PRÁCTICA 4 CON LA CALCULADORA Class Pad 300 PLUS
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Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 11 PRÁCTICA 11 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS Objetivos: En esta práctica, con ayuda de la calculadora ClassPad 300 PLUS, aprenderemos cómo utilizar algunos comandos de los diferentes menús de las aplicaciones Principal y Geometría para visualizar determinados aspectos de las Transformaciones Geométricas en el Plano. Requisitos: Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber estudiado los temas relativos a las Transformaciones Geométricas en el Plano. 11.1 Transformaciones Geométricas en el Plano. La primera aplicación del concepto de transformación lineal se encuentra en la geometría. En la geometría plana en particular, las rotaciones alrededor del origen, las reflexiones respecto a una recta que pasa por el origen, las homotecias con centro en el origen, como transformaciones en el plano, son transformaciones lineales en R 2 , en consecuencia, estas transformaciones geométricas pueden representarse por medio de operaciones matriciales. Las rotaciones y reflexiones presentan un interés particular ya que son transformaciones que, al igual que las traslaciones, no alteran ni las distancias, ni los ángulos; son isometrías. 11.1.1 Translaciones en el Plano. Consideremos un vector v o en R n , una traslación en la dirección, sentido y tamaño del vector v , es una transformación geométrica Tv : Rn Rn definida por Tv (x) x v . 1. Demuestre que: a) Una traslación no es una transformación lineal? b) Toda traslación es una isometría. c) To Id donde Id es la transformación identidad. En la siguiente actividad usaremos la Aplicación Geometría para mostrar que si Tv y Tv son 2 1 traslaciones en el plano, entonces Tv oTv Tv oTv Tv v para vectores no nulos v1 y v 2 . 2 Prof. Robinson Arcos 1 1 2 116 1 2 Departamento Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería UCV 2. Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 11 Operación con la ClassPad (1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione [ON/OFF] para encenderla. (2) Toque en el panel de iconos para acceder al menú de las Aplicaciones Incorporadas. (3) Toque para acceder a la Aplicación Geometría. (4) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar la ventana de esta aplicación. 3. Considere los vectores r (2, 1) , s (1, 3) y el triángulo cuyos vértices son los puntos A(2, 2) , B(3, 1) y C(3, 3) . a) Trace las gráficas de los vectores r , s , t r s y el triángulo ABC. b) Trace las gráficas de las imágenes del triángulo ABC mediante Tr y Ts oTr . ¿Qué concluye? c) Trace las gráficas de las imágenes del triángulo ABC mediante Ts y Tr oTs . ¿Qué concluye? d) Trace la gráfica de la imagen del triángulo ABC mediante Tt . ¿Qué concluye? (5) (6) Toque [Preferencias ►] [ventana vis.]. En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros: mínx : 3 ; máxx : 7 y medy : 3 . Toque [Acep.]. (7) Toque [Ver] y active la rejilla entera tocando el cuadro de verificación (en caso de no estar activa). (8) Toque (9) Al terminar su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 1. Toque [Dibuj] [Vector]. varias veces hasta que aparezcan los ejes numerados. Observe que en la barra de herramientas la opción Vector está activada. Esto está indicado por el resaltado del botón . (10) Dibuje el vector r tocando primeramente el origen y luego el punto de coordenadas (2, 1) . Figura 1 Recuerde que si se equivoca en el momento de tocar un punto por error, en la barra de herramientas toque [Edit] [Borrar]. Para borrar un elemento trazado o dibujado, en la barra de herramientas toque . Esto activará la función de selección resaltándose el botón , toque seguidamente el punto, vector o lado a borrar y éste quedará resaltado por uno(s) pequeño(s) recuadro(s) negro(s) y luego toque [Edit] [Borrar]. (11) Dibuje el vector s tocando primeramente el origen y luego el punto de coordenadas (1, 3) . (12) De manera análoga dibuje el vector t r s . Prof. Robinson Arcos 117 Figura 2 Departamento Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 