introducción a la matemática para ingeniería de ejecución

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA
INGENIERÍA DE EJECUCIÓN.2009
Prof. Jorge Inostroza . L.
Prof. Heraldo González .S.
INTRODUCCIÓN:
En el curso de muchos años de experiencia en la formación de Ingenieros en la Universidad
hemos podido formarnos una meridiana idea de las bondades y las carencias de los
postulantes que por ello su rendimiento no es todo lo esperado, al punto que en el último
tiempo se ha visto incrementando motivo por el cual nos hemos propuesto una instancia
remedial mediante un proceso de homologación que conlleve una revisión o consolidación
de conocimientos básicos para una mejor inserción en el programa regular del primer nivel
de matemática. Junto a ello hemos pretendido dar una visión más fundamentada de los
conceptos, amén de insistir en las habilidades operacionales más requeridas. No obstante
ello se verá un tratamiento a veces algo superficial para profundizar en el curso normal de
los estudios. Todo ello perdería su propósito si no contamos con la voluntad, la dedicación
y el esfuerzo para iniciar un efectivo proceso de auto-estudio y auto-evaluación por parte
del estudiante.
INDICE (Dos primeras semanas)
Materias
pgs.
CALCULO APLICADO
TEMA Nº 1.- LENGUAJE Y NOMENCLATURAS
4
TEMA Nº 2.- CARACTERIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (R)
7
TEMA Nº 3.- IDEAS BÁSICAS DE TRIGONOMETRÍA
11
3.1
Razones Trigonométricas
11
3.2
Ecuaciones Trigonométricas
15
3.3
Otras Identidades Trigonométricas
16
TEMA Nº 4.- GEOMETRÍA ANALÍTICA (Conceptos básicos)
21
4.1
Plano Euclidiano
21
4.2
Distancia entre dos puntos
21
4.3
La recta
22
4.4. Rectas paralelas y rectas perpendiculares
4.5
24
La circunferencia
MATEMATICA GENERAL
26
TEMA Nº 5.- ELEMENTOS DE ALGEBRA CLÁSICA.
30
5.1
Expresiones Algebraicas
30
5.2
Valor numérico de una expresión algebraica
31
5.3
Reducción de Términos Semejantes
32
5.4
Resolución de Paréntesis
34
5.5
Suma de Expresiones Algebraicas
35
5.6
Producto de expresiones Algebraicas
37
5.7
Factorización de Expresiones Algebraicas
41
2
5.8
Simplificación de Expresiones Racionales
42
5.9
Cuociente de Expresiones Algebraicas
44
5.10 Cuociente de Polinomio con monomio
46
5.11 Cuociente entre multinomios
47
5.12 Expresiones Algebraicas Racionales
50
5.13 Operaciones con Fracciones Algebraicas
54
5.14 Producto de Fracciones Algebraicas
57
5.15 Fracciones Algebraicas Compuestas
60
5.16 Potencias
63
5.17 Raíces Aritméticas
66
5.18 Propiedades Operacionales
68
5.19 Racionalización
72
5.20 Logaritmo en Base A   
76
5.21 Propiedades del Logaritmo
78
TEMA Nº 6.- PROBLEMAS Y ECUACIONES
87
6.1
Problemas Resueltos
111
6.2
Problemas Propuestos
119
3
TEMA Nº 1.- LENGUAJE Y NOMENCLATURAS.
La matemática se sirve, para su difusión, de un lenguaje o vocabulario y de una serie de
símbolos o nomenclaturas a fin de universalizar sus proposiciones además de dar mayor
coherencia y claridad a sus elaboraciones. Este aporte le corresponde a la Lógica y la
Teoría de conjuntos,
Para que podamos hablar este lenguaje común, en lo que nos corresponde, incorporamos
aquí los elementos más básicos requeridos y su uso.
Conjuntos y sus operaciones:
El conjunto entendido como un concepto primitivo denotado por letras mayúsculas:
A , B , C, .......X , Y , Z ….; y que está compuesto por elementos señalados por letras
minúsculas: a , b, c, ....x , y , z..... . La pertenencia de éstos a un conjunto y la inclusión
de un conjunto en otro se denotan por:
a  A Se lee “ a pertenece al conjunto A”
a  A Se lee “a no pertenece al conjunto A”
A  B Se lee “A es un subconjunto de B o está contenido en el conjunto B”
A  B Se lee “A es un subconjunto o igual al conjunto B”
A  B Se lee “El conjunto A no es parte del conjunto B”.
Un conjunto se puede expresar por extensión, es decir enumerando todos sus elementos o
bien por comprensión, señalando las características comunes de todos sus elementos
mediante un clasificador:
A  a, b, c, d , e....  Por extensión.
A  x  R x es par  Por comprensión
Clasificador que se lee “A es el conjunto de todos los x de R , tal que x es un número
par”.
Las operaciones principales entre conjuntos son: Unión e Intersección:
A  B  x x  A  x  B

Se lee “es el conjunto de todos los elementos x que pertenecen a A ó pertenecen a B”
4
A  B  x x  A  x  B :
Se lee “Es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B”
También requerimos del Complemento de un conjunto o sea el de aquellos elementos
del conjunto universal que no pertenecen al conjunto:
C( A)  x U x  A

La Diferencia entre dos conjuntos A y B está dada por:
A  B  x x  A  x  B .
Las sentencias o proposiciones en matemática son enunciados que admiten un valor de
verdad, es decir pueden ser verdaderas o falsas: Ejemplo:
P = “Dos naturales consecutivos no pueden ser ambos par”
Q = “Todo número divisible por 3 y por 4 lo es por 12”
Para expresar o conectar sentencias o proposiciones necesitamos además de ciertos
símbolos o conectores que nos entrega la lógica simbólica.
P  Q Se lee P implica Q, o Si P entonces Q
P  Q Se lee P es equivalente con Q.
P  Q Se lee P y Q
P  Q Se lee P ó Q.
Además se tienen los llamados cuantificadores:
 “para todo”
 “existe al menos uno”
! “ existe un único”
Las siguientes “sentencias” o “proposiciones” las vemos en símbolos:
1.- “Para todos los alumnos del curso , existen menores o igual a 20 años”
a  C   a  20 .
2.- “El curso está formado por los de edad entre 19 y 21 años”
a  C 19  a  21
3.- “Todo número natural multiplicado por dos es par”
5
x  N  2 x  par .
Ejercicios:
Defina el conjunto y escriba en símbolos
1 “Si un natural es divisible por 2 y por 6 entonces lo es por 12”.
2 “Todo número divisible por 3 y por 4 lo es por 12”
3 “ Si la suma de dos números es par entonces uno es el 2” .
Lea la sentencia:
1. A   a  N a  3m, m  N
2. B  x  R x  0


3. C  a  b a  b  8

Para cerrar este tema debemos advertir que en el programa formal de la asignatura
Matemáticas Generales y de Cálculo Aplicado se tendrá una mayor información al
respecto, razón por la que aquí se da una visión simplificada a fin de ponernos todos en
un mismo nivel de informaciones.
TEMA Nº 2.- CARACTERIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (R)
El conjunto de los números reales, protagonista principal y casi único de nuestro quehacer
matemático requiere ser identificado con cierta claridad y precisión en aras del rigor que
debe acompañar todo nuestro quehacer, del mismo modo son necesarias las
caracterizaciones de los otros sistemas numéricos que forman parte de los reales.
Los Reales conforman lo que se llama una Estructura Algebraica, es decir un conjunto de
Axiomas y operaciones que le dan el carácter de un Cuerpo-Ordenado y Completo. Se
verá que en el enunciado de estos axiomas faltan muchas propiedades de los reales que son
conocidas y con las que hemos convivido desde nuestros primeros años de estudio, y es que
todas ellas se derivan de estos enunciados y eso es lo grandioso de esta caracterización.
R es un Cuerpo: Es decir que admite dos operaciones llamadas suma y producto entre
reales y que satisfacen los siguientes Axiomas
6
Ax.01: x, y  R  x  y  R
Ax.02 : x, y  R  x  y  y  x
Ax.03 : x, y, z  R  x  ( y  z)  ( x  y)  z
Ax.04 : 0  R  x  R  x  0  0  x  x
Ax.05 : ( x)  R  x  ( x)  0
Ax.06 : x, y  R  x  y  R
Ax.07 : x, y  R  x  y  y  x
Ax .08 :  1  R  1  x  x  1  x; x  R
1
Ax.09 : x  0; x 1  x  x 1  1 ; ( x 1  )
x
Ax.10 : x, y, z  R  x  ( y  z)  x  y  x  z
Clausura
Conmutatividad
Asociatividad
Neutro aditivo
Inverso aditivo
Clausura
Conmutatividad
Elemento unitario
Inverso multiplicativo
Distributividad.
Como se decía, de estos axiomas surgen otras propiedades de los reales que son objeto de
demostraciones, que denominamos Teoremas y que no son sino aquellas que hemos estado
asumiendo en nuestro quehacer cotidiano.
Teo.01 : 0  R  1  R .- son úni cos
Teo.02 : x, y, z  R  x  y  y  z  x  z  xy  xz  y  z ; cancelació n
Teo.03 : x  R;  x  0  0
Teo.04 : x, y  0  x  y  0 .
Teo.06 : x  0  x 1  0
Teo.07 : x  R  ( x)  x  x  R{0}; ( x1 )1  x ; x  R
Teo.08 : ( x  y)   x  y  ( x)  ( y)  x  y ; x, y  R
Teo.09 : (1)  x   x ; x  R
Teo.10 : x, y  R  0  ( xy) 1  x 1  y 1
Teo.11: x, y, z, w  R  0  xy1  zw1  ( xw  yz)  ( yw)1
Teo.12 : x, y, z, w  R; y, z  0  ( xy 1 )  (wz 1 )  ( xw)  ( yz) 1 .
Las demostraciones son tema para más adelante, por ahora baste saber que son
consecuencias de los Axiomas.
R es Ordenado: Se admite axiomáticamente que existe un sub-conjunto de R denominado
de números positivos señalado por R  que cumplen los Axiomas de
Orden:
Ax.01: x, y  R   x  y  R 
Ax.02 : x, y  R   x  y  R 
Ax.03 : x  R  x  R  ;  x R  ; x  0 .
Se definen los conceptos que le dan sentido al carácter de ordenado de R: Con los símbolos:
7
; mayor o igual ;
 menoro igual ;
 mayor
 menor
1.- x, y  R; ( x  y  x  y  R   x  y  0) ”x mayor o igual a y”
2.- x, y  R; ( x  y  x  y  R  ) “x mayor que y”
3.- x, y  R ; ( x  y  y  x) .”x menor o igual a y”
4.- x, y  R ; ( x  y  y  x) “x menor que y”
Aquí, como es de suponer, también surgen otras proposiciones.
Teo.01: x  R   x  0   x  R   x  0
Teo.02 : 1  R  ó 1  0
Teo.03 : Si x  y ; y  z  x  z ; x, y, z  R
Teo.04 : x, y  R  ó x  y ó x  y ó x  y
Teo.05 :x, y, z ; x  y  x  z  y  z
Teo.06 : Si x  0  y  0  x  y  0
Teo.07 : Si x  0  y  z  xy  xz ; Si x  0  y  z  xy  xz
1
1 1
Teo.08 : Si x  0   0 Si 0  x  y  
x
x y
Teo.09 : Si x  y  u  v  x  u  y  v
Teo.10 : Si 0  x  y  0  u  v  0  xu  yv
Con los axiomas y estas propiedades se pueden resolver ahora problemas de desigualdades
y de inecuaciones que serán temas de nuestra preocupación posterior.
Observación: R  {x  R /  x  R } : R  R  {0}  R
Estos elementos nos permiten además trazar un gráfico de representación de los reales en
un eje o recta orientada en que cada real es un punto en la recta y cada punto de la recta un
real Así a la izquierda del 0 están los reales de R  y a su derecha los de R  , de modo que
si a < b ;b se ubica a la derecha de a.
R
a
0
b
R
Además debemos señalar que existen otros conjuntos numéricos dentro de R y que están
caracterizados por:
1. N el conjunto de los naturales; 1,.2,3,4,5,6,7……caracterizados por el hecho que : a)
1  N; b) Si n  N  n+1  N.( n+1 es llamado sucesor de n, 1 es el único que no es
sucesor de ninguno)
8
2. Z el conjunto de los enteros conformado por los naturales el cero y sus negativos:
……-3,-2,-1,0,1,2,3,…..
3. Q el conjunto de los Racionales, son de la forma
x
con x e y enteros, e y no nulo.
y
Así se tendrá que:
N  Z  Q  R . Donde R  Q  I es el conjunto de los
Irracionales. Además existe otro conjunto y que contiene a los reales y que son Los
Complejos, en él está, por ejemplo, las soluciones de la ecuación:
x2 1  0
R es Completo: Esto es, que cumplen el denominado Axioma del Supremo:
Previo algunas precisiones: Se dice
i)
El conjunto S es Acotado superiormente si:  M  R 
x  S ;  x  M , M es llamado Cota Superior del conjunto.
ii)
El conjunto S se dice Acotado inferiormente si :  N  R 
x  S  x  N , N es Cota Inferior del conjunto.
iii)
El conjunto S es Acotado; si  M  R 
si x  S   M  x  M .
Se llama Supremo del conjunto a la menor de las cotas superiores e Ínfimo del conjunto a
la mayor de las cotas inferiores .Ahora el Axioma del Supremo
Ax. : S  R, S a cot ado Superiormente  S tiene S upremo .-
Ejemplos:
1. Determinar cotas, Supremo e Ínfimo del conjunto:

1
S  x  R x  1  ; n  N 
n

Solución:
Intuitivamente se observa que: 1  x  2 ,luego todo número menor que 1 es una cota
inferior y la mayor de ellas es el 1 y es el ïnfimo, y todo valor mayor que 2 es cota
superior , la menor de ellas es 2 es el Supremo.
9

1
2. Determinar Supremo e Ínfimo de: S   x  R x  (1) n (
) ; n N
1 n


Solución:
Una simple intuición y dando valores a n, nos indica que Sup S = 1/3 y el Inf S = -1/2.
Para que el estudiante reflexione cuidadosamente se incluyen algunas propiedades
derivadas de este Axioma del Supremo:
1.  x, y  R   n  N  xn  y -Propiedad Arquimediana.
2. n  N  x  R  x  n .
3. 3.- x  R   n  N  x 
1
.
n
Aquí terminamos una presentación medianamente formal de los conjuntos numéricos y sus
propiedades, lo que se verá complementada en el desarrollo normal de los temas del primer
curso de matemáticas superiores.
El objetivo de esta primera parte se verá cumplido cuando el estudiante use adecuadamente
este lenguaje y nomenclaturas en su decir y hacer matemático y verá como esta disciplina
puede ser llevada a todo su quehacer aún el más doméstico.
____________________________________________________________
10
TEMA Nº 3. - IDEAS BÁSICAS DE TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:
Definición:
En el triángulo rectángulo ABC; se definen:
BC
BC
: Cos  
;
AC
AC
Sen  


2

C
Cos  
Tg  
AB
AB
: Sen  
;
AC
AC
BC
AB
Cotg  

2

β
Fig. 1

;
A
AB
;
BC
Sen 0º= 0

B
0  
Cos 0º = 1
Sen

2
1
Cos

2

2
0
También se definen:
1) tg  
Sen
1
1
1
: Cotg  
: Sec 
: cosec  
Cos
tg 
cos
Sen 
2) Según Teorema de Pitágoras:
2
2
2
AC  AB  BC  Sen2   Cos 2   1:
Al dividir por Sen2  y Cos 2  1 Cotg 2  cosec 2   tg 2  1 Sec2 
De aquí construimos las llamadas “Identidades fundamentales”:
1.
Sen   1  Cos 2 
2.
Cos   1  Sen 2 
3.
Sec   1  tg 2 
11
Co sec   1  Cotg 2 
4.
Aún más, se pueden lograr relaciones de cada una de estas razones gracias a un
simple expediente gráfico con ayuda del teorema de Pitágoras.
a)
Sen
1
b)
1
1  Cos 2 
α
α
1  Sen 2 
Cos
c) 1  tg 2 
Tg 
cos ec 
d)
α
1
α
1
cos ec 2   1
e) 1  cot g 2
f) Sec 
1
α
Sec2  1
α
Cotg
1
En cada gráfico buscamos la razón trigonométrica según la definición:
Así en a) tg  
sen 
1  sen 2 
: sec 
1
1  sen 2 
12
: cos 
1  sen 2
1
De este modo se puede construir en una tabla todas la relaciones o “identidades
fundamentales” de las razones entre sí.
cos 
Sen
cos ec 
tg 
tg 
Sen
cos 
tg 
cos ec 
___
1  cos 
2
cot g 
1  tg 
cos ec 2  1
cos ec 
1
1  tg 
1  sen 
____
sen 
1  cos 2 
cos 
____
1
tg
2
1  sen 
2
1
sen 
1  cos 
2
1
sec
1
cos ec 
2
1  sen 
2
1  sen 2
sen 
2
1
cos ec   1
1  tg 
_____
2
1  cos2 
sec 2   1
sec 
1
1  cot g 2 
cot g 
1
sec
1  cot g 2
1
cot g 
sec 2 
sec 2   1
sec 
1  cot g 2
cot g 
cos ec 
cos ec   1
____
cosec   1
sec   1
2
cos
cot g 
2
1  tg 2 
1
cos 
sec
1  cot g 2
_____
1
1
tg
2
2
3) Siendo 360º = 2π rad. Donde 1 radián es el ángulo cuyo arco es la medida del radio,
como éste esta contenido 2  veces en la circunferencia que equivale al ángulo
completo de 360º. Entonces:
360º = 2π rad.

