Apunte Matemática Aplicada I

Matemática Aplicada I (Clase N°1)
I.-Nociones de Conjunto
La teoría de Conjuntos trajo claridad y precisión en la exposición de muchas teorías y áreas
de la matemática, como la teoría de las probabilidades, la topología, la teoría de grupos, etc.
Considerando el proceso mental que une objetos bajo una característica particular nos da
un conocimiento intuitivo adecuado de lo que entenderemos por conjunto.
Los objetos ordenados de esta manera se llaman elementos
y decimos que estos
pertenecen al conjunto.
En general representamos los elementos por letras minúsculas y los conjuntos con letras
mayúsculas.
Simbólicamente si el conjunto A tiene como elemento “a” esto lo anotamos como
a A ,
lo cual se lee como “a pertenece a A”, análogamente si “a no pertenece a A” anotamos
simbólicamente a  A
Nota: El símbolo de pertenencia  representa una relación fundamental de la teoría de
conjuntos.
Definición:
Un conjunto es una colección definida de objetos, llamados elementos.
Ejemplos.
Los alumnos de este curso y cada alumno es un elemento del conjunto.
Las aves de la fauna chilena constituyen un conjunto y cada ave el un electo del conjunto.
Nota:
Existen dos formas de escribir los conjuntos:
Por extensión, cuando se listan los elementos del conjunto.
Por comprensión o abstracción, cuando se identifican los elementos del conjunto por
una propiedad común entre ellos
Ejemplo
A  1,2,3,4
A  x / x es un número natural 
Nota:
Dos conjuntos son iguales si y solo si sus elementos son iguales.
Cardinalidad y Tipos de Conjuntos
Hay conjuntos que tienen un número finito de elementos, estos son los Conjuntos Finitos,
un conjunto que no tiene un número finito de elementos es un Conjunto Infinito.
Nota
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene el conjunto.
A  x / x es vocal su cardinalidad es 5, pues hay sólo 5 vocales.
Por razones técnicas de las aplicaciones es necesario considerar un conjunto que carece de
elementos, este se llama conjunto Vacío.
El conjunto vacío se denota simbólicamente como     , su cardinalidad es cero.
Relación de Sub- Conjunto
Si cada elemento de A es también elemento de B entonces se dice que “A es sub-conjunto
de B” o que “B contiene a A”, esta relación entre conjuntos se anota como:
A  B , o bien B  A
Nota: El conjunto vacío está contenido en todo conjunto.
Operaciones con Conjuntos
Intersección de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos la intersección entre A y B es el
conjunto que tiene como elementos los que se encuentran en B y en B simultáneamente,esto
se expresa simbólicamente:
A  B , note que la operación es conmutativa pues el lo mismo
A B  B  A
Propiedades de esta operación
1.- A  B  B  A la operación es conmutativa
2.- ( A  B)  C  A  ( B  C ) la operación es asociativa
3.-   A   propiedad de existencia del elemento absorbente.
Nota: Si A  B  A  B  A
Unión de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos la unión de A y B es el conjunto cuyos
elementos son los que pertenecen a A o a B, esto se expresa simbólicamente:
Propiedades de esta operación
A B
1.-
A B  B  A
la operación es conmutativa
2.- ( A  B)  C  A  ( B  C ) la operación es asociativa
3.-
A  A
Propiedad de la existencia de la identidad
Propiedad distributiva entre la unión y la intersección
a) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) la unión es distributiva con respecto a la intersección.
b) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) la intersección es distributiva con respecto a la unión.
Matemática Aplicada I (Clase 2)
I.- Conjuntos Numéricos y sus relaciones
Números Enteros, Racionales e Irracionales
Recordemos el conjunto de los números Naturales o enteros positivos, se compone de:
 ¨1,2,3,4,5,6,7,8,9,...
es subconjunto de los números Enteros:
 ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,4,...
El conjunto
incluye tanto los enteros positivos como los negativos y el número cero, el
cual no es positivo y no es negativo. A su vez el conjunto de los enteros es subconjunto de
los números Racionales:
p
 / p
q
El conjunto

