Algebra de Boole 1

Algebra de Boole
1
Indice de “Algebra de Boole”
Presentación ...................................................................................................................... 1
Indice…………………………………………………………………………………….2
George Boole .................................................................................................................... 3
Algebra de Boole .............................................................................................................. 4
Variables Lógicas ............................................................................................................. 4
Funciones Lógicas ............................................................................................................ 4
Compuertas Lógicas ......................................................................................................... 5
Tabla de Verdad de una Función Lógica .......................................................................... 5
Funciones Básicas ............................................................................................................ 6
Leyes del Algebra de Boole............................................................................................ 11
Compuertas Derivadas .................................................................................................... 13
Equivalencias entre Funciones Lógicas .......................................................................... 17
Utilidad de las Funciones Equivalentes .......................................................................... 20
Formas Normales o Canónicas de una Función ............................................................. 21
Mintérminos ........................................................................................................ 21
Maxtérminos ....................................................................................................... 23
Resumen de Compuertas Lógicas .................................................................................. 25
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George Boole
El matemático inglés George Boole (nacido el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y
fallecido el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda) recluyó la lógica a una
álgebra simple. También trabajó en ecuaciones diferenciales,
el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en
probabilidad.
Boole primero concurrió a una escuela en Lincoln, luego a
un colegio comercial. Estudió por su cuenta latín y griego. A
los 12 años era un experto en Latín. A esta edad tradujo una
oda de Horacio, pero la traducción era tan perfecta que no se
creía que era la traducción de un niño.
Boole no cursó estudios oficiales. A los 16 años era ayudante
del maestro de escuela (en aquella época, todos los alumnos, estaban en el mismo aula y
los alumnos de los cursos superiores, ayudaban al maestro en la enseñanza de los
alumnos de los cursos inferiores).
En 1835 abrió su propia escuela y empezó a estudiar matemáticas por su cuenta. En esta
época fue cuando estudió los trabajos de Laplace y de Lagrange.
En el 1854 publicó una investigación de las leyes del pensamiento sobre las cuales son
basadas las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole aproximó la lógica en
una nueva dirección reduciéndola a una álgebra simple, incorporando lógica en las
matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que
representan formas lógicas. El álgebra de Boole tiene cierta similitudes con el álgebra
convencional y esta formada por variables lógicas, operandos lógicos y un conjunto de
leyes que rigen ciertas combinaciones de los elementos anteriores. Comenzaba el
álgebra de la lógica llamada Álgebra Booleana la cual ahora encuentra aplicación en la
construcción de computadoras, circuitos eléctricos, etc.
Descubrió un método excelente para resolver ecuaciones diferenciales, sus trabajos
Treatise on Differential Equations (1859) y Treatise on the Calculus of Finite
Differences (1860) pero sobre todo es conocido por lo que hoy se llama la lógica de
Boole, que se utiliza en los ordenadores.
Muchos honores le fueron concedidos a Boole, fue reconocido como el genio en su
trabajo recibió grandes honores de las universidades de Dublin y Oxford y fue elegido
miembro académico de la Real Sociedad (1857). Sin embargo, su carrera que comenzó
un tanto tarde terminó infortunadamente temprano cuando murió a la edad de 49 años.
Las circunstancias son descritas por Macfarlane de la siguiente forma: ”Un día en el
1864 camino desde su casa al colegio, una distancia de dos millas, con una lluvia
torrencial y luego dio una conferencia con la ropa empapada. El resultado fue un resfrío
febril el cuál pronto dañó sus pulmones y terminó su carrera.....” Lo que Macfarlane le
faltó decir es que la esposa de Boole (Mary nieta de Sir George Everest, de quién
después fue nombrada la montaña) creía que el remedio podría ser la causa. Ella puso a
Boole en cama y arrojó cubos de agua sobre la cama, ya que su enfermedad había sido
causada por mojarse.
3
El álgebra Booleana tiene una amplia aplicación en el switch telefónico y en el diseño
