Escuela Secundaria General # 70 “Salvador Orozco Loreto” Profr. Hugo Armando de la Mora Sánchez ORDENACION Y SECUENCIA DE ACTIVIDADES 1. Presentación de tema, aprovechando la actividad 1, inicial programada, con la exploración de los conocimientos previos y el planteamiento de problemas sencillos. 2. Exposición del profesor de la información básica de los contenidos del tema, alternando la participación y seguimiento de los alumnos con lecturas individuales y comentarios. Se realizarán en el aula las actividades, con la aclaración de dudas. Las secuencias de los contenidos en esta fase expositiva podrían ser: - Igualdad, identidad y ecuación - Ecuación: incógnita, grado, términos y solución - Ecuaciones equivalentes. Procedimientos - Procedimiento de resolución de ecuaciones - Resolución general de ecuaciones de primer grado con una incógnita - Resolución de problemas utilizando ecuaciones Asignatura: Matemáticas Grado 2º Grupos: _____ y _____ Ciclo escolar 03-04 TECNICAS AGRUPAMIENTOS Y ESPACIOS RECURSOS Y MEDIOS 1. En las actividades de introducción se favorecerá la participación, el debate y la competencia para comunicar en público el propio criterio y conocimiento. AGRUPAMIENTOS: Material impreso: Texto de Matemáticas 2º grado Editorial Santillana 2. La fase expositiva irá pareja al desarrollo de técnicas de representación gráfica para la comprensión de conceptos algebraicos, la traducción al lenguaje algebraico de cuestiones y problemas enunciados verbalmente, además de las técnicas de cálculo mental. - El grupo- clase se plantea en las actividades de situación colectiva como son la presentación e introducción del Tema, las fases expositivas y la puesta en común en la resolución de actividades, investigaciones, trabajos y problemas. Libro del Maestro SEP Fichero de actividades didácticas SEP Carpeta de recursos - El trabajo individual es la principal opción en la realización del GRUPO AZARQUIEL conjunto de actividades destinadas (1991): Ideas y a la comprensión de conceptos y al actividades para 3. En el momento de las trabajo práctico de las actividades actividades de desarrollo, refuerzo y enseñar álgebra. 3. Actividades para la consolidación de los de aplicación. Madrid: Síntesis conocimientos que se basarán en la realización ampliación se trabajarán especialmente las siguientes de las actividades (tanto en el aula como en técnicas: - La organización por parejas, tríos Materiales para usar en el casa), intercalando las mismas según o Técnicas de representaciones y pequeños grupos, se diseña para corresponda con la fase expositiva. Estas manipulativas o gráficas de las un pequeño repertorio de aula: actividades se enfocan hacia la presentación situaciones actividades del lenguaje algebraico en contexto en que los o Reglas para resolver alumnos aprecien una finalidad, evitando ecuaciones - Se considera la modalidad de ejercicios de manipulación indiscriminada. o El uso de ejemplos y agrupamiento-flexible para atender Calculadora científica contraejemplos Además se favorece la resolución de problemas o La comprobación de la solución a los alumnos que precisen y la comprobación de aciertos y errores para Balanza matemática de las ecuaciones (uso de la refuerzo o ampliación por su nivel aprender de los mismos calculadora) de conocimientos o ritmo de 4. Identificación de los alumnos con dificultades. Juego para trabajar las o Cálculo mental aprendizaje. 5. Actividades de refuerzo, que se orienta su o Resolución de problemas de identidades notables planteamiento hacia la interpretación de expresiones contextos próximos al alumno o sencillas escritas en forma simbólica, con el apoyo Espacios: 1 EVALUACIÓN Participación activa en clase Respeto hacía los compañeros Valoración del interés por la resolución de las cuestiones y ejercicios. Valoración de la adquisición y dominio de los conocimientos y destrezas Producto de los trabajos realizados en clase y casa Prueba especifica Autoevaluación PROCEDIMIENTOS 1. Observación sistemática del trabajo en el aula 2. Intercambios orales con los alumnos: Diálogos, puesta en común y manifestaciones orales 3. Análisis y revisión de los productos de los alumnos: Cuaderno de clase, resúmenes y trabajos. 