DIRECCION GENERAL DE EDUCACION TECNOLOGICA INDUSTRIAL DIRECCION TECNICA SUBDIRECCION ACADEMICA DEPARTAMENTO DE PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO ALGEBRA GUIA DE ESTUDIO CICLO AGOSTO – ENERO 2015 Álgebra . INTRODUCCIÓN El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. El concepto de la cantidad en algebra es mucho mas amplio que en aritmética. En aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. En algebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. LENGUAJE ALGEBRAICO El álgebra es un lenguaje construido con la combinación de símbolos, generalmente letras, números y los signos de operación; su finalidad es representar expresiones y cantidades de manera abreviada. Tal combinación recibe el nombre de Expresiones Algebraicas. Traducción de enunciados del lenguaje común al lenguaje algebraico En la siguiente tabla se presentan varios ejemplos de enunciados en lenguaje común y la expresión que le corresponde en lenguaje algebraico: Lenguaje común La mitad del cuadrado de un número El cuadrado de la mitad de un número La suma de dos números al cuadrado El cuadrado de la suma de dos números El producto de la suma de dos números por su diferencia Lenguaje algebraico x2 2 2 z 2 a2 b2 a b2 x ax a Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados: El doble de un número más tres. El doble del cubo de un número. El triple del cuadrado de un número. El cuadrado de un número menos el triple. La cuarta parte del doble de un número Elevado al cuadrado. Cinco veces un número menos tres. La tercera parte del cubo de la suma de dos números. Expresa el significado de las siguientes expresiones algebraicas en lenguaje común 3x 5 4x 7 3x 2 x 2 2x 5 x 2 2x x 3 3x 1 5 x 2 3x 5 x 9 5 NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN Notación algebraica Los símbolos usados en algebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas generalmente se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, …. Las cantidades desconocidas se representan por las ultimas letras del alfabeto: u, v, w, x. y, z. Exponente signo 3x Coeficiente 4 3a Variable 2 NUMEROS COMPLEJOS NUMEROS REALES NUMEROS RACIONALES NUMEROS IRRACIONALES ENTEROS ENTEROS NEGATIVOS CERO ENTEROS POSITIVOS Ó NATURALES NUMEROS PRIMOS Ejemplo: Consideremos el conjunto de números siguiente: 1 6, 0.5, 4 , 96, 2 4 3, 0, 9, , 2.9, 7 7, 5 Enumeremos los elementos del conjunto que sean: a) b) c) d) e) Números naturales Números completos Enteros Números racionales Números irracionales f) Números reales 9 0, 9 -6, -96, 0, 9 -6, -0.5, 4 ½, -96, 0, 9, -2.9 3, 7 , 5 1 4 6, 0.5, 4 , 96, 3 , 0, 9, , 2.9, 7 , 5 2 7 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número puede considerarse como la distancia entre el número y el cero (0) en la recta numérica. 3 3 3u y 3 3 3u -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 OPERACIONES BÁSICAS O FUNDAMENTALES Operaciones Básicas Sum a Re sta Multiplicación División Potenciación Radicación SUMA ALGEBRAICA NUMEROS REALES (+) Para sumar números reales con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), Sume sus valores absolutos. La suma tiene el mismo signo que los números sumados. 4 8 4 8 12 6 9 6 9 6 9 15 Com o son negativosel resultado es negativo 6 9 15 Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y otro negativo), determine la diferencia entre el valor absoluto mayor y el valor absoluto menor. La respuesta tiene el signo del número con mayor valor absoluto. Sum em os 6 10 10 6 10 6 4 Com o 10 es m ayor que 6 y 10 es positivo el resultado es positivo 6 10 4 12 (18) 18 12 18 12 6 Com o 18 es m ayor que 12 y el signo de 18 esegativo la sum a es negativa: 12 18 6 Dos números cualesquiera Cuya suma es igual a 0 (cero) son opuestos (o inversos aditivos) entre sí. En general, si a representa cualquier número real, entonces su opuesto es –a ya que a + (-a) = 0 Ej. La suma de 5 y -5 es cero. Así que -5 esa el opuesto de 5 y 5 es el opuesto de -5 Ejercicios P. 35 RESTA DE NUMEROS REALES ( - ) En general si a y b representan dos números reales cualesquiera, entonces: a b a b Evaluem os 9 4 Estamos restando un 4 positivo a 9. Para hacerlo sumemos el opuesto de +4, que es -4 a 9 9 Re star 4 9 positivo Sum ar 4 negativo Ejercicios p. 42 MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS REALES , , , El producto de dos números con signos iguales es un número positivo. El producto de dos números con signos distintos es un número negativo. Ej. 3 5 15 67 42 7 5 35 43 12 DIVISIÓN , , / El cociente de dos números con signos iguales es un número positivo. El cociente de dos números con signos distintos es un número negativo. 