de computadoras modernas. El trabajo de Boole ha llegado a ser como un paso
fundamental en la revolución de las computadoras hoy en día.
Algebra de Boole
Variables Lógicas
En general, el termino variable lógica o booleana, hace referencia a cualquier símbolo
lineal A, B, C, ......, Z empleado para representar dispositivos o magnitudes físicas que
llenan solamente dos valores o estados, verdadero o falso, que son representados
simbólicamente por 1 o 0 respectivamente.
En los circuitos lógicos electrónicos, la representación física o equivalencia de estos
valores lógicos o estados suele estar asociada a la presencia o ausencia de tensión en las
que según el dispositivo o circuito lógico, la naturaleza de los componentes
electrónicos, etc, tendrán dos valores fijos (por ejemplo, 5 y 0 voltios
aproximadamente).
De manera análoga, las dos posiciones o estados “abierto” “cerrado” de un contacto
eléctrico se designan por convención, mediante los símbolos 0 y 1 respectivamente.
A
A=0
A
A=1
Al escribir A = 0, el signo “igual” es usado en el sentido de afirmar que cuando el
contacto esta abierto, A “resulta” cero, o que A “vale” cero , o también que A tiene
valor lógico cero. Asimismo, cuando el contacto esta cerrado, A vale 1. A este tipo de
contacto se lo suele llamar “Normalmente Abierto” (NA), cuya característica principal
es que en reposo no transmite corriente.
En contraposición al NA se encuentra el “Normal Cerrado” (NC), que transmite
corriente cuando está en reposo y deja de hacerlo cuando se lo pulsa; ejemplo de esto
son las puertas de las heladeras y la luz del interior de los autos.
A
A=0
A
A=1
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Funciones Lógicas
Una función lógica o booleana es una variable lógica cuyo valor es equivalente al de
una expresión algebraica, constituida por otras variables lógicas relacionadas entre sí
por medio de las operaciones suma lógica, y/ o producto lógico y /o negador
simbolizados (+), (.) y (-) respectivamente.
Las tres operaciones mencionadas son las operaciones básicas del álgebra de Boole, que
darán lugar a las funciones básicas “OR”, “AND” y “NEGACIÓN”. El valor de la
expresión algebraica depende de los valores lógicos asignados a las variables que la
constituyen, y de la realización de las operaciones indicadas.
Compuertas Lógicas
Cuando se desea cambiar el estado de una determinada variable se puede, por ejemplo,
accionar una llave que realice este proceso. Mediante un dispositivo electrónico llamado
compuerta lógica se puede conmutar el nivel de tensión de un cable conectado a su
salida cambiando adecuadamente la combinación de niveles de tensión existente en los
cables que llegan a las entradas de dicha compuerta.
La denominación de compuerta proviene del hecho de que este dispositivo puede usarse
para permitir o no que el nivel que llega a un cable de entrada se repita en el cable de
salida. El término lógica se debe a que en esencia una compuerta realiza
electrónicamente una operación lógica, de forma tal de que a partir de una combinación
de valores lógicos existentes en las entradas obtiene un valor lógico (1 ó 0) en su salida.
El comportamiento de una determinada compuerta a todas las combinaciones posibles
de valores lógicos de entrada se resume en una tabla de funcionamiento o tabla de
verdad.
Tabla de Verdad de una Función Lógica
La tabla de verdad de una función lógica es una representación del comportamiento de
la misma, dependiendo del valor particular que puedan tomar cada una de sus
variables.En ella deben figurar todas las combinaciones posibles entre las variables, y
para cada una aparecera el valor de la función. Para n variables, el número de
combinaciones es 2n de las que no puede faltar ninguna, así como tampoco estar
repetida.
A
0
1
Tabla de una variable.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Tabla de dos variables
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Tabla de tres variables
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Funciones Básicas
Expresión Booleana, Compuerta Lógica, Tabla de Verdad y Circuito Lógico
Una compuerta OR de dos entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos
entradas, a las cuales llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B), y una salida.
Esta genera en el cable (Z) un nivel que depende de los niveles existentes en las
entradas. Su expresión booleana es:
Z=A+B
Esta función se puede representar mediante compuertas lógicas:
Z puede tomar 2 valores: 0 o 1. Si toma este último valor, entonces significa que Z se
activa. Se debe tener en cuenta que Z = A + B, y que:
0+0=0
1+0=1
0+1=1
1+1=1
Entonces Z se activa si A o B toman el valor 1. Esto se representa con la tabla de verdad
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
Z
0
1
1
1
Las primeras dos variables A y B son las variables de entrada y Z es el resultado de la
combinación de dichas variables, es decir, Z es la variable de salida. Veamos como se
puede representar la función A + B con circuitos lógicos:
6
La corriente eléctrica, generada por la batería, debe recorrer el cable desde el polo
positivo al negativo. Esto hace que se prenda la luminaria (Z = 1). Para que la
