DOCENTE: ROSMIRO FUENTES ROCHA

INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS
Resolución Nº 0205 de marzo 26 de 2006 Secretaria De Educación Distrital
REGISTRO DANE Nº 147001-000994-1, NIT 819001781-1
Calle 7ª N° 33B-100, Teléfono 4336197 Barrio Bastidas Santa Marta
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
DOCENTE: ROSMIRO FUENTES ROCHA
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:

RANGO O RECORRIDO
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

DESVIACIÓN MEDIA
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la
media.

VARIANZA
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.

DESVIACIÓN TÍPICA
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
DESVIACIÓN RESPECTO A LA MEDIA
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media
aritmética.
Di  x  x
DESVIACIÓN MEDIA
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la
media. La desviación media se representa por D X

DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
n
DX 
x 1  x  x 2  x  ...  x n  x
N
 xi  x
o bien D x  i  1
N
EJEMPLO
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Solución
9  3  8  8  9  8  9  18
X
9
8
9  9  3  9  8  9  8  9  9  9  8  9  9  9  18  9
Dx 
 2 ,25
8

DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:
n
 xi  x . fi
Dx  i  1
N
EJEMPLO: Calcular la desviación media de la distribución:
Intervalos
xi
fi
xi · fi
xi  x
x i  x · fi
[10 , 15)
12.5
3
37.5
9.28
27.85
[15 , 20)
17.5
5
87.5
4.28
21.43
[20 , 25)
22.5
7
157.5
0.71
4.99
[25 , 30)
27.5
4
110
5.71
22.85
[30 , 35)
32.5
2
65
10.17
21.42
21
457.5
Σ
98.57
X
457,5
 21,78
21
DX 
98,57
 4 ,69
21
VARIANZA
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una
distribución estadística.
La varianza se representa por  2 .

VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS
n
2 

( x 1  x )  ( x 2  x )  ...  ( x n  x )
N
2
2
 ( xi  x )2
2
o bien  2  i  1
N
VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS
n
2 
( x 1  x ) f 1  ( x 2  x ) f 2  ...  ( x n  x ) f n
N
2
2
2
 ( xi  x )2 fi
o bien  2  i  1
N
Ejemplo: Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Solución
Por ser datos no agrupados:
X
9  3  8  8  9  8  9  18 72

9
8
8
Se calcula ahora la varianza para datos no agrupados
2 
( x 1  x ) 2  ( x 2  x ) 2  ...  ( x n  x ) 2
N
σ2 
(0 )2  (6 )2  (1 )2  (1 )2  (0 )2  (1 )2  (0 )2  (9 )2
0  36 1  1  0  1  0  81 120


8
8
8
σ2  1 5
Ejemplo: Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
Intervalo
xi
fi
( x i  x )2
xi.fi
( x i  x ) 2 . fi
[10 , 20)
15
1
15
802,58
802,58
[20 , 30)
25
8
200
335,98
2687,84
[30 ,40)
35
10
350
69,38
693,8
[40 , 50)
45
9
405
2,78
25,02
[50 , 60
55
8
440
136,18
1089,44
[60 ,70)
65
4
260
469,58
1878,32
[70 , 80)
75
2
150
1002,98
2005,96
42
1820
Σ
Solución
Se calcula la media aritmética
x 
1820
 43,33
42
La varianza para datos agrupados es:
n
 ( xi  x )2 fi
2 
i 1
N

9182,96
 218,64
42
9182,96
 2  218,64
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
1. La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean
iguales.
2. 2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
3. 3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada
por el cuadrado de dicho número.
OBSERVACIONES SOBRE LA VARIANZA
1. La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
2. 2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.
3. 3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones
están elevadas al cuadrado.
DESVIACION TIPICA
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, es decir, la raíz cuadrada de la media de los
cuadrados de las puntuaciones de desviación. La desviación típica se representa por σ.

DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
n
 

( x 1  x )  ( x 2  x )  ...  ( x n  x )
N
2
2
 ( xi  x ) 2
2
o bien
 
i 1
N
DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS AGRUPADOS
n
 
( x 1  x ) f1  ( x 2  x ) f 2  ...  ( x n  x ) f n
N
2
2
 ( xi  x ) 2 f i
2
o bien
i 1
 
N
Ejemplo: Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Solución
Se calcula la media aritmética
X
9  3  8  8  9  8  9  18 72

9
8
8
Se calcula la desviación típica para datos no agrupados:
σ 
(0 )2  (6 )2  (1 )2  (1 )2  (0 )2  (1 )2  (0 )2  (9 )2

8
0  36 1  1  0  1  0  81

8
σ  15  3,87
Ejemplo: Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
Intervalo
xi
fi
( x i  x )2
xi.fi
( x i  x ) 2 . fi
[10 , 20)
15
1
15
802,58
802,58
[20 , 30)
25
8
200
335,98
2687,84
[30 ,40)
35
10
350
69,38
693,8
[40 , 50)
45
9
405
2,78
25,02
[50 , 60
55
8
440
136,18
1089,44
[60 ,70)
65
4
260
469,58
1878,32
[70 , 80)
75
2
150
1002,98
2005,96
42
1820
Σ
9182,96
120
8
Se calcula la media aritmética
x 
1820
 43,33
42
La desviación típica para datos agrupados viene dada por
n
 ( xi  x ) 2 f i
 
i 1
N

9182,96

42
218,64  14,78
PROPIEDADES DE LA DESVIACIÓN TÍPICA
1. La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean
iguales.
2. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.
3. Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda
multiplicada por dicho número.
OBSERVACIONES SOBRE LA DESVIACION TIPICA
1. La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las
puntuaciones extremas.
2. En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.
3. Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la
media.
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. Su
expresión matemática es C .v 

X
El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes: C.v 

X
.100%
El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que
sus medias sean positivas. Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se
comparan entre sí. La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.
Ejemplo: Una distribución tiene x  140 = 140 y σ = 28.28 y otra x  150 y σ = 25. ¿Cuál de las dos
presenta mayor dispersión?.
Solución

28,28
.100%  0 ,202  100%  20,2%
140
X

24
C.v 2 
.100% 
.100%  0 ,16  100%  16%
150
X
C.v1 
.100% 
La primera distribución presenta mayor dispersión.