y  q son enteros, q  0

está compuesto de todos los cuocientes de dos enteros, siempre que el
denominador no sea cero; por ejemplo
1 17 10
6
0
, ,
 5,  6,  0
2 5 2
1
8
Nota de advertencia: El cuociente a/b es indefinido si b=0. Por ejemplo
8 0
,
0 0
son
expresiones indefinidas.
El conjunto de los números racionales no es suficiente para solucionar ciertos problemas
elementales algebraicos y geométricos. Por ejemplo, no hay un número racional tal que:
2
 p
  2
q
Como problema geométrico tenemos el cálculo de la diagonal de un cuadrado cuyos lados
miden 1 unidad de longitud, luego
d 2  12  12
d2  2  d  2
La longitud así obtenida no es un número racional, pertenece a los Números irracionales
que se denotaran como el conjunto
I
Luego el conjunto de los números Reales es la unión entre estos dos conjuntos que no
tienen elementos comunes, las Racionales y los Irracionales, esto es



I
0 

Decimales
Todo número real puede expresarse en la forma decimal. Por ejemplo
¼ = 0.25
25/7 =3.571428571428….
7/3 = 2.3333….
 = 3.14159265…..
2 = 1.41421356….
De los ejemplos podemos ver que hay decimales finitos, decimales periódicos o
recurrentes y decimales que no son periódicos o finitos estos son números
Irracionales, así todos los números decimales son números Reales.
Porcentajes
Los números fraccionarios o decimales algunas veces se expresan como porcentajes, por
ejemplo 8% quiere decir 8/100 o bien 0.08. b% significa “b partes de 100” lo cual es otra
forma de escribir b/100.
Los porcentajes son usados habitualmente para indicar incrementos o reducciones de
cantidades como población, salarios, precios, etc.
Ejemplo
1.- La población de un pequeño pueblo disminuyó de 1750 a 1700 habitantes. ¿Cuál es el
porcentaje de decrecimiento?
Solución
Cantidad Original
1750
Cantidad que disminuyó
1750 – 1700 = 50
Porcentaje de decrecimiento
50
 0.0285714  0.0285714 100  2.86%
1750
La población disminuyó aproximadamente en un 2.86%
2.- El salario por hora de trabajo de un estudiante se elevó de U$ 5.25 a U$ 5.75. ¿Cuál es el
porcentaje de incremento?
Solución
Cantidad original
U$5.25
Monto del incremento
U$ 5.75 – U$ 5.25 = U$ 0.50
Porcentaje de incremento
0.50
 0.0952381  0.0952381 100  9.52%
5.25
Luego el porcentaje de incremento es aproximadamente de un 9.52%
Clase N°4
Sistema de los Números Reales
El conjunto de los números reales junto con las operaciones de adición y multiplicación se
llama sistema de loa números reales.
Propiedades de las operaciones.
Propiedades
Conmutatividad
Adición
a+b=b+a
Multiplicación
ab=ba
Asociatividad
a+(b+c)=(a+b)+c
a(bc)=(ab)c
Elemento Neutro
a+0=0+a=a
a1=1a =a
Elemento Inverso
a+(-a)=0=(-a)+a
a(1/a)=(1/a)a=1
Distributividad
(a+b)c=ac+bc por la derecha
a(b+c)=ab+ac por la izquierda
Ley de la cancelación
a+c=b+c entonces a=b
ac=bc
entonces a=b
Propiedades de 0
a 0=0a=0
ab=0 entonces a = 0 o b = 0
Diferencia o Resta
a - b se define a - b = a + (-b)
Cuociente o División
1 a
b  0, a  b  a  b  a 
b b
a Numerador,b Denominador,
Ley de los signos
(  a )  a
(ab)  (a)b  a(b)
a  (1)a
(a)(b)  ab
a
Fracción
b
Operaciones con Fracciones
a c
Para las fracciones ,
con b  0, d  0
b d
a c
  ad  bc Fracciones equivalentes
b d
a a a
 

