Propiedades de la multiplicación de números enteros ( )

TRABAJO PRÁCTICO 9 - RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES:
MATEMÁTICA TERCERO “C” – Profesor: Jorge Miguel PERALTA - 2015
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RAZONES Y PROPORCIONES NUMÉRICAS. APLICACIÓN DE PROPIEDADES. ESCALAS.
Definimos: Dados en un cierto orden dos números, a y b, distintos de cero, se llama razón entre a y b al número n, cociente exacto de dividir a por b.
a
n
.
b
En símbolos se ve así:
Cómo ejemplos numéricos tenemos que
razón
Nueva nomenclatura:
81
 27
3
Antecedente de la razón
a
b
La barra de fracción se lee como "es"
Consecuente de la razón
Entonces leemos así: "el antecedente de la razón es al consecuente de la razón".
Proporción. Dados en un cierto orden cuatro números, a,b,c, y d distintos de cero, se
dice que forman proporción cuando la razón entre los dos primeros es igual a la razón
ente los dos últimos. En pocas palabras una proporción es una igualdad entre razones.
a c

b d
En símbolos:
la proporción se lee así: El antecedente
"a" de la primera razón es a su consecuente "b" como el antecedente "c" de la segunda razón es a su consecuente "d"
El signo = se lee "como"
Más nomenclatura nueva. Se llama extremos de la proporción al antecedente de la primera y
al consecuente de la segunda. En el ejemplo, "a" y "d" son los extremos. A "b" y "c" se los
llama medios de la proporción.
Propiedad fundamental de las proporciones: El producto de los extremos es igual al producto
de los medios.
.
a c

b d
ad  cd
TRABAJO PRÁCTICO 10
2
1) 5 
1
6
3
5
X
1
2
X
2) 1  3
5
1

4
12
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X
3) 1
3
1
8
1

96
100
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1
4) 2 
1
2
2
1
X
1
4
7) 5
X
1
2
5
4
EJE Nº 2

5
X
5)
 3
1
4
5
9
5
X
8) 7 
4
2
7
3
1
3
2
1
1
4
6)
1
9) 2
3
X
1
1

5
 3
X

1
4
27
ÁLGEBRA Y FUNCIONES
¿Qué es álgebra? Se conoce como álgebra a la disciplina que sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética,
se vale de símbolos (letras: a, x, y ...) en lugar de utilizar números.
Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos
(incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su
resolución.
Esta álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes
propiedades que poseen las operaciones aritméticas. Por ejemplo, la adición (a + b) es
conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una operación inversa (la sustracción) y posee
un elemento neutro (0).
Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.
Lee en la fuente:
http://definicion.de/algebra/#ixzz3ZhWStuaK
Miremos ahora algunas aplicaciones muy simples del algebra:
Un número cualquiera.
m
Un número cualquiera aumentado en siete.
m+7
La diferencia de dos números cualesquiera.
f–q
El doble de un número excedido en cinco.
2x + 5
La división de un número entero entre su antecesor
x ÷ (x – 1)
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La mitad de un número.
D /2
El cuadrado de un número
y2
La semisuma de dos números
(b + c) ÷ 2
Las dos terceras partes de un número disminuidos en
cinco es igual a 12.
2
Tres números naturales consecutivos.
x, x + 1, x + 2.
La parte mayor de 1200, si la menor es w
1200 – w
El cuadrado de un número aumentado en siete.
b2 + 7
/3 (x – 5) = 12
Las tres quintas partes de un número más la mitad de su 3/5p + 1/2(p + 1) =
consecutivo equivalen a tres.
3
El producto de un número con su antecesor equivalen a
30.
x(x – 1) = 30
El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho
número.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS: TÉRMINOS Y POLINOMIOS.
Monomio
Expresiones como: a + b, x(y + z), x3 + 3x2 + 3x + 1, . . . donde aparecen números y letras
combinados con operaciones se llaman expresiones algebraicas.
En expresiones tales como: 3x5, 2b, (x − y)(x + y), a 2  b 2
observamos que las dos primeras expresiones constan de una letra o la potencia de una letra
(x5 y b) multiplicadas por un número real, mientras que en las dos siguientes aparecen otras
operaciones como suma, resta, radicación.
Las expresiones algebraicas formadas por el producto entre un número real y una potencia de
una letra x se denominan monomios en x.
El número real que multiplica a la potencia de x es el coeficiente del monomio y la letra es la
variable. Por ejemplo, 3x5, −x7 son monomios en x, mientras que 3z5, z7 son monomios en z. En
este curso trabajaremos sólo con monomios en la variable x.
Coeficiente:
signo y cifra
+3X5
Letra X es la variable
Un número real es un monomio en el cual la variable x tiene exponente 0: 3 = 3x0, en particular, si el coeficiente es 0 el monomio resulta 0: 0 x2 = 0, 0 x7 = 0.
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MONOMIOS
Las potencias de x también son monomios, con coeficiente 1: x7 = 1 x7.
Llamaremos grado de un monomio al exponente de x, a excepción del monomio 0 al cual no le
asignaremos grado. Ej:
 3x7 es un monomio de grado 7
 8 tiene grado 0 ya que viene de 8x0
 0 no tiene grado.
La multiplicación o producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto
de los coeficientes y el grado es la suma de los grados. Por ejemplo,
3x7· 4x3 = (3 · 4)x7+3 = 12x10.
El cociente entre dos monomios es otro monomio siempre que el grado del monomio divisor
sea menor o igual al grado del otro monomio. En ese caso, el cociente es un monomio cuyo
coeficiente es el cociente entre los coeficientes, y el grado es la diferencia entre los grados.
Por ejemplo:
Si sumamos dos monomios del mismo grado cuyos coeficientes no son opuestos, obtenemos
otro monomio de ese mismo grado cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes:
3x7 + 5x7 = (3 + 5)x7 = 8x7,
mientras que 3x7 + (−3)x7 = 0.
Del mismo modo, si restamos dos monomios distintos del mismo grado obtenemos otro
monomio de ese mismo grado cuyo coeficiente es la resta de los coeficientes:
4x4 − 5x4 = (4 − 5)x4 = −x4.
Pero si sumamos o restamos dos monomios de distinto grado, el resultado no es un monomio.
Por ejemplo x2 + 5x no puede ser expresado como un monomio en x. A este tipo de expresiones
se las denomina polinomios.
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica que resulta de la suma de uno o más monomios de
distinto grado.
Las siguientes expresiones son ejemplos de polinomios en la variable x:
x5 − 2x3 + 8,
3 + 7x2, 5x6.
Para denotar a los polinomios en la variable x usaremos notaciones como P(x), Q(x), R(x), etc.
Llamaremos grado de un polinomio P(x) al mayor de los grados de los monomios que lo componen, y lo denotaremos gr(P(x)). Por ejemplo:
Si P(x) = 2x5−2x3 +8, entonces gr(P(x)) = 5 porque el monomio de mayor grado es 2x5.
Si Q(x) = 7 − 3x15 + 12x2, entonces gr(Q(x)) = 15 porque el monomio de mayor grado es
−3x15.
Igual que para los monomios, no le asignaremos grado al polinomio 0.