90º =
rad.
2

60º =
rad.
3
180º = π rad.

.45º =
rad.
4

30º =
rad.
6
4) Como en la fig. 1 :  

2
r
r
r
   Sen   cos  




Sen  cos    cos  sen    
2

2




y
cot g   tg
 tg   cot g    
2

pues:
cos  sen 


  
2

13
5) Del gráfico
C

4
2

Sen
1
tg

4

4
 cos

4

1
2

2
2
1
4
B
A
1
C

a
A
3
a
2
a
2
a 3
2
 6
 6
a


3
a
2
a
2
1

Sen  2 
sen 
6 a 2
3
a 3

3
cos  2 
6
a
2
a
a 3
2  3
a
2
B
Lo que podemos resumir en el siguiente cuadro
α
Sen α
Cos α
0
1
0
2
1
4
2

6

4

3

2
1
1
2
1
3
2
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
1
2
1
4
2
1
0
2
Identidades trigonométricas:
Son relaciones de igualdad válidas para todo valor del ángulo, cuya verificación se logra
con las identidades fundamentales y algunos recursos algebraicos
Ejemplo:
Verificar las identidades elementales
14
a) sen   sec   tg 
Solución.:
sen   sec    sen  
1
 tg 
cos
b) cot g   sec  sen  1
Solución.:
cot g   sec   sen  
c)
cos 
1

 Sen   1
sen cos 
cos  sen
 cos ec  Sec
sen cos
Solución.:
1º. miembro :
cos  sen
cos
sen
1
1




sen cos
sen cos
sen cos sen  cos
2º miembro : cos ec   sec  
d)
1
1

sen  cos 
sen 2
 cos  sec 
cos
Solución.:
sen 2  cos2 
sen 2
1
 cos 

 sec 
cos
cos
cos
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son relaciones de igualdad validas para ciertos valores del ángulo, valores que buscamos
encontrar, pero ello demanda una mayor profundización en el tema veremos algunos
ejemplos muy elementales.
1) sen 4 x 
1
2
Solución.:
15
sen 4 x  sen

6
 4x 

6
 x 

24
3
x 
2) cos   
3 4 2
Solución.:

x  
x


x 
cos    cos        x  
6
3 3 6
3
12
4
3 4




3) cos x    cos  2 x 
4

3

Solución.:

 
 




cos x    cos  2 x   x    2 x  3x    x 
4
4 3
3 4
36

3

OTRAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Otras identidades que son de uso frecuente son:
1)
Sen     sen cos   cos sen
Sen (   ) 
SP ST  TP

OS
0S
S
Sen  Cos  
α
T
RQ OR TP


OR OS OS
Cos  Sen  
ST SR ST


SR OS OS
R
_____________________
Sen(   )  SenCos  CosSen
β
O
α
P
Q
16
2)
3)
Cos(   )  CosCos  SenSen
tg  tg 
3) tg     
1  tg  tg 
De ellas se puede deducir que (haciendo    )
a) Sen 2  2 sen  cos
b) cos 2   cos2   sen 2
2 tg 
c) c) tg 2 
1  tg 2
De aquí se puede obtener las siguientes nuevas identidades
a) Sen

2

1  cos
2
b) cos

2
1  cos
2

c) tg

2

sen 
1  cos

1  cos
sen
En efecto:
a)

1  cos 2
  debemos probar que: Sen  
como vemos que
2
2
1  cos 2
1  cos 2
Sen  
 Sen2  

2
2
2 sen2   1  cos2   sen2    sen2   cos2   1
Si tomamos
como esto último es verdadero lo anterior lo es si argumentamos en reversa es decir a
partir de esto último y ( lo normal seria partir de este punto y construir lo que sigue en el
proceso pero ello es más laborioso). De igual modo se verifica las otras identidades.
Ejercicios
 7 
1) Calcular el valor numérico de: Sen 

 12 
Solución.:
17




 7 
  
Sen
  sen    Sen cos  cos  Sen
4
3
4
3
 12 
4 3

2 1
2 3
2
6 1






2 2
2 2
4
4
4

2 6



2) Calcular Sen   
2

Solución.:




Sen    sen cos  cos sen
2
2
2

 Sen  0  cos  1 
 cos 
3) Demuestre que cos     cos     2 cos cos 
Solución.:
cos     cos     cos cos   sen  sen   
cos cos   sen  sen  
a)
cos     cos     2 cos cos 
De igual forma se puede verificar que :
b)
sen     sen      2 sen cos 
c)
cos     cos     2 sen  sen 
Nótese que haciendo  
x y
x y
y 
se llega a:
2
2
x y
x y
a) cos x  cos y  2 cos
 cos 

 2 
 2 
18
x y
x y
b) Sen x  sen y  2 sen 
 sen 

 2 
 2 
x y
x y
c) cos y  cos x  2 Sen
 sen

 2 
 2 
Estas identidades son de gran utilidad para estudios posteriores.
4.- Si tg 
4
5Sen   7Cos 
, Hallar el valor de
.
15
6Cos   3Sen 
Solución.
Recurriendo al cuadro de identidades (Pág. 13)
tg
1
4
15
luego
Sen 
Cos 
 Sen 
y Cos 
241
241
1  tg 2
1  tg 2
5Sen   7Cos  20  105 125


.
6Cos   3Sen 
90  12
78
5.- Si Tg  Sec  2, Demostrar que Sen  
3
5
Solución.
Tg  Sec  2  Sen  1  2Cos  (Sen  1) 2  4(1  Sen2 ) 
28
3
ó Sen  
10
5
1
2
6.- Determinar el valor numérico de: X= 3Tg 2 30 º  Sec 60 º 5Cotg 2 45º  Sen 2 60 º
4
3
5Sen 2  2Sen   3  0  Sen  
Solución.
Con ayuda del cuadro de la pág.14:
3
3
 X 6
Tg 30º 
; Sec60º  2 ; Cotg 45º  1 ; Sen60º 
3
2
7.- Comprobar las identidades:
a) Sec4  1  2Tg 2  Tg 4
19
b)
Tg
Tg

 2Co sec 
Sec   1 Sec   1
c)
2 Sen   Cos   Cos 
 Cotg 
1  Sen   Sen 2  Cos 2
d) Sen Cos Tg  Cos Sen Cotg  1
Solución.
a) Reescribiendo el primer miembro como: (Sec2  1)(Sec2  1) y el segundo
miembro como:
Tg 2 (2  Tg 2 )  (Sec2  1)(2  Sec2  1) ,
la identidad a demostrar quedaría:
Sec2  1  Sec2  1 , por lo que no hay nada que demostrar.
b) Como una identidad no puede trabajarse admitiendo la igualdad, es que
desarrollamos el primer miembro y/o el segundo por separado.
1º M
Tg
Tg
Tg (Sec  1)  Tg ( Sec  1) 2Tg Sec 2Cos Sec




 2Co sec
Sec  1 Sec  1
Sen
Sec2  1
Tg 2
c) 1ºM:
Cos (2Sen  1)
Cos (2Sen  1) Cos


 Cotg
2
2
Sen
1  Sen  Sen   (1  Sen  )
2Sen2  Sen
d) Sen Cos Tg  Sen2 y Cos Sen Cotg  Cos2 , la suma resulta 1.
Algunos Problemas
1) Un poste colocado a 100 mts. de un punto de observación, el observador ve su cúspide
bajo un ángulo de 30º. Hallar la altura del poste.
Solución.:
h
20
30º
tg 30º 
h
3

 h  50 3
100
2
100
2) En la orilla de un canal hay dos personas a 50 mts. una de la otras; en la otra orilla y en
un lugar intermedio un observador ve a uno en un ángulo de 30º y al otro en uno de 45º
¿Cuál es el ancho del canal?
Solución.:
tg 45º 
50
A
h
1
50  x
B
h
h
h
3

x
2
__________
_____
tg 30º 
h  50  x ; x 
45
50-x
2h
3
2h
 h  50 
3


2 
50
  50  h 
h1 


2 
3

1 

3

3) Pruebe que en el triángulo ABC su área está dada por
A
1
1
1
bc Sen   ac Sen   ab seb 
2
2
2
Solución.:
C
a
b
h
A
α
c
B
21
30
x
A
1
h
AB  h : Sen    h  b Sen 
2
b
A
1
bc Sen  .
2
Los otros resultados se logran del mismo modo (rotando los vértices)
4) Pruebe el llamado “teorema del seno”
sen  sen 
sen 


En un triángulo ABC
a
b
c
Solución.:
A
1
1
1
bc Sen   ac Sen 
ab Sen  
2
2
2
bc sen   ac sen   ab Sen  / : abc
sen  sen 
sen 


a
b
c
5) Pruebe el llamado “teorema del coseno”
a 2  c 2  b 2  2bc cos
C
b
a
h
A
α
x
c-x
B
x  b cos  c  x  h 2  a 2 
2


c 2  x 2  2c x  b 2  x 2  a 2
22
c2  b2  2bc cos   a2
Observación
Al término de esta visión muy elemental del tema solo nos corresponde esperar
que el alumno a partir de ello pueda insertarse exitosamente en los contenidos del
programa regular de la signatura
23
TEMA Nº 4.- GEOMETRÍA ANALÍTICA (Conceptos básicos)
En esta parte del programa, contamos con que el estudiante en, algunos casos, ya tiene
algún manejo de ciertos conceptos básicos de la Geometría Analítica obtenidos en la
enseñanza media. Sin embargo aquí daremos una breve información para homologar y
ponernos a un nivel común. No se trata de contenido completo de un curso de este tema
sino más bién una somera información.
4.1.- Plano Euclidiano
El plano Euclidiano ó plano geométrico está conformado por puntos P, los que son
representados mediante un sistema Cartesiano de ejes por pares ordenados de reales (x,y)
,estableciéndose una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de
los pares ordenados .Así el punto señalado por P se asocia al par (x,y) donde “x” es la
abscisa del punto e “y” la ordenada de él , como lo muestra la fig.
y
y
P
x
x
Fig.
1
4.2.- Distancia entre dos puntos.
Los puntos: P( x1 , y1 ) y Q( x2 , y 2 ) ,según la fig. son vértices del triángulo rectángulo PQR.
Y por tanto la distancia d(P;Q) se define como la hipotenusa de dicho triángulo.
Como: d (Q; R)  x2  x1 ; d (P; R)  y2  y1 y de acuerdo al Teorema de Pitágoras:
R
d ( P; Q)  d 2 ( P; R)  d 2 (Q; R)  d ( P; Q)  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 .
2
Y
y
P(x1 ,
y1)
1
y1 – y2
R
y
2
x1 – x2
x
x
1
2
24
Q(x2 ,
y2) x
Y
Propiedades:
Q
R
a) d(P,Q)  0
P
b) d(P;Q)=0  P  Q
X
Fig.
3
d) d(P;Q)+d(Q;R)  d(P;R) .Esto se puede verificar en la fig.
c) d(P;Q)=d(Q;P)
4.3 .- División de un trazo en razón dada.
Si P es un punto del trazo P1 P2  P1 P  PP2
x  x1   ( x 2  x)
y  y1   ( y 2  y )

con P  ( x, y) P1  ( x1 , y1 ) P2  ( x2 , y2 )
x
x1  x 2
1 
y
y1  y 2
1 
Luego si   1 el punto P dimidia al trazo P1 P2
Ejemplo:
1.- Los puntos extremos de un segmento o trazo son: P1 (2,4) y P2 (8,4) .Hallar el punto
P(x,y) que divide en la razón -2.
Solución:
x
x1  x2 2  2  8

 14
1 
1 2
y
y1  y2 4  2  (4)

4
1 
1 2
25
2.- Los extremos de un segmento son los puntos: P1  (7,4) P2  (1,4) ; el punto
P  (1,2) lo divide en la razón  ,determinar su valor.
Solución.
1
7   (1)
  3
1 
3.- Los puntos medios de los lados de un triángulo son: (2,5) , (4,2) y (1,1) .Hallar las
coordenadas de los vértices.
Solución
Sean A(a1 , a2 ) B(b1 , b2 ) C (c1 , c2 ) los vértices,
entonces
a1  b1
a  b2
b c
b  c2
c  a1
c  a2
 4 y; 2
2 ; 1 1 2 y 2
5 1
1 y 2
1
2
2
2
2
2
2
Planteando y resolviendo estos sencillos sistemas se tiene
: a1  3 b1  5 c1  1 a2  2 b2  6 c2  4 luego los vértices son :A(3,-2) B(5,6)
C(-1,4)
4.4 .-La Recta.
La entendemos como un Lugar Geométrico, o sea una colección de puntos sujetos a una
ley determinada , expresada en sus componentes. Así:
Recta por dos puntos:P y Q


( y  y1 )
( x  x 2 ) .
P( x1 , y1 ) y Q( x2 , y 2 )  L  ( x, y ) ( y  y 2 )  2
( x 2  x1 )


Q
y2
y
P
y2 – y1
m = tg α
x1 - x2
α
y1
α
x1
26
x
x2
y 2  y1
, se llama la pendiente de la recta y corresponde a la tg ( )
x2  x1
de modo que la ecuación toma la forma:
En la
figura : m 
y  y2  m( x  x2 ) .
Que corresponde a la recta por el punto Q( x2 , y 2 ) y con pendiente m .Si la escribimos
como
y  mx  ( y2  mx2 ) ,
ó
y  mx  b ,
Decimos que tiene la forma estándar; siendo b el punto en que corta al eje “y” ó coeficiente
de posición y ello se ve cuando hacemos x=0.
y
b
a
x
Si los puntos fueran: P(a,0) y Q(0, b) , la recta tomaría la llamada forma de segmentos:
x y
  1,
a b
lo que se consigue haciendo las sustituciones correspondientes en la primera ecuación y que
corresponde a los segmentos que ella determina en los ejes coordenados como se ve en la
fig:
b
a
27
Por lo tanto toda recta tiene la forma General:
Ax  By  C  0 ,
o sea una relación de primer grado en x e y. Despejando y :
A
C
A
y  x m
B
B
B
Ejemplos:
1. Dada la recta : 5x +4y = 8. Encontrar : a) pendiente ;b)intersección con los ejes ;c)
verificar si el punto (3,-2) está en ella ;d) encontrar la ordenada para que (-1,y) sea de la
recta.
Solución:
5
5
a) 5 x  4 y  8  y   x  2 , luego m  
4
4
8
.
5
c) En 5x  4 y  5  3  4  (2)  7  8 , luego no contiene al punto.
13
d) En 5  (1)  4 y  8  y  .
4
b) En 5x  4 y  8 ; hacemos : x  0  y  2 ; y  0  x 
2. Encontrar la ecuación de la recta con pendiente m 
2
y que contenga al punto (1,1).
3
Solución:
En y  mx  b  y 
2
2
3
2
3
x  b  1  1  b  b   y  x  .
3
3
2
3
2
3. Determinar la pendiente de la recta que pasa por: P(2,5) y Q(1,3) .
Solución :
Como m 
y 2  y1
35
8
m
 .
x2  x1
1 2
3
Rectas paralelas y rectas perpendiculares.
Entendamos que las rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente, es decir hacen
igual ángulo con el eje x; y serán perpendiculares si el producto de las pendientes es -1.Lo
28
primero se aprecia claramente en la figura y la perpendicularidad se comprueba teniendo
que:
1  Cotg Cotg