11 (13) Toque [Dibuj] [Polígono]. Observe que en la barra de herramientas la opción Polígono está activada. Esto está indicado por el resaltado del botón . (14) Trace la gráfica del triángulo ABC tocando cada uno de los puntos A(2, 2) , B(3, 1) , C(3, 3) y nuevamente A(2, 2) . (15) Toque el botón para activar la función de selección. En la barra de herramientas esta función se indicará activa con el botón resaltado . (16) Toque ahora cada uno de los lados del triángulo ABC. Cada uno de los lados aparecerán resaltados con dos recuadros negros . (17) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación]. Figura 3 En el cuadro de diálogo Traslación se presentan dos opciones: una en la parte superior para indicar las componentes del vector de traslación y otra, en la parte inferior, para seleccionar un vector ya dibujado. (18) Toque [Seleccione vector]. Toque seguidamente el vector r . Aparece el triángulo A´B´C´ como imagen del triángulo ABC mediante la traslación Tr . (19) Toque cualquier punto fuera de los elementos trazados para cancelar la selección del triángulo ABC. Toque cada uno de los lados del triángulo A´B´C´. Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación]. (20) Toque [Seleccione vector]. Toque seguidamente el vector s . Aparece el triángulo A´´B´´C´´ como imagen del triángulo ABC mediante la traslación Ts oTr (Figura 3). Figura 4 (21) Toque cualquier punto fuera de los elementos trazados para cancelar la selección. Toque cada uno de los lados del triángulo ABC. Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación]. En el cuadro de diálogo elija [Seleccione vector] y toque el vector s . Aparece el triángulo A´B´C´ como imagen del triángulo ABC mediante la traslación Ts . (22) Toque cualquier punto fuera de los elementos trazados para cancelar la selección. Toque cada uno de los lados del triángulo A´B´C´. Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación]. En el cuadro de diálogo elija [Seleccione vector] y toque el vector r . Aparece el triángulo A´´B´´C´´ como imagen del triángulo ABC mediante la traslación Tr oTs (Figura 4). Observe que la imagen del triángulo ABC mediante Tr oTs aparece superpuesta a la imagen de mismo triángulo mediante Ts oTr . (23) Toque cualquier punto fuera de los elementos trazados para cancelar la selección. Toque cada uno de los lados del triángulo ABC. Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación]. En el cuadro de diálogo elija [Seleccione vector] y toque el vector t . 4. ¿Qué puede concluir de lo observado en este experimento? Prof. Robinson Arcos 118 Departamento Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 11 Las isometrías son transformaciones que preservan las distancias y los ángulos. La composición de isometrías es también una isometría. Las traslaciones son isometrías y lo dicho anteriormente se corrobora en el experimento. Observe que los triángulos que se han obtenido como imágenes en las distintas traslaciones son congruentes. Esto se puede apreciar en el siguiente experimento haciendo uso del cuadro de medidas: (24) Toque cualquier punto fuera de los elementos trazados para cancelar la selección. (25) Toque el lado AB del triángulo ABC. (26) En la barra de herramientas toque el botón de medidas. para acceder al cuadro En el recuadro aparecerá la longitud del lado AB. Esto queda indicado por el botón . (27) Toque el lado homólogo a AB en cualquiera de los triángulos obtenidos en una de las traslaciones, digamos A´B´. El botón se utiliza para establecer la congruencia entre dos segmentos. Observe que en el recuadro aparece el anuncio SÍ para indicar que los lados AB y A´B´ son congruentes. (28) Cancele la selección y toque los lados AB y BC. Figura 5 (29) En el cuadro de medidas toque . Al desplegarse el menú toque para calcular la medida del ángulo formado por los lados AB y BC. (30) Cancele la selección y de manera análoga toque los lados homólogos correspondientes A´B´ y B´C´. Al terminar observará que estos lados forman un ángulo de la misma medida anterior. 