4. Preguntas orales y prueba especifica 5. Coevaluación de actividades manipulativas, gráficas y problemas “tipo resueltos, además del aprovechamiento del tiempo encasa y el uso del programa FORACIT “El integrador matemático” en el aula de medios Actividades de ampliación: Que desarrollan la aplicación de las cuestiones algebraicas y de las ecuaciones a situaciones problemáticas concretas del contexto y la utilización de gráficos. sobre los que tenga la posibilidad de conocimiento, en los que se use la estrategia: distintos planteamientos mediante ecuaciones. o Uso de aplicaciones informáticas - Aula ordinaria Aula de medios Aula de audiovisuales (si la hay) Cuaderno de ejercicios Material para CP 2 Programa Foracit Hoja electrónica de cálculo EMAT (Calculadora virtual) Instrumentos: -Ficha personal de registro (actitudes, participación interés y respeto) -Prueba escrita con ejercicios de aplicación. -Ejercicios que incluyen las respuestas (autoevaluación) Escuela Secundaria General # 70 “Salvador Orozco Loreto” Profr. Hugo Armando de la Mora Sánchez Plan de clase: Asignatura: Matemáticas Grado 2º Tema 2 “Ecuaciones lineales con una incógnita Grupos: _____ y _____ Ciclo escolar 03-04 No. de sesiones 6 Propósitos de la unidad: al termino de la unidad, el alumno: Sabrá analizar problemas que conducen a ecuaciones lineales. Identificará la ecuación lineal y la relación entre ecuaciones y funciones de primer grado. Solucionará ecuaciones por métodos algebraicos. Estará familiarizado con las operaciones a realizar en ambos lados de la igualdad, transponiendo términos de un lado a otro. CONTENIDOS PREVIOS Operaciones con números enteros (+ -) CONCEPTUALES Leyes de los signos Uso del paréntesis Operaciones con monomios y binomios (suma, resta y multiplicación) Jerarquía de las operaciones Lenguaje algebraico PROCEDIMENTALES 1) El desarrollo del contenido se iniciará con problemas sencillos, y que gradualmente se manejen otros de mayor complejidad, insistiendo que es fundamental Propiedades de la igualdad poder expresar con facilidad los números y sus relaciones, para poder manejar de manera más Utilización del método de la balanza adecuada y sencilla los problemas de mayor generalidad. Ecuaciones: incógnita, grado, términos y solución 2) Los alumnos empezarán realizando conversiones del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, para Ecuaciones equivalentes posteriormente insistir en las operaciones que se involucran, y después concluir con el manejo de Procedimientos de resolución de ecuaciones ecuaciones de primer grado con una incógnita y su solución. Resolución general de la ecuación de primer grado 3) Con la finalidad de superar las dificultades de los con una incógnita alumnos por traducir las expresiones cotidianas, fomentar el uso y significado de los paréntesis para Resolución de problemas que den lugar a una efectuar las operaciones de manera correcta; se ecuación de primer grado con una incógnita, proponen tres actividades para que al terminar de utilizando los cinco pasos: realizar cada una, el profesor aclare el porqué de los errores que seguramente manifestarán los alumnos. 1. Analizar el enunciado Esto se considerará como un examen de diagnóstico. 