          Cotg(    ) 
 cot g  0 
2
2
Cotg  Cotg
2
1  Cotg Cotg  01 
1
 0  Tg Tg  1
Tg Tg
Luego teniendo las rectas:
L1 : A1 x  B1 y  C1  0 y L2 A2 x  B2 y  C2  0 con pendientes:
A1
A
y m2   2 , Por lo tanto el paralelismo se expresa
B1
B2
por: m1  m2 o sea A1 B2  A2 B1 y la perpendicularidad
por: m1  m2  1 o sea A1 A2  B1 B2  0 .
m1  
Y
Y
L
2
A1 A2  B1 B2  0
X

A1 A2  B1 B2  0

X
L
L
1
1
L
2
Finalmente el punto de concurrencia de las rectas no paralelas se determina resolviendo el
sistema:
A1 x  B1 y  C1
A2 x  B2 y  C2 .-
L1
29
L2
Ejemplo:
Determinar el punto de concurrencia de las rectas:
3x  5 y  8 ;  2 x  5 y  1
Solución:
3x  5 y  8
 2 x  5 y  1
_____________________/
13
x7e y
5
4.5 La circunferencia:
La entendemos como el Lugar Geométrico de los puntos P(x,y) del plano cuya distancia a
otro fijo C(a,b),llamado centro ,es la constante R, llamada el radio de ella. La figura que
acompaña ahorra más detalles.
(x,y)
R
b
y-b
x-a
a
De la definición dada y el teorema de Pitágoras se deduce su expresión analítica:
( x  a) 2  ( y  b) 2  R 2
(a)
Donde (a,b) es su centro y R el radio ,luego si el centro es (0,0) tomará la forma:
y
30
R
0
x
x2  y 2  R2
.
Desarrollando la expresión analítica vemos que es de la forma:
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
(c)
Sin embargo no toda expresión de esa naturaleza puede representar una circunferencia,
pues para que ello ocurra debe poder cumplir con lo demandado al completar los cuadrados
de binomio:
(x 
D 2
E
D2 E 2
D 2  E 2  4F
)  ( y  )2 

F 
 R2
2
2
4
4
4
la condición será que : D 2  E 2  4F  0 ;de modo que (
D E
, ) es su centro y
2 2
1
D 2  E 2  4 F el radio.
2
Para identificar la circunferencia necesitamos conocer 3 incógnitas, veamos los Ejemplos:
1. Hallar la circunferencia centro en el origen y contiene al punto P(1,-4).
Solución:
Será de la forma (b) ,luego 12  (4) 2  R 2  R  17 x 2  y 2  17 es la ecuación.
17
17
1
-4
31
2. Hallar la circunferencia centro en (3,0) y contiene al origen.
Solución.:
En la forma a) ( x  3) 2  ( y  0) 2  R 2 y (0  3) 2  (0.  0) 2  R 2  R  3 ;
y la ecuación será:
( x  3) 2  y 2  9 .
3. Encontrar la circunferencia tangente a los ejes y centro en (-3,3).
Solución.:
( x  3) 2  ( y  3) 2  R 2 al ser tangente a los ejes:  R  3 ,luego
( x  3) 2  ( y  3) 2  9 es la solución buscada.
En la forma a)
3
-3
4. Determinar la circunferencia que pase por los 3 puntos (0,6);(4,-2);(9,3).
Solución.:
La forma c) nos genera el sistema:
36  6 E  F  0
16  4  4 D  2 E  F  0
81  9  9 D  3E  F  0
(0,6)
5
3
(0,3)
(4,-2)
32
Cuya solución es : D  8; E  6; F  0 y la ecuación será: x 2  y 2  8x  6 y  0 .
5. Encontrar radio y centro de la circunferencia : x 2  y 2  8 y  7  0 .
Solución.:
Debemos dar la forma a ) para ello completamos el cuadrado de binomio:
x 2  ( y  4) 2  9 .
3
4
6. Señalar radio y centro de : x 2  y 2  24x  10y  0.
Solución.:
Para llegar a la forma b) completamos los cuadrados de
binomio: ( x  12) 2  ( y  5) 2  144 25 ó ( x  12) 2  ( y  5) 2  13 .
Debemos reiterar que nuestro propósito no es hacer un desarrollo acabado de estos
temas, sino mas bien definir un piso mínimo para que el inicio de los estudios tenga una
base común.
33
34
MATEMATICA GENERAL
TEMA Nº 5.- ELEMENTOS DE ALGEBRA CLÁSICA.
INTRODUCCION
Luego de conocer los fundamentos y consecuencias de los reales, nos disponemos a
efectuar una revisión de ideas en torno a la operatoria con tales elementos; ello con el
propósito de observar con una óptica diferente, fundamentada y lógica, aquella operatoria
que nos debió parecer arbitraria o inexplicable; el beneficio de esta revisión es evidente.
Junto a esto está también la oportunidad de ejercitar un espíritu crítico que esperamos haber
fomentado en los capítulos anteriores.
Este último tema tendrá una connotación y estructura diferentes, por lo que se ha dicho;
estará constituido básicamente por listados de ejercicios operatorios de los temas de
Algebra de los Reales más relevantes de la Enseñanza Media.
Tiene por lo tanto también un carácter evaluativo que el alumno podrá autoaplicarse una
vez concluida la etapa de análisis de conceptos y revisión de técnicas operatorias. Sin
embargo se incluyen, en algunos casos, el fundamento de algunas reglas operatorias para
que el alumno observe con igual sentido todos los algoritmos operacionales del texto.
5.1 Expresiones Algebraicas:
Definición:
Se llama Expresión Algebraica, a aquella constituida por las operaciones de suma y
producto y otras entre factores numéricos y literales, estos últimos representativos de
valores reales arbitrarios.
Ejemplos:
1. 3a  5b  2c.
2. (x-2)5y
3.
a2  b2
2a  3b
4.
x3
5
35
5.2 Valor numérico de una expresión algebraica:
Se consigue sustituyendo en cada factor literal los valores numéricos asignados.
Ejemplo:
Determinar valor numérico de las siguientes expresiones.
a)
3a2 bc – 2a
b)
3a 2 b3 
3
a  b 2
4
1
ab2  a 2 b
 a b c
a  b c
c)
4
;
Si a = 2; b = 1 ; c = 3
;
Si a = 2; b = 1
;
Si a = 2; b = 1; c = 3
Solución.:
3a2 bc – 2a = 3  4  1 3 – 2  2 = 32 //
a)
3a 2 b 3 
3
a  b 2 
4
3  4 1 
27
4
//
 2 3  6
3
4
//
1
2


4
3 3
4

b)
c)
2 12  2 2  1
(2  1)3

2  1  3
3
2  12 
4
12 
6
1
4
Ejercicios:
Determine el valor numérico para:
1)
3x2 - 6x + 5
;
Si x = 5
2)
x2 - 2xy + y2
;
Si x = 4 ;
36
y=2
3)
(x + y) ( x – y) - x2 + y2
4)
z 2
x  y2 
3
5)
6)
7)

x
3
xy


 y3 : x 2  xy  y2
xy
;
Si x = 13 ; y = 14
;
Si z = 10 ; x = 27 ; y = 3

x 1  x 2
x 3
p p  a   p  b  p  c
;
;
Si x = 10 ;
;
Si x = 2
y = 20
Si
a = 35 ; b = 28 ; c = 31
p
1
a  b  c 
2
5.3 Reducción de Términos Semejantes
En una expresión algebraica, son términos semejantes aquellos que tienen los mismos
factores literales y los mismos exponentes aunque el factor numérico sea diferente:
Ejemplo:
a)
 7a 2 b ;
b) 0,2 xy
1
3
;
3 2
a b ;
4
1
1
xy 3
4

2 a
b

;  0,35 xy
2
1
3
Reducir términos semejantes es agrupar en un solo los términos semejantes entre si
efectuando las operaciones algebraicas que se señalen.
Ejemplos:
Reducir términos semejantes:
a)
-5 a3 b4 - 7a3 b4 -3a 3 b 4 + 12a3 b4 - 13a3 b4
b)
24a - 7b + 12c - 11a - 3b + 11c - 5a + 9b + 6c
c)
2
4
a 
b  0,25a  0,2b  a  b
3
5
37
Solución:
 5a 3 b 4  7a 3 b 4  3a 3 b 4  12a 3 b 4  13a 3 b 4 
a)
 28 a 3 b 4

12a 3 b 4

 16 a 3 b 4
b)
//
24a - 11a - 5a - 7b - 3b + 9b + 12c + 11c + 6c =
8a
-
b
+
29c //
2
1
4
1
a 
a  a b 
b  b
3
4
5
5
c)
11
3
a  a b  b 
12
5

1
2
a 
b
12
5
//
Observación:
Esta reducción recoge la propiedad asociativa de los reales
Ejercicios:
Reducir términos semejantes:
1) 3m - 7m + 5m - 7m + 3n - 8p - 5n + 8p
2) x - 5y + 8 + 7x - 3y
3) 3
1
1
1
1
1
1
1
a  5b  7 c  2 a  4 b  c  6 c  1 a  8b
2
3
3
2
6
2
4
4) 12xy - 4x2y + 6xy2 - 4x2y + 3xy + 8xy2 - yx3 - x2y2
5) 0,75x - 0,6y +
1
1
y + 1 x - y
2
2
38
6) 8
1
2
1
1
a - 6,35b - 5,7a - 2 b + 1 a + 7 b
3
12
6
3
7) 32x + 17y + 14z - 21w - 0,86x -
3
1
y z
4
17
5.4 Resolución de Paréntesis
Los paréntesis se usan para agrupar o asociar expresiones y cuya resolución se rige por las
propiedades de distributividad en los reales o asociatividad de estos:
Ejemplos:
Resolver paréntesis en:
a) 5a + (3b – 2a + c) - 4c
b) 7x - (3x + 9) + (6x + 8)
c) 3x  (2a - b) + 3xa  xb  xa
Solución:
a) 5a + (3b - 2a + c) - 4c = 5a + 3b - 2a + c - 4c
=3a + 3b-3c
b) 7x - (3x + 9) + (6x + 8) = 7x - 3x - 9 + 6x + 8
=10x – 1
c) 3x  (2a - b) + (3xa - xb + xa) = 6xa - 3xb + 3xa - xb + xa = 10ax – 4
bx.
Observaciones:
Recuérdese las siguientes propiedades de los reales:
- (a + b) = - a - b
- (a - b) = - a + b
- (-a - b) =
a + b
39
Ejercicios:
Resolver paréntesis y reducir términos semejantes:
1) (a - b + c) - (a + b - c) + (-a + b + c)
2) m -  (m  n)  (m  n)  (m  n)
3) (9a - 4c) - (3a  b)  (4c  6a )
4) (7a - 2b) - (3a  c)  (2b  3c)
5) 2a - 2b + 3x  3a  (a  b)  (a  b)

6) a - 2b  3x  3a  (a  2b  (a  b)
7) - b  (a  b)    (b  a )  
5.5. Suma de Expresiones Algebraicas
La suma de expresiones algebraicas se hace entre términos semejantes; empleando las
propiedades asociativas, conmutativas y distributiva que caracteriza a los reales:
Ejemplo:
Si A = 3x2 - 4x + 8 ;
B = 2x2 - 6x + 4 ;
C = -6 + 4x + x2
Calcular
a) A + B
b) 3A + 2B - C
c) (A + B) + (-2A - 3B) - 6C
Solución:
a)
A + B = (3x2 - 4x + 8) + (2x2 - 6x + 4)
= 3x2 + 2x2 - 4x - 6x + 8 + 4
= 5x2 - 10x + 12
//
40
3A + 2B - C = 3(3x2 - 4x + 8) + 2(2x2 - 6x + 4) - (-6 + 4x + x2)
b)
= 9x2 + 4x2 - x2 - 12x - 12x - 4x + 24 +8 + 6
= 12x2 - 28x + 38
c)
//
(A + B) + (-2A - 3B) - 6C = A - 2A + B - 3B - 6C
= -A - 2B - 6C
- (3x2 - 4x + 8) - 2(2 x 2 - 6x + 4) - 6 (-6 + 4x + x2) =
- 3x2 + 4x - 8 - 4x2 + 12x - 8 + 36 - 24x - 6x2 =
- 3x2 - 4x2 - 6x2 + 4x + 12x – 24x - 8 - 8 + 36 =
- 13x2 - 8x
+20
//
Ejercicios:
1. Sumar las expresiones:
Si:
A = 5a + 6b - 7
B = 3a - 4b + 2
C = -4a + 3b - 4
1) A + (B - C)
2) –A - (B – 2C)
3) 2A + 3B - (2C + 4A)
2. Calcule
a) De la suma de 6xy - 8x + 15
con
- 7x2 + 8xy - 10
réstese
5x2 + 8xy – 20
b) Sume
3 2 1 2
1 3 3 2
x  x  5xy con el doble de
x  x  3xy
4
2
2
4
41
c) Al doble de 3x2 - 12x + 6 aumentado en 11, réstese un medio de la suma entre
(x2 + 4x + 2) y (-2x2 + 6x + 4)
d) El Semi-perímetro de un rectángulo es 3x + 2y + 7, y el ancho es:
x - 3y + 2 ¿Cuál es el largo?
5.6 Producto de expresiones Algebraicas:
a) Producto de Monomios
Para ello se emplean las propiedades del producto de reales y se multiplican los
coeficientes numéricos entre sí y los coeficientes literales homólogos.
Ejemplo:
Multiplicar
1
3
a) 3a 2  ax  x 2
2
2
1
  1
b) (-8ab)   a 2 b2     
4
  2
c) axn  bxm  c x
Solución:
a) 3a2 
1
3 2
1
2
ax 
x  3
 a2  a  x  x2
2
2
2
3
= a3 x3
//
1
  1
 1   1
b) (-8ab)  a 2 b 2       8      a  a 2  b  b 2
4
  2
 4   2
= a3 b3
//
c) axn  bxm  cx = a  b  c xn  xm  x
= abc xn+m+1
42
Ejercicios:
Multiplicar los monomios
a)
 3a    2a 
2
3


 3 
b)   a   2a 3 b  4a 
 2 
c) 14a2 bcx  (-8ab3 x)
d) 7ab3 c2  0,21 a2 b2 c2 
1 3 2
a bc
14
p q 2 pq
e)


q p2 q 2
f) 5a3 b3  3a-3 b3  7ab
g) a a  b ab  c abc
b) Producto entre polinomios:
Su ejecución contempla la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y las
otras propiedades o axiomas del cuerpo .
Ejemplo:
a) (5ab - 3a)  2a2 b2
b) 3 (-2a2 - 6ab2)  (a3 b3)
c) (2x - 6) (x + 4)
Solución:
a) (5ab - 3a) 2a2 b2 = 10 a3 b3 - 6 a3 b2
//
b) 3 (-2a2 - 6 ab2) (a3 b3) = (-6a2 - 18 ab2) (a3 b3)
= 6 a5 b3 - 18 a4 b5 //
c) (2x – 6) (x + 4) = 2x (x + 4) - 6 (x + 4)
= 2x2 + 8x - 6x - 24
43
= 2x2 + 2x - 24
//
Ejercicios:
Multiplicar y reducir términos semejantes.
1)
 6a
2

 1 
b2  8ab3  4a 2 b3    ab 
 2 
2) (x - 8) (x + 6)
3) (x + 4) (x - 3) (x + 1)
4) (6x2y - 3xy + 4xy2 + 8x2y2 - 7x2y) (xy2 - x2 y2)
5) (x - y) (x2 + xy + y2) (x3 - y3)
6) 3(2x - 6) + 4 (3x + 4) - 7(2x - 1) + 8(x + 3) (x + 1)
7) (x + 2y) (x + 2y) (x + 2y)
Observación:
Hay ciertos productos usuales, que es necesario conocer su desarrollo.
1. Cuadrado de Binomio
(a + b) (a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b) (a - b) = (a - b)2 = a2 -2ab + b2
2. Cubo de Binomio
(a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a - b) (a - b) (a - b)
= (a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3
3. Producto de binomios que sólo difieren de un signo
(a + b) (a - b) = a2 - b2
(-a - b) (-a + b) = a2 - b2
4. Binomio con un término común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) + ab
44
5. Cuadrado de Polinomio
(a + b + c …..)2 = a2 + b2 + c2 …. + 2(ab + ac +` bc + …..)
6. Suma de Cubos
(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)
(a3 - b3)
= (a - b) (a2 + ab + b2)
Ejercicios:
Resolver los productos notables siguientes:
1)
(2a + b2)2
2)
ba  2 (b  ab)2
3)
(6x - 3y)2
4)
(3ax + 2ay)2
5)
(-2ª - 2b)2
6)
(x - 2)3
7)
(2xy - 5y)3
8)
(3x - 2y + z)2
9)
(2xy - x2 + y2)2
10) (3ax - 2ay) (3ax + 2ay)
11) (2x - 3y) (3x - 2y) (2x + 3y) (3x + 2y)
12) (2x - 6) (2x + 9)
13) (x - xy) (x + x2)
14) (x - 8) (x - 4) (2x - 3)
15) (a + 3ª2 + b + 2b2)2
16) (x - y + z)3
17)
1
1 2 3
1
 x  xy  xy z 
3
4
2