electricidad pueda recorrer el cable, basta con que se active, al menos, uno de los
pulsadores, es decir, A o B. En caso que ningún pulsador sea activado (A = 0 y B = 0),
entonces la luminaria se encuentra apagada (Z = 0).
Convención: la posición normal de un contacto es la correspondiente al estado de
reposo en que permanece, mientras no actúa ninguna fuerza venciendo a su resorte de
retención. Se acostumbra designar un contacto normalmente abierto (N. A) con una
variable sin negar, mientras que otro normalmente cerrado (N. C) se representa por una
variable negada.
Un contacto normalmente cerrado es el que se usa el las puertas de las heladeras o
automóviles, que encienden una luz cuando deja de estar oprimido.
Operación suma lógica: la compuerta or realiza una operación que simbolizaremos con
el operador binario representado por el signo "+" que indica esta operación definida por
la tabla de verdad anterior, la cual contempla todos los casos posibles. Se denomina
suma lógica u operación Or, siendo que coincide formalmente hasta el tercer renglón de
la tabla con la suma aritmética. Dado que los valores lógicos de cada suma
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corresponden a las variables A, B y Z, en forma sintética podemos expresar Z = A + B,
y se lee Z es igual a A o B.
Compuerta OR de más de dos entradas: en una compuerta OR de un número cualquiera
n de entradas a las que llegan igual número de cables designados A, B, ..., N, el cable Z
conectado en su salida estará encendido si A o B o C o ... o N está encendido.
Una Compuerta AND de dos entradas es un dispositivo electrónico que presenta
dos entradas, a las cuales llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B), y una
salida (Z). Su función booleana es:     
Se debe tener en cuenta que Z = A · B, y que:
0·0=0
1·0=0
0·1=0
1·1=1
Z se activará si A y B toman el valor 1. Esto se representa con la tabla de verdad.
B A Z
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Veamos como se puede representar la función A · B con circuitos lógicos:
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Como se puede observar en el gráfico, la corriente eléctrica recorrerá el cable solo si se
activan ambos pulsadores al mismo tiempo. Cuando esto ocurra, la luminaria se
enciende. Es decir, Z se activará (Z = 1).
Operación producto lógico: a la compuerta AND la simbolizaremos con el operador
binario representado por "·". Se denomina producto lógico por coincidir
simbólicamente los resultados de los productos lógicos y numéricos. Puesto que los
valores lógicos de cada producto corresponden a las variables A, B y Z, en forma
simbólica podemos expresar: Z = A · B, y se lee Z igual a A por B.
Como en el caso de la compuerta OR, en la compuerta AND también podemos tener
más de dos entradas. En ese caso, el cable Z estará encendido sólo si todos los cables de
entrada están encendidos. De lo contrario, Z estará apagado.
Una compuerta seguidor es un dispositivo electrónico que actúa como buffer,
es decir, que mantiene en la salida, el valor que se encuentra a la entrada. Su expresión
booleana es: Z = A
A
0
1
Z
0
1
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Una compuerta EX - OR u OR excluyente de dos entradas es un dispositivo
electrónico que presenta dos entradas, a las cuales llegan los estados de las dos variables
(A y B), y una salida, que genera en el cable (Z).
Z  A B  B  A
El comportamiento eléctrico de la compuerta XOR se resume en la siguiente tabla, que
difiere de la tabla de la compuerta OR sólo en el último renglón:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Z
0
1
1
0
Esta compuerta es importante dado el hecho ya señalado de la imposibilidad de que un
cable pueda estar con los dos estados de tensión simultáneamente. A la operación
definida por esta compuerta la simbolizaremos con el operador binario representado por
"", y cuyas combinaciones se detallan a continuación:
Puesto que los valores lógicos de cada producto corresponden a las variables A, B y Z,
podemos expresar: Z = A  B, y se lee Z es igual a A or excluyente B.
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Leyes del álgebra de Boole
Es parte de la matemática que utiliza expresiones basadas en la lógica dual. Su
aplicación a los circuitos binarios se llama ÁLGEBRA DE CIRCUITOS LÓGICOS.
1) Ley conmutativa
A+B=B+A
2) Ley asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
3) Ley distributiva
Del producto respecto de la suma: A . (B + C) = A . B + A . C
De la suma respecto del producto: C + B . A = (C + B) . (C + A)
4) Ley de absorción
Para la suma
A+A=A
A+0=A
A+1=1
Para el producto
A.A=A
A.0=0
A.1=A
5) Ley de doble negación
 =A
Doble negación: en caso de disponer de dos inversores en serie, de modo que el cable
 que está a la salida del primero sea a su vez la entrada del segundo inversor. El cable
a la salida del segundo inversor está en oposición al cable  , por lo cual debemos
indicarlo como  . Es claro que este último cable tendrá un nivel de tensión que
coincidirá con la del cable de entrada del primer inversor. Así,  = A.
6) Identidad de De Morgan
Sirve para transformar sumas lógicas en productos lógicos
    
