Algebra Booleana

Algebra Booleana
Indice
1. Introducción
2. Reseña Histórica
3. Álgebra Booleana
4. Álgebra Booleana y circuitos electrónicos
5. Circuitos Combinacionales
6. Relación entre la lógica combinacional y secuencial con la programación
7. Los Teoremas Básicos Del Algebra Booleana
8. Bibliografía
1. Introducción
Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole , constituyen
un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento
de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y
computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica
digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los
componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales
generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en
la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.
En el presente trabajo se intenta dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan
las funciones booleanas,
haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas
canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para varios propósitos, tales como el de
determinar si dos expresiones representan o no la misma función. Pero para otros propósitos
son a menudo engorrosas, por tener más operaciones que las necesarias. Particularmente,
cuando estamos construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones
booleanas, el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudo
crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos funciones
las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor tiempo.
Como solución a este problema, se plantea un método de simplificación, que hace uso de unos
diagramas especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación
de poder trabajar adecuadamente sólo con pocas variables.
Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra
de boole y la lógica proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificación
presentado en la lógica de proposiciones.
2. Reseña Histórica
A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical
Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea
de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las
proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que
únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas
posibles sean Sí/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante
símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus
salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta
con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al
conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.
A mediados del siglo XX el álgebra Booleana resultó de una gran importancia práctica,
importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros días, en el manejo de información
digital (por eso hablamos de Lógica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su
teoría de la codificación y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que
define la estructura interna de los ordenadores desde la primera generación.
Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus
entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden
ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se
puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional,
también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para
obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana.
Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.
Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas
mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o
electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida)
también binaria o lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor),
Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador) , Nivel Lógico 0/Nivel
lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), etcétera.
Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o
compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores. Estos
dispositivos, y otros que veremos a lo largo de esta unidad, son los que permiten el diseño, y la
ulterior implementación, de los circuitos de cualquier ordenador moderno, así como de muchos
de los elementos físicos que permiten la existencia de las telecomunicaciones modernas, el
control de máquinas, etcétera. De hecho, pensando en los ordenadores como una jerarquía de
niveles, la base o nivel inferior sería ocupada por la lógica digital (en el nivel más alto del
ordenador encontraríamos los actuales lenguajes de programación de alto nivel).
En esta unidad se representan las puertas lógicas elementales, algunas puertas complejas y
algunos ejemplos de circuitos digitales simples, así como algunas cuestiones de notación. Por
otra parte se plantean actividades de trabajo, muchas de las cuales implican una respuesta
escrita en vuestro cuaderno de trabajo. El deseo del autor es que os resulte sencillo y ameno
adentraros en el mundo de la lógica digital y despertaros la curiosidad, tanto por ella, como por
la matemática que subyace en ella.
3. Álgebra Booleana
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno
(falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de
entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos
entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden
deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a
menudo emplea los siguientes postulados:



Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario
si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para
todos los posibles valores de A y B.
Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C)
para todos los valores booleanos A, B, y C.



Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º
B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a
un operador binario " º " si A º I = A.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador
booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y
valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a
éstos valores respectivamente como falso y verdadero.
- El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de
una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND
entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.
- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR
entre A y B, también llamada la suma de A y B.
- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el
símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de
A.
- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la
expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor,
paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador
lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma
procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico
NOT es asociativo por la derecha.
Utilizaremos además los siguientes postulados:






P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No
existe elemento de identidad para el operador NOT
P3 Los operadores · y + son conmutativos.
P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y
A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).
P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el
complemento lógico de A.
P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).
Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados,
además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los
cuales podemos mencionar los siguientes:
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