2
45
5.7 Factorización de Expresiones Algebraicas
Se trata de restituir a un producto, una expresión algebraica desarrollada como una
aplicación de la propiedad distributiva.
Ejemplo:
Factorizar las expresiones siguientes:
a) (2ax - 3x)
b) 3ax2 - 2ax
c) 2a3 b2 c4 d - 6ab4 c3 + 8a2 b2 c4 d2
d) x2 - 2x + 1
e) 9x2 - 16
f) x2 - x - 6
Solución:
a)
2ax - 3x = x (2a - 3)
b)
3ax2 - 2ax = a x (3x - 2)
c)
2a3 b2 c4 d - 6ab4 c3 + 8a2 b2 c4 d2 = 2ab2 c3 (a2cd - 3b2 + 4acd2)
d)
x2 - 2x + 1 = (x - 1)2
e)
9x2 - 16 = (3x - 4) (3x + 4)
f)
x2 - x - 6 = (x - 3) (x + 2)
Observación:
Un problema de factorización frecuente es el caso de un trimonio cuadrático.
ax2 + bx + c
Recuérdese el producto:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
es decir, en el trinomio:
46
x2 + sx + py
“s” representa la suma de los términos no comunes y “p” el producto de los mismos; por
eso en:
x2 - x - 6 ;
s = -1
p = -6
o sea
a + b = -1
ab = -6
a = -3 ; b = 2

x2 - x - 6 = (x - 3) (x + 2)
Ejercicios:
Factorizar los trinomios
1)
x2 - 5x + 6
2)
x2 - 7x + 3
3)
10x2 + 17 + 3
4)
-6x2 + 37x - 45
5)
6x2 + xy - 12y2
6)
10x2 + 17xy + 3y2
7)
x2 + x + 1
8)
3x3 - 12x2 + 9x
9)
x5 - ax4 - a4x + a5
10) (a + b)2 - 4ab
11) a12 + b12 ó (a4)3 + (b4)3
12) a12 - b12
5.8 Simplificación de Expresiones Racionales
Simplificar una expresión racional es cancelar factores comunes que parecen en el
numerador y denominador de ella; esto es la aplicación de la propiedad del inverso
multiplicativo.
47
Ejemplo:
Simplificar
a)
2x  4
4a  2
3ab2  2a 2 b
b)
ab (a  b)
c)
x 2  5x  6
x2  x  6
Solución:
a)
2x  4 2 (x  2)

 2 ( x  2)  21  (2a1)1
4a  2 2 (2a  1)
 2  2 1 ( x  2) ( 2a  1)
 1  ( x  2) (2a  1) 1
x2

2a  1
3ab2  2a 2 b ab (3b  2a ) 3b  2a
b)


ab (a  b)
ab (a  b)
ab
c)
x 2  5x  6
(x  3) (x  2) x  2


2
x x6
(x  3) (x  2) x  2
Observación:
Este trabajo de simplificación, si no se hace concientemente es fuente de graves errores, de
ahí el desarrollo detallado del ejemplo a) hago usted lo mismo con:
a)
ab
a  b2
2
48
b)
x 2  y2
2x  2 y
c)
a 3  b3
a 2  ab  b2
Ejercicios:
Simplificar o cancelar factores comunes en:
1)
3x  9
2x  6
2)
ab
a  3a  3ab2  b3
3)
a 6  b6
2a 2  2b 2
4)
a 3  b3 2ab(a  b)
(a  b)
6
2
a2  1
5)
5a 2  10a  5
6)
x 2  2xy  y2
mx  my
5.9 Cuociente de Expresiones Algebraicas
a) Cuociente entre Monomios: Se trata, como ya se sabe, de un producto del monomio
dividendo por el inverso multiplicativo del monomio divisor.
Ejemplo:
a) 16 a2 b5 c6 : 4ab3c3
b) -0,14a3 b-2 c-4 : 10a3 b3 c3
Solución:
49
a) 16 a2 b5 c6 : 4ab3 c3 = (16a2 b5 c6)  (4ab3 c3)-1
= 16 a2 b5 c6  4-1 a-1 b-3 c-3
= 16  4-1 a2  a-1  b5  b-3  c5 c-3
= 4ab2 c3
otra forma
16a 2 b5 c6
 4ab2 c3
3 3
4ab c
Esta forma es una modalidad más frecuente pero la justificación para ello está en la
primera modalidad.
b) -0,14a3 b-2 c-4 : 10a3 b3 c =
0,14b-5 c-5 =
 0,14 3-3 -2-3 -4-1
a b c
10
0,14
b5 c5
Nótese que:
am
 a mn
n
a
 
am
 am  an
n
a
1
; puesto que
 a m  a  n  a m  n ; m , n  IN
Ya antes habíamos usado el hecho que
am  an = am+n ; m, n  IN
y que está basada en la asociatividad del producto, por cuanto:
am an = a a a .........a  a a .........a


 
 

m veces
n veces
= a a a ........... a

m  n veces
Ejercicios:
50
Efectuar las operaciones
1
1)  x 2 y3 z : 9 y 4 z 3
3
2) -12a4 b3 c-3 : -18 b-3 c4
3)
3 1 3 1 1  2
xy : x y z
5
5
5.10
Cuociente de Polinomio con monomio
Está basado en la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.
Ejemplo:
a) (15x4 y2 - 9x2 y3 + 12 xy4) : 3xy
3
1
 3
b)  a 3 b 2  a 4 b 4  : a 2 b3
4
2
 2
Solución:
a) (15x4 y2 – 9x2 y3 + 12xy4)  3-1 x-1 y-1 =
15 3
9
12 0 3
x y  xy 2 
x y  5 x 3  3xy 2  4 y 3
3
3
3
1 3 2 3 4 3 3 3 4
a b  a b  a b
1 2 a 3 b 2 3 2 a 4 b3
2
4
2
b)
 
 

2 3
2 3
3 2 3
2
3
a
b
4
3
a
b
a b
2
3 2 a 3 b4 1 1 1 2

 ab  a  ab
2 3 a 2 b3 3
2
Ejercicios:
Efectuar las divisiones:
1) (8a2 b5 - 16a3 b3 + 24a-2 b5) : 8a2 b3
2) (-4x7 y8 - 12x20 y10 + 24x21 y42) : 4x9 y-10
51
5.11
Cuociente entre multinomios
La división entre multinomio, aún cuando está determinada por la distributividad en los
reales, tiene un algoritmo especial para conseguir el cuociente y el resto, si lo hay. Puesto
que si A y B son dos expresiones se trata de encontrar las expresiones C y R tal que:
A = B C + R
C es el cuociente y R es resto
El algoritmo lo explicamos en el ejemplo
(a2 + 4ab + 3b2) : (a + b) = a + 3b
 a 2  ab
0  3ab  3b2
 3ab  3b 2
0
0
Observación:
Téngase presente que hay que:
Ordenar respecto a las potencias de una letra ambos multinomios.
a)
b)
c)
Se busca un elemento que multiplicado por el primer elemento del divisor resulte el
primer elemento del dividendo.
Se multiplica el elemento encontrado por todo el divisor y el producto se resta del
dividendo.
La diferencia es un nuevo dividendo y se repite el proceso hasta llegar a un resto cero
o un elemento que no permite continuar.
Ejemplos:
a) (3a5 - 6a2 + 9a - 7) : (2a2 - 3)
52
Solución:
3a5 - 6a2 + 9a - 7) :
(2a2 - 3) =
3 3 9
a  a3
2 
4

cuociente
9 

  3a 5  a 3 
2 

9 3
a  6 a 2  9a  7
2
27 
9
  a3 
a
4 
2
63
 6a 2 
a7
4


  6a 2  9
63
a  16
4
(Resto)
Luego debe tenerse que
3
  63
9

(3a5 – 6a2 + 9a - 7) = (2a2 -3)  a 3  a  3    a  16
9

2
  4
En efecto, realizando el producto se llega a:
27
a + 9
4
3a5 - 6a2 -
Sumando el resto
63
a  16
4
3a 5  6a 2  9a  7

Ejercicios:
Efectuar el cuociente y comprobar:
53
1)
(2x3 + 2x3 - 3x2) : ( 2x + 4)
2)
(x4 - 2x3 - 3x2 + 5x + 2) : ( x3 - 4x2 + 5x - 2)
3)
(x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 3x + 2 ) : ( x + 2)
4)
(x5 - 3x4 + x2 - 2x - 3 ) : (x - 3)
5)
(x7 + 3x6 + 2x3 + 3x2 - x + 1) : (x4 - x + 1)
6)
((x + 1)3 - x2 + 2x ) : (x2 + x - 1)
Observación:
El cuociente xn - yn : x - y ; tiene siempre resto cero cualquiera sea el valor de n
 N.
Ejemplo:
x5 - y5 : x - y = x4 + x3 y + x2 y2 + xy3 + y4

 x5  x 4 y
x 4 y  y5





 x 4 y  x 3 y2
x 3 y 2  y5
 x 3 y 2  x 2 y3
x 2 y 3  y5

 x 2 y3  xy4
xy4  y5

 xy4  y5
0


De igual forma podrá verificarse que:
x6 - y6 : x - y = x5 + x4y + x3y2 + x2y3 + xy4 + 5
y en general puede intuirse que:
xn - yn : x - y = xn-1 + xn-2 y + xn-3 y2 + …. + x2 yn-3 + xyn-2 + yn-1
54
Ejercicios:
Escriba el resultado directamente:
a) a5 - x5 : a - x
b) 8x3 - y3 : 2x - y
Igual situación a la anterior se produce con los cuocientes.
a) xn + yn : x + y
si n es par (n = 2p)
b) xn + yn : x + y
si n es impar (n = 2p – 1)
Verifíquelo para:
a) x8 - y8 : x + y
b) x7 + y7 : x + y
c) x6 - y6 : x + y
d) x5 + y5 : x + y
Además conjeture una fórmula general para dichos cuocientes.
5.12
Expresiones Algebraicas Racionales:
Son aquellas en forma de cuociente entre multinomios:
Ejemplo:
a)
3a 2 b  2 ab  6
4ab3  3a 2 b 2  8a
b)
3a
2
1
;
; 2 2
2
7 x b 5x ab a b
55
A)
Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más expresiones; es la expresión que
se obtiene al multiplicar los factores primos numéricos o literales cada uno con su
mayor exponente.
Ejemplo:
m.c.m. entre: 15a2 b3
; 8ab2 ; 3a3 b ó
3  5 a2 b3 ; 23 ; 3 a3 b
3  5  23 a3 b3
es:
120 a3 b3
ó
//
Observación
El m.c.m. es entonces la expresión más “pequeña” que contiene a cada una de las
expresiones dadas.
m.c.m. entre (1 + a) ; (1 - a)
es
m.c.m. entre a3 b ;
es
xy2 ;
m.c.m. entre 6(a - b) ;
uv5
(1 + a) (1 – a)
a3 bxy2uv5
9a2 - 9b2 ;
8(a2 + b2 - 2ab)
es:
Como 6(a - b) ; 9a2 - 9b2 ; 8 (a2 + b2 - 2ab) se puede expresar por:
3  2  (a – b) ; 32 (a - b)  (a + b) ; 23 (a - b)  (a - b)
Entonces el m.c.m. será:
32 23 (a - b)2 (a + b)
Ejercicios:
Determinar m.c.m. entre:
a) (1 - a) ; (1 + a) ; (1 - a2) ; (1 + a2)
b) 6a2 b ;
2abc ;
5a2 b2 ;
13 abc2d
c) (a - 1) ; (a + 1) ; (b - 1) ; (b + 1)
56
B) Reducir dos o más Expresiones Racionales o Fracciones Algebraicas a Funciones
de igual Denominador.
Se trata de obtener mediante un proceso de amplificación, que cada fracción tenga el
mismo denominador. Amplificar una fracción algebraica es multiplicar numerador y
denominador por un mismo factor; con ello no se altera el valor de esta por cuanto
mediante un proceso de cancelación o simplificación se retorna a la expresión original.
Amplificar y simplificar son procesos recíprocos.
Ejemplos:
3a 2 b  2a
a) Amplificar
5ab
por b2 a3 ; luego queda:



b2 a 3  3a 2 b  2a
b2 a 3  3a 2 b  2a

b2 a 3  5ab
5b3 a 4
b) Simplificar
3a 2 b  2a
5 ab
:
luego como
a 3 ab  2
5 ab
queda

3a 2 b  2a
=
5 ab
3ab  2
5b
Para determinar el denominador común; entre dos o más fracciones; (es conveniente
que sea el mínimo posible) o más bien el mínimo común denominador; se busca el
mínimo común múltiplo entre denominadores y se amplifica cada fracción por una
expresión conveniente y lograr que el denominador sea ese m.c.m.
Ejemplos:
Reducir las fracciones dadas a expresión de igual denominador pero que sea el mínimo
común denominador.
a)
3
x
; 2
xy
x  y2
b)
3a
2
b
;
;
6b
7a
2c
;
xy
xy
57
c)
4c
3a
5
; 2 2 ;
2
2a b
a b
abc
Solución:
a) m.c.m. entre (x - y) ; (x - y) (x + y) ; x + y es (x - y) (x + y) ;
luego
3
3

x  y (x  y) ( x  y)
x
x

2
x y
( x  y) ( x  y)
2
xy
x y ( x  y)

xy
( x  y) ( x  y)
b) m.c.m. entre 6b ; 7a ;
2c es 6  7 abc = 42 abc (mínimo común
denominador)
3a
3a 7ac
21 a 2 c


6b
42 abc
42 abc
2
2 6bc
12 bc


7a
42 abc
42 abc
b 21ab2 c

2c 42abc
c) m.c.m. entre 2a2 b ; a2 b2 ; abc
es: 2a2 b2 c ; luego
58
4c
2a 2 b
(4c)  (bc)
4bc 2


2c
2a 2 b2 c
2a 2b
3
(2a )  (4c)
6c


2
2 2
a b
2a b c
2a 2 b 2 c
2
5
5  (2ab)
10 ab


2 2
abc
2a b c
2a 2 b2 c
Ejercicios:
Reducir al mínimo común denominador las fracciones:
a2
b2
ab
a)
;
; 2
ab ab
a  b2
b)
ax
2a 2 x 2
3a 2 2ab
; 2
;
a  x a  ax  x 2
a 2  b1
c)
x (a  b)
xy
x2
;
;
(a  b)2
(a  b)
a 2  b2
d)
3a
5b
8ab
5a 2 b
;
;
;
7x 2
14y2
21xy 6x 2 y
5.13
Operaciones con Fracciones Algebraicas
1. Suma:
La suma de fracciones algebraicas se realiza transformándolas a fracciones de
denominador común; luego el resultado es la suma de los numeradores manteniendo el
denominador.
Ejemplo:
1) Sumar:
1
3
2b
a


 2
2
2ab
5a
2a
b
59
Solución:
m.c.d: 10a2 b2 
1
3
2b
a
5ab
6b2
10ab3
10a 3
 2 
 2 



2ab
5a
2a
b
10a 2 b2
10a 2 b2
10a 2 b2
10a 2 b2
=
2) Sumar:
5ab  6b2  10ab3  10a 3
10a 2 b2
a  b
a  b
a


a
b
a  b
Solución:
m.c.d.: (a - b) ab
a  b
( a  b ( a  b) b
( a  b) 2 a
ab
a





a
b
a  b
ab (a  b)
ab (a  b)
a2 b
( a 2  b 2 ) b  ( a  b) 2 a  a 2 b

; reduciendo
ab (a  b)
ab (a  b)

a 2 b  b 3  (a 2  2ab  b 2 ) a  a 2 b
ab (a  b)
4a 2 b  a 3  b 3  ab2

ab (a  b)
3) Sumar:
a 1
a 1
a2  1
4a

 2
 2
2a  2
2a  2
a 1 a 1
Solución:
m.c.d entre 2(a - 1) ; 2(a + 1) ; (a + 1); (a + 1) (a -1) es
2(a + 1) (a - 1) = 2(a2 - 1)
60
a 1
a 1
a2  1
4a

 2
 2

2(a  1)
2(a  1)
a 1
a 1
(a  1) 2  (a  1) 2  2(a 2  1)  8a
2(a 2  1)
a 2  2a  1  a 2  2a  1  2a 2  2  8a
2 (a 2  1)
2a 2  4a  2

2(a 2  1)
Simplificando
 a 2  2a  1
(a  1) 2

a2  1
(a 2  1)

a 1
a 1
Simplificando
//
Ejercicios:
Sumar y expresar el resultado en la forma más simple:
a)
2x 2
x
y



2
2
x y
x  y
y  x
b)
3
2
 2

a  3a  2
a 1
c)
2
4a
2



a 1 a 1
a 1
d)
a
2
 2
a  3a  10
a  6a  5
2
2
61
Re duciendo
Simplificando
5.14
Producto de Fracciones Algebraicas:
El producto de fracciones algebraicas se efectúa multiplicando numeradores y
denominadores entre sí y el cuociente se encuentra multiplicando la primera fracción
por el inverso multiplicativo de la segunda.
Ejemplo:
5ax 3bx
15abx 2
1.