2. Expresarlo en lenguaje simbólico 1. Se practicará la traducción al lenguaje 3. Resolver la ecuación correspondiente algebraico. Se le indica a los alumnos expresiones 4. Verificar si el resultado obtenido satisface en lenguaje cotidiano y en álgebra, para que las las condiciones del problema relacione, en las expresiones, se señalan las 5. Dar la respuesta operaciones básicas. (VER ANEXO) ACTITUDINALES Igualdad identidad y ecuación 3 Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicar y resolver situaciones de la vida cotidiana. Valoración y respeto por su trabajo y el de sus compañeros Gusto por la presentación y orden de las soluciones de las ecuaciones UNIDAD 2: Tema Ecuaciones lineales con una incógnita (anexo) CONTENIDOS PROCEDIMENTALES 2. Se realizarán operaciones en donde se indican paréntesis y sus efectos en la representación de las expresiones algebraicas 3. Aclarar los diferentes elementos como coeficiente, exponente, número de variables y grado de una expresión, dichos conceptos se analizarán por medio de una tabla. Para iniciar el desarrollo del tema, se propone empezar con un problema sencillo, en el que la solución prácticamente se obtenga sin ningún problema y gradualmente se introduzcan problemas de mayor complejidad. A continuación, se presentan las actividades como una muestra de los ejemplos que se pueden desarrollar: ACTIVIDAD 1: Para resolver eficientemente un problema en matemáticas, es fundamental poder expresar con facilidad los números con sus relaciones, y poder realizar las manipulaciones correspondientes. Lo primero que se debe hacer, para resolver un problema es traducir el problema del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, Realiza el siguiente ejercicios: relaciona las siguientes columnas (ver tabla anexa 1) Actividad 2: Evaluación de expresiones algebraicas En una expresión algebraica las variables representan números. El valor numérico de una expresión puede calcularse cuando a cada variable de la expresión se le asigna un valor especifico. Se llama evaluación al proceso de calcular el valor numérico de una expresión Por ejemplo: Evaluar la expresión 2a + 2b cuando: a = 5 y b = 7 solución: 2(5) + 2(7) = 10 + 14 = 24 respuesta: 24: Como ejercicio los alumnos evaluarán 10 expresiones Actividad 3: Determinación de variables y grado de las variables Se considera conveniente antes de realizar operaciones con el fin de poder simplificar, y solucionar ecuaciones, es necesario definir el grado de una variable, grado de un monomio y el de un polinomio. Por lo que se propone el llenado y análisis de la siguiente tabla (ver tabla anexa Actividad 4: Ejemplos desarrollados 4 Iniciaremos con un problema sencillo de fácil solución, haciéndoles a los alumnos la aclaración de que de momento lo que más importa es el planteamiento. Problema 1: Los organizadores de la fiesta del día del estudiante, determinaron que los gastos serán de $1250.00 y en el grupo están dispuestos a cooperar solo 35 alumnos, ¿Cuánto debe aportar cada uno de los alumnos? a) ¿Cuál es la ecuación que representa el planteamiento del problema? b) ¿Cuál es la variable que hay que determinar y que nos da la solución del problema c) ¿Cuál es el valor de la variable o incógnita? d) ¿Cómo se obtuvo el valor de la variable? e) ¿Es correcta la solución? f) ¿Cómo se comprueba? (Realizar ejercicios como el del ejemplo) Actividad 5: Planteamiento de ecuaciones Problema 1: La suma de tres números es 123. El segundo número es el doble del primero y el tercero supera en tres al segundo. Determinar los tres números 1. ¿Cómo representas el primer número? __________________ 2. ¿Cómo representas el segundo número? __________________ 3. ¿Cómo representas el tercer número? __________________ 4. ¿Cómo representas que la suma de los tres números es 123? ___________________ 5. Determina los números si la suma es 246 ___________________ 6. ¿Cuáles son los números si la suma es 63? ___________________ Problema 2: La anchura de un rectángulo es de x metros. ¿Cuál es el perímetro si su longitud (largo) fuera el doble del ancho? 1) ¿Cómo representas: su anchura? 2) ¿Cómo representas: su longitud es el doble del ancho? 3) ¿Cómo representas: su perímetro? 