Mates Gs Andalucia

Aritmética.
Valor absoluto de un número: Es el valor del número sin signo + ; Números Naturales. (N): Son todos los números enteros positivos. No incluye el 0
1,2,3,4,…………
Números Enteros. (Z): Son todos los números enteros. Si incluye el 0
…….,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,……
Números Racionales. (Q): Son todos los números enteros y fraccionarios, positivos y negativos, incluido el
0.
…….-1´2,-1/4,0,1/4,1´2……
Números Reales. (R): Son todos los números anteriores añadiéndole los irracionales.
Los números Irracionales, son aquellos fraccionarios con decimales infinitos.
Algunos números Irracionales:
π : 3´1416
Ф : 1´6180
℮ : 2´7182
√2 : 1´4142
La recta Real:
Intervalos:
La recta real se representa con este intervalo:
Intervalo Abierto: ]a,b[ ó (a,b)
Son los números comprendidos entre a y b sin que a y b estén incluidos.
Representación en la recta Real.
a
(
b
)
Intervalo Cerrado: [a,b]
Son los números comprendidos entre a y b; a y b están incluidos.
Representación en la recta Real.
a
b
[
]
Intervalos Semiabiertos: (a,b] ó [a,b) ; ]a,b] ó [a,b[
Son los números comprendidos entre a y b; (a,b] b incluido ; [a,b) a incluido.
b incluido
a incluido
Representación en la recta Real.
b incluido
a
b
(
]
a incluido
a
b
[
)
Intervalos infinitos menores de a: (-∞,a) ó ]-∞,a) , menores o iguales de a (-∞,a] ó ]-∞,a]
Son todos los números menores de a ; (-∞,a) ó ]-∞,a) a no incluido; (-∞,a] ó ]-∞,a] a incluido.
a no incluido ;
Representación en la recta Real.
a no incluido
a
)
a incluido.
a incluido
a
]
Intervalos infinitos mayores de a: (a,-∞) ó ]a,-∞) , mayores o iguales de a [a,-∞) ó [a,-∞[
Son todos los números mayores de a (a,-∞) ó ]a,-∞) a no incluido; [a,-∞) ó [a,-∞[ a incluido.
a no incluido ;
a incluido.
Representación en la recta Real.
a no incluido
a
(
a incluido
a
[
Distancias en la Recta Real.
Se refiere al numero de unidades que separan una distancia de otra.
Para encontrar la distancia entre dos puntos de la recta Real cuando hay un numero positivo y otro negativo,
sumamos los valores absolutos de los dos puntos. Cuando los dos números son positivos restamos al mayor
el menor. Y Cuando son negativos restamos al mayor negativo, el menor negativo.
Siempre nos da una solución absoluta y positiva.
El punto medio se halla sumando los dos puntos en su valor absoluto y dividiendo entre dos. a+b/2
Aproximación y error.
Cuando tenemos un numero Irracional con infinitas cifras decimales redondeamos para poder operar.
Del 0 al 4, no añadimos nada.
Del 5 al 9 añadimos 1 a la ultima cifra.
Esto provoca un error que se puede calcular, restándole al número real sin redondear el número redondeado,
después lo dividimos por el valor real y lo multiplicamos por cien para obtener el porcentaje de error.
(Valor Real – Valor redondeado)
X 100 = porcentaje de error %
Valor Real
0´0 0 0 0 0 0
Millonésimas
Cienmilésimas
Diezmilésimas
Milésimas
Centésimas
Décimas
Potencias.
Cuántas veces esta multiplicado un número por si mismo
X.X.X.X = X
4
BASE
EXPONENTE
Base negativa : Da resultado negativo solo si el exponente es impar.
