Algebra 2

Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
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 CONTENIDO 7 .
NOCIÓN : NOTACIÓN ALGEBRAICA.
En este contenido, ustedes podrán, traducir expresiones del lenguaje común al
lenguaje de la matemática y también, expresar el significado de algunas expresiones
matemáticas.
CONSUMO DE MATERIALES Y RESISTENCIA DE LAS MEZCLAS DE
CEMENTO A LOS 28 DÍAS.
DOSIFICACIÓN Kg. CEMENTO
1:1
1:2
1:3
1:4
M3 ARENA
940
630
470
370
0,80
0,95
1,05
1,10
M3 AGUA RESISTENCIA
Kg/cm2
0,35
400
0,30
360
0,25
250
0,22
190
Los especialistas en construcción expresaron en números lo que
saben de la mezcla de cemento con arena y agua para preparar el
concreto.
¿ Podrías traducir el significado de una mezcla preparada
al 1 : 3 ?
Completa la siguiente tabla :
LENGUAJE COMÚN
Usa el triple de arena que de cemento.
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
C = cantidad de cemento
A = cantidad de arena
O sea, A = 3 C
El doble de ocho
C = cantidad de cemento
A = cantidad de arena
A=2C
Usa la cuarta parte de cemento que de arena
2x2 + 3(x+1)2
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SAN MATEO 2002
55. Completa las siguiente tabla :
LENGUAJE COMÚN
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
Al doble de una cantidad desconocida se le
suma cuatro
A una cantidad desconocida se le resta 25
2x+4
El entero que sucede al 8
8+1
Los dos enteros que suceden a 12
Los tres enteros que suceden a “n”
Si a tres veces la cantidad desconocida se le
resta 5, resulta 17
Si a 20 se le suma el doble de una cantidad
desconocida, resulta 28
El 5 % de 20
56. Ahora te corresponde traducir a ti :
LENGUAJE COMÚN
3 x – 5 = 17
LENGUAJE MATEMÁTICO
El doble de un número p ...
El cuadrado de un número s ...
3x + 3
La mitad de un número m, disminuido en siete
...
Las tres cuartas partes de un número “k”
Dos números enteros consecutivos...
El exceso de 20 sobre un número z ...
Juan tiene 12 años más que Pedro
Un número p disminuido en sus tres octavas
partes
Tres veces un número x , aumentado en dos...
PROBLEMAS CON ENUNCIADO.
Consiste en expresar un enunciado verbal en
forma simbólica.
Ej.: En un corral hay a gallinas, b patos y c
gansos. ¿ Cuántas
aves hay en total ?
Rpta. : x = a+b+c aves
¡ y nosotros
cuándo saldremos
en un problemita!
¿ Sería simpático
verdad?
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57. En el primer piso de un hotel hay x
habitaciones. En el segundo piso hay el triple
de habitaciones que el primero. ¿ Cuántas
habitaciones hay en el segundo piso ?
58.
Un número entero dado es b ,
59. Un padre tiene 35 años menos que su
madre, y su hijo tiene 23 años menos que él. ¿
Cuántos años tiene cada persona ?
57.
¿ Cuánto se debe pagar por un
perro, un collar y un paquete de alimentos, si
el collar vale p pesos, el perro 8 veces lo que
vale el collar y el alimento el triple del valor
del collar ?
58.
Juan tiene r años. Su mamá tiene
22 años más que su hijo y su hermana tiene
tres años más que él. ¿ Cuántos años tienen
todos juntos ?
59.
Si x es un número entero ¿ cuáles
son los dos números enteros consecutivos
posteriores a él ?
¿ cuál es el número que le sucede ?