11.1.1 Transformaciones ortogonales en el plano. Las únicas transformaciones ortogonales en el plano son las rotaciones alrededor del origen y las reflexiones (simetrías axiales) con respecto a una recta que pasa por el origen. Las matrices cos( ) sen( ) cos( ) sen( ) ortogonales que las representan son: R( ) y S( ) . sen( ) cos( ) sen( ) cos( ) La matriz R( ) representa la rotación de ángulo alrededor del origen y la matriz S( ) representa una reflexión con respecto a una recta que pasa por el origen con vector director u( / 2) (cos( / 2), sen( / 2)) . En particular, puede verificarse que S( ) R( )S(0) . 5. ¿Qué transformación geométrica representa el producto de matrices S( ) R( )S(0) ? Prof. Robinson Arcos 119 Departamento Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería UCV 6. 7. Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 11 x 0 1 x 2 2 Considere la transformación en el plano definida por T . ¿Qué y 1 0 y 2 2 composición de transformaciones geométricas están representadas por T? Explique. Encuentre la ecuación de la imagen, mediante T, de la elipse de ecuación x 2 y2 1. 4 9 (31) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. (32) Toque [Preferencias ►] [ventana vis.]. (33) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros: mínx : 6 ; máxx : 8 y medy : 0 . Toque [Acep.]. (34) Para trazar la gráfica de la elipse toque primeramente [Dibuj] [Elipse]. (35) Toque cada uno de los siguientes puntos: A(0, 0) , B(2, 0) y C(0, 3) . Al tocar estos puntos se está indicando el centro, el semieje menor y el semieje mayor de la elipse. (36) Toque y luego toque la gráfica de la elipse para seleccionarla. (37) En la barra de herramientas toque el botón de medidas. para acceder al cuadro En el recuadro aparecerá la ecuación de la elipse. Esto queda indicado por el botón Figura 6 . De acuerdo a las transformaciones geométricas representadas por T. Efectuaremos primeramente una traslación en la dirección, sentido y longitud del vector v (2, 2) . (38) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Traslación]. (39) En el cuadro de diálogo registre las componentes del vector v (2, 2) y toque [Acep.]. (40) Cancele la selección de la elipse con centro A y seleccione la elipse con centro A´. Como segundo paso realizaremos una rotación de 90º alrededor del origen. (41) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Rotación] y luego toque el origen A. (42) En el cuadro de diálogo registre el ángulo de rotación (90º) y toque [Acep.]. (43) Finalmente efectúe una traslación en la dirección, sentido y longitud del vector v de la elipse con centro en A´´. Figura 7 En el cuadro de medidas se indica la ecuación de la elipse imagen. Prof. Robinson Arcos 120 Departamento Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 11 8. De acuerdo con lo observado, explique ¿por qué T no es lineal y sin embargo es una isometría? 9. Sea T la transformación de simetría en el plano respecto a la recta de ecuación y x , S la transformación de rotación de 135º alrededor del origen. Encuentre la ecuación de la imagen, mediante ToS, de la recta de ecuación y 2x 1. (44) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. (45) Toque [Preferencias ►] [ventana vis.]. (46) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros: mínx : 6 ; máxx : 6 y medy : 0 . Toque [Acep.]. Encontremos ahora la imagen mediante S de la recta de ecuación y 2x 1. (47) Para trazar la recta de simetría cuya ecuación es y x , toque [Dibuj] [Recta]. (48) Toque el origen A(0, 0) y luego toque el punto B(5, 5) . (49) Para trazar la recta de ecuación y 2x 1, toque [Dibuj] [Recta] y luego toque cada uno de los puntos C(0, 1) y D(1, 3) . (50) Seleccione la recta CD . (51) En la barra de herramientas toque el botón de medidas. Figura 8 para acceder al cuadro En el cuadro de medidas aparecerá la ecuación de la recta CD . (52) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Reflexión] y luego toque la recta de simetría AB . Aparecerá la imagen de la recta y 2x 1 mediante S. (53) Cancele la selección y toque la recta imagen. (54) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Rotación] y toque el origen A(0, 0) . (55) En el cuadro de diálogo registre el ángulo de rotación (135º) y toque [Acep.]