tema 2.- ecuaciones lineales

TEMA 2
ECUACIONES LINEALES.
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2.1.- PROFUNDIZACIÓN EN EL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES.
Propósito: Que los alumnos adquieran una mejor comprensión del álgebra y mejoren su
habilidad en el manejo de los procedimientos algebraicos, así como familiarizarse con
términos que se utilizan en el cálculo algebraico.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo se cumple para
algunos valores de las incógnitas. Si la ecuación contiene sólo una variable o incógnita con
exponente 1, se llama ecuación lineal o de primer grado con una incógnita. En una
ecuación, la expresión algebraica del lado izquierdo del signo igual se llama primer
miembro y la del lado derecho se llama segundo miembro.
2 x + 3 = 98 + 3x
PRIMER MIEMBRO
SEGUNDO MIEMBRO
La resolución de una ecuación lineal con una incógnita es un procedimiento que se basa,
fundamentalmente, en la propiedad de la igualdad que establece que:
“Si a los miembros de una igualdad se realizan las mismas operaciones, se obtiene una
nueva igualdad”.
Esta propiedad permite dar un enunciado que simplifica su aplicación:
Cualquier término o factor de un miembro en una igualdad puede pasar al otro
miembro si se cambia en la operación contraria a la que realizaba.
Las ecuaciones lineales con una incógnita más sencillas son de la forma ax + b = c
Ejemplo: -2x + 7 = -6
La solución se obtiene en dos pasos.
1.- Restando 7 de los dos miembros.
2.- Dividiendo entre el coeficiente de x.
Ejemplo: Los siguientes problemas se resuelven con una ecuación lineal.
- Juan nació cuando su mamá tenía 28 años. Actualmente, la edad de la mamá de Juan es el
triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan?
- Resolver la ecuación 3x -5 = 7 + 5x
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Ejercicio: Anota en tu cuaderno las siguientes ecuaciones y halla su solución.
a).- x-7 = 13
b).- 4z = -28
c).- k + 6 = -2
d).- 2y + 7 – 3y = 6 – 2y – 2
 ECUACIONES CON PARÉNTESIS
Si las ecuaciones contienen paréntesis, éstos se eliminan realizando las operaciones que
estén indicadas, como en los siguientes casos:
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación 4x – 2 – (5x + 1) = -(2x – 9).
 Cuando el signo (-) antecede a un paréntesis, los signos de los términos que están
dentro cambian.
 Se reducen términos semejantes.
 Se suma 2x y 3 en ambos miembros.
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación 5x – 2(x-1) = 4(x + 7).
 El número que antecede al paréntesis se multiplica por los términos que se
encuentran dentro.
 Se reducen los términos semejantes en cada miembro.
 Cuando se restan 4x y 2 en ambos miembros, se obtiene –x = 26.
 Se multiplican por -1 ambos miembros y se obtiene x = -26.
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación 2x + [5x – 6(-x – 2) – 1] = -[3 – 2x-(2x – 4)].
 Primero se eliminan los paréntesis internos. En este caso se multiplica -6(-x – 2) y
se cambian los signos de los términos (2x – 4), que es un paréntesis precedido por el
signo (-).
 El signo + que precede a [5x + 6x + 12 –1] no afecta los términos que están dentro,
pero el signo – de [3 – 2x – 2x + 4] hace que los términos cambien su signo.
 Se reducen términos semejantes.
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 Se resta 11 y 4x en ambos miembros y queda 9x = -18.
 Cuando se divide entre 9 a ambos miembros se obtiene x = -2.
Ejemplo: Encuentra tres números enteros consecutivos que sumen 108.
Ejemplo: Un tren salió de una ciudad a una velocidad de 50 km por hora. Tres horas más
tarde salió otro del mismo punto y en la misma dirección. Si el segundo tren iba a 75 km
por hora, ¿cuánto tiempo tardó en alcanzar al primero?
A veces, las ecuaciones son fórmulas con diferentes variables. Generalmente se les llama
ecuaciones literales. Estas se resuelven para una de esas variables, despejándola. Todo el
procedimiento que se sigue es el mismo.
Ejemplo: Resuelve para F la siguiente ecuación 9 (C + 40) = 5 (F + 40).
Recuerda que: Para resolver ecuaciones con paréntesis procedemos así:
1°.- Suprimimos los paréntesis.
2°.- Resolvemos la ecuación que resulta.
- Al suprimir los paréntesis, nos fijamos qué operación está indicada. Si es suma, los
suprimimos sin ningún cambio. Si es resta, los suprimimos cambiando el signo a todos los
términos del paréntesis. Si es multiplicación, los suprimimos aplicando la propiedad
distributiva.