(- BASE)
EXPONENTE impar
= - número negativo
Exponente negativo:
BASE
- EXPONENTE negativo
= 1
BASE
+ EXPONENTE positivo
Operaciones con Potencias:
x
y
x+y
Producto misma base : A . A = A
x
x
x
Producto mismo exponente : A . B = (A . B)
x
y
Cociente misma base : A
Cociente mismo exponente :
x
Potencias de una potencia :
Potencias Irracionales :
x-y
A =A
x
x
A
B = (A
y
(A ) = A
A
x/y
B)
x.y
y
= ( √A)
x
Potencias con base / exponente igual a cero:
0
X =1
X
0 =0
Notación científica.
Representar números enteros.
x
( Número) . (10) ; El exponente X representa tantos ceros como tenga el número.
Ejemplos: 1000 = 10
3
30000 = 3 . (10)
4
7
-50000000 = -5 . (10 )
Representar números decimales.
(Número) . (10)
de la coma.
–x
; El exponente – X representa tantos ceros como tenga el número, incluido el de delante
Ejemplos: 0´0001 = 10
-4
0´04 = 4. (10)
-2
0´000065 = 6 ´5 (10)
-5
Escalas.
1 = 50
1 = 100
1 = 200
1 Cm
1 Cm
1 Cm
0,50
1,00
2,00
Progresiones.
Progresiones Aritméticas.
Cuando todos los términos son iguales al anterior, (salvo el primero), más un numero fijo.
Llamamos diferencia a la cantidad fija que se suma cada vez, la obtenemos restando de un termino el
anterior.
Para calcular cualquier término empleamos la formula:
TerminoN = Termino1 + (N-1).Diferencia
Termino1 Lo podemos sustituir por el que nos sea de interés de esta forma:
TerminoN = TerminoX + (N-X).Diferencia
Para sumar:
Suma de varios términos =
Termino1 + TerminoN
.N
2
Progresiones Geométricas.
Cuando todos los términos, ( salvo el primero), son iguales al anterior multiplicado por un número constante
llamado razón.
La razón es el número constante por el que se multiplica cada termino..
Se obtiene dividiendo un termino entre el anterior.
Para calcular cualquier termino:
TerminoN = Termino1 . Razón
n-1
Suma:
n
Suma de varios términos =
Termino1 (Razón – 1)
Razón -1
Funciones elementales.
Constantes: Son aquellas que Y = N, pero no X = N; X = N es solo una recta
Lineales: Es aquella que pasa por el 0. Y = (y/x).X
x
0
1
2
3
4
y = 2x
0
2
4
6
8
2
Cuadráticas: Son las parábolas Y= ax + bx + c
U
Si a – negativa; -ax ∩
Si a + positiva; ax
2
2
Para hallar el vértice empleamos:
Vx: -b/2a
Vy: -b+4ac
4a
Para hallar los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación.
Si x = x el vértice será 0
1
2
Realizamos una tabla dando valores a X y despejando la Y.
Si en algún valor de X , la Y se vuelve 0 o crece o decrece al contrario, la función esta acotada.
Proporcionalidad Inversa: Y = (y.x)X
Nunca X = 0
X + la función es Positiva
X – la función es Negativo
Dominio de una función: es el conjunto de todos los números que puede tomar la X
Recorrido de una función: es el conjunto de todos los números que pude tomar la Y
Monotonía es si es creciente o decreciente.
La función es creciente si x1 < x2
La función es decreciente si x1> x2
Esta acotada si al darle un valor a X la Y coge valor igual a cero o empieza a decrecer o a crecer en sentido
inverso.
Buscar los extremos es buscar el punto donde La Y coge valor 0 sustituyendo la formula.
Es periódica si repite el dibujo en varios tramos.
Son simétricas si al dividirla por el eje Y resulta el mismo dibujo.
La continuidad de una función viene dada por una grafica continua, seria dibujar la grafica sin levantar el
lápiz del papel.
La discontinuidad.
Evitable. Cuando en la grafica se divide el dibujo en el mismo punto.
