FUNCIONES. Una función ... ... es una relación entre dos variables ... El perímetro (P) de un círculo se obtiene evaluando la expresión P 2 r donde r es el radio del círculo. Si se le da un valor al radio, se obtiene un valor del perímetro. ... en la que una variable depende de la otra ... El valor del perímetro de un círculo depende del radio del mismo. Hay una variable dependiente (P) y una independiente (r). ... y a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo uno de la dependiente. A cada valor del radio le corresponde solo un valor del perímetro. No puede ser que un mismo radio corresponda a dos valores de perímetro. Es muy común denotar a la variable independiente como x, y a la dependiente como f(x) o y. La notación f(x), que se lee f de x, indica que f depende de x. Nota. La notación f(x) no representa el producto de f por (x). Ejemplo 1. Las siguientes relaciones definen funciones que nos interesan: Función Variable dependiente La relación entre la hora del día y la temperatura del agua La relación en el número microalgas y la concentración de oxígeno en el agua La relación entre la velocidad de una Temperatura del agua, T Variable independiente Hora del día, h Notación T ( h) Concentración de oxígeno en el agua, C Número de microalgas, n C ( n) Velocidad de la corriente, V Profundidad, z V ( z) corriente y la profundidad La relación entre el número de ostiones en una playa y la temperatura del agua La relación entre la longitud de una ballena y su edad Número de ostiones, f Temperatura del agua, T f (T ) Longitud de una ballena, L Edad, t L(t ) Gráfica de una función. La gráfica de una función es el conjunto de parejas ordenadas ( x, f ( x) ) dibujadas en un plano cartesiano. Esto es, es el conjunto Gráfica de f ( x, y ) y f ( x) Ejemplo 2. Consideremos el número de ballenas en el océano y el crecimiento del pasto en la FCM. Dado que no hay una dependencia entre estas dos cosas, no hay una relación entre ellas y por lo tanto no definen una función. Ejemplo 3. En la gráfica adyacente se presenta una relación entre dos variables, sin embargo, hay valores de x para los que hay más de un valor de f(x), por lo tanto, no es una función. f(x) x Dominio y contradominio. El dominio de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable independiente (x). Ejemplo 4. Función La relación entre la hora del día y la temperatura del agua La relación entre la longitud de una ballena y su edad Variable dependiente Temperatura del agua, T Variable independiente Hora del día, h Dominio Longitud de una ballena, L Edad, t El tiempo promedio de vida de la ballena gris. [0, 50] años Las 24 horas del día. [0, 24] Ejemplo 5. f x 5 f x 3 x 4 f x 3 x 2 x 2 f x x 2x 1x 3 f x 3x 4 4x 8 Como la variable x puede tomar cualquier valor, su dominio es el intervalo , . Como la variable x puede tomar cualquier valor, su dominio es el intervalo , . Como la variable x puede tomar cualquier valor, su dominio es el intervalo , . Como la variable x puede tomar cualquier valor, su dominio es el intervalo , . Si x = -2, el denominador se hace cero y la función no está definida. Su dominio es el conjunto D x x , x 2 , o bien, el intervalo ,2, 2, El contradominio o imagen representa el conjunto de todos los valores que toma la función, esto es, los valores de la variable dependiente y. Ejemplo 6. Función La relación entre la Variable Variable dependiente independiente Temperatura del Hora del día, h Contradominio [18, 20] °C, en Bahía de hora del día y la agua, T temperatura del agua La relación entre la Longitud de una longitud de una ballena ballena, L y su edad Todos Santos. Edad, t [4, 15] metros, para la ballena gris. Ejemplo 7. f x 5 f x 3 x 4 El contradominio es únicamente y = 5 ya que éste es el único valor que toma. y puede tomar cualquier valor, por lo tanto, su contradominio es el intervalo , .