. (56) Cancele la selección y toque la nueva recta imagen. En el cuadro de medidas aparecerá la ecuación de la recta imagen mediante ToS. Prof. Robinson Arcos 121 Figura 9 Departamento Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 11 11.1.2 Homotecias, similitudes y otras transformaciones geométricas. La homotecia de razón k y centro en el origen es una transformación lineal H definida por H(x ) kx . Las matrices que representan estas homotecias en R 2 tienen la forma kI donde I es la matriz identidad de orden 2. La homotecia de razón k 1 es la identidad y la de razón k 1 representa una simetría respecto al origen (o una rotación de 180º alrededor del origen). Si k 1 la homotecia es una ampliación y una reducción si k 1 ; si k 0 la ampliación o la reducción se completa con una simetría con respecto al origen. Si k 0 se obtiene la transformación nula. Una similitud en R 2 es la composición de una rotación alrededor del origen y una homotecia con centro en el origen. Su matriz con respecto a una base ortonormal es del tipo R(kI) kR donde R es la matriz de rotación (ortogonal con determinante igual a 1). Otras transformaciones geométricas lineales se describen en la siguiente tabla: Transformación Matriz Homotecia k 0 0 k , k R Ampliación a lo largo del eje OX k 0 0 1 , k 1 Ampliación a lo largo del eje OY 1 0 0 k , k 1 Reducción a lo largo del eje OX k 0 0 1 , 0 k 1 Reducción a lo largo del eje OY 1 0 0 k , 0 k 1 Corte a lo largo del eje OX 1 k 0 1 , k R Corte a lo largo del eje OY 1 0 k 1 , k R TABLA 1 10. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 3) , B(3, 1) y C(3, 3) . a) Transforme el triángulo ABC mediante homotecias con centro en el origen de razones k 0.5, 2, 1, 2 . b) Verifique, en cada uno de los casos anteriores, que la razón entre el área del triángulo imagen y el área del triángulo ABC es k 2 . (57) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. (58) Toque [Preferencias ►] [ventana vis.]. (59) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros: mínx: 7 ; máxx : 7 y medy : 0 . Toque [Acep.]. Prof. Robinson Arcos 122 Departamento Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 11 (60) Dibuje el triángulo de vértices A(1, 3) , B(3, 1) y C(3, 3) . Para visualizar, en este caso, el efecto de ampliación/reducción que produce cada homotecia sobre el triángulo ABC, tracemos las gráficas de las rectas OA , OB y OC donde O es el origen de coordenadas. (61) Toque [Dibuj] [Función]. En el cuadro de diálogo Función, registe la ecuación cartesiana de la recta OA tocando El botón [Acep.]. aparece resaltado en la barra de herramientas. (62) Toque y registre la ecuación cartesiana de la recta OB . (63) Toque y registre la ecuación cartesiana de la recta OC . (64) Seleccione el triángulo ABC. (65) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Homotecia] luego toque el origen de coordenadas para indicar el centro de la homotecia. Figura 10 (66) En el cuadro de diálogo Homotecia, registre el valor 0.5 y toque [Acep.]. En la barra de herramientas aparece el botón de la transformación homotecia. Utilice este botón para ejecutar el siguiente paso. (67) De manera análoga, encuentre las imágenes del triángulo ABC para los demás valores que toma el parámetro k. (68) Toque cualquier punto de la pantalla fuera de los triángulos trazados. Al terminar su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 10. 11. ¿Qué observa para los diferentes valores del parámetro k? (69) Seleccione el triángulo ABC y toque el botón medidas. para acceder al cuadro de El cuadro de medidas muestra el área del triángulo ABC. (70) Oprima la tecla para efectuar un acercamiento Seleccione el primer triángulo transformado A´B´C´. Figura 11 Figura 12 El cuadro de medidas muestra el área del triángulo A¨B¨C¨. (71) De manera análoga encuentre las áreas de los demás triángulos transformados. De ser necesario utilice las teclas / para realizar Acercamientos/ Alejamientos. El botón pantalla para visualizar la figura trazada. Prof. Robinson Arcos 123 ajusta la Departamento Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería UCV 12. Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 11 Área(A BC) para cada triángulo transformado, ¿qué relación Área(ABC ) encuentra entre este cociente y el valor respectivo de k? Al efectuar el cociente En la Aplicación geometría, podemos trabajar con transformaciones más generales en el plano. Al tocar en la barra de menús [Construir ►] [Transf gral] aparecerá el cuadro de diálogo Transformar que permite, a la izquierda, registrar la matriz asociada a una transformación lineal en R 2 y a la derecha registrar el vector asociado a una traslación. Haga uso de la transformación general y de la aplicación Principal, cuando sea necesario, para realizar cada una de las siguientes actividades: 13. Figura 13 Considere la simetría S en el plano respecto de la recta de ecuación y x / 2 . Sea T la transformación de traslación con vector asociado v (2, 2) a) Encuentre la ecuación de la imagen mediante S de la circunferencia de ecuación x 2 (y 2)2 4 (para dibujar la circunferencia, toque el punto A(0, 2) y luego B(0, 0) ). Sugerencia: Use las fórmulas conocidas cos( ) 1 m2 ; sen( ) 2m donde m tan( / 2) . 1 m2 1 m2 b) Encuentre la ecuación cartesiana de la imagen mediante ToS de la misma circunferencia. 14. a) b) Las rotaciones, reflexiones, homotecias y similitudes en el plano no son necesariamente transformaciones lineales pero sí, afines. Por ejemplo, efectuar una rotación de ángulo alrededor del punto A (distinto del origen), como hemos visto, consiste en: Trasladar el origen al punto A. Efectuar una rotación de ángulo centrada en el origen. Devolver el origen a su posición inicial. De modo que si X es la matriz de un punto x en el plano, R( ) es la matriz de rotación de ángulo alrededor del origen y X es la matriz de x (imagen de x por la rotación de centro A y de ángulo ), entonces: X A R( )(X A) . Prof. Robinson Arcos 124 Departamento Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería UCV 15. Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 11 Efectúe una rotación de centro A(2,5) y de ángulo / 3 sobre la recta que pasa por los puntos B(1, 1) y C(3, 2) . a) Encuentre la ecuación de la nueva recta. b) Trace la gráfica de la circunferencia que tiene por centro al punto A y radio 5. ¿Por qué la recta y la recta imagen son tangentes a esta circunferencia? Sugerencia: Al trazar una circunferencia y seleccionarla, en el cuadro de medidas puede establecerse su radio y su centro. Si se requiere modificar uno de estos elementos, haga la corrección en el cuadro de medidas y oprima [EXE]. 16. a) b) 17. 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 Las matrices M ; N1 3 1 , N2 0 1 , N3 0 2 y N4 0 1 satisfacen 3 4 M N1N2N3N4 . a) Sean T, U1 , U2 , U3 y U 4 las transformaciones lineales que tienen a M, N1 , N2 N3 y N 4 como sus matrices asociadas respectivamente. Explique qué transformación geométrica representa T en términos de las transformaciones U1 , U2 , U3 y U 4 . Haga uso de la Tabla 1. b) Considere el rectángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0) , B(3, 0) , C(3, 2) y D(0, 2) . Realice paso a paso, en la Aplicación Geometría, cada una de las transformaciones que sufre el rectángulo ABCD hasta obtener su imagen mediante T e indique los vértices del paralelogramo imagen mediante T. 18. a) b) 17. Indique la expresión analítica de una transformación geométrica que transforme a la elipse de ecuación 18. ( x 3) 2 ( y 2) 2 1 en la circunferencia de ecuación x 2 y2 1. 4 9 Expresión: Prof. Robinson Arcos 125 Departamento Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica cos( ) sen( ) Considere las matrices ortogonales R( ) y S( ) sen( ) cos( ) 19. Práctica 11 cos( ) sen( ) sen( ) cos( ) . Diseñe experimentos para verificar que: a) S( ) R( )S(0) . b) R 1() R() ; S1( ) S() . c) R2 () R(2) ; R2 () R(2) , … d) S2 ( ) I ; S3 ( ) S( ) , … Utilice, de ser necesario, el comando simplify en la aplicación Principal para mostrar analíticamente las cuatro proposiciones anteriores. Establezca una fórmula general para Rn ( ) donde n es un entero. Establezca una fórmula general para Sn () donde n es un entero. 20. Rn () Sn () Prof. Robinson Arcos 126 Departamento Matemática Aplicada