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Y productos lógicos en sumas lógicas
    
7) Relaciones de De Morgan
A+  =1
 = 0
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Compuertas Derivadas
Compuertas con un Inversor en su Salida
Compuerta NOR: una compuerta NOR es una compuerta OR con un inversor
en su salida que complementa cada resultado que ésta genera, de modo de realizar una
suma lógica negada.

  
  
La tabla de verdad se presenta en la figura anterior, mostrando en la última columna los
cálculos algebraicos. El circuito a continuación es un circuito serie con pulsador NC:
Compuerta NAND: una compuerta NAND resulta de invertir la salida de una
compuerta AND. Su expresión booleana es:
  
  
Z =  +
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La figura muestra la tabla de funcionamiento y las operaciones algebraicas
correspondientes.
Su circuito lógico es un circuito paralelo, NC:
Una Compuerta Inversor o inversora es un dispositivo electrónico que
enciende el cable que está en su salida, si el cable que está en su entrada se encuentra
apagado, y viceversa. Decimos entonces que los cables A y Z son complementarios, o
que uno es el inverso del otro, o que están en oposición. Puede decirse que uno es la
negación del otro.
Operación negación: la tabla de verdad define la operación inversión que realiza la
compuerta inversora. Dado que Z vale 1 cuando A no vale 1, y que Z vale 0 cuando A
no vale 0, podemos decir que Z es no A. Escribimos entonces su expresión booleana:
Z= 
A Z
0 1
1 0
El símbolo de la barra sobre la variable booleana indica la operación de negación que el
inversor realiza sobre los valores de la misma.
En particular, 0 = 1 y 1 = 0. Cabe mencionar que en general un círculo denota inversión,
esté o no acompañado del triángulo.
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Esta función se puede representar mediante compuertas lógicas:
Se debe tener en cuenta que la función inversor (o negación), justamente invierte el
valor de las variables:
0 =1
1 =0
Entonces Z se activará si A toma el valor 0.
Veamos como se puede representar con circuitos lógicos:
Obsérvese que a diferencia de los circuitos anteriores, el pulsador aquí es normalmente
cerrado. Es decir, que la corriente circula por el cable todo el tiempo (Z = 1), justamente
cuando no se activa el pulsador A (A = 0).
Si se presiona el pulsador A (A = 1), entonces la electricidad dejará de recorrer el cable
(Z = 0).
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Una compuerta Compuerta EX – NOR ( OR exclusiva negada) resulta de
invertir la salida de una compuerta EX - OR. Su expresión booleana se obtiene:
    
    
  (  )  (  )
  (  )  (  )
          