Ejemplo: Resolver la ecuación 27x – (3x – 9) = 3(x + 10).
Ejercicio: Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones.
a).- (3x + 4) + x = 2x – 5
b).- 9m – (m – 4) = 3 + (m – 6)
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c).- -10x = -6(4 + 3x)
d).- 2x + 3(x – 2) = 18
e).- -(4x – 17) = 6(x – 3)
f).- 4(x -2) = -5(x +12)
 Actividad: Resolver los problemas (LM págs. 169).
 Actividad: Fórmulas (FAD págs. 88 y 89).
 Actividad: Resolver ejercicios semejantes a los ejemplos (LM págs. 170).
 ECUACIONES CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS
Una ecuación con coeficientes fraccionarios se resuelve multiplicando ambos miembros
de ésta por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Ejemplo: Resolvamos la siguiente ecuación
x 5 x
+ + =5
2 6 3
 Primero se encuentra el mcm de los denominadores.
 Luego se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mcm de los
denominadores.
 Cuando el mcm se multiplica por cada término, los coeficientes se transforman en
fracciones impropias. Estas fracciones se pueden convertir en enteros.
 En la última ecuación han desaparecido los denominadores y podemos despejar x.
Se resolverán algunos problemas, a manera de ejemplo, que requieran ecuaciones lineales
con coeficientes fraccionarios.
Ejemplo: Un problema del papiro matemático Rhind (1800 a. n. e) dice: “Una cantidad
más su sétima parte es 19”.
Ejemplo: La tercera parte de un ángulo sumada con 9° es igual a la quinta parte del mismo
ángulo sumado en 11°. ¿Cuál es el valor del ángulo?
El proceso de resolución de una ecuación de primer grado se basa en aplicar
procedimientos algebraicos que van transformando la ecuación original en otras más
simples.
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Recuerda que: Para resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios procedemos así:
1º.- Multiplicamos toda la ecuación por el menor denominador común para quitar
denominadores.
2º.- Ya convertida la ecuación a expresiones enteras, seguimos el procedimiento conocido
hasta despejar la variable.
Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones con fracciones.
a).-
x 7
+
1 = 12
2 3
b).-
2x + 7
=x
4
3
4
c).-
3x
7
x
= 52
6
d).-
2x
=6
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 ECUACIONES QUE SE REDUCEN A LINEALES, PREVIAS
TRANSFROMACIONES ALGEBRAICAS
Algunas ecuaciones aparentemente no son lineales porque la incógnita se encuentra elevada
a un exponente mayor que 1 o aparece en el denominador de una fracción; para resolverlas,
es necesario realizar operaciones que no alteren la igualdad.
Ejemplo: Resolver la ecuación 2x (x + 5) = -x (10 – 2x) + 100
Ejemplo: Resolver la ecuación 5 (x + a) = 10 (x – 2a)
Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones.
a).- x2 – 2x + 15 = x + x2 – 3
b).- -2m2 – 3m = m (-2x – 6) – 930
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c).- (w – 1) (w + 1) = w2 – 2w + 3
d).- (a + 8)2 + 12 = (-a – 2)2 – 5
PROBLEMAS
Cuando un problema se resuelve sólo con números, se dice se emplea el método
aritmético. Si se resuelve utilizando ecuaciones, se dice que se emplea el método
algebraico. Resolvamos los siguientes problemas por el método algebraico.
Ejemplo: Un padre tiene 3 veces la edad de su hijo más 11 años. Si tiene 32 años, ¿cuál es
la edad de su hijo?
Ejemplo: Hallar el valor de tres ángulos A, B y C de un triángulo, si se sabe que B es 2/3
de A y C es 5/6 de A. ¿Cuánto mide cada uno de ellos?
Ejercicio: Resuelve los siguientes problemas usando el método algebraico.
a).- Se tienen dos ángulos suplementarios (que suman 180°). Si uno es cuatro veces mayor
que el otro, ¿cuántos grados mide cada ángulo?
b).- La suma de las edades de tres hermanos es 49 años. Si el segundo es 5 años mayor que
el primero y la edad del tercero es 4 años menos que el doble de la edad del primero. ¿Cuál
es la edad de cada uno?
c).- tres personas heredan una finca. La herencia asigna a la primera 1/3 más 80 hectáreas; a
la segunda, ¼ más 20 hectáreas y a la tercera ¼ parte. ¿Cuál es la extensión de la finca?
¿Qué parte de finca corresponde a cada persona?
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