 CONTENIDO 8 :
NOCIÓN : RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.
100
50
?
Ayudémosle a don Beto a descubrir cuanto pesa el cubo, si el queso pesa 650 gramos.
El problema propuesto por don Beto, se puede escribir de la siguiente manera :
100 + 50 + CUBO = QUESO
Recuerda que una ecuación es una igualdad donde aparece una magnitud
desconocida. Don Beto se dio cuenta que la balanza está equilibrada. Por lo tanto si
sabemos el peso del queso podemos descubrir el peso del cubo.
QUESO = 650 GRAMOS
Área de TEXTO
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Las propiedades de mantener la balanza en equilibrio son :
Agregar o sacar de ambos platillos pesos iguales.
Reemplazar un objeto por un conjunto de otros objetos que sumen igual peso.
Retirar un grupo de objetos y reemplazarlo por uno sólo de igual peso.
¿ Cómo resolvió el problema don Beto?
Pasos matemáticos
Explicación
100 + 50 + cubo = Queso
El problema inicial
100 + 50 + cubo = 500 + 100 + 50
Don Beto reemplazó el queso por
tres pesas conocidas.
Se retiran las pesas de 50 gramos
100 + cubo
= 500 + 100
cubo
= 500
Se retiran las pesas de 100 gr.
Ahora, le puedes ayudar a don Beto y responder su pregunta
Responde las siguientes aseveraciones, colocando una
V si la aseveración es verdadera o
una F si aquella es falsa.
____ 1. Sacar pesas iguales de ambos platillos, mantienen el equilibrio.
____ 2. Agregar 50 gramos en cada plato mantiene el equilibrio.
____ 3. Cuando se saca un peso de un plato y se pone en el otro, la balanza mantiene su
equilibrio.
____ 4. Dividir cada cantidad de cada plata por dos, mantiene el equilibrio.
____ 5. Reemplazar un objeto por dos que suman lo mismo, mantiene el equilibrio.
____ 6. Agregar cantidades iguales a cada miembro de una ecuación, mantiene la igualdad.
____ 7. Multiplicar cada miembro de una ecuación por cantidades iguales, mantiene la
igualdad.
____ 8. Dividir cada miembro de una ecuación por una misma cantidad, pero que sea
diferente de cero, mantiene la igualdad.
¿ Podrías responderme...
- qué es una ecuación?
- cómo se resuelven?
- cuáles son las propiedades de las
igualdades?
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Después de responder las preguntas y ... observa ahora la forma de resolver la siguiente
ecuación para que después lo hagas tú :
EJEMPLO :
3x + 25 - 7x = 35 - 9x + 43
se reducen los términos semejantes
-4x + 25 = 78 - 9x
se ordena :
-4x + 9x = 78 - 25
se reducen los términos semejantes. :
5x
= 53
se multiplica por el recíproco de 5, o sea
5x 
por
1
:
5
1
1
= 53 
5
5
3
x = 10
5
EJERCICIOS .Resuelve las siguientes ecuaciones :
60.
6 + x = 10
61.
62.
-4 + 8 = x
63.
64.
x  8 + -3 = 4x + 12
65.
2(x+5) = 6+x
66.
7x - 15 - 6x = 31
67.
2x + 6 - x = 23
68.
x+p = m
69.
q= p-x
70.
x = (-3)2 - 42
71.
(-3)3 - (-1)2 = x
72.
7x - 5 = 2x + 15
73.
ax = ab
74.
2x +
75.
7
1
+ 2x = 2
8
4
76.
8x + ( 3x + 7 ) = 18
1
1
=
3
5
6+ x =4
-6 - 10 = x + 6
80. 11x +( 3x - 5 ) = 7x - ( x + 13 ) - 1
Área de TEXTO
77.
83.
85.
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3( x - 2 ) = 30 + x
x-4 x -2
x +3
=
4
2
3
82.
x2 + 2( x - 5) +7 = 44 – x(7 - x )
84.
3x - 2
3x + 2
- x +5=
8
4