4) ¿Cuál es su perímetro si su anchura es el triple del ancho? (trabajar con más problemas como los del ejemplo) Actividad 6: Ecuaciones con una sola variable ( de la forma ax = b) Ecuación 1: 2x = 20 El coeficiente de x es 2 El inverso multiplicativo de 2 es ½ 5 Multiplica ambos miembros de la igualdad por ½ 2x(1/2) = 20 (1/2) x = 10 haga la comprobación (realizar ejercicios del texto página 69) Actividad 7: Resolver una ecuación de la forma ax + b = c Ecuación 1: 3x + 3 = 42 resta 3 a ambos miembros de la ecuación. Propiedad uniforme de la igualdad 3x + 3 – 3 = 42 – 3 3x = 39 el coeficiente de x es 3, el inverso multiplicativo de 3 es 1/3, se multiplican ambos miembros de la ecuación por 3 x (1/3) = 39 (1/3) 1x = 13 Haz la comprobación (trabajar con los ejercicios 1,2,3 y4 del texto, página 71) Actividad 8: Solución de problemas Plantear y resolver los siguientes problemas ( trabajar con el ejercicio 2 del texto, página 73) 6 UNIDAD 2: ECUACIONES LINEALES PLAN DE UNIDAD DIDACTICA Elaborado por el Profr. Hugo Armando de la Mora Sánchez para 2º y 3º grado SENTIDO DE LA UNIDAD En esta unidad se pretende dotar a los alumnos de los elementos algebraicos que les permitan generar, manipular y solucionar las ecuaciones de primer grado con una incógnita, este tema será básico ya que será retomado en otras unidades. Se pretende que el alumno recuerde y aplique los conocimientos adquiridos con anterioridad en el 1º de secundaria, pero más que repetir, el alumno deberá profundizar y aclarar las dudas que se le presentan, al mismo tiempo que adquiere mayor dominio en la manipulación y tratamiento de las ecuaciones. Durante el desarrollo de esta unidad, el alumno deberá adquirir la habilidad de reconocer las variables que intervienen en la solución de un problema, la expresión algebraica que refleja las relaciones entre los elementos que definen el problema y la manipulación algebraica en el proceso de resolver o solucionar una ecuación. Otros aspectos que se pretenden clarificar en esta unidad son los elementos del lenguaje algebraico en el manejo de la solución algebraica de una ecuación y su comprobación; por ejemplo los términos semejantes y operaciones algébricas Es decir, se pretende que en esta unidad se pueda conceptuar a la expresión algebraica como la generalización del tratamiento de operaciones y métodos de solución de casos especiales. PROPÓSITOS DE LA UNIDAD: Al termino de la Unidad, el alumno: a) Sabrá analizar problemas que conducen a ecuaciones lineales. b) Identificará la ecuación lineal y la relación entre ecuaciones y funciones de primer grado. c) Solucionará ecuaciones lineales por métodos algebraicos. 7 d) Estará familiarizado con las operaciones a realizar en ambos lados de la igualdad, trasponiendo términos de un lado a otro. CONTENIDOS. Problemas introductorios; Su solución por inversión de operaciones y otros métodos, por ejemplo, por medio de una tabla de valores, de una gráfica o de un modelo o diagrama geométrico. Métodos algebraicos de solución: operaciones con ambos miembros de una ecuación trasposición de términos y solución de ecuaciones de la forma: ax + b = c ax + bx + c = d ax + b = cx + d etc. y casos sencillos de ecuaciones con paréntesis. Planteo y solución de problemas que conducen a ecuaciones lineales. CONEXIONES CON OTROS TEMAS La presente unidad es básica para el desarrollo de otros temas, tiene conexiones con las siguientes unidades de los programas de Matemáticas III Unidad 3 de Matemáticas de 3º grado, en donde se solucionarán Sistemas de Ecuaciones Lineales. 8 Unidad 4 de Matemáticas 3º grado, ya que en esta unidad se utilizarán los métodos de factorización y manejo de factores lineales en la solución de Ecuaciones Cuadráticas y Factorización. Unidad 3 de Matemáticas 3º grado, en vista de que en esta unidad se analizarán casos y soluciones de ecuaciones con Expresiones Racionales y con Radicales que se pueden reducir a lineales. Unidad 2 de Matemáticas 3º grado donde se manejan las Inecuaciones y Regiones en el Plano, por lo que se tratarán las desigualdades lineales. Unidad 1 de Matemáticas 2º grado, en la que se dará Solución Numérica a Sistemas de Ecuaciones lineales, con sus correspondientes alternativas: una solución, ninguna solución y