20 20 5 4 5 36 36 4 9 4 Ej: 30 30 5 6 5 16 16 2 8 2 Signos de los números Ambos números positivos Ej. 6 y 2 2y6 SUMA La siempre positiva suma es 62 8 26 8 Un número La suma puede positivo y el ser positiva o otro negativo negativa Ej. 6 y -2 -6 y 2 6 2 4 6 2 4 Ambos La números son siempre negativos negativa Ej. -6 y -2 -2 y -6 suma es 6 2 8 2 6 8 RESTA MULTIPLICA DIVISIÓN CIÓN La diferencia El producto El cociente puede ser siempre será siempre es positiva o positivo positivo negativa 62 3 6 2 12 62 4 1 2 6 12 26 2 6 4 3 La diferencia El producto El cociente pude ser siempre es siempre es positiva o negativo negativo negativa 6 2 12 6 2 3 6 2 8 6 2 3 62 12 6 2 8 La diferencia El producto El cociente puede ser siempre es siempre es positiva o positivo positivo negativa 6 2 12 6 2 3 6 2 4 2 6 12 1 2 6 2 6 4 3 REGLA DE LOS SIGNOS PARA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Signosigualesdancom oresultado productosy cocientespositivos Signosdist int os dancom oresultado productosy cocientesnegativos Multiplicación: a (0) = 0 División: 0 0 y a a a a b b b a indefinido 0 Ejercicios p. 50 POTENCIACIÓN 42 Exponente o grado de la exp resión Base Se lee 4 al cuadrado o 4 a la segunda potencia 42 4 4 43 4 4 4 factores En general el número b a la n_ésima potencia se escribe b n , significa: b n b b·b·b·b....b n veces b 3 b·b·b bbb x 4 x·x·x·x xxxx Cada exponente se refiere solo al número o letra que le precede directamente, a menos que se utilicen paréntesis para indicar lo contrario. a) 3 2 b) 2 5 c) 15 d ) 43 e) f) 32 23 2 2 g) 3 USO DEL PARÉNTESIS Y ORDEN DE LAS OPERACIONES. Con frecuencia se evalúan expresiones con varias operaciones, para ello se requiere conocer el orden de las operaciones: 1.- Primero evalúe la información dentro del paréntesis o corchetes , si la expresión contiene paréntesis anidados (un par de paréntesis dentro de otro), primero evalúe la información en los paréntesis internos. 2.- A continuación, evalúe todos los exponentes. 3.- Luego, evalúe todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que se aparecen, trabajando de izquierda a derecha. 3.- Por último, evalúe todas las sumas o restas en el orden en que aparecen, trabajando de izquierda a derecha. 2 3·4 2 3·4 2 12 14 2 3·4 5·4 20 Ejercicios P. 62,63 PROPIEDADES DEL SISTEMA DE NUMEROS REALES PROPIEDAD CONMUTATIVA De la suma: El orden en que se suman dos números reales cualesquiera no es importante (no altera la suma). ab ba 77 43 3 4 De la multiplicación: El orden en que se multiplican dos o más números reales cualesquiera no es importante (no altera el producto). a·b b·a 6·3 3·6 18 18 La propiedad conmutativa no es válida para la resta o la división a b ba a ba b b a 8 2 28 6 6 63 36 2 1 3 PROPIEDAD ASOCIATIVA De la suma: Al sumar tres o mas números, se pueden colocar paréntesis entre dos números adyacentes cualesquiera sin modificar el resultado. a b c (a b) c a (b c) 3 4 5 (3 4) 5 3 (4 5) 12 7 5 39 12 12 De la multiplicación: Al multiplicar tres o mas números reales se pueden colocar paréntesis entre dos números adyacentes cualesquiera sin modificar el resultado. a·b·c a·b ·c a·b·c 6·2·4 6·2·4 6·2·4 12·4 6·8 48 48 48 La propiedad asociativa no es válida para la resta o la división 4 1 3 4 1 3 3 3 4 2 0 6 8 4 2 8 4 2 2 2 8 2 1 4 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Una propiedad muy importante de los números reales es la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma: ab·c ab ac 23 4 23 24 27 6 8 14 14 La propiedad conmutativa modifica el orden. La propiedad asociativa modifica la agrupación La propiedad distributiva implica dos operaciones, la multiplicación y la suma. Ejercicios p. 66,67 REGLAS DE LOS EXPONENTES Ahora Aprenderemos las reglas de los exponentes para expresiones de igual base. Regla del producto para exponentes de igual base x m x n x m n Los exponentes se suman Ejercicios p. 189 Regla del cociente para exponentes de igual base xm x mn n x Los exponentesse res tan Regla de la potencia para exponentes o de una potencia x m n x m·n Los exponentesse multiplican Regla de la raíz n de una potencia m n xm x n ó m n Los exponentesse dividen Regla del exponente cero Cualquier número real distinto de cero, elevado a la potencia cero es igual a 1 (uno). 00 no es un núm eroreal x 1 1 Ejercicios p.191 Extensión de la regla de una potencia m ax am xm m m b x by para b 0 e y 0 Cada factor dentro del paréntesis se eleva a la potencia que está fuera de los paréntesis al simplificar la expresión. Ejercicios p. 193