x + 3 x - 4 1 x + 1 2x + 1
= +
4
9
2
4
9
 CONTENIDO 9
NOCION : PROBLEMAS CON ENUNCIADO.
86. Un problema : Después de cortar los
3
de una tabla, quedan 30 cms.
4
¿ Cuál era el largo de la tabla?
LENGUAJE COMÚN
El largo de la tabla
Los tres cuartos de la tabla...
La parte cortada
La diferencia entre los tres cuartos de la
tabla y la parte cortada...
El largo es :
LENGUAJE MATEMÁTICO
87.- Cual es la traducción de
La suma de la mitad de un número y la cuarta parte del mismo, equivale al mismo número
disminuido en 5.
LENGUAJE COMUN
El número buscado
La mitad del número buscado
LENGUAJE MATEMÁTICO
x
La suma de la mitad del número y la cuarta
parte del mismo ...
x
2
x
4
x x

2 4
La suma de la mitad de un número y la cuarta
parte del mismo, equivale al mismo número
disminuido en 5
x x
  x5
2 4
La cuarta parte del número ...
63
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PARA TENER PRESENTE.
Para resolver los problemas con enunciado deberás seguir los
siguientes pasos :
a) designa la incógnita,
b) plantea la ecuación,
c) resuelve la ecuación.
Ejemplo : Si un número se aumenta en ocho resulta el triple de
dicho número. ¿ Cuál es el número ?
a) número = x
b) Si un número se aumenta en ocho
resulta el triple de dicho número
x+8
x + 8 = 3x
88. Tres amigos juntan dinero para ir al cine. Juan aporta $ 1.100. Pedro aporta $ 850 y José
coopera con $ 180. ¿ Cuánto dinero reunieron en total ?
89. Un bus lleva 15 pasajeros. En el primer paradero suben 5, en el segundo paradero suben 4 y
bajan 3. En el tercer paradero bajan 2 y suben 8. ¿ Cuántos pasajeros quedan en el bus ?
90. María tiene 10 años, Juana 2 años más que Rosa, Patricia tiene 5 años más que Juana y Rosa
tiene 3 años menos que María. ¿ Qué edad tiene cada una de ellas ?
91. Un comerciante, por la venta de un artículo gana $ 2.250, por la venta de un segundo artículo
pierde $ 1.240 y por la venta de un tercer artículo gana $ 3.300. ¿ Cuál es su estado
financiero
92. La edad de tres amigos suma 49 años. Si Pedro tiene 3 años menos que Hernán y Jaime tiene
7 más que Pedro. ¿ Cuál es la edad de cada uno ?
93. La suma de tres números impares consecutivos es 39. Encuentra los números
94. ¿ Qué número multiplicado por
5
da como resultado 20 ?
2
95. Un número más el doble de dicho número y más el triple de ese número da 66. ¿ Cuáles son
los números ?
96. ¿ De qué número hay que restar “ a + 1 “ para obtener 2 ?
97. Si se resta 26 del doble de un número más 2, resulta el mismo número. ¿ Cuál es el número ?
98. En el Segundo año medio del colegio hay el doble número de alumnos de los que hay en
Tercero y en el Primer año medio hay el doble de alumnos de los que hay en Segundo ¿
Cuántos alumnos hay en cada curso, si en total hay 154 ?
99. En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños
que de hombres y mujeres juntos. ¿ Cuántos hombres, mujeres y niños hay, si en total son 156
personas ?
Área de TEXTO
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100. Los 35 pasajeros de un bus son de tres nacionalidades : chilenos, argentinos y peruanos. Los
chilenos son el doble de los peruanos y los argentinos el doble de los chilenos.
¿Cuántas personas de cada nacionalidad hay
101. La edad actual de un padre es cuatro veces la de su hijo. Hace tres años era el quíntuplo.
¿ Cuál es la edad de cada uno ?
102. Cierto número aumentado en tres, multiplicado por sí mismo es igual a su cuadrado más
23 . ¿ Cuál es el número ?
103. La suma de tres números consecutivos es 75. ¿ cuáles son los números ?
104. En un taller hay un maestro jefe, 4 obreros y 2 aprendices. Estas personas ganan en suma
$ 1.290.000. mensuales. El jefe gana $ 90.000 más que un obrero, y cada obrero gana
$ 135.000 más que un aprendiz . ¿ Cuánto gana cada persona mensualmente
 CONTENIDO 10
NOCION : APLICACIONES A LA GEOMETRÍA
RECUERDA :
ángulos suplementarios son aquellos que en conjunto miden 180.
     = 180


Ángulos complementarios son aquellos que en
conjunto suman 90.
     = 90


105. Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos mide 35 grados .¿ Cuánto mide el otro ?
106. El menor de dos ángulos complementarios mide 18 grados ¿ Cuánto mide el mayor de ellos. ?
Área de TEXTO
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TIPOS DE TRIANGULOS.
En todo triángulo se cumple :
 +  +  = 180º
C

 EQUILATERO ( a  b  c )

b
a
    

 ISOSCELES

A
c
( a b) 
  