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

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Teorema 1: A + A = A
Teorema 2: A · A = A
Teorema 3: A + 0 = A
Teorema 4: A · 1 = A
Teorema 5: A · 0 = 0
Teorema 6: A + 1 = 1
Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
Teorema 9: A + A · B = A
Teorema 10: A · (A + B) = A
Teorema 11: A + A'B = A + B
Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
Teorema 13: AB + AB' = A
Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
Teorema 15: A + A' = 1
Teorema 16: A · A' = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al
matemático que los descubrió.
Características:
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos
aditiva (que representaremos por x
+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo
parámetro) que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
Y 3- Tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
Propiedades Del Álgebra De Boole
1. Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
Maximalidad del 1: x + 1 = 1
Minimalidad del 0: x0 = 0
Involución: x'' = x
Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'
Función Booleana
Una función booleana es una aplicación de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos
elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.
Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede
votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el
numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.
Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.
Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las
variables o sus negaciones.
El número posible de casos es 2n.
Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles
casos son:
Votos
Resultado
ABCD
1111
1
1110
1
1101
1
1100
0
1011
1
1010
0
1001
0
1000
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
0
1
0
0
0
0
0
0
0
Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos
(minterms) iguales a 1.
En nuestro ejemplo la función booleana será:
f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD
Diagramas De Karnaugh
Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas.
Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes,
siempre que el número de 1 sea potencia de 2.
En esta página tienes un programa para minimización de funciones booleanas mediante mapas
de Karnaugh
4. Álgebra Booleana y circuitos electrónicos
La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho
se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de
compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y
viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT
podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las
compuertas lógicas homónimas
Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando
una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND
Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas
NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una
compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar
cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para
construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta
NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo
invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es
equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una
sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando
compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta
que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, ésto es sencillo si utilizamos los
teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos
los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión:
A OR B
A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan
A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan
(A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan
(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND
Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos
buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en
segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos.
Observe que es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo
NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal
entre la correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en
muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.
5. Circuitos Combinacionales
Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND,
OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una
función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones
booleanas diferentes, es muy importante recordar éste echo, cada salida representa una
función booleana diferente.
Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se
trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se
deben iluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo
anterior, se deben implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento.
Las cuatro entradas para cada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un
número binario en el rango de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de
bajo orden, cada función lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una
entrada dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e
debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000.
En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor de
entrada, tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el rango de 0 a 9, los
decodificadores para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad para
desplegar valores adicionales que corresponden a las letras A a la F para representaciones
hexadecimales, sin embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a
la aquí representada para los valores numéricos.
0
a
1
b
c
b
c
2
a
b
3
a
b
c
b
c
4
5
a
6
d
e
d
e
f
g
d
g
f
g
f
g
c
d
c
d
e
f
g
d
e
f
g
f
g
7
a
b
c
8
a
b
c
9
a
b
c
Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cómputo
básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas
otras aplicaciones más.
Circuitos Secuenciales
Un problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría, todas las funciones
de salida en un circuito combinacional dependen del estado actual de los valores de entrada,
cualquier cambio en los valores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo
llamado retardo de propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras
requieren de la habilidad para "recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es el dominio
de la lógica secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrónico que recuerda un valor
de entrada después que dicho valor ha desaparecido. La unidad de memoria más básica es el
flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bit sencillo es importante, la mayoría de los sistemas de
cómputo requieren recordar un grupo de bits, ésto se logra combinando varios flip-flop en
paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre de registro. A partir de aquí es posible
implementar diferentes circuitos como registros de corrimiento y contadores, éstos últimos
también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementos mencionados es posible
construir un microprocesador completo.
6. Relación entre la lógica combinacional y secuencial con la programación
En ésta lección hemos dado una repasada muy básica a los elementos que forman la base de
los modernos sistemas de cómputo, en la sección dedicada al diseño electrónico estudiaremos
a profundidad los conceptos aquí presentados, pero para aquellos que están más interesados
en el aspecto programático podemos decir que con los elementos vistos en ésta lección es
posible implementar máquinas de estado, sin embargo la moraleja de ésta lección es muy
importante: cualquier algoritmo que podamos implementar en software, lo podemos a su vez
implementar directamente en hardware. Ésto sugiere que la lógica booleana es la base
computacional en los modernos sistemas de cómputo actuales. Cualquier programa que Usted
escriba, independientemente del lenguaje que utilice, sea éste de alto ó bajo nivel, se puede
especificar como una secuencia de ecuaciones booleanas.
Un hecho igualmente interesante es el punto de vista opuesto, es posible implementar
cualquier función de hardware directamente en software, en la actualidad ésta es la función
principal del lenguaje ensamblador y otros con capacidad de trabajar directamente en
hardware, como el C y el C++. Las consecuencias de éste fenómeno apenas se están
explotando, se infiere la existencia de un futuro muy prometedor para el profesional de la
programación, especialmente aquellos dedicados a los sistemas incrustados (embedded
systems), los microcontroladores y los profesionales dedicados a la Programación Orientada a
Objetos. Para tener éxito en éstos campos de la investigación es fundamental comprender las
funciones booleanas y la manera de implementarlas en software. Aún y cuando Usted no
desee trabajar en hardware, es importante conocer las funciones booleanas ya que muchos
lenguajes de alto nivel procesan expresiones booleanas, como es el caso de los enunciados ifthen ó los bucles while.
7. Los Teoremas Básicos Del Algebra Booleana
Los Teoremas Básicos del álgebra Booleana son:
TEOREMA 1
Ley Distributiva
A (B+C) = AB+AC
A B C B+C AB AC AB+AC
A (B+C)
0 0 0 0
0
0
0
0
0 0 1 1
0
0
0
0
0 1 0 1
0
0
0
0
0 1 1 1
0
0
0
0
1 0 0 0
0
0
0
0
1 0 1 1
0
1
1
1
1 1 0 1
1
0
1
1
1 1 1 1
1
1
1
1
TEOREMA 2
A+A = A
AA = A
A A A+A
0 0 0
1 1 1
A A AA
0 0 0
1 1 1
TEOREMA 3
Redundancia
A+AB = A
A B AB X
0 0 0
0
0 1 0
0
1 0 0
1
1 1 1
1
A (A+B) = A
A B A+B X
0 0 0
0
0 1 1
0
1 0 1
0
1 1 1
1
TEOREMA 4
0+A = A
Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra
A B=0 X
0 0
0
1 0
1
1A = A
Equivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1
A B=1 X
0 1
0
1 1
1
1+A = 1
A B=1 X
0 1
1
1 1
1
0A = 0
A B=0 X
0 0
0
1 0
0
8. Bibliografía
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Matemática discreta Kolmant
http://es.software.yahoo.com/fot/ftxt/karmap.html
http://www.terra.es/personal/jftjft/ algebra/boole/algboole.htm
http://www.terra.es/personal/jftjft/algebra/ boole/introduccion.htm
http://es.dir.yahoo.com/ciencia_y_tecnologia/ matematicas/algebra/algebra_de_boole/
http://es.dir.yahoo.com/ciencia_y_tecnologia/ matematicas/algebra/algebra_de_boole
http://www.conocimientosweb.net/portal/directorio
http://www.zabalnet.com/intro/cursos/03_algebra.htm
http://www.inf.ufsc.br/ine5365/algboole.html
http://www.ncc.up.pt/~zp/aulas/9899/me/trabalhos/
alunos/circuitos_logicos/algboole.html
http://buscador.hispavista.es/logica--algebra-de-boole
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Trujillo-Perú
2003