muchas soluciones. Unidad 3 de Matemáticas III. Ecuaciones de grado superior a dos (bachillerato). Unidad 4 de Matemáticas 3º grado, en vista de que esta unidad es de Graficación de Funciones. Unidad 5 de Matemáticas III donde se analizarán diferentes casos de la recta. Ecuación de la Recta dados dos puntos por donde pasa, dada su pendiente y un punto por el que pasa ; se analizan las condiciones particulares como paralelismo y perpendicularidad. ORIENTACION DE LOS TEMAS Los conceptos deberán presentarse en relación directa con las ideas de variación proporcional y funciones lineales tratadas en la unidad anterior, facilitando las relaciones entre funciones y ecuaciones de primer grado y además los casos especiales de éstas. Por supuesto, dichos conceptos no se presentarán de manera formal a través de definiciones rigurosas, sino situaciones concretas cercanas al alumno para despertar su interés y atención sobre los tópicos que se abordan y de la utilidad práctica de tales conocimientos. Se tratarán problemas de introducción a las ecuaciones lineales, pasando por los diferentes casos particulares con algunos casos sencillos de ecuaciones con paréntesis, se plantearán y solucionarán problemas que involucran a ecuaciones lineales. 9 Para el caso de ecuaciones con decimales y racionales, es conveniente que se aborde después de que los estudiantes hayan comprendido las técnicas de solución en casos más simples. Se deberá tomar en cuenta que el tema de ecuaciones lineales es conocido por los alumnos desde 2º de secundaria, por lo que se deberán plantear las actividades que permitan revisar lo olvidado y dotar de sentido a los procedimientos algebraicos tratados en esta unidad. (si trabajas con terceros grados) NIVEL DE PROFUNDIDAD EN EL TRATAMIENTO DE LOS CONTENIDOS. En esta unidad se pretenden aplicar, con ejemplos y ejercicios; los conceptos algebraicos y de forma general las variantes en la reducción y operatoria del procedimiento para solucionar ecuaciones lineales, y, de esta manera conseguir que los alumnos tengan habilidad en la manipulación de expresiones algebraicas. Considerando que los alumnos ya han manejado los conceptos de ecuaciones, solución de ecuaciones; en esta unidad se deben recordar y consolidar dichos conocimientos, dando oportunidad de que tengan sentido los procedimientos algebraicos y la aplicación de los adquiridos en la unidad I correspondientes a variación proporcional, razones, proporciones y funciones lineales. PREVISIÓN DE OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS Generalmente los alumnos muestran dificultades debido a la inadecuada identificación de las operaciones involucradas en una ecuación, y en consecuencia no obtienen la solución correcta. Por lo que es importante en esta unidad que el alumno maneje de manera correcta dichos conceptos y de esta forma, prevenir errores como los siguientes: a) 6x + 6y = 12xy b) 6x + 7x2 = 13x 3 c) + 7 - 3 = - 4 d) - 9 - 4 = + 13 e) 6x = 0 dan como resultado x = - 6 10 f) 6x = 3 dan como resultado x = 3 - 6 La primera dificultad se debe a que no identifican las incógnitas ya que no les indican nada ni significan algo para que puedan diferenciarlas; con relación a los signos, los alumnos están acostumbrados a repetir como receta la ley de multiplicación de los signos por lo que no analizan ni interpretan correctamente las operaciones que se realizan, y aplican a la adición de números la regla de multiplicación por lo que les es muy natural decir como en el ejemplo que (+7) por (-3) da (- 4) Otra de las dificultades es la determinación de la operación inversa en la transposición de términos, debido a que los alumnos están acostumbrados al manejo de recetas para la solución de una ecuación, pero sin analizar las operaciones que se realizan, por lo que se sugiere insistir en la transposición de términos con relación a la semejanza de la igualdad con una balanza equilibrada. Los alumnos no están acostumbrados a efectuar el análisis de un problema a fin de determinar la incógnita o incógnitas que intervienen en el, por lo que en esta unidad se trata de que los alumnos puedan ir construyendo sus estrategias para resolver y plantear problemas de manera algebraica. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Se iniciará con problemas sencillos, y que gradualmente se manejen otros de mayor complejidad, insistiendo en que es fundamental poder expresar con facilidad los números y sus relaciones, para poder manejar de manera más adecuada y sencilla los problemas de mayor generalidad. Se sugiere que para empezar se realicen conversiones del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, para posteriormente insistir en las operaciones que se involucran, y después concluir en el manejo de las ecuaciones de primer grado con una incógnita y su solución. Con la finalidad de superar las dificultades de los alumnos algebraico, fomentar el uso y significado de los paréntesis tres actividades para que al terminar de realizar cada una, manifestarán los alumnos. Esto puede manejarse también como por traducir las expresiones cotidianas al lenguaje para efectuar las operaciones de manera correcta; se proponen el profesor aclare el porqué de los errores que seguramente un examen de diagnóstico para el desarrollo del tema. Como primera actividad se propone practicar la traducción al lenguaje algebraico. Se les indica a los alumnos expresiones en lenguaje cotidiano y en álgebra, para que las relacione, en las expresiones, se señalan las operaciones básicas. 11 La segunda de las actividades consiste en realizar operaciones en donde se indican paréntesis y su efecto en la representación de las expresiones algebraicas. La tercera de las actividades tiene el objetivo de aclarar los diferentes elementos como coeficiente, exponente, número de variables y grado de una expresión por lo que se sugiere se analicen dichos conceptos por medio del llenado de una tabla. Para iniciar el desarrollo del tema, se propone empezar con un problema sencillo, en el que la solución prácticamente se obtenga sin ningún problema y gradualmente se introduzcan problemas de mayor complejidad. A continuación, se presentan las actividades como una muestra de los ejemplos que se pueden desarrollar. ACTIVIDAD 1 LENGUAJE ALGEBRAICO Para resolver eficientemente un problema en matemáticas, es fundamental poder expresar con facilidad los números con sus relaciones, y poder realizar las manipulaciones correspondientes. Lo primero que se debe hacer, para resolver un problema es traducir el problema del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, relaciona las siguientes columnas Lenguaje cotidiano Lenguaje algebraico ¸ a) 15 menos un número ( ) x / 15 ¸ b) 15 unidades más que un número ( ) 2 (a + 15) ¸ c) 15 veces un número ( ) xy ¸ d) El cociente de 15 entre un número ( ) z + 15 ¸ e) El cociente de dos números ( ) 15 - x ¸ f) El doble de la suma de a y 15 ( ) x - 15 ¸ g) El perímetro de un rectángulo cuyos lados son a y 15 ( ) 15 / x ¸ h) El producto de dos números ( ) 15 x - y ¸ i) El producto de x y 15 ( ) x - y ¸ j) La diferencia de dos números ( ) y = x + 15 ¸ k) La diferencia entre un número y 15 ( ) P = 2a + 2(15) ¸ l) La quinceava parte de un número ) 15 ( 12 ¸ m) La suma de dos números ( ) 12x ¸ n) Un lado mide 15m mas que otro ( ) 15x ¸ o) Un número ( ) x + y ( ) x /y ó también x y ( ) 15y ( ) x ( ) P = 2a + b ( ) x - 15 ¸ p) Un número menos 15 ¸ q) Una docena de x objetos ACTIVIDAD 2 EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS En una expresión algebraica, las variables representan números El valor numérico de una expresión puede calcularse cuando a cada variable de la expresión se le asigna un valor específico. Se llama evaluación al proceso de calcular el valor numérico de una expresión. Por ejemplo: Evaluar la expresión 2a + 2b cuando : a = 5 y b = 7 Solución: 2( 5 ) + 2(7) =10+14 = 24 Respuesta : 24 cuando : a = -33 y b = 68 Solución: 