    
Su tabla de verdad es y circuitos lógicos son:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Z
1
0
0
1
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Principio de Dualidad
Cualquier propiedad en el álgebra de Boole sigue siendo validad si se intercambian
entre si todas las operaciones (+) y (.) y además se intercambian los valores 0 y 1.
Ejemplo:
A+0=A
A·1=A
Equivalencia entre Funciones Lógicas
Dos expresiones booleanas o funciones son equivalentes si tiene igual tabla de verdad.
Una expresión lógica le corresponde una sola tabla de verdad, mientras que una tabla de
verdad puede formarse algebraicamente mediante diversas funciones equivalentes.
Asimismo, circuitos lógicos que corresponden a expresiones algebraicas equivalentes, o
sea que realicen la misma función lógica, tendrán la misma tabla de funcionamiento por
lo que podrán reemplazarse unos por otros. La equivalencia se obtiene aplicando el
principio de dualidad.
Z=A·B
Z=  +B
B
0
0
1
1
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
A
0
1
0
1
Z
0
0
0
1
Z
1
0
1
1
Circuitos Equivalentes de un Solo Tipo de Compuertas
Equivalencias And- Or Y Nand- Nand
Es quizás la equivalencia más empleada en circuitos integrados, por ser la compuerta
NAND de fabricación masiva. Algebraicamente:
Z1 = A + B · C + D · E = A  B  C  D  E
Se ha convertido una suma de productos en un producto negado de productos negados
17
A partir de un circuito determinado, su
función equivalente puede ser obtenida de
dos formas:
Primera Forma
Negamos ambos extremos del cable, que
por la propiedad de la doble negación no
afecta la función original.
Aplicamos el concepto de funciones
equivalentes en la última compuerta,
obteniendo así todas NAND.
Segunda forma
Otra opción consiste en primero aplicar la
equivalencia de funciones en la última
compuerta del circuito. En este caso
reemplazando la compueta OR por su
dual AND y negando sus entradas y
salidas que no están negadas en el circuito
original.
Como ùltimo paso, se desplazan las
negaciones hacia el otro extremo del
cable. De esta forma obtenemos un
circuito compuesto por todas compuertas
NAND.
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Equivalencias Or-And y Nor-Nor
A partir de un circuito determinado, su
función equivalente puede ser obtenida de
dos formas:
Primera Forma
Negamos ambos extremos del cable, que
por la propiedad de la doble negación no
afecta la función original.
Aplicamos el concepto de funciones
equivalentes en la última compuerta,
obteniendo así todas NOR.
Segunda forma
Otra opción consiste en primero aplicar la
equivalencia de funciones en la última
compuerta del circuito. En este caso
reemplazando la compueta AND por su
dual OR y negando sus entradas y salidas
que no están negadas en el circuito
original.
Como último paso, se desplazan las
negaciones hacia el otro extremo del
cable. De esta forma obtenemos un
circuito compuesto por todas compuertas
NOR.
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Z = (P + Q) · (R + S) · T = (P + Q) + (R + S) + T de un producto de sumas se paso a
una suma negada de sumas negadas.
Utilidad de las Funciones Equivalentes
Como vimos anteriormente, dos expresiones booleanas o funciones se dicen
equivalentes si sus tablas de verdad coinciden. A una función lógica le corresponde una
única tabla de verdad, mientras que a una misma tabla de verdad se le puede asociar
diferentes expresiones equivalentes. Esto permite reemplazar un circuito por otro,
dependiendo de las necesidades técnicas y/o económicas que se posean. Más
especificamente, la utilidad de el concepto de funciones equivalente yace en la
posibilidad de utilizar menos cantidad de chips para la implementación de un circuito.
Si queremos implementar la función original Z  ( P  Q)  ( R  S ) , deberíamos hacerlo:
En cambio, una vez aplicado el concepto de funciones equivalentes y obtenida la
expresión Z  ( P  Q)  ( R  S ) la implementación mediante chips, sería:
De esta forma podemos ver que, a diferencia del primer caso, estamos utilizando sólo
UN chip.
20
Formas Normales o Canónicas de una Funcion.
También podemos tener en lugar de la expresión booleana la tabla de verdad de la
misma. Sabemos que a cada tabla le podemos asociar muchas expresiones algebraicas
equivalentes, y a cada una de estas le corresponderá un circuito distinto.
Para resolver esta cuestión en general, hace falta hallar por lo menos una de las
expresiones algebraicas equivalentes. También sería bueno hallar la que esté asociada a
un circuito que tecnológica y económicamente interese implementar.
Nos ocuparemos aquí de las expresiones booleanas que se corresponden con estructuras
circuitales del tipo de las que constituirán los circuitos de una ROM, que vienen
integrados en un solo "chip", parte de cuyo conexionado interno el usuario puede
determinar. A estas expresiones se las llama canónicas o normales.
Existen dos formas canónicas: la normal disyuntiva o suma de minitérminos, y la
normal conjuntiva o producto de maxitérminos.
Mintérminos
Es un producto lógico (AND) en el cual figuran una sola vez todas las variables lógicas
en juego. Estas variables pueden estar o no afectadas de la negación lógica, en caso de
estarlo dicha negación solo puede afectar a variables individuales, nunca a operaciones.
Es decir, dado un número n de variables, un minitérmino es un producto lógico cuyos
factores son todas las variables, negadas o no.
Mediante dos variables es posible formar 22 = 4 productos distintos o mintérminos.
Siempre que Z sea 1, se realiza el producto lógico de las dos variables de la fila
correspondiente, y se forma luego la suma lógica de estos factores. Así,
Z  A·B  A·B  A·B
Un producto lógico resulta con el valor lógico 1 para una sola combinación de valores
de las variables que son sus factores.
Luego se procede a efectuar el circuito correspondiente. Para cada minitérmino hay una
sola combinación para la cual el producto resulta 1, y recíprocamente, dada una
combinación de valores de las variables, existe un solo minitérmino que resulta 1 para
esa combinación.
21
Por ende, dada una tabla de verdad de una función, si se hace una suma con los
minitérminos correspondientes a las combinaciones de valores de las variables para las
cuales la función vale 1, dicha suma de minitérminos responde a la tabla dada.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
TERMINO PRODUCTO