Inevitable: Cuando se acaba la grafica a la altura de una grafica infinita
Esencial si uno de los lados no tiene limite.
Formula de una grafica :
Y = (y/x).x + Numero donde comienza la grafica.
Álgebra.
Inecuaciones.
Cuando hay una solución múltiple, se resuelven de la misma manera que las ecuaciones. En vez de igual se
utilizan los símbolos menor y mayor > < ó ≥≤
El resultado es un intervalo.
Ejemplo:
X–3<0
X<3
X + 5 ≥ -1
X ≥ -6
Recuerda: mayor > menor
solución: [-6 , 3)
menor < mayor
Representar sistemas ecuaciones con dos incógnitas.
Igualamos los términos a 0. Hallamos el valor de “Y” poniendo “X” = 0, después hallamos el valor de “X”
poniendo “Y” = 0.
Ecuaciones de 2º Grado.
2
ax + bx – c = 0
Recuerda que para solucionarlas a tiene que estar a en positivo así que debes cambiar el
signo de todo si no esta positivo a
Completas
2
Siendo: ax + bx – c = 0
Incompletas
2
ax + bx = 0 ;
x=0
X ( ax +b)
x = -b
;
/a
2
ax + c = 0
2
ax = -c No tiene solución
2
ax –c = 0
2
ax = c ;
Para resolver problemas:
Suma Soluciones : x1 + x2 = Suma
Producto Soluciones: x1 . x2 = Producto
2
x – Suma x + Producto = 0
Representar ecuaciones de 2º grado. Las funciones.
2
ax + bx + c = y
Si a + es positiva la función es ascendente
Si la a – es negativa
la función es descendente
Hallar el vértice:
Xv = -b
2a
Yv = -b + 4ac
4a
x1 y x2 serán los puntos de corte con el eje x
2
Discriminante de una parábola es √b – 4ac
Dominio de una función: es el conjunto de todos los números que puede tomar la X
Recorrido de una función: es el conjunto de todos los números que pude tomar la Y
La función es creciente si x1 < x2
La función es decreciente si x1> x2
Esta acotada si al darle un valor a X la Y coge valor = a cero o empieza a decrecer o a crecer en sentido
inverso.
Formula de una grafica : Y = (y/x).x + Numero donde comienza la grafica.
Binomios.
2
2
2
2
(a + b) . (a + b) = (a + b ) = a + 2ab + b
2
(a – b) . (a – b ) = (a – b ) = a – 2ab +b
2
2
(a – b) . (a + b) = a – b
2
Trigonometría.
Sistema sexagesimal : 1 = 60º
π radianes
10800= 180º = π radianes
21600 = 360º = 2
Regla de tres:
A=B
C=X
X=
B.C
A
Si lo pasamos a un eje de coordenadas.
Seno α = Y/radio = X Para recordar Se Y H X
Coseno α = X/radio = Y Para recordar Co X H Y
Tangente α = Y/X Para recordar Ta Y X
SEYHX; COXHY; TAYX
2
2
La relación es : Coseno α + Seno α = 1
Para resolver problemas:
Y = X . Tangente α
La tangente de un ángulo se halla con la calculadora.
Triángulos rectángulos
Teorema de Pitágoras
Hipotenusa =
a=
√C + C
2
2
√b +c
2
2
Teorema del cateto
√hipotenusa . la proyección del cateto
Cateto =
Cateto A =
√hipotenusa . m
Teorema de la altura
Altura =
h=
√proyección . proyección
√m.n
Semejanza Teorema de Thales
Cateto triangulo Pequeño
=
cateto altura pequeño
Cateto triangulo Grande
X=
cateto grande . cateto altura pequeño
Cateto triangulo pequeño
Son semejantes si se corresponde la proporción:
x
Probabilidad.
Variables. Se representan en el eje X o de Abcisas. Son las características.
Cualitativo nominal: Los datos no numéricos.