2(-33)+2(68) = -66+136=70 Respuesta: 70 Evalúa las siguientes expresiones con los valores de: 13 a = 16, b = 12, c = 8, d = 24, e = 4 y relaciona con su valor: a) a- b - (c (d / e)) ( ) -10 b) (a -b)- (c d) /e ( ) -7 c) (a - (b - c - d)) /e ( ) -3 d) ((a - b ) (c - d)) /e ( ) 2 e) (a - (b -c) - d) /e ( ) 5 f) ((a - b -c) - d) /e ( ) 6 g) a - (b -c (d / e)) ( ) 8 h) a - (b -c) (d / e) ( ) 9 i) a - ((b -c d) / e) ( ) 18 j) (a - b - c) - (d / e) ( ) 21 ACTIVIDAD 3 DETERMINACION DE VARIABLES Y GRADO DE LAS VARIABLES Se considera conveniente antes de realizar operaciones con el fin de poder simplificar, y solucionar ecuaciones , es necesario definir el grado de una variable, grado de un monomio y el grado de un polinomio. Por lo que se propone el llenado y análisis de la siguiente tabla 14 Número de Monomio El grado de El grado del Coeficiente variables la variable monomio x2 35x3 35x2 y2 -87 x2 y3 -284x5 y3z2 2x -287 40xy 5xy5 354 x 77x2 y3 17 x3 y3 27 x3 y3 EJEMPLOS DESARROLLADOS Problema 1. Los organizadores de la fiesta para el día del estudiante, determinaron que los gastos serán de $525.00 y en el grupo están dispuestos a cooperar solo 35 alumnos, ¿Cuánto debe cooperar cada uno de los alumnos? ¿Cuál ecuación representa el planteamiento del problema? 525 = 35x o 35x = 525 ¿Cuál es la variable que hay que determinar y que nos da la solución del problema? x ¿Cuál es el valor de la variable ? x = 15 ¿Cómo se obtuvo el valor de la variable ? X = 525 / 35 ¿Es correcta la solución? si ¿Cómo se comprueba ? Sustituyendo el valor de 15 por la x en la ecuación 35x = 525 y comprobando que 35(15) = 525. Problema 2. El costo del regalo para la mamá de Carlos es de $325.00 y lo van a comprar entre los 4 hermanos (3 y Carlos) y el Papá que dijo que su aportación será de $125.00 ¿Cuánto debe cooperar cada uno de los 4 hermanos? 15 ¿Cuál ¿Cuál ¿Cuál ¿Cómo ecuación representa el planteamiento del problema? 4x + 125 = 325 es la variable que hay que determinar y que proporciona la solución del problema? x es el valor de la variable ? x = 200/4 x = 50 se obtuvo el valor de la variable ? x = (325 - 125) / 4 PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES Problema 3. La suma de tres números es 123. El segundo número es el doble del primero y el tercero supera en tres al segundo. Determinar los tres números. 1) ¿Cómo representas al primer número? _______________ 2) ¿Cómo representas al segundo número? _____________ 3) ¿Cómo representas al tercer numero? _______________ 4) ¿Cómo representas que la suma de los tres es 123? ________ 5) Determina los números, si la suma es 246. ___________ ________ __________ 6) ¿Cuáles son los números si la suma es 63? __________ ________ __________ Problema 4. La anchura de un rectángulo es de x metros. ¿Cuál es el perímetro si su longitud fuera el doble del ancho? 1) ¿Cómo representas: su anchura? ___________________ 2) ¿Cómo representas: su longitud es el doble del ancho? ____________ 3) ¿Cómo representas: su perímetro? __________________ 4) ¿Cuál es el perímetro si su anchura es el triple del ancho? ____________ Problema 1) ¿Cómo 2) ¿Cómo 3) ¿Cómo 5. La tercera parte de un número es 5 unidades menor que la mitad de él. Encontrar el número. representas: la tercera parte de un número? ___________________ representas: la mitad de este número? _______________________ representas: la tercera parte de un número es 5 unidades menor que la mitad del mismo? ___________________ Problema 6. Hallar dos números cuya suma sea 27 y que el séxtuplo del menor supere en 9 unidades al triple del mayor. 1) Número menor: x 2) Número mayor: 27 - x 16 3) Séxtuplo del menor supera en 9 unidades al triple del mayor: 6x = 9 + 3 (27- x) 4) ¿Cuáles son los números si la suma es 50? Problema 7. Se realizan dos inversiones con un total de $15 000.00 . En la primera de las inversiones se tuvo un 8% de utilidad, en la otra se perdió el 10%. Si la pérdida neta es de $600.00 ¿Cuál es la cantidad de cada inversión?. 