3
Cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
4
Cuando sus dos últimos dígitos son cero o forman un múltiplo de
4.
5
Cuando termina en 0 ó en 5.
6
Cuando es divisible por 2 y tres a la vez.
8
Cuando sus tres últimos dígitos son (000) o forman un múltiplo de
8.
9
Cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
10
Cuando termina en 0.
DIVISORES COMUNES
Para determinar los divisores comunes entre dos o más números, se
determinan los divisores de cada uno y a continuación se efectúa la
intersección de los conjuntos.
MÁXIMO COMUN DIVISOR (m.c.d.)
El (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número que divide
exactamente a estos números.
Ejemplo :
Calcular los divisores comunes de : 12, 24, 32
d(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
d(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
d(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
Divisores comunes son : 1, 2, 4
Ejemplo :
Calcular el máximo común divisor de : 12, 24, 32 o m.c.d.(12,24, 32)
Del ejemplo anterior se tiene que los divisores comunes de 12, 24 y 32 son : 1, 2 y 4. De aquí se
obtiene que el Máximo Común Divisor es 4 o m.c.d.(12, 24, 32) = 4
NÚMEROS ENTEROS, Z
 Los números enteros son los números naturales, el cero y los
números negativos.
,
Z = { ... -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 ... }
VALOR ABSOLUTO
 Es la distancia que existe entre un número cualquiera al cero en
la recta numérica.
Simbólicamente escribimos el número entre barras :
Ejemplos:


OPERACIONES COMBINADAS SIN PARÉNTESIS
Para la resolución de ejercicios, estos se realizan de izquierda a derecha,
desarrollando primero las potencias y raíces, en segundo lugar la
multiplicación y división, y luego las adiciones y sustracciones.
 Ejemplo a) (-2)·(+3) - (+6) : (-2) - (-5) =
(-6)
-
(-3)
+ 5
-6
+
3
+ 5
2
b) (-5) : (+5) - (-8) : (-2) - (-3) : (+3) =
c) (-30) : (-10) - (-2)·(-2) - (-4)·(+1) =
d) (-2)·(-3)·(+4) - (-2) : (-1) - (-2) =
e) (-50) : (-2) - (-3)·(-2) + (-4)·(+5) =
Soluciones : b) -4 , c) 3 , d) 24 , e) -1.
Operaciones Combinadas con Paréntesis


Los ejercicios con paréntesis se resuelven desde el interior hacia
los extremos.
Las operaciones de división, multiplicación, adición y sustracciones
son realizadas bajo el mismo criterio anterior.
Ejemplo f) -5 · [(-4) · {(-3) + (-2) : (-1)} - (-3)·(-2)] =

o
-5 · [ -4 · { -3 + 2 } - 6] =
-5 · [ -4 · { -1} - 6] =
-5 · [ 4 - 6 ] =
-5 · [ -2 ] =
+10
Resolver las siguientes ejercicios:
 g) (-1)·[[(-1)·(-1) - (-1)] - (-1):(+1) - (-1)] =
 h) (-1)·{(-2):(-1) - (-3)·(+2)} - (-1·(-1)) =
 i) (+3)·(-2) - [(-1)·(-2) - (+4):(-2)] - (-2) =
 j) (-2)·(-3)·[(-1) - (-2) - (-2)·(-3)]·[(-1):(+1)] =
 k) 2·a - (a - (2·a + b)) - b =
 l) 1 - (-1·(-1·(-1·(1 - x)))) =
 m) -(a + b - c + d) - (-(-(-a - b + c - d))) =
 n) (2·x - y) - ((2·x + y) - (y - 2·x)) =
 o) 2·m - ((m - n) - (m + n)) =
 p) 7·a - 8·b + (8·b - (-(7·a - 4·b))) - a + 3·b =
Soluciones :
g) -4
h) -9
i) -4
l) 1 - x
m) 0
n) -(2·x + y)
p) 13·a – b
j) 30
k) 3·a
o) 2·(m - n)
POTENCIA DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL
Caso 1
Base positiva (a>0), la potencia es siempre un entero positivo.
    Ejemplo (+3)2 = (+3)·(+3) = +9
(+3)3 = (+3)·(+3)·(+3) = +27
Caso 2
Base negativa (a<0) y exponente par (n), la potencia es positiva.
    Ejemplo (-3)2 = (-3)·(-3) = +9
(-3)4 = (-3)·(-3)·(-3)·(-3) = +81
Caso 3
Base negativa (a<0) y exponente impar (n), la potencia es negativa.
    Ejemplo (-3)3 = (-3)·(-3)·(-3) = -27
(-3)5 = (-3)·(-3)·(-3)·(-3)·(-3) = -243
PROPIEDADES DE POTENCIA (Z)
Multiplicación de potencias de igual
base
am · an = am+n
División de potencias de igual base
am : an = am-n
Potencia de exponente cero
a0 = 1, a 0
 Ejemplos
a. a) 23 · 24 · 22 = 23+4+2 = 29
b) (-2)3 · (-2)4 · (-2)2 = -23 · 24 · 22 = -23+4+2 = -29
c)
d)
e) (-1)3 · (-1)4 · (+1)5 = -13 · 14 · 15 = -1
f) 22 · (-4)2 ·(-8)3 = 22 · 42 · (-1)·83 = -22 · 24 · 29 = -215