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Recordemos que la suma o la resta de dos monomios no siempre es un monomio. Lo mismo ocurre con la división, por ejemplo x2 : x3 no es un monomio. Pero en el conjunto de los polinomios
sí es posible definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en el sentido que
el resultado de estas operaciones entre polinomios es también un polinomio.
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
La suma de dos polinomios es otro polinomio
que se obtiene sumando los monomios del mismo grado.
La resta de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene
restando los monomios del mismo grado.
Notemos que el grado de la suma o de la resta de dos polinomios no puede ser mayor que el
máximo grado entre ambos polinomios. Esto es, si un polinomio tiene grado 5 y el otro tiene
grado 3, la suma y la resta de ambos no puede ser mayor que 5.
Más aún, si dos polinomios tienen distinto grado, entonces la suma y la diferencia de ambos
tiene el grado del polinomio de mayor grado.
Sin embargo, si tenemos dos polinomios del mismo grado, es posible que la suma o que la
diferencia sea de menor grado. Veamos el siguiente ejemplo:
EJEMPLO Dar la suma entre los siguientes polinomios:
P(x) = 3 − 2x + 7x2 + 9x3,
Q(x) = 3 − 2x + 7x2− 9x3.
Entonces:
P(x) + Q(x) = (3 + 3) + (−2x − 2x) + (7x2 + 7x2) + (9x3 − 9x3) = 6 − 4x + 14x2.
Como los monomios de mayor grado de ambos polinomios tienen coeficientes 9 y −9 respectivamente, esto hace que estos monomios se cancelen en la suma, y que el polinomio resultante
tenga grado menor que 3.
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EJEMPLO Calcular la resta entre los siguientes polinomios:
P(x) = 1 − x + 8x4, Q(x) = 3 + 2x + 7x2 + 8x4.
Calculamos,
P(x) − Q(x) = (1 − 3) + (−x − 2x) + (0 − 7x2) + (8x4− 8x4) = −2 − 3x − 7x2.
En este caso, los monomios de mayor grado tienen el mismo coeficiente, luego la resta entre
ambos polinomios tiene grado menor que 4.
TRABAJO PRACTICO Nº 11
1) (4X4+X3+2X2-X+1) + (5X2-2X+3)=
2) (-X4+5X2-3X-1) - (5X4+3X3-X2-2X+3)=
3) (-3X4-4X3-1) + (-X4+4X3+2X2+X+1)=
4) (4X2+6X+3) - (5X4-5X2+4X-3)=
5) (X2+2XY+Y2)+(X2-Y2)=
6) Dados P(x)= 2x5+4x4-x3-3x2+2) y q(x)= -2x5+3x4+x3+3x2+x-2 realizar las siguientes operaciones:
a) P(x) - Q(x)
b) Q(x) - P(x)
c) Q(x) + P(x)
d) P(x) + (Q(x)
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
La multiplicación de dos polinomios es otro polinomio
que se obtiene multiplicando todos los monomios de uno por todos los monomios del otro.
Esto no es una regla arbitraria sino que resulta de aplicar la propiedad de distributividad de la
multiplicación respecto de la suma. Por ejemplo, tomemos P(x) = 2+x2 y Q(x) = 3+x+x3.
Notemos que el grado de la multiplicación de dos polinomios es siempre la suma de los grados
de los dos polinomios, a menos que uno de los dos sea el polinomio nulo.
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