Teoría y actividades

ECUACIONES DIFERENCIALES
Se denomina Ecuación Diferencial a una ecuación que contiene derivadas de una función f dependiente de una
variable x. Si sólo contiene derivadas primeras se dice que es de primer orden. Si además contiene alguna
derivada segunda se dice que es de segundo orden, y así sucesivamente. Se debe tener en cuenta que la solucion
de la ecuacion diferencial es la funcion f que aparece en ella y no un numero. Esta funcion-solucion depende de
un numero de constantes igual al orden de la ecuación diferencial denominandose solucion general. El
conocimiento de ciertas caracteristicas que debe cumplir la solucion exigida nos permite calcular las
denominadas soluciones particulares.
Se denomina grado de una ecuación diferencial al grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella.
En este curso estudiaremos un tipo de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado ( las de variables
separadas) que pueden ser resueltas haciendo uso de tus conocimientos de cálculo de primitivas.
I) Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Haciendo f(x)=y , y considerando que y`= dy/dx ,una ecuación diferencial de primer orden y primer grado
cualquiera siempre puede escribirse en la forma
M(x,y) dx + N(x,y) dy =0
2
f(x) 
1/y dy + ((-2)/x-1) dx =0
x 1
Una ecuación diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy =0 es exacta si existe una función μ(x,y) que verifique
Ejemplo f’(x) =
M(x,y) dx + N(x,y) dy=d μ(x,y)
En ese caso μ(x,y)=C , con C igual a una constante, será la solución general de la ecuación diferencial.
Soluciones particulares se obtendrán asignando valores a la C para que se verifiquen determinados
comportamientos de la función y=f(x).
3x2y2 dx + 2x3y dy = 0 es exacta ya que se cumple que d(x3y2)= 3x2y2 dx + 2x3y dy. Por tanto x3y2=C es la
solución general de esa ecuación diferencial.
La conversión de una ecuación diferencial en exacta para su resolución puede hacerse en muchos casos mediante
los llamados factores integrantes.
3y dx + 2x dy =0 no es una ecuación diferencial exacta pero si se multiplica por x2y se obtiene
3x2y2 dx + 2x3y dy=0 que es exacta. x2y se dice que es el factor integrante de 3y dx + 2x dy =0.
II) Ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separadas.
1) Definición: Se llama «ecuación diferencial de primer orden con variables separadas » a toda ecuación
en la que la incógnita es una función f derivable y que se ajusta al siguiente formato:
f’(x).g(f(x)) = a(x)
Donde a y g son respectivamente funciones continuas en intervalos I y J respectivamente.
Haciendo f(x)=y entonces f’(x)=dy/dx .Por tanto el formato de ecuación anterior se puede expresar como
g(y).dy =a(x).dx que es otra manera de reconocer una ecuación diferencial de variables separadas.
Si la ecuación diferencial puede expresarse de esta forma estaremos ante una ecuación diferencial de
variables separadas y de primer orden.
2) Cálculo de solución: Tomando integrales en la ecuación diferencial de variables separadas escrita en la
forma g(y).dy =a(x).dx y siendo G y A primitivas de g y f respectivamente,se obtiene G(y) = A(x)+C.
Despejando ‘y ‘ se llega a la denominada solución general
y= f(x)= H(x)+C
Una solución particular se obtendrá por verificación de la condición f(x0)= y0 que nos permitirá calcular un
valor para C.
3) Diferentes notaciones y resolución de un tipo concreto de ecuación diferencial
Formas alternativas de escribirla
Suponiendo que T es función de t
b) Résolucion: (E):
y'
dT
= a(x)
 T.a(t) Suponiendo que y es función de x
y
dt
f ' ( x)
= a(x) 
f ( x)



 