A ·B
TERMINO SUMAS
AB



Nótese que la variable se niega cuando su valor es cero (0) y no se niega cuando su
valor es uno (1) para los mintérminos y lo contrario para los maxtérminos. Tres
variables A, B, C y sus respectivas negaciones, dan lugar a 22 = 8 productos distintos o
mintérminos:
A  BC ;  BC ; C ;   B C ; A  B C ; C ; C ;     C
En general, las n variables y sus negaciones pueden combinarse para formar hasta 2n
productos diferentes o mintérminos.
Ejemplos:
    C  D es un mintérmino para las variables A , B , C , D.
    C  D no es un mintérmino para las variables A , B , C , D , E porque falta una
variable
    C  D no es mintérmino para las variables A , B , C , D porque la negación afecta
a una operación.
    C  D   no es mintérmino para las variables A , B , C , D porque se repite una
variable.
Resulta inmediato que cada producto mintérmino toma el valor lógico uno solo para una
única combinación de valores lógicos de las variables que lo constituyen, resultando de
valor cero para todo el resto de las combinaciones. De esta manera, un mintérmino vale
1 solo para la combinación 101 ( o sea A = 1,  = 0, C = 1):
    C = 1 0 1 = 1  1  1 = 1
Y vale 0 para cualquiera de las otras combinaciones:
000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 110 , 101
22
Por la tanto, puede establecerse una correspondencia biunívoca entre cada combinación
de valores lógicos de una tabla de verdad y el mintérmino que toma el valor 1 para
dicha combinación.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
0
0
0
1
0
1
0
1
Mintérminos
 BC
C
C
Forma Canónica o Normal Disyuntiva
Esta dada por la sumatoria de los mintérminos para los cuales la función vale 1. es decir,
es una suma de productos (SP).
Para hallar la forma normal disyuntiva de una función a partir de su tabla de verdad, en
las filas donde la función vale 1 se forma el producto de todas las variables,
remplazando los “ceros” por su respectiva variable negada, y los “unos” por su
correspondiente variable sin negar.
Luego se realiza la suma de los mintérminos así determinados.De esta manera resultara
que el numero de mintérminos es igual al numero de “unos” de la columna resultado (Z)
de la tabla de verdad.
Entonces la forma normal disyuntiva de la tabla anterior será:
Z =  BC + C +  C
Maxtérmino
Es una suma lógica (OR) en la cual figuran solo una vez todas las variables lógicas en
juego. Estas variables pueden estar o no afectadas de la negación lógica. En caso
afirmativo, dicha negación solo puede afectar a variables individuales, nunca a
operaciones.
A
B
C
Z
Maxtérminos
0
0
0
A+B+C
0
0
0
1
0
A+B+ C
0
1
0
0
A +B + C
0
1
1
1
1
0
0
0
A+B+C
1
0
1
1
1
1
0
0
A + B +C
1
1
1
1
23
Forma Normal Conjuntiva
Esta dada por el producto de los maxitérminos para los cuales la función vale 0. Es decir
es un producto de sumas (PS). Para hallar la forma normal conjuntiva de una función a
partir de su tabla de verdad, en las filas donde la función vale 0 se forma la suma de
todas las variables, reemplazando los “unos” por su respectiva variable negada, y los
“ceros” por su correspondiente variable sin negar. Luego se realiza el producto lógico
de los maxiterminos así constituidos. De esta manera resultara que el número de
maxitérminos es igual al número de “ceros” de la columna de resultados (Z) de la tabla
de verdad. Entonces la forma normal conjuntiva de la última tabla de verdad será:
Z = (A + B + C) · ( A + B + C ) · ( A +  + C) · (  + B + C) · (  +  +
C)
24
Resumen de Compuertas Lógicas
Compuerta AND
Circuito Lógico
Tabla de Verdad
A
0
0
1
1
Expresión Booleana
B
0
1
0
1
Z
0
0
0
1
Compuertas Lógicas
Z = A. B (...) . n
Compuerta OR
Circuito Lógico
Tabla de Verdad
A
0
0
1
1
Expresión Booleana
B
0
1
0
1
Z
0
1
1
1
Compuerta Lógica
Z = A + B + (...) + n
25
Compuerta SEGUIDOR
Circuito Lógico
Tabla de Verdad
A
0
1
Expresión Booleana
Z
0
1
Compuertas Lógicas
Z=A
Compuerta EX - OR
Circuito Lógico
Tabla de Verdad
A
0
0
1
1
Expresión Booleana
B
0
1
0
1
Z
0
1
1
0
Compuertas Lógicas
   
