Estadística Administrativa Distribuciones de probabilidad Poisson, Binomial y Exponencial

Estadística Administrativa
Distribuciones de probabilidad Poisson, Binomial y Exponencial
19 a 23 de Febrero de 2007
Problema 1
En un día de pago, a una sucursal bancaria llegan en promedio 12 clientes/10 min. de acuerdo a
una distribución de probabilidad Poisson. Dado el tipo de operación que se realiza y el número de
cajeros asignados para atender ese tipo de transacciones se estima que el tiempo promedio de
atención es de 4 minutos por cliente, conforme a una distribución exponencial.
a) Calcula la probabilidad de que en un día dado lleguen 26 clientes en un lapso de 20
minutos.
b) Si hay 10 clientes en la fila cual es la probabilidad de que cada uno de ellos sea atendido
en un tiempo menor a 5 minutos.
a)
X: Cantidad de personas que llegan en veinte minutos
X~Poisson (μ = 24)
Considerando que μ es la cantidad promedio de personas que llegan en el intervalo de veinte
minutos, y la función de la distribución de probabilidad de Poisson es:
P( x) 
 x e 
x!
Entonces:
2426 e 24
P( X  26) 
 0.0719
24!
b)
X: Tiempo de atención de un cliente, en minutos
X~Exponencial (λ = 0.25)
Considerando que λ es la cantidad promedio de personas atendidas en un minuto (el tiempo
promedio de atención en minutos es de 4 = 1/ λ), y la función de la distribución exponencial es:
f ( x )  e  x
Entonces:
5
P(0  x  5)   e x  e 0.25*0  e 0.25*5  1  e 0.25*5  0.7135
0
Ahora si:
Y: Cantidad de clientes de diez que son atendidos en menos de cinco minutos
Y~Binomial (n=10, p=0.7135)
Finalmente, la probabilidad de que los diez clientes sean atendidos en menos de cinco minutos es:
P(Y  10) 
10!
0.713510 (1  0.7135)1010  0.713510  0.0342
(10  10)!10!
Problema 2
Se sabe que la probabilidad de que no se reciba ninguna queja en un centro de atención telefónica
en un periodo de una hora es de 0.006738.
a) Calcule el número promedio de quejas que son recibidas en un periodo de una hora.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran más de 40 minutos hasta que se reciba una queja?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen tres quejas o menos en media hora?
a)
X: Cantidad de quejas en una hora
X~Poisson (μ)
P( X  0) 
 e 
 0e 
0!
 0.006738
 0.006738
    ln(0.006738)
 5
b)
Y: Tiempo en minutos que transcurre hasta la siguiente queja
Y~Exponencial (λ = 1/12 )
Considerando que λ es la cantidad promedio de quejas en un minuto (el tiempo promedio hasta la
siguiente queja es 1/5 horas, es decir, 12 minutos), y la función de la distribución exponencial es:
f ( x )  e  x
Entonces, la probabilidad de que transcurran más de 40 minutos hasta la siguiente queja:
40
40
40
40
 
 

 0

1  12
e
 1  e 12  e 12   1  1  e 12   e 12  0.0357
12
0




1
P( x  40)  1  P( x  40)  1  
c)
X: Cantidad de quejas en media hora hora
X~Poisson (μ = 2.5)
P( X  3)  P(0)  P(1)  P(2)  P(3) 
2.5 0 e 2.5 2.51 e 2.5 2.5 2 e 2.5 2.53 e 2.5



 0.7576
0!
1!
2!
3!
Problema 3
Un productor y distribuidor de energía eléctrica cuenta con postes de madera en su sistema
eléctrico. Un estudio interno concluyó que su vida útil, es decir, el tiempo que transcurre entre la
colocación de un poste nuevo y su reemplazo, se puede modelar con una función exponencial con
una media de tiempo de 42.9 años.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un poste tenga que ser reemplazado antes de 50 años?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, de cuatro postes seleccionados al azar, al menos uno tenga
que ser reemplazado antes de 50 años?
c) Si un poste tiene 50 años ¿cuál es la probabilidad de que tenga que ser reemplazado en los
siguientes 5 años?
d) Los postes más antiguos en el sistema eléctrico tienen 50 años; considerando que reemplazar
cada uno de ellos cuesta $20,000 ¿cuál será el costo de reemplazar mil de estos postes en los
próximos cinco años?
a)
X: Tiempo en años de vida útil.
X~Exponencial ( λ = 1/42.9)
P(0  X  50)  e

0
42.9
e

50
42.9
 1 e

50
42.9
 0.688
b)
Y: Cantidad de postes, de cuatro seleccionados al azar, que tengan que ser reemplazados antes de
50 años
Y~Binomial (n= 4, p=0.688)
P(Y  1)  1  P(0)  1 
4!
0.6880 (1  0.688) 40  (1  0.688) 4  0.99
(4  0)!0!
c)
La probabilidad de que la vida útil esté entre 50 y 55 años, dado que el poste tendrá una vida útil
mayor a 50 años, es:
P(50  x  55 | x  50) 
 1
e
e
55

42.9

50
42.9
 1 e

55 50
42.9
P(50  x  55  x  50) P(50  x  55) e


P( x  50)
P( x  50)
 0.11
d)
Costo = 20,000*0.11*1,000 = $2,200,000

50
42.9
e
e

50
42.9

55
42.9