6by 2aby 12ab2 y2

2
5x 2
4by 2
Simplificando
//
a  ax
2  x
a (1  x ) (2  x )


2
2b  bx 1  x
b (2  x ) (1  x 2 )

Simplificando
a
b (1  x )


1
1
1 
1
 

3.  x 
 1  x    1   x    x   
x
x
x 
x
 



1 
1

x    x  
x 
x

 x2 
1
2 x 4  1  2x  x 2


x
x2
x2
Se ha usado la distributividad en lugar de expresar los factores como fracciones o sea
 x2  x 1 x2  x 1
 

 
x
x



Ejercicios:
Resolver los productos, y simplificar si procede:
 x 2  xy  y 2   x  y 
  
 
a)  2
2 
 x  xy  y   x  y 
62
b)
b (a  b ) 2 a 2  b 2


a 4  b4
a  b
c)
ax
a
x
   
a  x a
x
 1
  1



d)   a   1   a   1 


 a
  a


a 2  c2 

e) 1 
a  c 

a  c 
 
 
a  c
a  c 
a  c2 
 
  1  2
f) 
a  c2 
 a  1 
g)
a 3  b3 a 2  ab  b2


a 3  b3 a 2  ab  b2
Para dividir dos expresiones fraccionarias se reducen a un producto como ya se señaló:
Ejemplo:
1)
5ay
3bx
:
6bx 2aby
Solución:
Como
a c
a c
:   
b d
b d
1

a d
ad
 
b c
bc
5ay 3bx
5ay 2aby
10a 2 by 2

:



6bx 2aby
6bx 3bx
18b2 x 2

5a 2 y 2
9bx 2
//
 1
2x   1

 :   1 
2) 

2 
1  x  x

1  x
63
 1
2x   1  x 

:

 
1  x 2   x 
1  x
 1  x   2x

2
 1 x
  x 
  
 
 1  x 
1 x 


2 
1

x


 x 
 
 
1

x


x
(1  x ) 2

3)  x  3 

5x 

2 x  6 
//

15 
 
:  2 x  1 
x

3




5x
 x  3 

2 ( x  3) 

 (2 x  1) ( x  3)  15 
 
: 
x  3


 2 ( x  3) 2  5 x 
( x  3)

 

2 ( x  3)

 (2 x  1) ( x  3)  15
(2 ( x  3) 2  5x) ( x  3)

2( x  3) ((2 x  1) ( x  3)  15))
2 ( x  3)2  5x

2 (2 x  1) ( x  3)  30
2 x 2  7 x  18
2(2 x 2  7 x  3)  30
2x 2  7x  18
1


2
2 (2x  7x  18)
2
//
Ejercicios:
1 
1 

1) 1   : 1  2 
x 
x 

64
Sim plificar
x 2  1 2x 5  2x 3
:

2x 3
4x 5
2)

1 

3) 1 
a  1 

4)

1 

: 1 
a  1 

3ax  3a 2a 2 x  2a 2
:

2bc  2b 3b2 c  3b2
 2a  b
 
b 

5) 
 1 : 1 
a  b 
 a  b
 

a3   1
a 
6) 1  3  :  2  3 
b  b
b 

a  b
a  b

7) 

a  b 
a  b
5.15

a  b

: 1 
a  b 

Fracciones Algebraicas Compuestas
Se trata de fracciones cuyo numerador y denominador son a su vez fracciones y su
desarrollo consiste en darle una forma simplificada.
Ejemplo:
1
1)
1

x
1 x 
2
2x
1 x

1


x
1  
(1  x ) (1  x )  2x 2

1 x

1
x (1  x )
1
(1 x ) (1  x )  2x 2
65







1
x (1  x )
1
1  x2

1
(1  x  x (1  x )
1  x2

2
1  x2
(1  x 2  x  x 2 )
1  x2

1 x
//
Ejercicios:
Resolver:
1.
x
x 1
x
1
x 1
2.
1
b 
1
b
a
3.
a
b

b
a 
a
1
b
4.
1
1
1
1


a bc
b
ac
:
1
1
1
1


a bc
b ac
a 
66
5.
1
1
b
c
a
b

1
1
a
a
b
a
6.
a b 
1
1

1 
 1
b a 
a 
b
1 1 
1
1

1  
1 
b a 
b
a
67
5.16
Potencias
Siendo la notación an una expresión para el producto de n factores a; para n  IN o
sea.
an = a  a  a ….. a (n veces). Para n = 0;
a0 = 1
Se tiene las siguientes consecuencias operacionales:
a) am  an = am+n
b) am : an = am-n :
c) an  bn = (ab)n
a
d) am : bm =  
b
m
e) (am)n = amn
Además son inmediatas las siguientes propiedades:
f)  a   ; a2n  0
g)  a   ;
a2n-1  0
si a  0
a2n-1 ≤ 0 si a ≤ 0
Ejemplos:
a) a  ax+1 = ax+2
b) a2n-3 : a n 1 = a(2n-3)-(n+1) = an-4
c) 5x  7x = (35)x
2n
d) 8
e)
3 
5 2
: 4
2n
8
=  
4
2n
 22 n  4n
 310
f) (-7)2 = 49
g) (-5)3 = -125  0
68
( 3)3 = 27  0
Observación:
m  Z ;
Si
am 
1
a
m
Entonces
ó a n 
1
an
Ejercicios:
1. a) a2n+3  a3n =
b) 25x  8 =
c) 52p-1  25p+1 =
d) (x + y)3n  (x + y)1-n
e) (a + b + c)  (a + b + c)n-1  (a + b + c)n
6
2
3
3
 3 5
f)     
5  3
 3 5
g)   :  
5  3
h) (1 + 2xy)2 : (1 + 2xy)-3
8
i)
1

 abx 
3

ax5
j) (32xy)3 : (4x)3
k) (16-1  40) : 4-2
ab

2. a) 
pq
2
5
3
 pq   p 
 
  
 
 q   ab 
5
5
 m3 y 4   m 2 y6 
b)  5  :  4  
 x   x 
69
 a mn 
c)  m  n 
a

2m
 a 2m 
  2 n 
a 
mn

d)  x 2  y 2  :  x 2  y 2  


 
3
3
1
1
 a 3 b2   ab1 
e)   4    5 2  
 ab   a b 
f)
2x 1
4x 1
:

2x ( x 1) (2x 1 ) x 1
h) (0,25)-2 + 160 + (-2)-3 =
70
5.17
Raíces Aritméticas
Si n  IN ;
n
a  b  a  bn ; luego
a
 a
n
n
(*)
“La Potenciación es la operación recíproca de la radicación”
Ejemplo:
3
27  3  27  33
6
64  2  64  26
5
 243   3   243  (3)5
3
 8   2   8  (2)3
n
Denotemos también:
ya que si en
 a
n
n
n
1
a  an
1
a  an
/ elevamos a n ambos lados, se tendrá:
n
 a ; y también  a n   a n  a quedando justificada la notación.
 
1
n
De lo anterior se tiene:
n
a p  an
p
Ejemplos:
5
a)
x 3  3 x5
b)
 8 3   8
 
1
3
5
c)
4
32  2 4
d)
7
128  7 27  2
e)
f)
1
3
27  3 27  3
16
8
1
58  516  5 2  5
71
g)
3
a 2  12 a 8
4
a  12 a 3
6
a 3  12 a 6
Ejercicios:
1)
2)
3)
Simplificar las raíces
a)
30
x18
b)
24
a9
Convertir en raíces de igual índice
a)
3
5 ;
b)
5
a3 ;
3 ;
6
a5 ;
4
6
10
a6
Calcular:
a)
3
8 
b)
3
25  4
c)
4
x4  2 n xn 
3
3
 512 
3
27  8
4
5
x2
 27
16
1
2
3
(2 x )3
72
5.18 Propiedades Operacionales
a)
n
a
b)
n
a :
c)
m n
d)
n
ab
n
b 
n
a
b
a  mn a
a
n
b 
n
p
q

n
a pq
El fundamento de ello es que:
a)
n
a x ;
a = xn ;
n
b  y 

b = yn
ab = xn yn = (x  y)n 
n
ab  x  y  n a 
n
b
b) Análogamente:
a
xn  x 
 n   
b
y
y
n
c)
n
x
a
     
b
y
m n
a  u 
n
n
n
a
b
a  u m  a  (u m ) n
 a = umn 
73
mn
d)
a  u 
 a   a 
p
n
q
p
n
q
m n
a
pq
 an 
n
a pq
Observación:
 a    a    a
n
p
q
n
q
p
pq
n
 n a pq
Ejemplo:
a)
3
b)
c)
3
d)
10
e)
a 2x 
3
x 
3x 2 
a:
3
3 :
ab :
ax2 
a 2x 
5
a 3x 3  ax
3
3x 1 
3
a

a 2x
 101 
3   3 


a

b
1

ax
1
ax
1
23  7 


3
ab2
 b
a
23  7 
f)
3
3 2 x 2  3x 2

g) 10 72  15 18 :
2  10

23  7

23  7
23  7  16  4
72
18
 15
2
2
 10 36  15 9
 10  6  15  3  105
74

h) Reducir:
4 50  8 0,5  4 25 2  8
 4 5 2 
 20 2 
1
2
8
2
8
40  8

2
2
32
32 2

 16 2
2
2

//
i) Reducir:
4 72  2 50  6 32  4 36 2  2 25 2  6 16 2
 4  6 2  2 5 2  6  4 2
 24 2  10 2  24 2
 10 2
Ejercicios:
Desarrollar las expresiones y reducir
1)

6  24 

2)
18  3 
3)
4)
5)

3 
2
6 
 
2

2

3 
18  3
5  3

2 5 2  3 8  4 32
5 
 3
3

22 3

7 28  4 63
75
2
6)
7)
4 18  0,75 32  9
3
8  5
3
8  63
1
1
4
3
12
1
27
8)
3 8  5 32  7 50  4 162  3 98
9)
4 7 :8 7
10) 15 150 : 5 2
11)
12)
75 x 3 y :
10
3xy

72  15 18 :
2
76
5.19 Racionalización
Para una expresión Fraccionaria con raíces en el denominador, la racionalización es la
operación de amplificación que tiende a eliminar dicha raíz.
Ejemplo:
m
n
a) Racionalizar:
Solución:
m n
m n
m


n
n
n  n
a
a 
b) Racionalizar:
//
b
Solución:
a
a 
b

c) Racionalizar:


a
a 
a 
b

6

a 
b


a

a  b
a  b
b
a  b
Solución:

b a  b
b

a  b
a  b a 

d) Racionalizar:


b



b a  b
a2  b
a
a b
Solución:
77


//
a
a a 

a 
a 
b

b 
a 
a
b
a 
b 
a a 

a2  b
b
a2  b
a2  b 
a a 

a2  b
a
a  b 
e) Racionalizar:
b
b 
a2  b
//
a2  b
c
Solución:
a 

a
b 
c
 


a 

a

b 

a 
a 
a

a a (

b 
a 
b 
a  b  c  2

a
f) Racionalizar:
3

c

2
c
a
c))

b 
  a 
a 
c

b 


bc  a  b  c   2 bc 
c
Solución:
Téngase presente que:
x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)

c a  b  c   2 bc
b  c a  b  c  2 bc
(a  b  c) 2  4bc
3
c
a  b  c  2 bc

a 
a
b 
c
b 


b 
Si
x3 b
y3 c
78

//
b  c  ( 3 b  3 c )(3 b 2  3 b 3 c  3 c 2 )  ( (3 b  3 c ) 
Luego:
a
3
b 
3

c

2
1
1
2
a b3  b3 c3  y 3

b  c
Ejercicios:
Racionalizar:
x
1)
m
a
2)
m
3)
xn
5
4)
a5
x
x
2 
3
2 
3
5)
9
3  2
6)
10
2 
7)
8)
9)
3
3
7 2
3 7  2
3 2  2 5
3 5  2 2
4  5 2
7  3 2 
2
79

bc
3
b 2  3 bc  3 c 2
10)
11)
12)
7
3
3
3
3 
3
2
2
53 3
x  y
xy
80
5.20 Logaritmo en base a   
Para la ecuación ax = b , a  1 ; a > 0 la solución se define por:
x = logab
luego:
ax = b  x = logab
 a)
b)
a loga b  b
(*)
ó
loga a x  x
Observación:
Ambas se logran por simple sustitución de acuerdo a la relación (*) y con ello se
determina que la operación de exponenciación y la de logaritmación son recíprocas una de
la otra.
Ejemplo:
1) log32 = x  3x = 2
2) log28 = 3 
23 = 8
3) log2x = 5  25 = x  x = 32
4) logx64 = 6  x6 = 64  x =
6
64  2
Ejercicios:
1)
Dar forma exponencial a
a) log981 = 2 
81
2)
b) log322 =
1

5
c) log82
1
3

d) log1010 = 1

=
Determinar el valor de x en:
a) logx8 = 3 
b) log749 = x 
c) log8x = 
2

3
d) logx0,01 = -2 
e) 5x = 3 
82
5.21 Propiedades del Logaritmo
1) logaa = 1
 a  + - {1}
2) loga1 = 0
 a  + - {1}
3) loga(x  y) = logax + logay
x
4) loga  
y
=
logax - logay
5) logaxn = n logax
6) logbx =
loga x
loga b
7) log a n x m 
m
log a x
n
Demostración:
1) y 2) son consecuencia inmediata de la definición:
3)
Sea loga(x  y) = u 
au = x  y
83
Sea logax = m
logay = n 
x = am 
 xy = am+n = au
y = an
m + n = u
logax + logay = logax y
4)
Sea log a
x
= u  au =
y
Si logax
=
x
y
m  logay = n 
x = am y = an
x
 a mn  a u
y

m - n = u
loga
5)

ó
x
 loga x  loga y
y
Es una reiteración del caso 3 pues
logax2 = 2 logax
log3x3 = 3 logax
6)
Si logbx = u 
x = bu
y m = logax ;
n = logab
am = x
; an = b
x = am ;
bu = (an)u

=
anu 
84
a
m
= anu
ó
m = nu
ó
m
loga x
 u 
 logb x
n
loga b
7)
m
x m  log a n
n
log a
Se sabe que:
m
Sea u  log a x n
m
au  x n
Sea
y 
m
log a x 
n
ny
 log a x
m
ó
ny
am = x 
m
ay = x n
au = ay
m
log a x n 
luego
ó
u = y
o sea
m
log a x
n
Ejemplo:
1)
Probar que: logaa = 1
Solución:
Si u = logaa
au = a  u = 1
2)
Calcular log216
; log264
;
log21
85
Solución:
log216 = log224 = 4 log22 = 4
log264 = log226 = 6 log22 = 6
log21
3)
= log220 = 0 log22 = 0
Calcular x en log4x = 3
; logx121 = 2
Solución:
log4x = 3  43 = x  x = 64
logx121 = 2  x2 = 121  x = 11
4)
Desarrollar:
log
3ab2 c
4xy
Solución:
log
3ab2 c
 log 3ab2
4xy
c  log 4xy
 log3  log a  log b 2  log c  (log 4  log x  log y)
 log 3  log a  2 log b 
5)
1
log c  log 4  log x  log y
2
Calcular usando log10, el valor de:
1
(0,32  0,001) 2
y =
128  0,2
;
Si log 2 = 0 , 30103
86
Solución:
ç
log10 y 
1
32
1 
1
2
 log
 log
  log128  log
2
100
1000
2
10