B
 ESCALENO
a bc
107. La suma de las medidas de dos ángulos es 108. Tres ángulos suman 157. El mayor mide 32
124. Si la medida de uno de ellos es tres
más que el segundo y éste 25 más que el
veces la medida del otro. ¿ Cuál es la
tercero. ¿ Cuánto mide cada ángulo ?
medida de cada ángulo ?
El mayor de los ángulos de un triángulo tiene 109. El ángulo basal de un triángulo isósceles mide
14 grados más que el ángulo del medio y éste
57 más que el ángulo del vértice. ¿ Cuánto
tiene 26 grados más que el ángulo menor. ¿
mide cada ángulo ?
Cuántos grados tiene cada ángulo ?
110. Los ángulos interiores de un triángulo 111. La medida del complemento de un ángulo es
están en la razón de 3 : 5 : 7. ¿ Cuál es la
cuatro veces la medida del ángulo. ¿ Cuánto
medida del ángulo del medio ?
mide cada uno ?
112. Dos ángulos complementarios están en la 113. El perímetro de un triángulo equilátero es
razón de 2 : 3. ¿ Cuáles son las medidas
24. ¿ Cuál es la magnitud de su lado ?
de cada ángulo ?
114. Los ángulos de un triángulo están representados por (x+10),(3x - 40) y ( x - 10) .
¿ Cuánto mide cada ángulo ?
115. La medida de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es el triple del otro.
¿ Cuánto mide cada ángulo ?
116. La medida del ángulo del vértice C de un triángulo isósceles es el doble de la medida de uno
de sus ángulos basales. ¿ Cuánto mide cada ángulo interior ?
118)
119)
2x
x
2x+15
120)
x+40
3x
x+40
2x+80
121)
122)
x+20
2x
123)
5x-15
3x+15
x-5º
x
115º
Área de TEXTO
124)
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125)
126)
5x-8
105
3x-20
2x
x
x-5º
3x+4
127)
128)
x
129)
x+y
2x - 8°
45°
x
110
120°
65°
130)
131)
131)
x
y
x
110
85
50
130
130
x
y
60
132)
133)
134)
y
x
x
62
40
47
z
y
28
35ª
45
125
138)
52
y
82ª
139)
3x-40
x
w
140)
2x+50
2x
x
x+10
x-10
2x-10
60º
70
y
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AHORA EL CONTROL FORMATIVO para ver si estamos aprendiendo...
1.
Se arman con fósforos las siguientes figuras (sucesiones ) :
a
2a
3a
4a
a) ¿ Cuántos fósforos se necesitan para construir la décima figura
b) Si las figuras se reemplazan por cuadrados ¿ Cuántos fósforos
necesitan para el octavo cuadrado ¿
c) ¿ Podrías establecer una relación del número de fósforos que se
ocupan a medida que formamos cada vez más triángulos ¿
2. Calcula el área de un triángulo, conociendo los lados del triángulo, si ésta se calcula
mediante la fórmula de Herón, así :
A  s(s  a )(s  b)(s  c)
Si a = 12 ; b = 10 y c = 8 y además s =
abc
(semiperímetro)
2
3. Para transformar grados Celcius a Fahrenheit se utiliza la siguiente relación :
F 
9
 C  32
5
a) cuántos grados Fahrenheit son 25° Celcius
b) Cuántos grados Celcius son 20 grados Fahrenheit
4. Miguel y Guillermo pertenecen a dos clubes diferentes. El club de Guillermo tiene 5
miembros menos que la mitad de los integrantes del club de Manuel: Si m representa el
número de muchachos del club de Manuel y g el número de socios del club de Guillermo.
Representa el número de socios del club de Guillermo en base al número de socios del
club de Manuel.
a) ¿ Cuál es el número mínimo de socios del Club de Manuel para
aplicar esta fórmula?
b) Si el club de Guillermo tiene 35 socios ¿ cuántos socios tiene el
club de Manuel?
5. Un granjero construye un gallinero de un ancho que es un cuarto del largo. Si q es el
número de metros de largo ¿ encuentra la longitud de una malla que se quiere colocar
alrededor del gallinero?
6. Juan tiene k libros y María tiene el doble más un libro que Juan ¿ Cuántos libros tiene
María?