Regla de los signos
b b b
ac a
 ,c  0
Ley de Cancelación
bc b
a c ac
 
Fracciones de igual denominador
b b
b
a c ad  cb
 
Fracciones de distinto denominador
b d
bd
a c ac

Producto de Fracciones
b d bd
a
a c b a d ad
  

, b  0, c  0 División de fracciones
b d c b c bc
d
Recuerde que:
0
 0  b  0, b  0
b
0
00 
Indefinido (no existe como número)
0
a
a  0  , a  0 Indefinido (no existe como número)
0
Concepto de razón como un cuociente. Proporción como identidad entre dos razones.
Proporcionalidad directa e inversa.
Naturales o enteros positivos
Cardinales al introducir el 0
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
Hacer notar las nociones de conjuntos al presentar los conjuntos numéricos.
Forma decimal de un número real.
Porcentaje
Las Fracciones o decimales pueden expresarse en %. Los % se usan con frecuencia para
indicar crecimiento o decrecimiento:
cantidad de aumento
% de aumento
100
cantidad original
cantidad de decrecimiento
% de decrecimiento
100
cantidad original
Propiedades de las operaciones.
Adición
Conmutatividad a+b=b+a
Asociatividad a+(b+c)=(a+b)+c
Elemento neutro a+0=0+a=a
Elemento inverso a+(-a)=0=(-a)+a
Distributividad
(a+b)c=ac+bc
a(b+c)=ab+ac
Ley de la cancelación
a+c=b+c entonces a=b
ac=bc
entonces a=b
Multiplicación
ab=ba
a(bc)=(ab)c
a1=1a =a
a(1/a)=(1/a)a=1
Propiedades de 0
a 0=0a=0
ab=0 entonces a = 0 o b = 0
Diferencia
a - b se define a - b = a + (-b)
1 a
Cuociente b  0, a  b  a  b  a 
b b
a
a Numerador,b Denominador,
Fracción
b
Ley de los signos
(  a )  a
(ab)  (a)b  a(b)
a  (1)a
(a)(b)  ab
Operaciones con Fracciones
a c
,
Para
con b  0, d  0
b d
a c
  ad  bc Fracciones equivalentes
b d
a a a
 

Regla de los signos
b b b
ac a
 ,c  0
Ley de Cancelación
bc b
a c ac
 
Fracciones de igual denominador
b b
b
a c ad  cb
 
Fracciones de distinto denominador
b d
bd
a c ac

Producto de Fracciones
b d bd
a
a c b a d ad
  

, b  0, c  0 División de fracciones
b d c b c bc
d
División por 0
0
 0  b  0, b  0
b
0
00 
Indefinido (no existe como número)
0
a
a  0  , a  0 Indefinido (no existe como número)
0
Concepto de razón como un cuociente. Proporción como identidad entre dos razones.
Proporcionalidad directa e inversa.
Recta de números Reales
Recta de números reales o recta numérica o recta coordenada
Ubicación de los números en la recta numérica.
ORDEN EN LOS REALES
Menor que y Mayor que
Para dos números reales a y b distintos : a es menor que b sii b – a es número positivo.
a b  ba 0
Para dos números reales a y b distintos : b es mayor que a sii b – a es número positivo.
b a  ba 0
Dos relaciones adicionales de orden importantes.
1.- a es menor o igual que b
aba b o a b
2.- a es mayor o igual que b
aba b o ab
Valor Absoluto
 a si a  0
Para a cualquier número real :
a 
a si a  0
Propiedades del Valor absoluto
(i)
x 0
(ii )
x 0 x0
(iii )
x  x
(iv)
xy  x y
(v )
x
x
 ,
y
y
y0
Distancia entre dos puntos
Si a y b son dos puntos en la recta numérica, la Distancia entre a y b es d (a, b)  b  a
Nota Hacer ver que d(a,b)=d(b,a) (concepto de valor absoluto).
Concepto: Expresión Algebraica:
Una expresión algebraica es el resultado de llevar a cabo un número finito de sumas, restas,
multiplicaciones o divisiones o raíces en un grupo de variables (representadas por letras) y
números reales.
n factores
Potencias de Exponentes Enteros: La expresión algebraica x  xxxxxxx........x es una
potencia de x cuyo exponente es n.
Base, exponente. Operación es la potenciación
Exponente entero negativo
1
xn  n x  0
x
n
Operaciones entre potencias de igual base y distinto exponente
xn xm  x nm
( x n ) m  x nm
xn
 x nm
m
x
( xy ) n  x n y n
x
xn
( )n  n
y
y
Exponentes Racionales. Raíces