26
Resumen de Compuertas Derivadas
Compuerta NOR
Circuito Lógico
Tabla de Verdad
A
0
0
1
1
Expresión Booleana
B
0
1
0
1
Z
1
0
0
0
Compuertas Lógicas
  
Compuerta NAND
Circuito Lógico
Tabla de Verdad
A
0
0
1
1
Expresión Booleana
B
0
1
0
1
Z
1
1
1
0
Compuertas Lógicas
Z = +
27
Compuerta INVERSOR
Circuito Lógico
Tabla de Verdad
A
0
1
Expresión Booleana
Z
1
0
Compuerta Lógica
Z= 
Compuerta EX - NOR
Circuito Lógico
Tabla de Verdad
A
0
0
1
1
Expresión Booleana
B
0
1
0
1
Z
1
0
0
1
Compuertas Lógicas
    
28
Comportamiento de las Compuertas Lógicas
Según la forma de conectar sus entradas, existen tres formas:
a) Las entradas están punteadas:
Seguidor
Inversor
b) Una de los cables de entrada trabaja como señal de control:
29
c) La señal de salida realimenta a la de entrada:
30
Practicando con el álgebra de Boole
Compuertas NOR y NAND con inversores en sus entradas
Las siguientes tablas representan las operaciones que realizan las combinaciones
circuitales dibujadas abajo de las mismas.
Una compuerta OR con un inversor en su entrada A se puede dibujar de las dos
formas:
Lo que hace es realizar la suma lógica  + B (que se lee no A o B). En la última
columna se calcularon algebraicamente los resultados.
De la misma forma pueden deducirse las dos combinaciones de compuertas que se
detallan a continuación, y que realizan las operaciones "A ó no B" y "no A ó no B".
31
Igualmente pueden realizarse combinaciones de compuertas AND con una o más
entradas negadas, que dan lugar a las operaciones definidas en las siguientes figuras.
El procedimiento realizado puede generalizarse a compuertas de cualquier número de
entradas.
32