1
1
1
1
1
1
log 25 
log 102 
log 1  log 103  log 128  log 2  log 10
2
2
2
2
2
2

5
1
3
1
log 2  log 27  log 2  1  
2
2
2
2
1
5
   7   log 2  2
2
2
  5 log 2  2
  5  0,30103  2
log10 y   3,50515
Luego haciendo uso de la calculadora se puede verificar el resultado en que:
y = 0,000322499
Observación
Cuando la base es 10 el logaritmo se denota log; y en el caso que la base sea el
número e, el logaritmo llamado natural se denota Ln.
(e = 2,7182818)
6)
Resolver la ecuación exponencial:
a) a2x b3x = c5
87
b) (a4 - 2a2 b2 + b4)x-1 = (a - b)2x (a + b)-2
Solución:
a) Aplicamos log a ambos miembros o sea a toda la ecuación:
log (a2x b3x) = log c5 
2x log a + 3x log b = 5 log c
x (2 log a + 3 log b)
= 5 log c

5 log c
2 log a  3 log b
//
b) Se tiene:
(a2 - b2)2(x-1) = (a - b)2x (a - b)2x (a + b)-2 
 (a - b) (a + b)2x-2 = (a - b)2x  (a + b)-2 
(a - b)2x-2  (a + b)2x-2 = (a - b)2x  (a + b)-2 / (a + b)2
(a - b)2x-2  (a + b)2x-2+2 = (a - b)2x / (a - b)-2x
(a - b)-2  (a + b)2x = 1 / (a - b)2 
(a + b)2x = (a - b)2 / log
2x log (a + b) = 2 log (a - b) 
x 
7)
log(a  b)
log(a  b)
//
Dado log 2 = 0,30103; hallar:
Log25200
88
Solución:
1og10 200 log (2  102 )
log25 200 

log10 25
log 52
log 2  2 log 10
2 log 5

log 2  2
10
2 log
2


log 2  2
2 (log 10  log 2 )

log 2  2
2  2 log 2
//
Ejercicios:
1)
Hallar logaritmo de:
a) 16 base
2
b) 125 base
5
c) 0,0625
2)
log

16
2
5
base 2
Hallar:
loga 3 a
15
2
89
3)
Hallar el valor de:
log 8 128 ; log 6
4)
1
216
; log 343 49
Expresar en función de log a
a) log
b) log

3
9
a2 
b3
;
log b
; log c

a .4 b 3
c) log  3 a 1 b 2 :

b3
a 

  bc  2 3  b1 c 5 
d) log    4 3  :  2 3  
  b c 
 b c  
5)
Demostrar que:
4
log
3
6)
5 
18
10
2
2

1
2
2
log5  log 2  log 3
4
5
3
Resolver las ecuaciones exponenciales:
a)
a x 1
 c2 x
x 1
b
b) ax = cbx
7)
Dados log 2 y log 3, hallar:
 32  54 

log 3 


2


90
8)
Resolver el sistema:
2x+y = 6y
3x
= 3  2y+1
91
TEMA Nº 6. -PROBLEMAS Y ECUACIONES
Prof .Heraldo González S
Ecuación
Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas ,denominados
miembros de la ecuación, por ejemplo x 3 y  2x  4  3xy es una ecuación.
En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de
ecuación algebraica; se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de
la ecuación que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de números
o elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la
ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la
incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita
valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades.
Historia de las ecuaciones polinómicas
Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro
llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru
walmuqābalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fue
hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X
española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como
en Mexico/Méjico, Ximénez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa X .
Para resolver ecuaciones hasta segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la
situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2.
En efecto, la ecuación general de tercer grado: ax3  bx2  cx  d  0 requirió
consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la
antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del
Renacimiento en Italia. Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento
de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los hombres que perfeccionaron
las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como
nunca se ha dado en la historia. La mayoría de ellos eran autodidactas, trabajaban en
contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros.
Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas
italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en
su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las
Callejas del Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y
algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron
entre sí competencias para la solución de problemas. (Algo muy similar a lo que hacían los
hindúes siglos antes). Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces hacían
apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta
atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica. La chispa pudo haber
92
sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó
un compendio de álgebra, la "Suma Aritmética". Con ella transmitió el álgebra inventada
hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podrían
todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos.
El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue, como ya
dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de
matemática en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solución general para
todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x 3  nx  h .
Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los
adversarios durante las competencias. Pero en sus últimos días confío su solución a un
estudiante, Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival, Nícolo
Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padecía este defecto.
En la época de la contienda con Fior, Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces
solucionadores de ecuaciones de Italia, y había ideado un arma secreta propia: Una solución
general para las cúbicas del tipo x 3  m x2  h .
Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo
x 3  px  q  0 , le respondió con ejemplos del tipo x 3  m x2  n . Durante el intervalo
concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente,
ocho días antes de finalizar el plazo, Tartaglia había encontrado una solución general para
las ecuaciones del tipo x 3  px  q y en dos horas resolvió todas las ecuaciones de Fior; de
esta suerte, cuando se acabó el tiempo y llegó el día de hacer el cómputo, Tartaglia había
solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de Tartaglia. Como
nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte:
Gerolamo Cardano, hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano
era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un médico que visitaba a sus
enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros. Fue también
un jugador inveterano, siempre balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre
salía bien parado. El Santo Padre lo pensionó solucionándole así sus problemas económicos
y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica.
Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos
años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna"
(Gran Arte). Tartaglia, que había estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de
su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocía el
descubrimiento de Tartaglia. También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a
otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43
años, envenenado por su propia hermana. Así como Tartaglia había solucionado la cúbica,
de la misma forma Ferran, cuando todavía estudiaba con Cardano, solución de las de cuarto
grado (con fórmulas más complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de
ambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales
de las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales
desde la muerte de Diofanto, 1300 años antes.
93
En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y
enunció las leyes que los rigen. También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó
ficticio o sofisticado. Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo, que es incluso más
difícil de comprender que un número negativo propiamente, ya que ningún número real
multiplicado por sí mismo da un número negativo. En la actualidad los matemáticos llaman
a la raíz cuadrada de un número negativo número imaginario; cuando dicha cantidad se
combina con un número real, el resultado se llama número complejo.
Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda
clase de aplicaciones.
En gran parte debido a Cardano, la matemática salió de su paso por las pugnas del
Renacimiento enormemente enriquecidas. El éxito de los matemáticos italianos produjo un
gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas
de los antiguos.
Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación había consistido
solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que
los antiguos no habían tenido éxito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedió en el
siglo XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de la matemática: Geometría
analítica y Cálculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la
nueva ciencia sobre la antigua. Después de esto, no hubo matemático importante que no
intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y
más alto grado en forma análoga a los italianos, es decir, encontrando una fórmula general
o como se dice actualmente, resolverlas por radicales.
El prominente algebrista del siglo XVII, Tschirnhausen (1651-1708) creyó haber
encontrado un método general de solución. Su método estaba basado en la transformación
de una ecuación a otra más simple; pero esta sola transformación requería de algunas
ecuaciones auxiliares.
Más tarde, con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación de
Tschimhausen, en efecto, da la solución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado,
pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar
de sexto grado, cuya solución no era conocida.
El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo "Reflexiones sobre la solución
de ecuaciones algebraicas" publicado en 1770-1771, (con más de 200 páginas) críticamente
examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas
hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen
ecuaciones de quinto grado y superiores.
Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio
habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de
resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar fórmulas
que envuelven sólo operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y
raíces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la solución de una ecuación
94
en términos de los coeficientes, esto es, fórmulas similares a aquélla por la que se había
resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los
italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matemáticos pensaron que sus
fracasos se debían principalmente a su propia incapacidad para encontrar una solución.
Lagrange dice en sus memorias:
El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es
uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de
resolverlos.
Lagrange avanzó bastante en la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo
anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teoría y otras como la teoría
de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema
permaneció sin solución y constituía, en palabras del mismo Lagrange, "Un reto para la
mente humana".
Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824
vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 1829), en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban
simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresión algebraica con dichos
coeficientes que fuera solución de la ecuación correspondiente. Entonces, por tres siglos los
esfuerzos de los más grandes matemáticos de todos los países para resolver ecuaciones de
grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de
que éste problema simplemente no tiene solución.
Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para
ecuaciones de grado mayor no existen tales fórmulas.
Pero eso no es todo aún. Un resultado extremadamente importante en la teoría de las
ecuaciones algebraicas esperaba todavía ser descubierto. El hecho es que hay muchas
formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que sí se pueden resolver por radicales,
y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas
concretos de la realidad.
Resumiendo, después del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente:
Aunque la ecuación general de grado mayor que 4 no se podía resolver por radicales, hay
un número ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sí se pueden resolver por
radicales. La pregunta era ¿cuáles ecuaciones sí se pueden resolver por radicales y cuáles
no? o en otras palabras: ¿qué condiciones debe cumplir una ecuación para que pueda ser
resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las
ecuaciones la dio el brillante matemático francés Evariste Galois. (1811-1832).
A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo
en muchas ramas de la matemática y en particular dio la solución al problema que quedaba
pendiente en la teoría de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado
"Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales", que fue escrito
95
en treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que
fue muerto a la edad mencionada de 20 años.
En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales
cualquier ecuación de cualquier grado. El problema resultó ser más difícil y más profundo
de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de nuevos conceptos,
importantes no sólo para el álgebra sino también para la matemática en general. Para la
solución práctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:
Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en
los casos particulares en que existe, era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones
sumamente complicadas que se tenían que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan
todo ese trabajo).
En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres
direcciones completamente diferentes, que son:
1. En el problema de la existencia de raíces (soluciones).
2. En el problema de saber algo acerca de las soluciones sólo trabajando con sus
coeficientes.
3. En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación.
Polinomios
Para a0 , a1 ,....,an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como
R o C, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero,
para n > 0, un polinomio de grado n en la variable x es una expresión de la forma.
p( x)  a0 x 0  a1 x1  ....... an x n
Las constantes a0 , a1 ,....,an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el
coeficiente constante y a an , el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es
1, al polinomio se le llama mónico, siendo x un símbolo llamado indeterminada.
A los polinomios de




grado 0 se les llama polinomios constantes (excluyendo el polinomio cero, que
tiene grado indeterminado), por ejemplo p( x)  3
grado 1 se les llama polinomios lineales, por ejemplo p( x)  3  2 x
grado 2 se les llama polinomios cuadráticos, por ejemplo p( x)  4  3x  x 2
grado 3 se les llama polinomios cúbicos, por ejemplo p( x)  4  3x  x 2  2x 3
Las Ecuaciones polinomiales de grado n son de la forma
p( x)  a0 x 0  a1 x1  ....... an x n  0 y nos interesará determinar el conjunto solución de
las ecuaciones lineales y cuadráticas.
96
En primer lugar pretendemos resolver ecuaciones que ya están en lenguaje
algebraico para luego dedicarnos al planteamiento de la ecuación que le corresponde
a problemas con enunciado.
Ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo
la forma canónica: ax  b  0 donde a, b , con a ≠ 0, son números que pertenecen a un
cuerpo, usualmente a los números reales R o a los complejos C.
Para resolver la ecuación lineal o de primer grado ax  b  0 , a  0 usamos las
propiedades de la estructura de cuerpo para despejar el valor de x.
ax  b  0  (ax  b)  b  0  b
 ax  (b  b)  b
 ax  0  b
 ax  b
 a 1 (ax)  a 1 (b)
b
 (a 1 a ) x  
a
b
 1 x  
a
b
x
a
Es interesante resolver una ecuación de primer grado al interior de la estructura algebraica
de cuerpo, sin embargo, después de este trabajo podemos permitirnos ciertas licencias en
su resolución. El siguiente tecnicismo nos ayuda:
En el proceso de buscar el valor de x, es decir, en el proceso de despejar la incógnita x,
las constantes que están sumando en el miembro que contiene a x “pasan” restando a la
expresión del otro lado de la ecuación y,
las que están multiplicando “pasan”
dividiendo y, al revés.
b
La ecuación anterior tiene la siguiente resolución: ax  b  0  ax  b  x 
, por
a
ejemplo, al resolver la ecuación 5 x  2  6 tenemos:
5x  2  6  5x  6  2  5x  4  x 
4
5
Las ecuaciones de primer grado pueden aparecer, originalmente, en formas distintas a la
original, y en realidad, sabemos de su condición lineal cuando aplicamos una serie de
procedimientos que conducen a dicha forma.
97
Pronto veremos como plantear ecuaciones, por ahora nos limitaremos a resolver una
ecuación planteado en lenguaje algebraico.
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación 5 x  3  2 x  4
Solución
Dejamos en el lado izquierdo de la ecuación a todos los términos que contienen a la
incógnita x , obtenemos 5 x  2 x  4  3 , es decir, 3x  7 , de donde x   73 .
La verificación de este resultado implica mostrar que al reemplazar x por  73 en la
ecuación original, ésta ecuación se convierte en identidad; tenemos
5( 73 )  3  2( 73 )  4 .
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación 3x  2(5x  7)  5x  12(3x  1)
Solución
Esta es una ecuación con productos y lo que debemos hacer es, desarrollar dichos
productos; tenemos:
3x  2(5x  7)  5x  12(3x  1)  3x  10x  14  5x  36x  12
 3x  10 x  5 x  36 x  12  14
 48 x  2
x
Ejemplo 3
Resuelva la ecuación
2
1

 48 24
x  5 2 x  3 1  5x


6
8
12
Solución
Esta ecuación es una ecuación fraccionaria y la convertimos en una ecuación con
productos amplificando por el mínimo común múltiplo que, numéricamente es igual al
mínimo común denominador.
98
El mínimo común múltiplo de 6,8,12 denotado MCM (6,8,12) es el menor número que
contiene a los números 6,8,12 , para determinarlo descomponemos a los números como
producto de números primos y tal MCM es el producto de los primos con mayor
potencia, en
el
ejemplo: como 6  2  3 ; 8  2 3 ; 12  2 2  3 entonces
MCM (6,8,12)  23  3  24; tenemos:
x  5 2 x  3 1  5x
x  5 2 x  3 1  5x





24
6
8
12
6
8
12

(amplificamos por 24)
24( x  5) 24(2 x  3) 24(1  5 x)


6
8
12
 4( x  5)  3(2 x  3)  2(1  5x) (ecuación con productos)
 4 x  20  6 x  9  2  10 x
 8 x  9
 x   89
Ejemplo 4
Solucione la ecuación 302  x 2  202  (50  x) 2
Solución
Aparentemente la ecuación no es de primer grado, sin embargo, al desarrollar el
cuadrado de binomio…..
302  x 2  202  (50  x) 2  900 x 2  400 2.500 100x  x 2
 100 x  2.000  x  20
Ejemplo 5
Resuelva la ecuación
xa
bx
 1
; a  b  0
b
ab
Solución
El mínimo común múltiplo es b(a  b) ; tenemos:
xa
bx
b(a  b)( x  a)
b(a  b)( b  x)
 1
b( a  b) 
 b( a  b) 
b
ab
b
ab
 (a  b)(x  a)  b(a  b)  b(b  x)
99
 ax  a 2  bx  ab  ab  b 2  b 2  bx
 ax  bx  a 2
 x(a  b)  a 2
x
a2
ab
Ejemplo 6
x  1 2x  3

8  31
Resuelva la ecuación 6
3
x 1 2  x

9
15
Solución
Estamos frente a una ecuación con una fracción de fracciones; tanto el numerador como
el denominador se deben transformar a una fracción, para empezar, tenemos:
x  1 2x  3
4( x  1)  3(2 x  3)

10
6
8  31 
24

3
x 1 2  x
5( x  1)  3(2  x)
3

9
15
45
 2x  5
24  10

2x  1
3
45

45(2 x  5) 10

24(2 x  1)
3
 3  45(2 x  5)  10  24(2 x  1)
 270 x  675  480 x  240  x  
Ejemplo 7
1
Resuelva la ecuación
x
x
a
x
ax
x
1
a
a
x
Solución
100
915
61