 (haciendo C =  ek )
A recordar
f ' ( x)
= a(x)
f ( x)
f ' ( x)
= a(x)
f ( x)
con A primitiva de a en R.
 (x 0 ;y 0 )  R  R * , existe una única función f solución de
tal que que f(x0) = y0 , y es de la forma: f(x) = CeA(x)
Vocabulario: Se dice que f(x) = CeA(x) es la forma general de las soluciones de
f ' ( x)
= a(x)
f ( x)
Actividad 1 :
Comprueba que una ecuación diferencial expresable como f(x)g(y) dx + h(x) t(y) dy =0 es de variables
separadas si se usa como factor integrante 1/(g(y). h(x)).
Actividad 2 : En los ejemplos siguientes todas las ecuaciones diferenciales son de variables separadas a
excepción de la 10) del bloque e).
i) Demuestra que las anteriores se pueden escribir en la forma g(y).dy =a(x).dx y ésta no.
ii) Determina en cada caso la función f solución de la ‘ecuación diferencial’.Indica el intervalo sobre el
que está definida y es derivable.:
a)
1) f’(x) = x+1
2) f’(x) = x+
1
x
y f(1) = -2
y f(1) =
1
2
2
x  4x  4
3) f’(x) =
x3
y f(0) = 0
b)
1) 2.f(x).f’(x) = 3
y i) f(1) = 2
ii) f(1) = -1
2) f(x).f’(x) = x+1
y i) f(-1) = 1
ii) f(2) = -7
3) f(x).f’(x) =
1
x
y f’(1) = 1
c)
1) 3.f2(x).f’(x) = 3
y f(0) = 1
2) f2(x).f’(x) = x2-x
y f(-1) = 0
3) f2(x).f’(x) =
d)
1
x2
y f’(1) = 2
1) f’(x).ef(x) = x
y f(0) = ln2
2) f’(x) = e2x+1.e-f(x)
e)
1)
f ' ( x)
= 2x - 1
f ( x)
y i) f(0) = 1
2) f’(x) =
2
f(x)
x 1
3) f’(x) =
x
f(x)
x 1
en  - 1 ; +  
4) f’(x) =
2x  1
f(x)
x2
en  -  ; - 2 
5)
f ' ( x)
x
= 2
f ( x)
x 1
6) f' (x) 
(6x  3)f(x)
x 2  x 1
ii) f(0) = -2
en  1 ; +  
y i) f(1) = 1
y f(0) =1 000
7)
f ' ( x)
= ex+1
f ( x)
y f’(0) = 1
8)
f' (x)
=x
f(x)  3
y f(0) = -2
1
3
9) 3.f’(x) = - f(x) + 2
y f(0) = 
10) f’(x) - 1 = x - f(x)
y f(0) = -10
ii) f(1) = -1
y f(0) = 1
Actividad 3 :Détermina la forma general de las soluciones de las ecuaciones diferenciales
siguientes
1) f’(x) = f(x).lnx
3) f’(x) = f(x).sinx
2) f’(x) = x f(x) - 5x
4) f’(x) + 2x.sinx.f(x) = x.sinx.f(x)
II) Ecuaciones diferenciales de 2º orden de la forme: f’’(x) = -.f(x) :
1) Ejercicio: . ;  et  son números reales.
Verficar que f(x) = .sinx + .cosx

 .f(x)
es la forma general de las soluciones de f’’(x) = -
2) Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) y’’ = -y et y(0) = 0 et y( ) = 1
2