Cualitativo ordinal: los datos no numéricos que siguen un orden: malo, regular, bueno
Cuantitativo: Los datos numéricos.
Variable Discreta: Números enteros.
Variable Continua : Números Fraccionarios.
Frecuencia. Se representa en el Eje Y de ordenadas. Son los sujetos.
Frecuencia Absoluta: En número de veces que aparece un mismo valor.
Frecuencia Relativa: Es la división de la frecuencia absoluta entre el número de datos.
Frecuencia Acumulada: La suma de las frecuencias absolutas.
Frecuencia Acumulada Relativa: La divisíón de la frecuencia acumulada entre el número de datos.
Ordenadas Y
Frecuencia = Sujetos
Variable = características.
Abcisas X
Diagrama de barras:
El dibujo son barras que no se juntan.
Polígono frecuencias:
El dibujo es una raya que une los valores.
Diagrama Sectores:
Un circulo, donde los valores se reparten entre 360º. Se divide los 360º entre el total y se multiplica por cada
caso.
360º
. Variable a representar = Grado del circulo
Número de sujetos
Histograma:
Son barras que se juntan.
La tabla de frecuencias:
Consiste en ordenar los datos en una tabla.
Por un lado los sujetos , que serán la frecuencia o lo que aparece en el eje Y Ordenadas; en el otro, las
características que será la variable, o lo que aparece en el eje X Abcisas.
Se pone primero las características y después la frecuencia o los tipos de frecuencia.
Es muy útil para hallar parámetros.
Cálculos de los datos de la frecuencia, del eje Y de ordenadas.
La moda es el valor que mas se repite.
Si hay dos valores iguales, son los dos, y si todos son iguales es ninguno.
En una grafica la variable, el dato del eje X, con mayor valor en el eje Y.
Mediana:
Datos de número impar, la cifra que ocupa la mitad.
Datos de número par, la media de las dos cifras centrales.
En una grafica coloca los datos ordenándolos de mayor a menor a razón de la frecuencia, del eje Y, y
después coge los valor de la variable del Eje X.
La media aritmética:
La suma de todas las cifras dividido entre en número de datos.
En una grafica se multiplican todos los valores X.Y se suman y este valor se divide entre el numero total de
sujetos, o número total de Y.
Recorrido:
La diferencia entre el mayor valor y el menor.
Desviación media:
La media aritmética de: la media aritmética del conjunto – menos cada valor
El resultado de la resta es un valor absoluto sin signo +ni-
Desviación media =
(la media aritmética del total – menos cada valor X) . Su valor Y + + +
El nº total de sujetos en el eje Y
La Varianza:
Es la media aritmética :de los cuadrados de la media aritmética del conjunto – menos cada valor.
Para calcular la varianza de una grafica se simplifica :
(Cada valor de X )2. su valor de Y + + +
Varianza =
2
– (la media aritmética del total)
Entre en nº total de sujetos de Y
La desviación Típica:
Es la raíz cuadrada de la varianza..
Centralización: media, mediana y moda
Dispersión: Varianza, Desviación Típica, desviación media.
Posición: Cuartiles, Deciles, Percentiles.
Regla de Laplace.
Probabilidad =
Número de casos favorables al suceso
Número de casos posibles del experimento.
Ley de los grandes números: La frecuencia relativa ( la frecuencia real del experimento) se parece más a la
solución teórica ( el resultado encontrado con la formula de Laplace) cuántas más veces se repita el suceso.
Experimentos:
Deterministas: La solución esta determinada antes del experimento.
Casual: El resultado no esta sujeto a ninguna regla.
Aleatorio: Conocemos las diversas soluciones pero no el resultado concreto.
Espacio muestral : Todos los posibles resultados.
Suceso: El experimento aleatorio.
Experimentación:
Cuando no se puede aplicar Laplace.
Probabilidad =
Nº de veces que aparece A
Nº de veces que realizamos el experiemento
.