aquí 42 = (22)2 = 24 ; 83 = (23)3 = 29
g. g) (-6)2 + (-2)3 - (-4)2 = 62 + -1·23 - 42 = 36 - 8 - 16 = 12
h) 50 · (-5)0 · 5 = 1 · 1 · 5 = 5
 Resolver
a) (-2)2 · 23 =
b) (-2)2 - 23 =
c) (-2)2 · (-4)2 · (-8)0 =
d) 125 : 1442 =
e) [(-3)2] : [(-9)-3] =
f) (-1)3 - [(-1)2 · 2 - 20 · (-1)3] =
POTENCIA BASE 10
Ejemplo:
1. 670.000 = 67·10.000 = 67·104 1.300.000 = 13·100.000 = 13·105
94.000.000= 94·1.000.000 = 94·106
0,00039 = 39·0,00001 = 39·10-5
0,0075 = 75·0,0001 = 75·10-4
POTENCIA CON BASE DECIMAL
Para resolver estos ejercicios se aplica la propiedad de potencia.
(a·b)n = an·bn
(an)m = an· m
Ejemplo: Calcular las siguientes potencias con decimales.
(0,002)5 = (2·10-3)5 = 25·(10-3)5 = 32·10-15
(0,0005)2 = (5·10-4)2 = 52·(10-4)2 = 25·10-8
(0,00003)3 = (3·10-5)3 = 33·(10-5)3 = 27·10-15
Ejercicios Diversos
Resolver los siguientes ejercicios:
Soluciones
a) 310,0008
b) -0,015
c) 1.600
d) 8, ·1011
NÚMEROS RACIONALES , Q

Los números racionales son todos los números posibles de ser expresado como
fracción.

La forma de un número racional es
en el cual a es un número entero y b de igual forma pero distinto de cero.
 Q={


}
Estos números pueden ser positivos o negativos.
Ejemplos de números racionales :


Se incluyen además los números infinitos periódicos y semiperiódicos.
DENSIDAD EN LOS CONJUNTOS RACIONALES , Q
 El conjunto Q es denso porque entre dos números racionales existe otro racional.
Ejemplo
a) Intercalar un racional entre los números
 La fracción
se ubica entre los racionales
b) Intercalar dos racionales entre
Segunda intercalación: Esta es arbitraria, pudiendo ubicarla entre
FRACCIONES
a Z
· Fracción Propia
b Z – {0}
Numerador menor que el denominador
· Fracción Unitaria
Numerador igual que el denominador
· Fracción Impropia
Numerador mayor que el denominador
Son equivalente si después de amplificar o simplificar las
· Fracción Equivalente
fracciones se obtienen dos fracciones iguales.
· Fracción Irreductible
Fracción que no puede seguir simplificándose
· Fracción Decimal
Es aquella fracción cuyo denominador es una potencia de
10.
OPERACIONES CON SIGNOS
OPERACIONES CON SIGNOS
OPERACIONES DE FRACCIONES CON SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Fracciones simples
Ejercicios: Reducir
* Nota :
- El inverso aditivo de "x" es -x
- El inverso multiplicativo o recíproco de "x" es
Fracciones compuestas:
Para su resolución es necesario identificar en la fracción compuesta, las fracciones simples
disponible para operarla. Por lo general, estas fracciones se resuelven de abajo hacia arriba.
 Ejemplo: Reducir
Ilustración de Fracciones (área achurada)
Ejemplo :
  Determinar la fracción correspondiente al área achurada.
a)
Si x es el área achurada entonces :
b)
c)
d)
Soluciones :
a)
c)
d)
OPERACIONES CON RACIONALES DECIMALES
Número
Cuando se efectúa la división (a : b) se obtiene un
Número Decimal.
Decimal
Ejemplo
Decimal
Finito
(exacto)
y Periódico.
Son fracciones cuyo denominador es una potencia de
10.
Fracción
Ejemplo :
Decimal
Ejemplo : Expresar la función común
decimal.
VALOR POSICIONAL
en fracción
En el sistema numérico se utilizan diez símbolos llamados dígitos iguales
a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 que ocupan un valor de posición.
Ejemplo : 3.985.426,17035
Ejemplo: 52,3
Este número puede separarse en 52 + 0,3 = 52 +
. Aquí, el 52 es el número entero , donde la
posición del 2 es la unidad y 5 la decena. La cantidad siguiente es la fracción decimal 0,3 =
NÚMEROS DECIMALES
Estos números son racionales ya que pueden escribirse como fracción.
NÚMEROS PERIODICOS
.
 Es el (los) número(s) que se repite(n) indefinidamente.
a. a)
b)
c. c)
d. d)

e)
NÚMEROS ANTEPERÍODOS
TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN.
Se lleva a número entero y se divide por una potencia de diez, esta
depende de la cantidad de números que hay después de la coma.
Ejemplo :
TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO A
FRACCIÓN.
 Se lleva a número entero el numerador y se divide por una cantidad de
acuerdo a la cantidad de números periódicos existentes y si existen
anteperíodo se deben agregar ceros de acuerdo al número de estos.
Ejemplo :
* Nota : Se debe memorizar la transformación de números decimales
conocidos a fracción.
Ejemplo :
Ejemplo:
Expresar en fracción común :