750
50
El método consiste en resolver las fracciones paso a paso, desde abajo hacia arriba:
xa
x
a
a
ax
x
x
x
x
x
a
xa
1
x
x
1
a
x
ax
x
xa
x

a
ax
x
x2
x
xa
(Observe
p pc

)
b
b
c
xa
x

a
ax
x
x( x  a)  x 2
xa
xa
x

a
ax
x
ax
xa
xa
x

a
x  ( x  a)

xa
 a  x  a  a 2 x  x  a 2 x  a
 ax
 x(1  a 2 )  a  x 
a
1 a2
Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner
bajo la forma canónica: ax2  bx  c  0 donde a, b y c, con a ≠ 0, son números que
pertenecen a un cuerpo usualmente a los números reales R o a los complejos C.
El caso general
101
Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.
En este cuerpo, es posible factorizar por a (con a ≠ 0), y las siguientes identidades son
válidas:
(a  b)( a  b)  a 2  b 2
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
Para resolver la ecuación ax2  bx  c  0
primer grado:
ax2  bx  c  a( x 2 
, debemos factorizarla en dos binomios de

b
c
b
b2
c b2 
x  )  a ( x 2  x  2 )   2 
a
a
a
a 4a 
4a


b
b 2  4ac 
 a ( x  ) 2 
 (1)
2a
4a 2 

Sea   b 2  4ac y d 2   entonces la expresión ( 1 ) queda

b
d2 
b
d 
b
d 

a ( x  ) 2  2   a ( x  )   ( x  )  
2a
2a 2a  
2a 2 a 
4a 


 a( x 
bd
bd
)( x 
)
2a
2a
Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso, luego se introduce
un término que completa los dos primeros en un cuadrado, que aparece en (1). El número d
es una de las dos raíces del discriminante   b 2  4ac . Se utiliza la primera identidad
anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si
y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio de íntegridad), lo que da las
soluciones:

bd b

 x1  

2a

bd b

 x 2   2a 
b 2  4ac
2a
b 2  4ac
2a
La igualdad: ax2  bx  c  a( x  x1 )(x  x2 ) da, al desarrollar el segundo miembro e
b
c
; x1 x 2 
identificar los coeficientes: x1  x 2 
es decir, si conocemos las raíces de
a
a
102
une ecuación de segundo
x 2  ( x1  x2 ) x  x1 x2  0 .
grado y ellas son x1 y x2 entonces la ecuación es
El caso cuerpo de los números reales
Si a, b y c son números reales, el raciocinio anterior es, por supuesto, válido, pero es
práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante   b 2  4ac :

Si   0 , entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:
 b  b 2  4ac
x
2a

Si   0 , entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear
números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de -Δ, multiplicado por i
(que verifica i 2  1 ), pues:
d 2  (i   ) 2  i 2 ()  ()  
y las soluciones son: x 
 b  i 4ac  b 2
2a
Según los signos de Δ y el signo de a , la curva asociada a la función cuadrática
y  p( x)  ax2  bx  c; a, b, c en R, a  o se posiciona como se muestra en la figura
adjunta, con relación a los ejes:
103
Ejemplo 8
Solucione la ecuación
x( x  1)
 66
2
Solución
Basta con desarrollar el paréntesis para reconocer la ecuación como cuadrática.
x( x  1)
x2  x
 66 
 66  x 2  x  132  x 2  x  132  0
2
2
Si nos damos cuenta que el trinomio x 2  x  132 se factoriza por ( x  12)(x  11)
entonces la ecuación queda ( x  12)(x  11)  0 de donde x  12  0  x  11  0 así,
x1  12, x2  11
Otra forma es aplicar la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado, tenemos:
En x 2  x  132  0 reconocemos a  1; b  1; c  132 de donde la fórmula
x
 (1)  (1) 2  4  1(132)
 b  b 2  4ac
se convierte en x 
, es decir,
2a
2 1
x
1  23
1  23
1  1  528 1  529 1  23
 12; x 2 
 11


, así, x1 
2
2
2
2
2
104
Ejemplo 9
Solucione la ecuación (5x  3)(2 x  1)  46  x
Solución
Es una ecuación con productos; desarrollando estos productos obtenemos:
(5x  3)(2x  1)  46  x  10x 2  x  3  46  x
 10x 2  49  0 (ecuación incompleta pura )
x
49
7

 0,7 10
10
10
Ejemplo 10
Resuelva la ecuación
10
2x

3
x2 x3
Solución
Esta ecuación es fraccionaria y el mínimo común múltiplo es ( x  2)(x  3) , tenemos
10
2x
10
2x

3 

 3 ( x  2)( x  3) (amplificando por ( x  2)(x  3) )
x2 x3
x2 x3

10( x  2)( x  3) 2 x( x  2)( x  3)

 3( x  2)( x  3)
x2
x3
 10( x  3)  2 x( x  2)  3( x  2)(x  3)
(ecuación con productos )
 10x  30  2 x 2  4 x  3x 2  15x  18
 x 2  x  12  0 de donde ( x  4)(x  3)  0 así, x1  4, x2  3
Ejemplo 11
Solucione la ecuación
15 x
20(100  x)

100  x
3x
Solución
Estamos frente a una ecuación fraccionaria, sin embargo nos damos cuenta que es una
proporción, entonces, como “el producto de los medios es igual al producto de los
extremos” tenemos:
105
15 x
20(100  x)

 15 x  3x  20(100  x) 2 , si desarrollamos los productos
100  x
3x
obtenemos la ecuación 45x 2  20(10.000 200x  x 2 ) , es decir,
45x 2  200.000 4.000x  20x 2 .
Si le damos la forma general conseguimos 25x 2  4.000x  200.000  0 ; los coeficientes
son muy grandes, pero cada uno de ellos es divisible por 25, al simplificar la ecuación
por 25 tenemos x 2  160x  8.000  0 .
Como x 2  160x  8.000  ( x  2000)(x  40)  0 entonces las raíces de la ecuación son
x1  2.000; x2  40 .
Naturalmente que puede aplicar
 b  b 2  4ac
la fórmula x 
pero
2a
tendría más
cálculos.
Ejemplo 12
Resuelva la ecuación
x 1
1 1



a bx ax b
Solución
Esta ecuación fraccionaria tiene como mínimo común múltiplo al polinomio abx ,
tenemos:
x 1
1 1
x
1
1
1


 abx  abx  abx
 abx
 abx
a bx ax b
a
bx
ax
b
2
 bx  a  b  ax
 bx2  ax  (a  b)  0
Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado obteniendo
 (a)  (a) 2  4b((a  b))
x
2b
2
a  a  4ab  4b 2

2b
 a  a  2b a  b


a  (a  2b) 2 a  (a  2b)
2b
b
x

,
así,



2b
2b
 a  a  2b  1

2b
106
Ejemplo 13
Resuelva la ecuación
x 8
 x2 x
2 9
Solución
En este tipo de ecuación conviene usar una variable auxiliar.
Sea y 
x
x
entonces y 2 
y x  2y 2 , reemplazando en la ecuación original
2
2
8
obtenemos y   2 y 2  2  2 y 2 , que es una ecuación de segundo grado en y
9
8
y   2 y 2  2  2 y 2  9 y  16 y 2  18  18 y 2
9
 2 y 2  9 y  18  0
y
9  81  144 9  15

4
4
y  6

3
y   2
Volvamos ahora a la incógnita x
x
x
x 9
 6  x  72 ;
  32    x  92 .
2
2
2 4
Relaciones entre coeficientes y raíces de la ecuación de segundo grado
Sabemos que, a igualdad: ax2  bx  c  a( x  x1 )(x  x2 ) da, al desarrollar el segundo
b
c
; x1 x 2  es decir, si conocemos las
miembro e identificar los coeficientes: x1  x 2 
a
a
raíces de une ecuación de segundo grado y ellas son x1 y x2 entonces la ecuación es
x 2  ( x1  x2 ) x  x1 x2  0 .
Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 14
Determine la ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1  3  2; x1  3  2
Solución
La ecuación es x 2  ( x1  x2 ) x  x1 x2  0 , reemplazando los datos obtenemos
107


x 2  (3  2 )  (3  2 ) x  (3  2 )(3  2 )  0 ,
conseguimos la ecuación x 2  6 x  7  0 .
desarrollando
los
paréntesis
Ejemplo 15
Encuentre una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los cuadrados de las
raíces de la ecuación 2 x 2  x  6  0 , sin resolver esta última.
Solución
b
1

   


a
2
Sean  ,  las raíces de 2 x 2  x  6  0 entonces se cumple 
  c   6  3

a
2
La ecuación pedida es x 2  ( 2   2 ) x   2  2  0 .
Debemos expresar  2   2 y  2  2 en función de    y  ; tenemos:
 2   2  (   ) 2  2  ( 12 ) 2  2(3)  14  6  254
 2  2  ( ) 2  (3) 2  9
Así, la ecuación pedida es x 2 
25
x  9  0 , es decir, 4 x 2  25x  36  0 .
4
Ejemplo 16
Determine k  R para que la ecuación 4 x 2  20x  k  0 tenga raíces iguales.
b
20








 5

a
4
2
Sean  ,  las raíces de 4 x  20x  k  0 entonces 
.
c
k
  

a 4
Solución
2  5

Como el enunciado indica que las raíces son iguales entonces  2 k .
  4
Como    52 , reemplazando en la segunda ecuación obtenemos
k  25 .
108
25
4

k
4
, de donde
La ecuación es 4 x 2  20x  25  0 con raíz doble igual a 
5
.
2
Ejemplo 17
Considere la ecuación x 2  mx  p  0 .
Determine la ecuación de segundo grado que tiene por raíces los valores reciproco de
la ecuación dada.
Solución
    m
Sean  ,  las raíces de la ecuación x 2  mx  p  0 , entonces se cumple 
.
  p
Como las raíces de la ecuación pedida son
x2  (
1


1

)x 
1

x 2  (

1



y
1

entonces la ecuación es
1 1
  0.
 
Debemos expresar
Como
1
1


1

y
1 1
 en función de    y de  .
 
   m
1 1 1

  entonces la ecuación buscada es
y

p
  p
m
1
) x   0 es decir, px2  mx  1  0
p
p
Ecuaciones que se reducen a ecuaciones cuadráticas
4
2
La ecuación bicuadrada ax  bx  c  0 , que no tiene términos de grado impar, se
2
resuelve al hacer el cambio de variable x  y ,entonces la ecuación quedará como una de
2
segundo grado ay  by  c  0
La resolvemos, y entonces desechamos las y  0 ya que no dan solución en las x pero las
positivas nos darán dos valores de x ; x   y
Ejemplo 18
Resuelva la ecuación x 4  7 x 2  6  0
109
Solución
Con el cambio de variable x 2  y , la ecuación queda y 2  7 y  6  0 , entonces
( y  6)( y  1)  0 de donde y1  6; y2  1 , sin embargo queremos los valores de x,
tenemos: x 2  6 y x 2  1 de donde x1  6; x1   6; x3  1; x4  1.
Ejemplo 18
Resuelva la ecuación ( x 2  5x) 2  ( x 2  5x)  30  0
Solución
Resulta inmediato usar la variable auxiliar y  x 2  5x , con esto la ecuación original
queda y 2  y  30  0 , al factorizar obtenemos ( y  6)( y  5)  0 de donde las dos
soluciones son y  6; y  5 .
Volviendo a la variable x producimos las dos ecuaciones: x 2  5x  6 ; x 2  5x  5 .
x 2  5x  6  x 2  5x  6  0
x  3
 ( x  3)(x  2)  0  
x  2
x 2  5x  5  x 2  5x  5  0

53 5
x

5  25  20

2
x

2
x  5  3 5

2

Ecuaciones con raíces
Hay veces que nos encontraremos con ecuaciones que tienen la x dentro de raíces cuadradas
o de mayor índice, para solucionarlas hay que aislar las raíces una a una y elevar a potencia
igual al índice de la raíz.
Al elevar a potencia y buscar la solución, aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar
a potencia para eliminar las raíces), debemos seleccionar las soluciones que son solución de
la ecuación original, debemos hacer la comprobación en la ecuación inicial.
110
Ejemplo 19
3x  5  1  x
Resuelva la ecuación
Solución
Despejamos la raíz y luego elevamos al cuadrado para eliminar tal raíz, tenemos
3x  5  1  x  3x  5  x  1
 ( 3x  5) 2  ( x  1) 2
 3x  5  x 2  2 x  1
x  2
 x 2  5x  6  0  
x  3
Comprobación
Si x  2 entonces
original.
Si x  3 entonces
original.
3(2)  5  1  1  1  2 , de donde, x  2 es solución de la ecuación
3(3)  5  1  4  1  3 , de donde, x  3 es solución de la ecuación
Ejemplo 20
Resuelva la ecuación
2x  3  x  7  4
Solución
De la ecuación original despejamos la primera raíz, obtenemos
(podríamos haber despejado la segunda raíz).
2x  3  4  x  7
Si elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuación (para eliminar al menos una de las
raíces obtenemos ( 2x  3) 2  (4  x  7 ) 2 , es decir,
2x  3  16  8 x  7  ( x  7) ; en
esta ecuación despejamos la raíz que persiste,
tenemos:
elevar al
cuadrado conseguimos
x  26  8 x  7 , al
2
2
x  52x  676  64( x  7) es decir, x  116x  228  0 , de donde x1  2, x2  114.
Comprobación:
Si x  2 entonces 2(2)  3  2  7  1  9  4 , así, x  2 es solución de la
ecuación original.
111
Si x  114 entonces 2(114)  3  114 7  15  11  4 , así, x  114 no es solución de
la ecuación original.
Ejemplo 21
Determine el conjunto solución de la ecuación
x 1  x  6  1.
Solución
x 1  x  6  1  x 1  1 x  6
 ( x  1) 2  (1  x  6 ) 2
 x 1  1 2 x  6  x  6
 x  6  3
 x69 x 3
Debemos verificar la solución encontrada en la ecuación planteada; reemplacemos x
por 3 en x  1  x  6 ; tenemos:
x  1  x  6  3  1  3  6  2  3  1  1 , así, la ecuación
tiene solución.
x  1  x  6 no
Ejemplo 22
Resuelva la ecuación x 2  x  4  x 2  x  2
Solución
Si elevamos al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada, tendríamos:
x 2  x  4  x 2  x  2  ( x 2  x  4) 2  ( x 2  x  2 ) 2
 x 4  x 2  16  2 x 3  8x 2  8x  x 2  x  2
 x 4  2 x 3  9 x  18  0
Esta es una ecuación un poco más complicada ya que es una ecuación donde no
podemos, inicialmente, encontrar una sustitución fácil que baje el grado. Sin
embargo, con algunas ayudas como: raíces racionales, regla de los signos y otros se
podría solucionar.
112
Intentemos la sustitución x 2  x  2  y , entonces la ecuación original queda
y  2  y . Tenemos
y  2  y  ( y  2) 2  ( y ) 2
 y2  4y  4  y
 y 2  5y  4  0
y
5  25  16
2
y
5  3 y  4

2
y  1
Hemos producido las dos ecuaciones: x 2  x  2  4 , x 2  x  2  1
x  3
x 2  x  2  4  x 2  x  6  0  ( x  3)(x  2)  0  
 x  2
x2  x  2  1  x2  x  3  0

1  13
x

1  1  12

2
x

2
 x  1  13

2

Verifiquemos las posibles raíces
Para x  3 tenemos 32  3  4  2  32  3  2
Para x  2 tenemos (2) 2  (2)  4  2  (2) 2  (2)  2
Para x 
1  13
tenemos
2
1  13 2 1  13
1  13  2 13 1  13
(
) (
)4

4
2
2
4
2
1  13  2 13  2  2 13  16

 1
4
Por otro lado
113
1  13 2 1  13
1  13  2 13 1  13
(
) (
)2 

2
2
2
4
2

Para x 
4
1  13  2 13  2  2 13  8

1
4
4
1  13
tenemos
2
1  13 2 1  13
1  13  2 13 1  13
(
) (
)4

4
2
2
4
2

1  13  2 13  2  2 13  16
 1
4
Por otro lado
1  13 2 1  13
1  13  2 13 1  13
(
) (
)2 

2
2
2
4
2

4
1  13  2 13  2  2 13  8

1
4
4
Así las raíces son x  3; x  2
Ejemplo 23
Resuelva la ecuación
6  3 x4  8  2
Solución
6  3 x 4  8  2  ( 6  3 x 4  8 )2  22
 6  3 x4  8  4
 3 x4  8  2  x4  8  8
 x 4  16  x  2
114
En realidad la ecuación de cuarto grado x 4  16 tiene 4 raíces: dos raíces reales y dos
raíces complejas. Este tema se puede profundizar al estudiar el Anillo de los
polinomios.
Problemas de Planteo
Existe una gran cantidad de problemas que se pueden resolver por medio de ecuaciones,
escribiendo los datos con el uso del Algebra básica.
Para resolver un problema se recomienda:

Leer atenta y comprensivamente el enunciado del problema.

Identificar la incógnita y los datos que se utilizarán en la solución.

Relacionar los datos con la incógnita planteando una ecuación.

Resolver la ecuación con el apoyo de algunas técnicas elementales.

Analizar la solución de la ecuación para decidir si corresponde a una posible
solución del problema.