1) Primera inversión: x. 2) Segunda inversión: 15000 - x. 3) Ganancia: 8% x: 0.08x. 4) Pérdida: 10% (15000 - x): 0.10(15000 - x) 5) Pérdida menos ganancia igual perdida neta: 10%(15000 - x) - 8% x = 600: 0.10(15000 - x)-0.08x = 600 6) ¿Cuál es la cantidad de cada inversión, si en la primera se tuvo el 10% de utilidad. En la segunda el 12% de pérdida y la pérdida neta es 540.00? 7) ¿Cuál es la cantidad de cada inversión si en la primera se tuvo 15% de utilidad, en la segunda 10% de pérdida y la ganancia neta es $1000.00? RESOLVER UNA ECUACIÓN Problema 8. Encontrar el conjunto solución de la ecuación 3x= -14 Solución: 1) El coeficiente de x es 3 == 0 2) El inverso multiplicativo de 3 es Se multiplican ambos miembros de la ecuación por (3x)( ) =( )(-14) 1x = 14/3 4) Haz la comprobación. Problema 9. Encuentra el conjunto solución de -6x = 0 Solución: Nota que el único número que multiplicado por -6 da cero es cuando x = 0 -6x = 0 El coeficiente de x es - 6 El inverso multiplicativo de - 6 es___________ ( )( -6x) = ( )( 0 ) 1x = 0 x = 0 Haz la comprobación. 17 Problema 10. Encuentra el conjunto solución de la ecuación (5/7)x = 15 Solución : El inverso multiplicativo de (5/7) 0 es 7/5 multiplicamos ambos miembros por el inverso multiplicativo (7/5)(5x / 7) = (7/5) 15 1x = 7(15/5) 1x = 7(3) 1x = 21 x = 21 Comprueba la respuesta. Problema 11. Resuelve la ecuación: (2x /3) - (5/2) = (3/4) - (x/6) Solución : El mínimo común múltiplo de 3, 2, 4 y 6 es = 12 y como 12 0 multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 12 12 {(2x / 3) - (5/2)} = 12{(3/4) - (x/6= 8x - 30 = 9 - 2x El inverso aditivo de - 2x y de - 30 son + 2x y + 30 18 sumando en ambos miembros (2x + 30) 8x - 30 + (2x + 30) = 9 - 2x + (2x + 30) 8x + 2x + -30 + 30 = 9 - 2x + 2x + 30 10x = 39 El inverso multiplicativo de 10, que no es cero, es 1/10 multiplicando ambos miembros por 1/10 tenemos (1/10) 10x = (1/10) 39 x = 3.9 ECUACIONES DE UNA SOLA VARIABLE Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones y comprueba el resultado 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.- 1.3x = -39 -6x = -12 (3x / 2) + (1/6) = ( 2x / 3) - (2/3) (1x / 2) = 7 x/12 = 12 (x / -2) = 5 (1x / 6) = 1/9 (-1x / 3) = 1 / 81 (-x / 8) = 64 (2/3)x = 4 11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.- 0.023x = 0.46 -0.7y = 2.1 (x/4) - (x/12) = (x/2) - (1/3) x + (2/3) = 0 3x + 1 = 10 2 - 3x = 11 2 - x = 4 2(x + 4) + 7 = 19 3 - 2 ( 3x - 1 ) = 21 5 + 3( 2x + 1) = -1 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Plantear y resolver los siguientes problemas. 1.- Un número es 4/5 de otro número y la suma de los dos es 126. Encuentre los números. 2.- La mitad de un número es igual a 2/5 del otro. Determinen los dos números si su suma es 27. 3.- El perímetro de un rectángulo es 60 metros cuadrados. Su longitud mide 4 metros más que su ancho. ¿Cuánto miden el largo y el ancho?. 4.- Juan gasta $200 pesos a la semana en alimentos ¿Cuánto gastará a la semana si su precio aumenta el 10%? 19 5.- La longitud de un rectángulo mide 6 metros más que su ancho. Si el perímetro es de 96 metros. Encuentre las dimensiones del rectángulo. 6.- Felipe tiene actualmente el cuádruplo de la edad de su hermano. Dentro de 15 años tendrá 3/2 de la correspondiente de su hermano. ¿Cuál es la edad actual de Felipe? EVALUACIÓN. Proponemos que el profesor considere que tanto aprendieron los alumnos tomando como base las actividades iniciales de la unidad y que actitudes, disposición y capacidades tiene para aplicar lo visto en la presente unidad, se recomienda que se propicie la participación en equipos y grupal, para lo que se propone dejar ejercicios de tarea y un examen de una hora para comprobar la habilidad en el método algebraico. BIBLIOGRAFIA. 1) De OTEYZA /HERNANDEZ / LAM., Álgebra, Prentice Hall Hispanoamericana, S.A., México,1996. 2) GOBRAN, ALFONSE., Álgebra elemental, Grupo Editorial Iberoamérica, México. 3) LARSON / HOSTELLER., Álgebra, Publicaciones Cultural, México, 1996. 20 21