2) y’’ = -9y et y( ) = 1 et y( ) = 1
3
6
1

3
3) 4y’’ = - y et y( ) =
et y( ) = 0
2
2
2
III) Ejercicios:
1) Se considera una función de variable real f definida en
( x + 1 ).f’(x) = x.f(x)
y que verifica la condición f(1) =
 1 ;    solución de la ecuación diferencial
e
2
a) Determinar una expresión de f
b) Calcular una ecuación de la recta tangente à la representacion gráfica de f en el punto x=1.
2)Sea la ecuación diferencial f’(x) =
xf(x)
x2  5
a) Demostrar que toda solución de la ecuación tiene un extremo en x = 0
b) Encontrar la solución de la ecuación anterior cuya gráfica pase por ( 2 ; 6 )
c) Estudiar la existencia de asíntotas oblicuas para la solución obtenida en b).
3) En un lago el número de peces depende del tiempo t (expresado en años) según la ecuación diferencial
y’ = 0,3y - 0,06ty
a) Mostar que la cantidad de peces es máxima al cabo de 5 años.
b) Forma general de las soluciones de la ecuación diferencial dada.
c) en t =0 el número de peces es 1000. ¿Al cabo de cuantos años se reducirá a la mitad ?
4) Una población de ratas de campo crece con el tiempo t según lo indicado en la ecuación 7f’(t) - f(t)=0 donde
f(t) es la cantidad de ratas en función del tiempo (expresado en años)
i) Si en el momento t = 0 , la población de ratas era de 1 000 individuos determinar f(t).
ii)¿Al cabo de cuántos años la población se cuadriplicará ?
En realidad los gatos impiden ese crecimiento al alimentarse de estas ratas. La población de ratas sigue esta ley
t
de crecimiento g(t) =
4 000 e 7
t
7
con g(t) la cantidad de ratas dependiente del tiempo t (dado en años). Calcula
e 3
el límite de la población de ratas a medida que el tiempo pasa indefinidamente.
5) El aire de una sala contiene 0,3% de CO2 cuando se activa el sistema de ventilación. Este
introduce aire fresco con un 0,03% de CO2 , y extrae el aire de la habitación a una velocidad tal que
la concentración de CO2 (x) en la sala después de t minutos vienen dada por la ecuación:
dx
x
 0,003
dt
10
a) Expresa x en función de t
b) ¿Cuál es la concentración de CO2 10 minutos después de conectar la ventilación ?
c) Sabiendo que el sistema de ventilación se para automáticamente cuandoi la concentración de CO2
desciende al 0,05% , ¿cuánto tiempo estará en marcha ?
6) Determina la función f : x
f(0) = 0
f(x) que satisface las siguientes condiciones: a) Su dominio es R b)
10
c)  x  R : f(x) <
f(x) verifica la ecuación diferencial 5 f’(x) + 3 f(x) = 10
3
7) Resuelve la ecuación diferencial ( 4x - x2 + 3 )
y =7
dy
= 4 - 2x
dx
sabien do que para x=0 se cumple que
8) La población P de conejos de Europa varía siguiendo la siguiente ecuación diferencial
dP
= 0,03P
(t está expresado en años)
dt
Si había1,5.107 conejos en Europa en 1998 (t = 0), determina:
i) P en función de t
ii) La población de conejos en el año 2018
iii) El año en el que la población de conejos se duplica en relación a 1998
Ex 2:
D’après une étude sur la croissance d’une espèce de truites, il a été établi que leur longueur f(t) ,
exprimée en centimètres en fonction de leur âge t en mois, vérifie l’équation différentielle:
5 f’(t) = 23 - f(t)
et que leur longueur à la naissance est 0,4 centimètre
a) Déterminer f(t)
b) Si f(t) = 23 - 22,6 e-0,2t
i) Calculer la longueur des truites après 10 mois
ii) A quel âge les truites auront-elles une longueur de 11,7 cm ?
Une bille de fer chaude est refroidie dans l’air. L’air est à la température constante de 20° C
Ex 3:
La température T (en °C ) de la bille de fer en fonction du temps t (en sec) est donnée par
dT
l’équation différentielle:
= - p(T - 20)
(p est une constante positive)
dt
a) Déterminer la solution générale de l’équation différentielle
Supposons maintenant que la température à l’instant t = 0 de la bille de fer soit égale à 400°C
b) Déterminer dans ce cas la solution de l’équation différentielle
c) Si pour t = 0 ,
dT
=-2
dt
i) Calculer la valeur de la constante p
ii) Calculer à quel instant t la bille aura une température de 30°C
Ex 4:
Lors de la dissolution d’une substance dans l’eau, la quantité m en grammes de substance non
dm km(m  20)
dissoute, après t heures est donnée par: (E)
( k est une constante)

dt
100
1) Déterminer les réels a et b tels que:  x  R - - 20 ; 0 
2)a) Utiliser 1) pour déterminer la solution générale de (E)
b) Déterminer m(t) , sachant qu’à l’instant t = 0 , m = 30
et que 10 grammes se sont dissous en 2 h
1
a
b
 
x(x  20) x x  20