Declarar la respuesta en el contexto del problema.
Aprendamos, con la solución de algunos problemas que nos servirán como guía para
otros equivalentes o mezclas de estos.
115
6.1. Problemas Resueltos
1)
Escribir una expresión algebraica asociada al siguiente enunciado.
a) La mitad de los alumnos en la sala, más diez.
Sea x el número de alumnos en la sala, entonces la mitad más diez se escribe
x
 10 .
2
b) El triple de un número más el 25% de él.
Sea x el número, entonces la expresión algebraica que le corresponde es
3x  0,25x ; naturalmente que puede escribir 3,25x .
c) La suma de las edades de Juan y María es 50 años; escriba una expresión para
cada uno de ellos, en función de la edad de Juan.
Si x es la edad de Juan, entonces 50  x es la edad de Maria
d) La suma de dos números multiplicada por su diferencia.
Sean x e y los números, entonces el producto de su suma por su diferencia se
expresa: ( x  y)(x  y) .
e) Sumar el triple de un número con el doble de su cubo.
Si a es el número, la situación descrita se escribe: 3a  2a 3
f) Sumar el cuadrado de un número con el cubo de su duplo
Si x es el número, la situación ahora se escribe: x 2  (2 x) 3
g) Escribir tres números enteros consecutivos.
Si n es un número entero, la situación descrita se puede escribir:
n, n  1, n  2 o n  1, n, n  1 .
h) Un viajero debe recorrer a km. y ha recorrido b km. ¿Cuánto le falta por
recorrer?
Le falta (a  b) km. por recorrer.
i) Pedro recibe por un trabajo $a y de mesada $b . Con todo el dinero alcanza a
comprar n  1 revistas. Si todas las revistas tienen el mismo valor, ¿cuánto le
costó cada una? .
116
Cada revista le costó $
2)
ab
.
n 1
En un gallinero hay 5 pavos más que gallinas y 3 patos más que pavos. Si en total
hay 49 aves, ¿cuántas gallinas, pavos y patos hay?
Solución:
Sea x el número de gallinas, entonces, de los datos concluimos:
el número de pavos es x  5 y el número de patos es ( x  5)  3
Como en total hay 49 aves podemos plantear la siguiente ecuación:
x  ( x  5)  ( x  8)  49 , de donde 3 x  13  49 , así, x  12 , en consecuencia, hay 12
gallinas, 17 pavos y 20 patos.
3)
La suma de tres números enteros consecutivos es 63. Hallar los números.
Solución:
Conviene declarar a los números por n  1, n, n  1 . Del enunciado del problema
tenemos:
(n  1)  n  (n  1)  63 , luego n  21 , entonces los números que satisfacen la
condición son: 20,21,22.
4)
A las 8.00 horas Pedro (L) sale desde cierta ciudad y viaja al Sur a 60 km hr . Una
hora más tarde Juan (V) sale detrás de él viajando a 80 km hr . ¿Cuándo alcanza
Juan a Pedro?.
Solución:
El problema se resuelve con ayuda de la fórmula: R  v  t , donde v=velocidad,
t = tiempo, R = recorrido, asumiendo que la velocidad es constante.
Sea x  Número de horas después de las 8.00 en que Juan alcanza a Pedro, entonces,
el número de horas que conduce Pedro es x y el número de horas que conduce Juan
es x  1 .
Como la distancia recorrida por cada una de las personas es la misma y dado que lo
recorre Pedro es 60 x y lo que recorre Juan es 80( x  1) entonces la ecuación que se
produce es 60x  80( x  1) .
Puesto que la solución de la ecuación es x  4 concluimos que Juan alcanza a Pedro a
las 12.00 horas.
117
5)
La suma de tres números pares consecutivos es 102. Hallar los tres números.
Solución:
Si escribimos el primer número par 2 x entonces los pares consecutivos son
2 x  2, 2 x  4 . Como la suma de los tres números es 102, la ecuación que se produce
es 2 x  (2 x  2)  (2 x  4)  102 , al resolverla obtenemos n  16 , por lo tanto los
números buscados son 32, 34, 36
6)
El perímetro de un rectángulo es de 100 m. Si el largo se aumenta 5m y el ancho
se disminuye 10 m, su área disminuye en 250 m t2 . Calcular sus dimensiones.
Solución
Sea x = largo en metros, y = ancho en metros., entonces el perímetro del rectángulo es
2 x  2 y  100 de donde el semiperímetro es x  y  50 ; de esta última relación
concluimos que si el largo es x entonces el ancho es 50  x , de donde el área del
rectángulo es x(50  x)
El nuevo rectángulo tiene x  5 de largo y 50  x  10 de ancho, de donde su área es
( x  5)(40  x)
Como el área de este último rectángulo disminuye en 250 m t2 entonces la ecuación
que se genera es ( x  5)(40  x)  250  x(50  x)
Al resolver la ecuación obtenemos x  30, y  20
7)
La edad de Pedro es el doble de la edad de María. Si en cinco años más la suma
de sus edades será 43 años, ¿qué edad tienen actualmente? .
Solución:
Sea x la edad actual de María, entonces la edad actual de Pedro es 2x
En cinco años más las edades de María y Pedro serán x  5 y 2 x  5 respectivamente
y como en tal evento la suma de sus edades sumaran 43 años entonces, la ecuación
que se produce es ( x  5)  (2 x  5)  43. Al resolver la ecuación obtenemos x  11 ,
de donde, la edad de Pedro es actualmente 22 años y la de María es 11 años.
118
8)
Un estanque se llena con la llave A en 3 horas y con la llave B en 5 horas.
¿Cuánto tardará en llenarse si se abren simultáneamente las dos llaves?.
Solución:
Si con la llave A tarda 3 horas en llenarse, entonces en 1 hora se habrá llenado sólo
1
3
del estanque.
Si con la llave B tarda 5 horas en llenarse, entonces en 1 hora se habrá llenado sólo
1
5
del estanque.
Llamemos x al tiempo que tarda en llenarse con ambas llaves abiertas, entonces en 1
1
hora se habrá llenado sólo de estanque.
x
1 1 1
  , la cual es equivalente a
Podemos entonces plantear la ecuación
3 5 x
15
5 x  3 x  15 , es decir, x 
 1,875 .
8
El estanque demora 1hora con 52,5 minutos en llenarse con las dos llaves abiertas.
9)
El arte de plantear ecuaciones.
El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números
o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u
otra lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra
titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía
efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:
En la lengua vernácula:
En el idioma del álgebra:
Un comerciante tenía una
determinada suma de dinero
x
El primer año se gastó 100 libras
x - 100
Aumentó el resto con un tercio de
éste
Al año siguiente volvió a gastar
100 libras
y aumentó la suma restante en un
tercio de ella
119
El tercer año gastó de nuevo 100
libras
Después de que hubo agregado su
tercera parte
el capital llegó al doble del inicial
Solución:
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la
última ecuación.
La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la
ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el
arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a
la algebraica". Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los
giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy
distintas por el grado de su dificultad, como puede convencerse el lector a la vista de
los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos.
10) La vida de Diofanto
La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático
de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria
que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático.
Reproducimos esta inscripción:
En la lengua vernácula
En el idioma del álgebra:
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de
Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, x
cuán larga fue su vida,
cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia.
x
6
Había transcurrido además una duodécima parte de su
vida, cuando de vello cubrióse su barbilla
x
12
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un
matrimonio estéril.
x
7
120
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento
5
de su precioso primogénito,
que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la
tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre
x
2
Y con profunda pena descendió a la sepultura,
habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo
Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le
llegó la muerte.
Solución:
Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84, conocemos los siguientes
datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38, perdió a su
hijo a los 80 y murió a los 84.
13) La manada de monos
Otro de los problemas indios puede ser presentado en verso tal y como fue traducido
por Lébedev, autor del excelente libro ¿Quién inventó el álgebra?
Regocíjanse los monos divididos en dos bandos: el cuadrado de su octava parte
en el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo están
¿Sabes cuantos monos hay en la manada, en total?
Solución:
2
 x
Si el número total de la manada es x, entonces:    12  x de donde
8
x1  48; x2  16
El problema tiene dos soluciones positivas: en la manada puede haber 48 y 16 monos.
Las dos soluciones satisfacen por las condiciones del problema.
11) Las aves de la orilla
En las obras de un matemático árabe del siglo XI hallamos el siguiente
problema:
A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La
altura de una es de 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus
troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito los dos
pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos
121
palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A qué
distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?
Solución
Mediante la figura adjunta y aplicando el teorema de Pitágoras, establecemos:
2
2
AB  302  x 2 y por otro lado AC  202  (50  x) 2
Pero AB  AC , por cuanto los pájaros cubren esta distancia en un mismo tiempo
entonces 302  x 2  202  (50  x) 2 , al quitar los paréntesis y
simplificar
obtenemos la ecuación 100 x  2000 de donde x  20
El pez apareció a 20 codos de la palmera que tenía 30 codos de altura
12)
El enjambre de abejas
En la antigüedad estaba muy extendida en la India una diversión singular: la
solución de rompecabezas en competiciones públicas. Los manuales de matemáticas
de ese país contribuían a la celebración de tales campeonatos de cálculo mental.
"Aplicando las reglas aquí expuestas -escribía el autor de uno de dichos libros -, un
hombre inteligente puede idear miles de problemas semejantes. Así como el Sol
hace palidecer las estrellas con sus destellos, un hombre discreto eclipsa la gloria de
otro hombre en los concursos populares, proponiendo y resolviendo problemas
algebraicos". En el original, estas palabras presentan un aspecto más poético, por
cuanto el libro está escrito en verso. Los problemas también aparecen versificados.
Enunciemos en prosa uno de estos rompecabezas.
Un grupo de abejas, cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de
8
todo su enjambre, se posó sobre un jazmín, habiendo dejado muy atrás a del
9
enjambre; sólo una abeja del mismo enjambre revoloteaba en torno a un loto,
122
atraída por el zumbido de una de sus amigas que cayó imprudentemente en la
trampa de la florecilla, de dulce fragancia.
¿Cuántas abejas formaban el enjambre?
Solución:
Si expresamos el número buscado de abejas del enjambre con la letra x , tendremos
x 8
la ecuación
 x2 x
2 9
x
Podemos simplificar la ecuación introduciendo una incógnita auxiliar: y 
2
2
16 y
 2  2 y 2 , o la
Entonces x  2y 2 , por lo que resultará la ecuación y 
9
ecuación de segundo grado 2 y 2  9 y  18  0
La ecuación tiene dos raíces para y: y1  6; y2   32 y las soluciones para x son
x1  72; x2  4,5
Como el número de abejas debe ser entero y positivo, es válida sólo la primera raíz:
el enjambre constaba, pues, de 72 abejas.
72 8
Comprobémoslo:
 (72)  2  6  64  2  72
2 9
123
6.2 PROBLEMAS PROPUESTOS
A)
Resuelva las siguientes ecuaciones
1)
x3 x4 x5


Resp. x  10
6
8
12
2)
5
2
3
89


Resp. x  17
x  3x  10 3x  15 4 x  8
2
1
3)
1
1
a
4)
 2 , x  1 Resp x  2
1
1
x
1
1 x
1
x  5a  1 , x  0 Resp. x  5
5)
x  m  n (n  m)( n  m) x  m  n


Resp x  2(m  n)
m
nm
n
6)
2ab
ax  b 2
a(b  x)
b2
a 

; a, b  0, a  b Resp. x 
ab
a
b
ab
7)
2x  3 x  5

 2 Resp. x  0; x  9
x 1 x 1
8)
 4 5x  5

 0 Resp. x  3; x  3
x 1 x2 1
9)
x  7  5x  13  0 Resp. x  2
10)
x  3  x  8  0 Resp no hay solución C
11)
x  21  x  14  1 Resp. x  5
12)
1
x

2
x  27
 0 Resp. x  9
124
13)
14)
15)
(a  b) x 2  (b  c) x  (c  a)  0 Resp. x  1; x 
4
ca
ab
7x 2  17x  3  2x  3  0 Resp. x  43 ; x  3
3  3 4x 2  2  6 Resp. x  52 ; x   52
5  57
5  57
;x 
2
2
3 7
17) Determine la ecuación de segundo grado tal que sus raíces son
y
4
3 7
4
Resp. 8x 2  12x  1  0
16)
2x 2  5x  10  7 2x 2  5x Resp. x  5; x   52 , x 
18) Determine k  R para que la ecuación 5x 2  8x  k  0 tenga raíces cuyo
producto sea 6 Resp. k  1
19) Si  ,  son las raíces de la ecuación x 2  px  q  0 , determine la ecuación
cuadrática cuyas raíces son:
1 1
y
a)
Resp. qx2  px  1  0
 
b)  2 y  2 Resp. x 2  ( p 2  2q) x  q 2  0
c)  3 y  3 Resp. x 2  (3 pq  p 3 ) x  q 3  0
 
p 2  2q
y
d)
Resp. x 2 
x 1  0
 
q
B)
Resuelva los siguientes problemas con enunciado
1)
La suma de 15 y dos veces un número es 33. Encuéntrese ese número.
Resp.: 9
2)
Se sabe que el triple de un número que esta disminuido en dos es igual a 42.
¿Cuál es el número?.
Resp.: 19
3)
Encuéntrese el número tal que sus doble sea menor en 12 que el triple del
número.
Resp.: 12
125
4)
El resultado de sumar 28 a 4 veces cierto número es el mismo que se obtiene la
restar 5 de 7 veces el número. Encuéntrese el número.
Resp.: 11
5)
Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el
doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?.
Resp.: Padre: 28 años, Hijo: 8 años
6)
Un alambre de 130 centímetros de largo está doblado en forma de un rectángulo
que tiene 3 centímetros más de largo que de ancho. Determine el ancho del
rectángulo.
Resp.: 31 centímetros
7)
Un agricultor quiere guardar 2850 kilos de alimento para ganado en dos
depósitos vacíos. Si quiere que en el depósito mayor hay 750 kilos más de
alimento que en el depósito menor.¿Cuánto debe poner en cada depósito?.
Resp.: 1800 y 1050
8)
La cifra de las decenas excede en 5 a la cifra de las unidades de un número de
dos cifras. Si el número se divide por la suma de sus dígitos, da 8. Hallar el
número.
Resp.: 72
9)
La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de
Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años, hallar la edad de cada una.
Resp.: Maria: 21 años, Ester: 7 años, Isabel:16 años
10) Guido tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad
de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años?.
Resp.: Guido: 9 años, Andrés: 36 años, David: 3 años
11) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más
tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual de padre e hijo.
Resp.: Padre:38 años, Hijo:14 años
12) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima
126
parte de la edad del padre?.
Resp.: Hace 10 años
13) ¿Qué número se debe sumar al numerados y al denominador de
esta fracción a
3
para llevar
27
7
?.
24
Resp.:11
14)
El profesor Wenceslao tiene 4 años más que su esposa Matilde. En su vigésimo
quinto aniversario de matrimonio, Wenceslao observó que la suma de sus
edades duplicaba la suma sus edades el día de su boda.¿Qué edad tendrá la
señora Matilde en su quincuagésimo aniversario?.
Resp.: 73 años
15) La suma de las cifras de un número de dos dígitos es 12. So invertimos el orden
de las cifras, el número se incrementa es 36. ¿Cuál es este número?.
Resp.: 48
16) La suma de dos números es 24 y su producto es 135. Encuentre los números.
Resp.: 9 y 15
17) Un padre tiene ahora cuatro veces la edad de su hijo, dentro de 20 años, si viven,
el padre tendrá dos veces la edad de su hijo. ¿Cuáles son sus edades en este
momento?.
Resp.: Padre: 40 años, Hijo: 10 años
18) Si se añaden 2 metros a cada lado de un cierto cuadrado, su área se incrementa
en 100 m t2 . ¿Cuál es el área original del cuadrado?.
Resp.: 576 m t2
19) En ciertos días de la semana, una familia compuesta de padre. Madre y niños
menores de edad, viajando en tren pueden acogerse al beneficio de familia
numerosa. Este beneficio consiste en que el padre pague el pasaje entero, y la
madre y los niños, medio pasaje. Por otra parte la familia puede viajar en bus, en
cuyo caso cada miembro de la familia paga el pasaje entero, pero a su vez
127
cuestan las dos terceras partes del pasaje en ferrocarril. ¿Para que número de
niños el total de lo que se paga en ferrocarril sería igual a lo que se pagase en
bus?.
Resp.: Un niño
20) El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al
numerador se le suma 3, la fracción queda equivalente a. 43 Hallar la fracción.
Resp.: 17
15
21) Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Uno de ellos
advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a
la reunión?.
Resp.: 12 personas
22) El explorador (la nave de reconocimiento), que marchaba con el resto de la
escuadra, recibió la tarea de explorar el mar en una zona de 70 millas en la
dirección en que marchaba la escuadra. La velocidad de ésta era de 35 millas
por hora; la del barco explorador, de 70 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará
éste en incorporarse de nuevo a la escuadra?.
Resp.: 1 hora 20 minutos
128